LES NOMBRES COMPLEXES

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1 LES NOMBRES COMPLEXES I. Introduction A. ddp et intensité du courant sinusoïdales 1. ddp sinusoïdale Soit u une différence de potentiel sinusoïdale. La relation mathématique qui caractérise cette ddp en fonction du temps (t) s écrit : () t = U sin ( π. f t + ϕ ) u MAX. ϕ s appelle la phase, elle est non nulle si à t = 0, la ddp est non nulle f s appelle la fréquence, elle s exprime en Hertz (Hz) U max s appelle l amplitude de la ddp, c est la plus grande valeur que puisse prendre u Nous pouvons aussi l écrire sous la forme : () t = ( U. ) sin( ω t + ϕ ) u. ϕ s exprime en radian (rad) ω s appelle la pulsation, elle s exprime en rad.s -1 (rad/s) U s appelle la valeur efficace de la ddp Pour connaître une ddp, il faut connaître U, ω et ϕ. A toute ddp sinusoïdale, on associe un nomre complexe U caractérisé par : son module noté U (représentant la valeur efficace de u), son argument noté ϕ.. Intensité sinusoïdale On peut écrire le même type de relation pour les intensités de courants sinusoïdales : () t = ( I. ) sin( ω t + ϕ ) i. I s appelle la valeur efficace du courant i Le Filtrage Les nomres complexes Page 1 sur 5

2 A toute intensité de courant sinusoïdal i, on associe un nomre complexe I caractérisé par : II. Impédance complexe son module noté I (représentant la valeur efficace de i), son argument noté ϕ. Lorsqu on applique une ddp sinusoïdale aux ornes d un dipôle, alors l intensité du courant qui parcourt ce dipôle est alors sinusoïdale et de même pulsation (ω). Si u () t = ( U. ) sin( ω. t + ϕ ) Alors i () t = ( I. ) sin( ω. t + ϕ ) Tous les dipôles étudiés sont caractérisés par la relation qui lie u(t) à i(t), c est à dire la relation entre U et I U On définit alors l impédance complexe noté avec = I En fonction de la nature du dipôle l expression de l impédance complexe change : Pour un composant résistif, son impédance complexe notée R vaut : R =R. R représente la résistance du composant résistif. Pour un composant capacitif C, son impédance complexe notée C vaut : c =1/j(.π.f.C). f représente la fréquence du signal d entrée et C la capacité du condensateur. Pour un composant inductif L, son impédance complexe notée L vaut : L =j..π.f.l. f représente la fréquence du signal d entrée et L l inductance du composant. L impédance du circuit est le module de l impédance complexe Définition de l impédance d un dipôle : Grandeur électrique qui est pour les courants alternatifs, l équivalent de la résistance pour les courants continus, et qui mesure le quotient de la tension par l intensité (ainsi que le déphasage de ces grandeurs lorsque cette grandeur est définie par un nomre complexe). Elle s exprime en Ohm et est notée. En fonction de la nature du dipôle l expression de l impédance change : Pour un composant résistif, son impédance est identique à sa résistance. R =R. Pour un composant capacitif C, son impédance est donnée par la relation c =1/(.π.f.C) dans laquelle f représente la fréquence du signal d entrée et C la capacité du condensateur. Pour un composant inductif L, son impédance est donnée par la relation L =.π.f.l dans laquelle f représente la fréquence du signal d entrée et L l inductance du composant. III. = U I Le Filtrage Les nomres complexes Page sur 5

3 Présentation des nomres complexes A. Définition Un nomre complexe z est un nomre de la forme z = a + j. où a et sont des nomres réels et j est caractérisé par : j² = -1 et 1/j = - j. a s'appelle la partie réelle de z. s'appelle la partie imaginaire de z. B. Egalité de deux nomres complexes Deux nomres complexes sont égaux s'ils possèdent la même partie réelle et la même partie imaginaire. Soient deux nomres complexes z et z tels que : z = a + j. et z' = a' + j.' z = z' si a = a' et = ' C. Addition de deux nomres complexes L'addition dans le corps des complexes se fait de la même façon que dans le corps des réels. Soient deux nomres complexes z et z tels que : z = a + j. et z' = a' + j.' z + z' = (a + j.) + (a' + j.') = a + j. + a' + j.' = a + a' + j. + j.' = a + a' + j.( + ') = a" + j." = z" Associativité Commutativité Mise en facteur a + a' est la partie réelle du nomre complexe z". + ' est la partie imaginaire du nomre complexe z". Exemple : D. Multiplication de deux nomres complexes Soient deux nomres complexes z et z tels que : z = a + j. et z' = c + d.j z.z' = (a+ j.).(c + j.d) = a.c + a.d.j +.c.j +.d.j.j or j.j = j² = -1 = (a.c -.d) + j.(a.d +.c) = a" + j." Le Filtrage Les nomres complexes Page 3 sur 5

4 Exemple : IV. Module et argument d'un nomre complexe A. Module d un nomre complexe Le module d'un nomre complexe z = a + j. est le nomre réel a +. Le module d un nomre complexe z est noté : z = a + Remarques : Le module d'un nomre complexe est toujours positif. 0 est le seul nomre complexe à avoir un module nul. B. Argument d'un nomre complexe L'argument d'un nomre complexe z = a +.j est le nomre réel tel que : Si a > 0, on a : Si a < 0, on a : 1 θ = tan 1 θ = π tan (si θ en radians) 1 θ = 180 tan (si θ en degrés) L'argument du nomre complexe z se note Arg (z). Le Filtrage Les nomres complexes Page 4 sur 5

5 Remarques : L'argument d'un nomre complexe est un angle exprimé en radian. L'argument du nomre complexe z 1 est l'opposé de l'argument de z : 1 Arg = Arg z ( z). V. Produits de deux nomres complexes Quels que soient les deux nomres complexes 1 et (non nul) : 1 * = 1 * Arg ( 1 * ) = Arg ( 1 ) + Arg ( ) Conséquences : A. Module et argument de l'inverse de z Pour tout nomre complexe z, non nul, nous avons : = et Arg = Arg ( z ) z z z B. Module et argument d'un quotient de deux nomres complexes Quels que soient 1 et, deux nomres complexes ( non nul), nous avons : = et Arg = Arg( 1) Arg( ) Le Filtrage Les nomres complexes Page 5 sur 5