Stéphane GOBRON HES SO HE Arc

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1 Stéphane GOBRON HES SO HE Arc 2015 Algorithmes Numériques 7 chapitres Codage des nombres Résolution d équations Systèmes linéaires Dérivation Intégration Equation différentielles Mots clés du cours

2 : introduction Contexte personnel Problématique Modélisation Modèle mathématique Familles d optimisation Exemples Mot de la fin L optimisation est un compromis entre qualité visible et quantité numérisée Context personnel Qu avez vous fait ce matin pour optimiser votre matinée et être présent ici et maintenant? Chaque étudiant doit trouver un exemple simple et original, donc non énoncé précédemment

3 Problématique Champs d applications Économie Maximiser ses gains en bourse Minimiser ses impôts Ingénierie Aérodynamique Calcul des structures Stratégie Jeux Militaire Biologie Ingénierie: maximiser les dégâts matériels et ainsi absorber le plus possible d énergie pour minimiser l énergie transmise aux passages et maximiser leurs chances de survie Chercher le «meilleur» c est généralement chercher à Minimiser et/ou Maximiser Bio chimie : optimiser les rendements agricoles en combinant les gènes Problématique Définir l optimisation Printscreen de Google image => «optimum» qui signifie le meilleur Chercher le meilleur 3 catégories : but, méthode, résultat

4 Problématique Modélisation Selon la compréhension des données définir un but à atteindre => c est avant tout développer un modèle : la méthode /!\ cela peut faire changer la vision de ces données et donc du problème à résoudre => un autre modèle doit être défini Données brutes Saisir Phase initiale Notre compréhension du problème à résoudre Phase(s) analytique But Comprendre But Méthode Méthode Modéliser oui Résultat le meilleur Résultat le meilleur Optimiser non Phase(s) de transition Données traitées Interpréter Phase finale L optimisation semble satisfaire les données traités Modélisation Champs d activités Prévisions météo environnement sureté... Conception soufflerie numérique aérodynamique Expérimentation validation d un modèle vérification d une théorie Modélisation d un réseau : des nœuds avec un certain nombre de liaisons Optimiser pour Mieux le comprendre? Minimiser les coûts? Maximiser son efficacité?

5 Modèle mathématique Pour tout phénomène essayer de le formaliser si cela s avère possible alors chercher à optimiser Conclusion pas un modèle général mathématique Identification de deux approches algébrique mathématiques informatique algorithmiques Modélisation en médecine Modélisation mathématique des électrocardiogrammes de la structure d'un stent i.e. dispositif métallique maillé et tubulaire par simulation numérique iats_industriels/projet_inria_upmc_reo.html Familles d optimisation Approche algébrique programmation linéaire différentielle Optimiser cet aspect Modèle Approche informatique sur graphe Fonction Score Contraintes c est avant tout réaliser cette étude

6 Opt. prog. linéaire Cherche à résoudre les problèmes où la linéarité apparaît dans : La fonction score Les contraintes Exemple d énoncé Une entreprise fabrique deux produits, climatiseur et ventilateur, avec pour chacun, deux coûts en heure : heures machines : clim. 2h, vent. 2h heures main d œuvre : clim. 3h, vent. 1h Le nombre d heures d utilisation est limité : les machines peuvent travailler 240h et les humains 140h. De plus, les profits ne sont pas les mêmes : 25 ArcCoins par clim. contre 15 par vent. Evidemment, l entreprise souhaite optimiser ses bénéfices. 1. Résumer l ensemble sous la forme d un tableau 2. Si x 1 et x 2 sont les nombres de clim. et de vent., quelle est l équation des profits que l on souhaite maximiser? Opt. prog. linéaire Cherche à résoudre les problème où la linéarité apparaît dans : La fonction score Les contraintes h machine / unité h main d œuvre / unité Profit en unité monétaire / unité Climatiseur Ventilateur h disponible Résumé de l ensemble des informations sous forme de tableau Profit, trouver max de y avec : y = 25.x x 2 Fonction score

7 Interaction Trouver la fonction score les contraintes du modèles Schématiser le pb Les contraintes en trouvant le polynôme des solutions possibles En trouvant une interprétation de la courbe de niveau de la fonction score Fonction score x 1 : nb de climatiseurs x 2 : nb de ventilateurs Max y = 25x 1 +15x 2 Approche géométrique (x 2 ) {16,105}? (et pas 140/3) Contraintes h machine 2x 1 +2x h main d œuvre 3x 1 +x Contraintes => polynôme des solutions Fct score => courbe de niveau (x 1 ) Opt. différentielle Même analogie que les systèmes linéaires avec des équations différentielles Attention aux pbs des minimum et maximaux locaux Les couleurs peuvent représenter des intensités par exemple Minimum / maximal locaux

8 Opt. sur graphe Exemple 1 Les régressions linéaires Régression linéaire de cette régression Opt. sur graphe Catégorie 1 Les régressions linéaires L optimisation par régression est un pb très complexe X1: cela fonction bien X2~4: visuellement faux Pour X2: pb de choix de fonction régressive Pour X3 et X4 : pb d outsider

9 Opt. sur graphe Catégorie 2 Problèmes relatifs à la phrase : «Le plus court chemin» Exemple: Quand une fourmi trouve de la nourriture F elle laisser une trace de phéromone qui s évapore avec le temps de F à N le nid Mais comment fontelles pour trouver le meilleur chemin? Trajet optimisé par les fourmis 1) la première fourmi trouve la source de nourriture (F), via un chemin quelconque (a), puis revient au nid (N) en laissant derrière elle une piste de phéromone (b). 2) les fourmis empruntent indifféremment les quatre chemins possibles, mais le renforcement de la piste rend plus attractif le chemin le plus court. 3) les fourmis empruntent le chemin le plus court, les portions longues des autres chemins perdent leur piste de phéromones Interaction Meilleure chemin pour traverser un lac de A à B sachant que Sachant que Le lac forme un cercle 0.2 < v1 < < v2 < 3.0 A v1 v2 B. Optimisions le trajet en minimisant l énergie utilisée

10 Mots de la fin Résumons le cours En observant la progression des chapitres Dans le contexte algorithmique Chap. : définir comment stocker l objet d étude Chap. : définir tout problème indépendant Chap. : définir tout problème interdépendant Chap. et : comprendre la nature de toute équation Chap. : définir tout problème dépendant de sa propre nature Chap. : optimiser tout type de problème en résumé ce cours présente une introduction au «tout» Nombre Relation Primitive Equation Equation Equation Equation Dérivée t Equation dif Cours de Master du Prof.. Bilat, HES SO / HE Arc Modélisation, optimisation, mathématiques. Dans ce monde tout est question d équilibre, Le nombre d or optimise tout modèle constructif

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