Devoir 9 - Le 1er décembre - 4 heures

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1 Devoir 9 - Le 1er décembre - 4 heures Le barème est sur 70 points dont 2 points pour la présentation Les questions Q13, Q14, Q17, Q33 et Q34 peuvent être laissées de coté dans un premier temps. Calculatrice autorisée Célérité d une onde électromagnétique dans le vide : = ½¼ Ñ ¾ ½ Permittivité du vide : ¼= ½¼ ËÁ Pour << ½, (Ü+ ) (Ü)+ (Ü) Ü A Prise de vue et projection On étudie un appareil photographique numérique. Les objectifs de ces appareils sont constitués de nombreuses lentilles, ceci afin de diminuer les abbérations (chromatiques...). Dans cette étude, nous considérerons l objectif constitué d une seule lentillel. Objet + L ½ Capteurs La lentille est convergente, de distance focale ½ = ¾¼ ¼ ÑÑ. L image se forme sur une dalle de capteurs, située à une distance variable de l objectif. Chaque capteur (ou pixel) est un carré de coté. La dalle est constitués de pixels accolés sur un carré de coté =½ ÑÑ. Chaque ligne du capteur comporte Æ= ½¼ pixels. AI Mise au point Q1 (1pt) - L objet se situe à une distance = ¼ ¼¼ Ñ de l objectif. Déterminer la valeur de pour la mise au point. Q2 (2pt) - Quelle est l expression du grandissement en fonction de et, puis en fonction de et? Vérifier que = ½½¼ ¾ AII Photographie d une figure d interférences Un interféromètre de Michelson est éclairé par une lampe à blanche à laquelle on a ajouté un filtre coloré. La bande spatiale de ce filtre est telle que =¾¼ ÒÑ centré autour de la longueur d onde ¼ = ¼ ÒÑ. L interféromètre est réglé en coin d air, d angle =¾ ÑÒØÙØ (½ = ¼ ÑÒÙØ ). Q3 (1.5pt) - Pourquoi est-il possible de conserver le réglage de l appareil afin de prendre un cliché de la figure d interférence? A quelle distance du miroir faut-il placer l objectif de l appareil? Q4 (1pt) - Justifier qualitativement que les franges d interférences sont rectilignes. Q5 (3pt) - On note Ä la distance au niveau des capteurs entre deux franges brillantes. Exprimer Ä en fonction de ¼, et. Effectuer l application numérique. Q6 (1.5pt) - Combien de franges brillantes sera-t-il possible d obtenir sur l écran, en supposant la source ponctuelle? Q7 (3pt) - Ces franges brillantes auront-elles toutes un bon contraste? (La réponse doit s appuyer sur une étude quantitative). 1

2 Q8 (0.5pt) - L acquisition de la figure d interférence par la dalle de capteur se fait avec un échantillonnage selon chaque axe. Quelle est la largeur d échantillonnage? Q9 (1.5pt) - Vérifier que le critère de Shannon est bien respecté. Q10 (3pt) - Dans un programme python, on récupère sous forme d une liste nommée Á les valeurs d intensités pour une ligne de capteurs, une autre liste pour la position de ces capteurs. On que s il existe des maxima locaux de Á, la distance entre ces deux maxima correspond à la période spatiale de l intensité est un phénomène périodique. Proposer un programme ÔÖÓ(Á ) renvoyant la valeur de la période, ou 0 si le phénomène ne semble pas périodique, et ceci quelle que soit la taille de la liste. AIII Projection au vidéo projecteur On souhaite désormais projeter ce cliché grâce à un vidéo-projecteur que l on va modéliser par une simple lentille L ¾ = ¾ Ñ. Un système non précisé ici permet d obtenir un objet de coefficient de transmission Ø(Ü) correspondant au cliché obtenu précédemment : Ø(Ü)=½+Ó ( ¾Ü ) dans le plan Ç de l objet. Cet objet placé à une distance ¾ = ¼ Ñ de la lentille est éclairé en incidence normale par une lumière supposée monochromatique de longueur d onde ¼ = ¾ ÒÑ Objet ¾ + L ¾ Écran Q11 (0.5pt) - On place tout d abord l écran dans le plan de Fourier. A quelle distance de la lentille se situe ce plan? Dans ce plan de Fourier, on observe trois tâches lumineuses ponctuelles sur un même axe colinéaire à ÇÜ. La tâche centrale, plus lumineuse, est située sur l axe optique et les deux autres tâches de part et d autre, à égale distance de la tâche centrale. Q12 (1.5pt) - Justifier par un schéma que l on peut alors considérer l onde transmise par l objet comme une superposition de trois ondes planes se propageant dans le plan ÜÇÞ, avec des directions faisant un angle±«avec l axe ÇÞ ou colinéaire à celui-ci. Q13 (2pt) - An notant ½, ¾ et l amplitude de ces trois ondes, écrire l onde transmise en fonction de ces amplitudes, de la pulsation, de la longueur d onde ¼, de «et de la coordonnée Ü È du point È au niveau de l objet. Q14 (2pt) - Trouver la relation entre les amplitudes ainsi que la relation Ò«= ¼ (Ù) On donne ci-contre les coefficients du spectre de Fourier correspondant à l objet en fonction de la fréquence spatiale Ù= Ò«pour une onde diffractée dans une direction. ¼ ½ Ù Q15 (2pt) - Donner l allure, en le justifiant, de l intensité en un point Å(Ü Å ) de l écran placé dans le plan de Fourier en notant les abscisses des maxima en fonction de ¾, ¼ et. Le raisonnement devra être clairement expliqué. 2

3 On place désormais l écran dans le plan conjugué de l objet afin d en observer l image. Celle-ci manque de contraste. Pour augmenter ce contraste, on dispose de trois filtres constitués de fentes très longues dont la vue en coupe est fournie ci-dessous : Filtre 1 Fitre2 Filtre3 ¾ ¼ ¾ ¼ ¾ ¼ Q16 (0.5pt) - Où doit-on placer ces filtres pour effectuer du filtrage spatial? Q17 (3pt) - Expliquer l effet attendu de chacun de ces filtres sur l image projetée sur l écran. B Stabilisateur d image La plupart des appareils photographiques sont munis de stabilisateurs d image. Ces dispositifs utilisent des accéléromètres afin de contrôler au mieux la prise de vue. Cette partie développe le principe de fonctionnement d un accéléromètre capacitif. B-1 Champ crée par une surface infinie On considère le plan Ç portant une densité surfacique de charges uniforme. On se place en un point Å(Ü Ý Þ) quelconque en dehors du plan. On définit la base ( Ü Ý Þ ) associée au système de coordonnées. Q18 (2pt) - Déterminer la direction pour le champ (Å) et exploiter les invariances. Q19 (3pt) - Déterminer l expression du champ (Å) pour Ü>¼. En déduire son expression pour Ü<¼. BI Capacité d un condensateur plan On étudie un condensateur constitué de deux surfaces planes coplanaires de surfaces Ë en regard, distants de. Les plaques portent des charges opposées É en Ü= ¾ et+é en Ü= ¾. Q20 (0.5pt) - On néglige les effets de bords. Expliquer cette expression. Q21 (2pt) - Déterminer l expression du le champ à l intérieur du condensateur. Q22 (3pt) - En déduire l expression de la capacité du condensateur = ¼Ë BII Accéléromètre à masse sismique Tandis que l une des plaques du condensateur est fixée au socle de l accéléromètre, l autre plaque (nommée masse sismique) est liée au socle par l intermédiaire d un ressort de raideur et de longueur à vide Ð ¼ et d un amortisseur de coefficient. On étudie le mouvement de la plaque mobile assimilée à un point matériel Å dont on admet que l accélération dans le référentiel terrestre a pour expression (Å) = [ĐÞ+ ¼ Ó ( ¼ Ø)] Þ L amortisseur exerce sur la plaque mobile une force = Þ Þ Þ Þ Ç Ressort Amortissements Plaque mobile ¼ Pour le ressort : =±(Ð Ð ¼ ) Þ avec Ð la longueur du ressort, le signe étant à définir. Q23 (1.5pt) - Déterminer la longueur à l équilibre du ressort en l absence de vibrations ( ¼ = ¼). On prendra l origine du repère à la position d équilibre de la plaque mobile. 3

4 Q24 (3pt) - Lorsque le socle de l accéléromètre subit des vibrations, déterminer l expression de l équation différentielle vérifiée par Þ. Cette équation peut se mettre sous la forme ĐÞ+ ¼ É Þ+ ¾ ¼ Þ= ¼Ó Ø. On observe ci-contre la réponse en fréquence (amplitude des oscillations de la plaque mobile). On peut déduire de ces courbes que : ½ Pour une valeur bien choisie du facteur de qualité É, l amplitude des oscillations sera proportionnelle à ¼ que l on souhaite mesurer, et ceci tant que la pulsation ne dépasse pas une certaine limite. Q=2 Q=½/ ¾ Q=0,2 Q25 (2pt) - Quelle valeur du facteur de qualité proposez-vous et quelle sera la limite des pulsations? ¼ ¼ On suppose cette condition établie. De plus les amplitudes des oscillations de la plaque mobile sont supposées très petites devant ¼, de sorte qu à chaque instant Þ ¼. Q26 (2pt) - On note ¼ = ¼Ë ¼ la valeur de la capacité pour la position d équilibre de la plaque. Montrer que pour une position quelconque de la plaque mobile, la capacité du condensateur prend pour expression ¼ (+Þ). Donner les expressions de et. C Télémétrie laser Les appareils photo à réglage automatique sont munis de détecteurs de distance afin d effectuer la mise au point. Différents systèmes de détections existent, l un d entre eux est le télémètre laser. Cette partie va se baser sur une analyse documentaire présentant : CI Document 1 : Modulation en fréquence d un laser Document 2 : Principe de télémètre par modulation en fréquence Modulation en fréquence d un laser Cette partie peut faire appel à l analyse du document 1. Q27 (3pt) - On suppose l indice du milieu entre les deux miroirs est assimilé à celui du vide. Déterminer l expression de la fréquence Ô associée au mode Ô dans cette cavité. Déterminer le mode Ô associé à la fréquence ¼ du laser. Discuter de la valeur numérique obtenue. Q28 (1pt) - Lorsque le terme "Longueur Ä ¾ variable" est utilisé dans le document 1, quel terme aurait du être employé à la place de "Longueur"? Q29 (1pt) - Déterminer l expression de Æ, la différence des fréquences entre deux modes Ô et Ô+½. Effectuer l application numérique. Q30 (1.5pt) - Afin d obtenir un laser monomode, quelle condition sur la bande passante en fréquence du milieu amplificateur, notée È, doit-on vérifier? Q31 (1.5pt) - On note l amplitude de modulation de la fréquence laser. Quelle relation doit-on vérifier entre et È? Q32 (1.5pt) - On note[ä Ú ] le chemin optique correspondant à un aller-retour dans la cavité. Justifier que Ô = Ô [Ä Ú ]. Q33 (3pt) - On considère maintenant l indice Ò ¾ = ½+ Ò sur la longueur Ä ¾. L indice sur la longueur Ä ½ est toujours assimilé à celui du vide. La variation Ò permet d obtenir une variation de la fréquence du mode Ô. 4

5 On suppose Ô << ½ et [Ä Ú] [Ä Ú ] << ½. On considère de plus que Ä ¾ = Ä Ú. Relier Ò et. Q34 (1pt) - Déterminer la valeur de Ò correspondant au passage d un mode au mode suivant. CII Retard de phase au niveau du récepteur Cette partie peut faire appel à l analyse du document 2. Q35 (2pt) - Exprimer en fonction de ¼, et le déphasage (Ø) entre les deux ondes au niveau du récepteur. Q36 (1.5pt) - Donner l expression de l intensité en fonction du temps, en notant Á ¼ l intensité maximum, et en considérant les deux ondes de même intensité. Q37 (1pt) - La modulation en fréquence est choisie avec une fréquence Ñ = ¼ ÀÞ et une amplitude = ½¼ ½¼ ÀÞ. Le signal en sortie du système de télémétrie est mesuré à une fréquence = ¾¼ ÀÞ. En déduire la distance mesurée. Q38 (1.5pt) - Comment peut-on relier la pureté spectrale d un laser à sa longueur de cohérence spatiale? 5

6 Annexe : Documents Document 1 : Modulation en fréquence d un laser Le micro laser YAG peut être modulé en fréquence. La fréquence de la lumière émise par ce laser a alors pour expression : = ¼ + (Ø) Afin d obtenir cette modulation, la cavité laser est constituée : Matériau Modulation laser D une première cavité de longueur Ä ½ constante formée par le matériau à gain. Son indice assimilé à celui du vide. D une seconde cavité constituée d un matériau électro-optique permettant d obtenir une longueur Ä ¾ variable en fonction de la tension (Ø) de fréquence Ñ appliquée à ses bornes. Faisceau de pompe =¼ ÒÑ Miroir d entrée Miroir de sortie Faisceau laser ¼ = ½¼ ÒÑ Matériau électro-optique L ensemble constitue une cavité Pérot Fabry ou Fabry Pérot : il s agit d un oscillateur ou résonateur optique. Pour le laser puce, elle est constituée du miroir d entrée et du miroir de sortie ( figure 4 ) en regard l un de l autre, distants de Ä Ú avec Ä Ú = ½¼ ÑÑ. Ces deux miroirs sont plans et parallèles. Ils sont partiellement réfléchissants ¾ (Ö> ±) mais aussi partiellement transparents, occasionnant des pertes. On considère cette cavité comme un oscillateur car les photons envoyés à l intérieur par le miroir d entrée vont effectuer des allers et retours entre les deux miroirs. À cause des pertes une partie des photons sortiront à chaque passage sur les miroirs. Ces pertes vont produire le faisceau laser. En réalité, sous l action du champ électrique, on va modifier l indice de réfraction du matériau électro-optique par l effet Pockel et, par le fait du couplage, modifier la longueur de la cavité Pérot Fabry du laser. Dans le cas d une détection cohérente, il est important d avoir un émetteur laser monomode longitudinal transverse avec une grande pureté spectrale. Document 2 : Télémétrie laser par modulation de fréquence La fréquence d un micro-laser accordable varie avec une fréquence Ñ entre ¼ et ¼ + La fréquence moyenne de ce laser est ¼ = ¾ ¾½¼ ½ ÀÞ. La pureté spectrale de ce laser lui confèrera une longueur de cohérence suffisamment importante pour pouvoir effectuer des mesures de distances importantes. La distance entre la première lame séparatrice et le miroir supérieur est ¼ = ½¼ Ñ La lumière cohérente émise par le micro-laser est divisée par un séparateur de faisceau en deux parties : l une est transmise vers la cible, où elle est rétro-diffusée par la cible. On considère ici la cible fixe, de sorte que l onde rétro-diffusée conserve la même fréquence. la seconde est renvoyée vers le détecteur. Le récepteur détecte l intensité due à l interférence des deux ondes précédemment citées. Cette intensité varie en temps, en raison de la différence de trajet entre la cible et l émetteur. Le traitement des signaux issus du récepteur d une part et du signal modulant d autre part permet d obtenir en sortie un signal périodique de fréquence = ¾( ¼ ) Ñ 6