Exercices de Cosmologie

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1 Master 1 & 2 Exercices de Cosmologie Distance angulaire 1/ Dans un univers Einstein de Sitter, exprimer la distance angulaire d un objet vu à l époque t, en fonction de z puis en fonction de t, l âge actuel étant t 0. 2/ De même dans un univers de de Sitter, exprimer la distance angulaire en fonction de t = t 0 t. Ages 1/ Une galaxie est observée à z 10. Quel est son âge maximum si l univers actuel est un univers Einstein de Sitter de 13.7 Gyr? 2/ Dans un univers vide de matière sans constante cosmologique? 3/ Dans un univers vide de matière, k = 0, avec constante cosmologique (univers de de Sitter)? Quelques relations de base 1/ Dans un univers de courbure nulle trouver une expression de Ḣ. 2/ Pour un univers de matière, trouver l expression du paramètre de déccélération q 0 en fonction de Ω m et Ω Λ. 3/ On veut tracer avec un ordinateur les solutions R(t) de différents modèles cosmologiques. Comment procède-t-on? Egalité matière-rayonnement

2 On se place dans un univers FLRW classique (sans période d inflation). a) Comment trouve-t-on le redshift z eq de l époque d égalité matière rayonnement? b) Pour les paramètres cosmologiques obtenus par le satellite PLANCK, Ω m 0.32, H 0 67km/s/Mpc, quelle est la valeur numérique du redshift z eq? Le calculateur de Ned Wright donne comme époque correspondante ans. Temps de Planck Le temps de Planck est défini à partir de G, c, h: t P = hg c s a) Calculer l énergie à l époque correspondant à z eq. b) Calculer l énergie à l époque correspondant à t P. c) Calculer la taille de l horizon à cette époque l hp. d) Calculer l échelle physique correspondante aujourd hui? Horizon et fond cosmologique 1/ En supposant Ω M = 1 et k = 0, calculer la distance angulaire au fond cosmologique (Z = 1000). A.N. on prendra H 0 = 68 km/s/mpc. 2/ Exprimer la coordonnées r H de l horizon à cette époque (dans ce calcul, on négligera l existence d une période dominée par la radiation). 3/ En déduire la taille angulaire sur le fond cosmologique d une structure ayant comme taille le rayon de l horizon à cette époque. Neutrinos 1/ Une expérience de laboratoire indique une masse du neutrino électron de 0.4 ev. D autres expériences indiquent que les autres espèces de neutrinos ne

3 présentent pas de différences de masse avec le neutrino électron. Quelle contribution les neutrinos représentent-ils actuellement à la densité de l Univers? 2/ Comment varie cette densité de neutrinos en fonction du redshift? 3/ La loi de variation précédente est-elle valable à toute époque? Ionisation 1/ On suppose que η 10 = 6, calculer Ω b avec h = 0.7. En supposant que les baryons ne sont constitués que d hydrogène ionisé, estimer la densité numérique moyenne actuelle des électrons dans l univers (ρ c = 1, h 2 kg/m 3, m p = 1, kg). 2/ Comment évolue cette densité au cours de l époque, exprimée par le redshift z? 3/ Si l univers est totalement ionisé, exprimer l épaisseur optique τ du milieu le long de la ligne de visée jusqu au redshift z. Dans un univers Einstein de Sitter à quel redshift a-t-on τ = 1? Energie fantôme Pour expliquer l accélération de l expansion on introduit un fluide comme composante dominante du contenu de l univers et dont la pression P est reliée à la densité par l équation d état : (avec la convention c = 1). P = wρ 1/ Que vaut w pour un univers de poussières? Pour un univers de rayonnement? Pour une constante cosmologique? 2/ Dans un univers de concordance Ω m = 0.3, Ω λ = 0.7, à quel redhsift a-t-on une expansion qui s accélère? A quel redshift la matière est-elle dominante sur la constante cosmologique?

4 3/ Pour quelles valeurs de w a-t-on un univers accéléré? 4/ A partir de l équation de conservation de l énergie exprimez l évolution de ρ (par une intégrale contenant w(z).). 5/ Exprimez cette évolution au cours de l époque, en fonction du redshift z pour un cas où w est constant. 6/ Les cas w < 1. sont appelés modèles d énergie noire fantôme. Comment évolue la densité au cours de l expansion pour ces modèles? Un modèle d Univers 1/ a/ Ecrire l équation de Friedman-Lemaître du rayon de l univers R(t) pour un modèle sans courbure, dont le seul contenu est un milieu ρ v = cste (et donc sans aucun autre terme). b/ A quoi est équivalent le terme contenant ρ v? 2/ En déduire l expression de R(t). 3/ Rappeler la définition du paramètre de déccélération q 0 et calculer sa valeur dans ce modèle. Expliquer le sens physique du signe de q 0. 4/ Calculer l âge écoulé depuis l époque correspondant à z = 1. 5/ Calculer la distance angulaire dans ce modèle pour un objet vu à l époque correspondant à z. 6/ Comment se comporte cette distance quand z tend vers l infini? Photons lourds Dans certaines théories de gravité quantique, les photons sont massifs et voyagent donc à une vitesse v = c(1 ɛ), ɛ petit, dépendant de la fréquence. Une source lumineuse au redshift z émet des photons lors d un burst (sursaut)

5 dont la durée est de l ordre d une dizaine de secondes. 1/ Trouver l expression du retard du temps d arrivée des photons du fait qu ils soient massifs. 2/ Quelle grandeur peut-on précisément contraindre par l observation? 3/ La vitesse s écrit : v(e) = c(1 ξ E E QG ) dans laquelle E QG est une échelle d énergie de la gravité quantique. Exprimez le décallage temporel d arrivée de deux photons ayant une différence d énergie E. (voir Ellis et al. Astrop. Phys. 24, 402 (2006), et arxiv:astro-ph/ v6) Les corrélations des galaxies 1/ Rappelez la définition de la fonction de corrélation des galaxies. 2/ Quel est le lien avec le spectre de puissance? 3/ On prend comme modèle de galaxies isolées, une population de boules dures distribuées au hasard (celles-ci ne peuvant donc jamais se superposer). Estimer la fonction de corrélation des centres. Comment peut-on associer un spectre de puissance à ce processus? 4/ On prend pour la fonction de corrélation des galaxies: ( ) r 1.8 ξ(r) = r0 avec r 0 = 6.h 1 Mpc. Estimer l amplitude de fluctuation de densité moyenne due aux corrélations autour d une galaxie dans une sphère de rayon R? 5/ En déduire l amplitude associée de la fluctuation de la métrique. A quelle échelle R cette fluctuation vaudrait-elle 210 5?

6 Amas 1/ Rappelez l expression du profil de densité de Navarro, Frenk, White (NFW) en fonction de ρ s et r s ainsi que celle du paramètre de concentration c. Comment se comporte ce profil à petit rayon? A grand rayon? 2/ Monter que la masse intérieure au rayon r peut s écrire sous la forme: M(< r) = M v (ln(1 + cx) cx 1 + cx )/A où M v est la masse virielle, c un facteur dit de concentration et X = r/r v, r v étant le rayon viriel. 3/ Donner l expression de A et trouver une relation entre la densité virielle (densité moyenne dans r v ) et ρ s. 4/ On s intéresse à un champ de fluctuations isotrope dont le spectre est en loi de puissance : P (k) k n. Trouver la dépendance en r de la fonction de corrélation ξ(r). En déduire que l écart type des fluctuations moyennées sur une sphère de rayon r s écrit: σ(r) r 3+n 2 5/ a) Montrer qu on peut alors écrire σ sous la forme: σ(m) = (M/M ) 3+n 6 b) Indiquer ce que représente, qualitativement, la masse M. c) Dans un univers d Einstein de Sitter, trouver comment varie la masse M en fonction du redshift. d) En déduire l évolution de la température T associée. Pour quelle valeur de n cette température est-elle indépendante du redshift? BAO 1/ Rappelez l expression et le principe du calcul de la distance angulaire.

7 2/ a) Etablissez le calcul de R(t) dans un univers Einstein de Sitter. En déduire : b) l âge de l univers en fonction de la constante de Hubble, c) l expression de la distance angulaire en fonction du redshift. 3/ Rappelez ce qu on appelle le baryonic accoustic peak. 4/ Cette grandeur permet de définir une échelle spatiale de taille connue L. A partir d un catalogue de galaxies, on peut mesurer cette grandeur dans la direction transverse et dans la direction longitudinale. a) Indiquez comment on peut procéder à partir d un catalogue de galaxies pour faire apparaitre ces quantités? b) Donnez une expression théorique entre l observable et la grandeur L pour ces deux grandeurs.