Serie 1. 3) Montrez que A \ B et A \ B sont deux evenements mutuellement exclusifs. Serie 2

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1 1 EXERCICES Le cours comprend des series d'exercices, essentiels pour l'assimilation de la matiere du cours, a rendre chaque semaine. Certains exercices devront ^etre resolus en utilisant le logiciel MINITAB. On conseille vivement de resoudre ces exercices individuellement an que l'on puisse se rendre compte des dicultes que vous rencontrez. Dans certains cas limites, le nombre d'exercices rendus peut inuencer la note de l'examen. Par exemple, une moyenne generale de 5.75 peut conduire a une note de 6 ou de 5.5 selon le nombre d'exercices rendus.

2 2 Serie 1 1) En utilisant des diagrammes de Venn, hachurez l'aire correspondant aux evenements suivants: (a) A \ B ; (b) A \ B ; a (c) A [ B ; (d) (A \ B) [ ( A \ B) 2) Soit S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ; A = f1; 2; 3; 4g ; B = f3; 4; 5g Pour chaque cas de l'exercice precedent, indiquez les nombres qui appartiennent a l'evenement correspondant. 3) Montrez que A \ B et A \ B sont deux evenements mutuellement exclusifs. 4) Un sondage eectue aupres de 500 Vaudois revele que 416 personnes lisent le journal 24 Heures, 210 la Tribune du dimanche, 60 le Temps, 190 les journaux 24 Heures et la Tribune du dimanche, Heures et le Temps, 14 la Tribune du dimanche et le Temps, 6 les trois journaux. Calculer: (a) Combien de personnes ne lisent aucun de ces journaux; (b) Combien de personnes ne lisent que le Temps; (c) Combien de personnes ne lisent que 24 Heures. Serie 2 1) Six livres dierents sont places les uns a c^ote des autres, au hasard, sur le rayon d'une bibliotheque. Calculez la probabilite que deux d'entre eux (A et B) se trouvent l'un a c^ote de l'autre. 2) Combien de commissions de 5 membres peut-on former avec neuf deputes? 3) Soient x =(1=n) Pn i=1 x i ; y =(1=n) Pn i=1 y i ; m = ax + by Montrer que nx V x =(1=n) (x i 0 x) 2 ; V y =(1=n) (y i 0 y) 2 i=1 i=1 nx nx V xy =(1=n) (x i 0 x)(y i 0 y) i=1 (1=n) [(ax i + by i ) 0 m] 2 = a 2 V x + b 2 V y +2abV xy i=1 nx 4) Soient: Q j = hx nx q ij et W = p j Q j i=1 j=1

3 3 Montrer que: hx nx p j q ij i=1 j=1 Serie 3 = W 1) Supposons qu'il y ait dans le canton de Vaud 200'000 automobiles avec des plaques numerotees de 1 a 200'000. Quelle est la probabilite que le premier chire de la plaque d'une auto vaudoise choisie au hasard soit 1? 2) Pour un seul coup de de, donnez la probabilite d'obtenir: a) un nombre pair b) un multiple de 3 c) un nombre pair ou un multiple de 3. 3) Une piece de monnaie est lancee en l'air 3 fois. Quelle est la probabilite qu'elle ne montre pas toujours le m^eme c^ote? 4) Une machine est composee de deux parties independantes, A et B. Si l'une ou l'autre de ces parties casse, la machine s'arr^ete. La probabilite que la partie A casse au cours d'une annee est de 1/5, tandis que la probabilite que la partie B casse est de 1/6. Donnez la probabilite que la machine s'arr^ete au cours d'une annee. Serie 4 1) Une organisation de consommatrices veut analyser la qualite d'une certaine marque d'appareils de radio. 5 radios sont choisies au hasard dans le stock des radios d'un magasin et la qualite est jugee satisfaisante si on ne trouve rien d'anormal dans les 5 appareils. Quelle est la probabilite que la qualite soit jugee satisfaisante si 10% des appareils fabriques sont defectueux? 2) Avant d'engager des employes, une grande entreprise eectue un test d'aptitudes sur tous les candidats. An de juger de la valeur du test, un echantillon de candidats qui n'ont pas reussi le test sont tout de m^eme engages. Le 30% des candidats a reussi le test. Parmi eux, le 80% travaille de maniere satisfaisante. 10% seulement des candidats qui n'ont pas reussi le test travaille de maniere satisfaisante. Quelle est la probabilite qu'un candidat choisi au hasard travaille de maniere satisfaisante? 3) Dans un supermarche, on trouve 150 cartons d'oeufs, 100 de cette semaine et 50 de la semaine precedente. Une menagere prend au hasard deux cartons. a) Quelle est la probabilite que les deux cartons soient de cette semaine? b) Si les cartons sont choisis apres qu'on en ait vendu 50, quelle est la probabilite de choisir 2 cartons de cette semaine? c) Quelle est la probabilite que les deux cartons soient de cette semaine si l'on sait qu'au moins l'un des deux est de cette semaine?

4 4 Serie 5 1) On a compare les resultats que les etudiants obtiennent en premiere annee a l'ecole des HEC avec leurs examens de maturite. Parmi les etudiants ayant reussi l'examen de premiere annee on trouve 80% d'etudiants avec d'excellents resultats aux examens de maturite. Ce pourcentage est de 40% parmi les etudiants n'ayant pas reussi l'examen de premiere annee. Si l'on sait que le 60% des etudiants reussit l'examen de premiere annee, qu'elle est la probabilite qu'un etudiant avec d'excellents resultats aux examens de maturite reussisse les examens de premiere annee? 2) Le 10% des employes d'une entreprise a fait des etudes superieures et le 70% d'entre eux occupe des postes dans le secteur administratif. Parmi les employes qui n'ont pas fait d'etudes superieures on en trouve 20% dans l'administration. Si l'on choisit au hasard un employe de l'administration, quelle est la probabilite qu'il ait fait des etudes superieures? 3) On a observe pendant 500 jours les cours des actions de deux societes. Les resultats sont rassembles dans le tableau suivant: Action B Action A ou (+) indique que le cours a augmente, (0) qu'il n'a pas change et (-) qu'il a diminue. Le nombre 156 indique par exemple qu'il y a eu 156 jours ou les cours des deux actions ont augmente. Quelle est la probabilite que le cours de l'action B augmente etant donne que celui de l'action A reste inchange? Serie 6 1) Un employe de la division titres d'une banque ne trouve plus une che concernant l'achat de 100'000 Fr d'obligations. Il aimerait savoir s'il doit commencer a chercher cette che dans les dossiers des caisses de pension ou dans ceux des autres clients. Selon les statistiques du chef de service, la probabilite qu'une transaction porte sur un titre suisse est de 80% lorsque l'acheteur est une caisse de pension et de 30% lorsqu'il s'agit d'un autre client. D'autre part, les 10% des clients de la banque sont des caisses de pension. Si le titre achete est une obligation suisse, quelle est la probabilite que le client soit une caisse de pension? 2) Une entreprise de construction recoit des briques de deux fabricants. Les briques ont la m^eme forme et ne peuvent pas ^etre dierenciees. En prenant des briques du

5 5 magasin, on s'apercoit qu'elles sont defectueuses. L'entreprise voudrait savoir qui est le fabricant fautif. Elle recoit 40% des briques de l'entreprises A et 60% de l'entreprise B. D'autre part, les briques defectueuses ont ete livrees le mois de septembre de l'annee passee. Le 10% des briques recues du fabriquant A, pendant l'annee passee, a ete livre le mois de septembre. Le pourcentage pour le fabriquant B est de 20%. Calculer les probabilites a priori et a posteriori que les briques fabriquees proviennent du fabricant B. 3) Lorsqu'une machine est correctement reglee elle produit en moyenne 2% de pieces defectueuses. S'il y a des fautes de reglage on obtient 6% de pieces defectueuses. La probabilite d'une faute de reglage est de 0.4. Avant de commencer une nouvelle serie de pieces, on prend au hasard 1 piece pour la contr^oler. Si l'on trouve qu'elle est defectueuse, quelle est la probabilite que la machine soit correctement reglee? Serie 7 1) Une entreprise vend des bougies electriques pour le sapin de Noel. Le 5% des bougies fabriquees sont defectueuses. Ce produit est vendu dans des bo^tes contenant 20 bougies. Une garantie, incluse dans chaque bo^te, precise qu'un contr^ole de toutes les ampoules est trop co^uteux mais que la bo^te sera remplacee gratuitement si elle contient plus de 2 bougies defectueuses. Calculer la probabilite qu'il faille remplacer une bo^te de bougies. 2) Dans une serie de tests d'un relais electrique, on a trouve que dans 5% des epreuves, le relais ne fonctionne pas. Quelle est la probabilite que, dans 10 epreuves, le relais ne fonctionne pas une ou plusieurs fois? 3) Une maison de transports routiers achete 10 pneus pour ses camions. a) Si 5% des pneus achetes durent en moyenne moins de six mois, quelle est la probabilite qu'il y ait plus de deux pneus a changer en un semestre? b) Indiquer des objections possibles contre l'utilisation de la distribution binomiale dans ce cas. 4) Une machine fabrique des objets dont 10% sont generalement defectueux. On examine chaque heure les objets produits en prenant un echantillon. Si, dans l'echantillon, on ne trouve pas d'objets defectueux, on laisse continuer la machine pour une autre heure sans la regler. Quelle doit ^etre la grandeur de l'echantillon pour que la probabilite que la machine ne soit pas arr^etee, a coup s^ur, ait une valeur inferieure ou egale a 0.01? Serie 8 1) Soit un ensemble de personnes dont la taille peut ^etre representee par une distribution normale, avec une moyenne de 175 cm et un ecart-type de 15 cm. Quelle est la probabilite qu'une personne choisie au hasard ait une taille entre 150 et 200 cm?

6 6 2) On jette une piece de monnaie 64 fois. Quelle est la probabilite d'avoir entre 30 et 35 "faces", bornes comprises? 3) Une machine fabrique des petites roues ayant un diametre de 1 cm. En realite, les diametres sont des valeurs distribuees selon la loi normale avec une moyenne de 1.01 cm et un ecart-type de 0.02 cm. Si on a une tolerance de 0.02, c'est-a-dire si les petites roues doivent avoir un diametre entre 0.98 et 1.02 cm, quelle est la probabilite d'avoir une petite roue acceptable? 4) Si 10% des epingles fabriquees par une machine sont defectueuses, quelle est la probabilite approximative que le pourcentage d'epingles defectueuses dans une bo^te de 200 epingles soit superieur a 15%? Serie 9 1) On lance un de et l'on recoit un nombre de francs correspondant au numero de la face sortie. Calculer l'esperance de gain de ce jeu. 2) Montrer que E(x 0 c) 2 atteint un minimum lorsque c = E(x). 3) Supposons que 50% des accidents d'automobile causent des dommages de Fr ; 40% des dommages de Fr et 10% des dommages de Fr Si une automobile a 5% de chance d'avoir un accident, quelle est la valeur esperee du dommage d^u a l'accident possible? 4) Le co^ut d'un billet de loterie est de 2 Fr. La societe organisatrice tire au sort 5 billets. Chaque numero sorti gagne 50'000 Fr. Calculer le gain espere d'une personne qui achete un billet. Les billets vendus sont 250'000. Serie 10 1) Une petite entreprise fonctionne avec deux equipes d'employes qui se relayent. Dans une m^eme journee, X est le nombre d'absents dans la premiere equipe et Y celui de la deuxieme. Le responsable du personnel a observe la repartition suivante du nombre d'absences: XnY :05 0:05 0: :05 0:10 0:25 0: :15 0:10 0:05 (a) Calculer la probabilite qu'il y ait plus d'absents dans la premiere equipe que dans la deuxieme;

7 7 (b) Donner la fonction de repartition du nombre total d'absences journalieres; (c) Calculer le nombre attendu d'absences dans la premiere equipe ainsi que la variabilite du nombre d'absences; (d) Verier sur cet exemple que E(X+Y) = E(X) + E(Y); (e) Est-ce que le nombre d'absences dans chaque equipe sont des grandeurs independantes? Pourquoi? En cas de reponse negative, donner une mesure de la dependance. Selon cette mesure, est-elle importante? 2) Dans le village V, 50% des gens ont une voiture et 50% n'en ont pas. Si l'on demande a un villageois de V s'il a une voiture, il dit la verite dans 80% des cas. Soit X la reponse donnee par le villageois (0=non, 1=oui) et N le nombre de voitures qu'il possede (0 ou 1). (a) Calculer la correlation entre X et N ; (b) Interpreter le resultat obtenu. 3) Un fonds permet a l'universite de Lausanne de decerner deux bourses. Une premiere selection a retenu 10 candidats. Parmi ceux-ci, il y a 5 etudiants et 2 etudiantes provenant du canton de Vaud et 2 etudiants et 1 etudiante d'une autre origine. L'Universite decide de proceder par tirage au sort. Elle considere que le choix nal ne sera juste que si le tirage est fait au hasard, sans remise. Soit X le nombre d'etudiantes recevant une bourse et Y le nombre de personnes d'origine non vaudoise et recevant une bourse. (a) Donner la loi de (X,Y); (b) Si l'on sait que dans le choix nal il y a une personne dont l'origine n'est pas le canton de Vaud, quelle est la loi de X? (c) Calculer l'esperance mathematique de la loi obtenue sous (b); (d) Y a-t-il un lien entre X et Y? Serie 11 1) Dans une administration publique, on a constate, sur une periode de 200 jours, 800 cas d'employes qui arrivent en retard au travail. Supposons que le nombre journalier de personnes arrivant en retard au travail suive la distribution de Poisson. a) Si l'on prend un jour au hasard, quelle est la probabilite qu'il y ait 5 ou plus d'employes en retard? b) Est-ce qu'on pourrait utiliser la distribution binomiale? 2) Une usine fabrique des ampoules electriques dont 1% sont defectueuses. Quelle est la probabilite d'avoir, sur un echantillon de 200 ampoules: a) Une ampoule defectueuse? b) De 0 a 2 ampoules defectueuses?

8 8 3) Une etude des greves importantes qui ont eu lieu en Grande Bretagne entre 1948 et 1959 revele les chires suivants: nombre hebdomadaire de nouvelles greves: frequence: Calculer la probabilite que le nombre hebdomadaire de nouvelles greves soit superieur a 1. 4) Un vendeur de micro-ordinateurs assure un service gratuit en cas de pannes pendant la duree de la garantie. Il desire alors conna^tre la probabilite que les clients utilisent ce service. En choisissant au hasard les ches de 100 clients, il obtient les chires suivants: nombre de pannes (x): nombre de clients avec x pannes: Calculer la probabilite recherchee. Serie 12 1) Le gerant d'une buvette utilise un barometre pour prevoir le temps. Les previsions de cet appareil ne sont pas toujours exactes. Dans 30% des jours de pluie il prevoit du beau temps tandis que dans 20% des jours de beau temps il prevoit de la pluie. Les statistiques des annees precedentes revelent une frequence de 60% pour les jours de beau temps et de 40% pour les jours de pluie. Le barometre prevoit du beau temps. Calculer la probabilite que cette prevision soit exacte. 2) Une personne gere la buvette d'un stade de football. Elle recoit une indemnite xe de Fr par jour d'ouverture et elle a la possibilite d'engager de une a trois sommelieres. Les ventes dependent du temps et du personnel engage. S'il pleut une sommeliere sut tandis qu'en cas de beau temps il y a du travail pour trois sommelieres. Les pertes implicites brutes sont les suivantes: Temps nombre de sommelieres engagees Beau Pluie

9 9 Avant de prendre une decision quant au nombre de sommelieres a engager, le gerant regarde le barometre dont il est question dans le probleme 1 ci-dessus. Si le barometre prevoit du beau temps, quelle est la decision a prendre lorsqu'on desire minimiser les pertes implicites esperees? Etayer votre reponse. 3) Une entreprise possede trois machines qui produisent des boulons. La machine la plus recente a une plus grande capacite de production que les autres et elle est plus precise. On a en eet les chires suivants: Machine Pourcentage de la Pourcentage de production totale boulons defectueux A 10% 5% B 40% 2% C 50% 1% Un boulon est examine et il resulte defectueux. Quelle est la probabilite qu'il ait ete produit par la machine A? 4) Le president d'une classe de contemporains organise un d^ner. Il recoit 50 inscriptions mais les desistements de derniere minute, toujours possibles, l'incitent a envisager une reservation pour un nombre inferieur de personnes. En eet, il a remarque que le nombre de personnes inscrites mais ne pouvant pas venir suit une loi de Poisson avec une moyenne de 2 personnes. Le co^ut du d^ner est de 20 Fr par personne et le restaurant facture 5 Fr par personne manquante. D'autre part, des commandes supplementaires sont facturees a 30 Fr par personne, le prix normal du menu retenu. Determiner le nombre de reservations qui minimise le co^ut espere du d^ner. Serie 13 1) Une fabrique de televisions a le choix entre trois types de circuits pour ses appareils. Le type A co^ute Fr mais il arrive parfois que pendant le transport il se deregle (frequence de pannes 4%). Le type B co^ute Fr et la frequence des pannes est de 2%. Le type C co^ute Fr et la frequence des pannes est de 1%. Les reparations co^utent Fr Quel type de circuit faut-il choisir? 2) Une personne est responsable de l'inventaire d'une pharmacie. Elle constate que les ventes d'un certain produit suivent la loi de Poisson avec une moyenne de 2 par mois. Le produit est vendu Fr et il co^ute Fr a la pharmacie. Les bo^tes invendues doivent ^etre detruites car le produit ne se conserve pas au-dela d'un mois. Si un client desire le produit et que le stock est epuise, le magasinier doit aller le chercher dans une autre pharmacie et dans ce cas le co^ut total du produit passe a Fr Quel est le nombre de bo^tes qui doivent ^etre stockees se l'on veut minimiser les pertes implicites? 3) Le responsable d'un kiosque veut determiner le nombre de copies d'une certaine revue qu'il convient d'acheter. Le prix de vente de la revue est de Fr. 1.- et le co^ut

10 10 pour le kiosque de Fr Les copies invendues peuvent ^etre renvoyees a l'editeur et elles sont remboursees selon le schema suivant: Jusqu'a 500 copies Fr De 501 a 1000 copies Fr Plus de 1000 copies Fr Une statistique eectuee pendant 100 semaines revele les informations suivantes: nombre de copies vendues nombre de semaines Calculer le nombre de copies a acheter si l'on veut maximiser le prot espere. Serie 14 1) Un p^atissier prepare des b^uches de Noel. Les co^uts de production de 10 b^uches sont: 10 Fr de frais xes et 4 Fr par unite; au total 50 Fr. Le prix de vente est de 10 Fr et les p^atisseries invendues sont jetees. Les clients de la p^atisserie sont 50 et la probabilite qu'un client achete une b^uche est de 10%. Calculer le nombres de b^uches a preparer si l'on veut maximiser le prot espere. 2) Un club organise chaque annee un tournoi de football. Il vend des maillots avec le nom du tournoi et l'annee. Les annees precedentes, la demande a ete: nombre d'unites demandees: nombre de fois (annees): Le prix de vente d'un maillot est de 25 Fr et le co^ut est de 15 Fr. les maillots invendus sont donnes aux membres qui ont participe a l'organisation du tournoi. Calculer le nombre de maillots a fabriquer si l'on veut minimiser les pertes implicites. 3) Un kiosque vend chaque week-end une quantite variable de sandwiches, selon le temps et le nombre de touristes qui visitent la ville. Voici les quantites demandees pendant les 50 derniers week-ends: quantite de sandwiches (x): nombre de week-ends avec x sandwiches demandes:

11 11 Le prix de vente des sandwiches est de 3 Fr. Le kiosque les achete aupres d'une entreprise specialisee. Le prix de revient est de 2 Fr et les quantites invendues sont jetees. Calculer le nombre de sandwiches a commander si l'on veut maximiser le prot espere. 4) Une fabrique de produits laitiers etudie la possibilite d'introduire une nouvelle sorte de yoghourt. Selon ses estimations, la probabilite d'avoir des ventes faibles, moyennes et fortes est, respectivement, de 20%, 50% et 30%. Avant de vendre ce nouveau produit a l'echelle nationale, elle peut eectuer un test dans une region representative. Voici les resultats obtenus avec les produits similaires que la fabrique a introduit ces dernieres annees: ventes dans la region representative ventes a l'echelle nationale faibles moyennes fortes faibles moyennes fortes La fabrique escompte vendre 20'000 yoghourts si les ventes sont faibles, 50'000 en cas de ventes moyennes et 100'000 lorsque les ventes sont fortes. Les co^uts sont estimes a 8'000 Fr de frais xes plus 0.40 Fr par yoghourt produit. La production peut ^etre adaptee a la demande. Le yoghourt est vendu a 0.60 Fr. Aucun gain n'est realise lors des ventes preliminaires dans la region representative mais les frais xes sont de 1000 Fr. Indiquer la decision a prendre si l'on veut maximiser le prot espere. Serie 15 1) Supposons que le nombre d'avions qui arrivent a unaeroport chaque 30 minutes suive la loi de Poisson avec une moyenne de 100. Utilisez l'inegalite de Chebyshev pour determiner une limite inferieure a la probabilite que le nombre d'avions qui arrive chaque 30 minutes soit entre 80 et ) Si l'ecart-type des poids des personnes d'un certain ^age est de 5 kg, quelle est la probabilite que le poids moyen d'un echantillon aleatoire de 100 personnes de cet ^age diere de plus de 1 kg de la vraie moyenne? 3) Un chercheur veut estimer la moyenne d'une population en utilisant un echantillon ou on a une probabilite de 95% que la moyenne de l'echantillon ne diere pas de la vraie moyenne de plus de 25% de l'ecart-type. Quelle est la grandeur de l'echantillon qu'il doit prendre? 4) Resoudre le probleme 2 dans le cas ou la population est de 500 personnes seulement.

12 12 Serie 16 1) Supposons que le temps qu'une caissiere d'un supermarche consacre a chaque client suive une distribution normale avec un ecart-type de 0.75 minutes. Un echantillon aleatoire de 225 clients montre que le temps moyen est de 2.5 minutes par client. Determiner un intervalle de temps de telle facon que la probabilite que la vraie moyenne se trouve dans l'intervalle soit de 80%. 2) Supposons que la duree de vie d'une qualite d'ampoules electriques soit distribuee selon une loi normale avec un ecart-type de 100 heures. On prend un echantillon aleatoire de grandeur 100 et on trouve que la duree de vie moyenne est de 1022 heures. a) Determiner un intervalle de telle maniere que la probabilite que la vraie moyenne se trouve dans l'intervalle soit de 90%. b) La reponse sous (a) sera-t-elle dierente si la duree de vie suit la loi uniforme? c) Quelle doit ^etre la grandeur de l'echantillon si la longueur totale de l'intervalle est de 20 heures (avec une probabilite de 90%)? 3) Supposons que la distribution des revenus d'une nation suive la loi de Pareto avec un ecart-type de Fr Un echantillon de 100 revenus donne une moyenne de Fr Calculer un intervalle de conance de 95% pour la moyenne de la population. Serie 17 1) Dans une grande ville, on veut estimer le pourcentage de menages qui disposent d'une machine a laver la vaisselle. On n'a aucune idee du pourcentage possible et on veut estimer cette valeur avec un echantillon de telle maniere que l'estimateur ne diere pas plus de 3% de la vraie valeur, avec une conance de 95%. Combien de menages faut-il choisir au hasard? 2) Pour tester l'eet d'un nouveau type de fourrage, on donne a 100 animaux une ration de ce fourrage pour deux semaines. On constate une augmentation de poids moyenne de 42 gr. avec un ecart-type s de 11 gr. Calculer l'intervalle de conance a 95% pour la moyenne de l'augmentation des poids de la population. 3) Supposons que x et y soient les moyennes de deux echantillons de grandeur n d'une population normale avec un ecart-type. Calculer la valeur de n de telle maniere que la probabilite soit de 0.99 que les deux moyennes dierent de moins de 0:1. 4) Un echantillon de 16 cigarettes a ete teste pour analyser le contenu en nicotine. On trouva un moyenne de 22 milligrammes avec un ecart-type s de 4 mgr. Trouver l'intervalle de conance a 95% pour la vraie moyenne, en supposant une distribution normale du contenu en nicotine.

13 13 Serie 18 1) Supposons que le temps necessaire pour executer un certain travail suit la loi normale avec un ecart-type de 15 minutes. On veut estimer le temps moyen avec un echantillon dont la moyenne ne doit pas dierer de plus de 3 minutes de la vraie moyenne, avec une probabilite d'erreur de 1% au maximum. Quelle doit ^etre la grandeur de l'echantillon? 2) On a teste 100 fois un distributeur automatique de billets et on a constate que dans 10 cas il ne fonctionne pas. Calculer les limites de conance a 90% pour la vraie proportion d'echecs. 3) Un acheteur d'ampoules electriques a teste 150 ampoules de la marque A et 200 ampoules de la marque B. Il a trouve 18 ampoules defectueuses de la marque A et 14 de la marque B. Calculer les limites de conance a 95% de la dierence des proportions de pieces defectueuses. 4) Avant d'acheter une livraison de betteraves, une sucrerie decide d'analyser un echantillon de 16 betteraves. On sait par experience que le contenu en sucre suit la loi normale. L'analyse de l'echantillon donne une moyenne de 200 gr. avec un ecart-type s de 18 gr. Determiner un intervalle de conance a 99% pour la moyenne de la population. Serie 19 1) Un echantillon aleatoire de 9 distributeurs automatiques de billets donne les recettes suivantes: On suppose que les recettes sont distribuees selon la loi normale. Calculer un intervalle de conance a 95% pour la moyenne de la population. 2) Une maison de vente par correspondance indique dans son catalogue que le temps moyen entre la reception de la commande et l'expedition de la marchandise est de 48 heures. Le responsable du service a la clientele recoit des plaintes depuis un certain temps. Il decide alors de verier l'indication donnee. Une analyse de 9 commandes choisies au hasard donne les temps suivants (en heures): Calculez un intervalle de conance a 95% pour la moyenne donnee dans le catalogue. Supposez que le temps necessaire pour une commande suit la loi normale. 3) L'Oce federal de la sante publique desire estimer la teneur moyenne en nitrites des saucisses fabriquees par l'entreprise X. Voici les resultats (en mg) des analyses de 9 saucisses:

14 14 Calculer un intervalle de conance a 99% en supposant que la teneur en nitrites des saucisses suit un loi normale. 4) Le chef du personnel d'une grande entreprise veut determiner le nombre moyen d'absences le lundi matin. Voici les absences observees pendant 10 semaines: Calculer un intervalle de conance a 95% pour la moyenne de la population. Supposer que les absences suivent une loi normale. Serie 20 1) Est-ce que le courrier que la redaction d'un journal recoit peut ^etre considere comme un echantillon aleatoire de l'opinion des lecteurs d'un journal? 2) Les compagnies d'aviation laissent souvent un questionnaire dans la poche des sieges de leurs avions an d'obtenir des informations concernant le service. Qu'est-ce que vous pensez de cette methode pour obtenir des informations? 3) Une enqu^ete sur les depenses pour l'alimentation a donne les resultats suivants: Taille du menage pourcentage de nombre de menages (nombre de personnes) la population dans l'echantillon x s ou plus Calculer un intervalle de conance a 99% de la moyenne des depenses pour l'alimentation de la population. 4) Un institut de sondage declare qu'il utilise un echantillon de 300 personnes dont 125 Alemaniques, 125 Romands et 50 Tessinois. La precision obtenue avec cet echantillon, toujours selon les declarations de l'institut, est de 6 5%. (a) Chercher le type de sondage utilise en sachant que les Alemaniques representent le 73% de la population suisse, les Romands le 23% et les Tessinois le 4%. (b) Calculer la probabilite associee a l'intervalle donne. Serie 21 1) Un verger contient 8 rangees d'arbres, chaque rangee contenant 8 arbres. Les arbres des 3 dernieres rangees sont plus jeunes que les autres et ont un rendement moindre.

15 15 Voici les rendements de ces arbres (en dizaines de kg) selon leur position dans le verger: (a) Proceder a un sondage stratie, les strates etant les 5 premieres rangees et les trois dernieres, les tailles des echantillons respectivement 6 et 2. On utilisera a cette n la partie encadree de la table de nombres au hasard (p. 21 de l'annexe), soit les deux premieres colonnes pour le premier strate (31/83/34/42/ etc), et les colonnes 6 et 7 pour le deuxieme (57/60/82/06/ etc). L'ordre sur les arbres est le suivant: les arbres de la premiere rangee viennent avant ceux de la seconde, ceux de la seconde avant ceux de la troisieme, etc..., et dans une rangee ils sont ordonnes de gauche a droite! (b) Evaluer la production moyenne par arbre sur la base de ce sondage. (c) Calculer un intervalle de conance a 95% pour cette production moyenne. 2) L'Oce charge des problemes de transport d'une ville desire determiner la consommation d'essence des menages. A cette n la ville est divisee en quatre regions ou l'on enregistre, pour chaque menage "sonde", la quantite d'essence (en litres) achetee au cours de la semaine ecoulee. L'information attenante est la suivante: Region I Region II Region III Region IV Taille strate Taille echantillon Moyenne echantillon Ecart-type echantillon (a) Estimer la quantite moyenne d'essence achetee par chaque menage. (b) Donner un intervalle de conance a 95% pour cette moyenne. (c) Supposons qu'il soit juge necessaire de tirer un echantillon de taille Quelle doit ^etre la taille des echantillons dans chaque strate si le sondage est: (c.1) proportionnel, (c.2) optimal (quelle hypothese doit-on faire dans ce dernier cas?)?

16 16 Serie 22 1) Une societe etudie la possibilite de fabriquer une nouvelle cigarette legere. Les co^uts necessaires pour la recherche et le developpement de ce nouveau produit sont de 350'000 Fr. Le marche potentiel est de 2 millions de paquets de cigarettes et la societe estime que sa part peut varier entre 5% et 25%. Les probabilites sont de 0.05 (pour 5% du marche), 0.2 (pour 10%), 0.4 (pour 15%), 0.25 (pour 20%) et 0.1 (pour 25%). Le prix de vente d'un paquet est de 3 Fr et le co^ut unitaire variable est de 2 Fr. Avant de prendre une decision, la direction fait eectuer un sondage aupres de 30 clients potentiels et elle obtient 6 reponses positives (20% du marche). Faut-il produire la nouvelle cigarette? 2) Un promoteur immobilier envisage la construction d'appartements de vacances dans une nouvelle station touristique. Son prot dependra du nombre d'appartements construits et du nombre de touristes frequentant la station. Le tableau ci-dessous presente les dierentes possibilites: nombre de touristes appartements construits faible moyen eleve Un institut specialise a eectue une enqu^ete aupres de 200 personnes frequentant differentes stations. Voici ses resultats: nombre de touristes inter^et pour la nouvelle station faible moyen eleve aucun faible moyen fort Selon les estimations du promoteur, la probabilite que le nombre de touristes soit faible est de 10%, celle que le nombre soit moyen de 50% et celle que le nombre soit eleve de 40%. D'autre part, un touriste choisi au hasard montre un faible inter^et pour la nouvelle station. Quel est le nombre d'appartements a construire si l'on veut maximiser le prot espere? 3) Une entreprise fabrique des instruments de haute precision. Le nombre d'instruments defectueux varie, selon les cas, de 2% a 10%. Les instruments sont fabriques

17 17 en serie de 800 unites. Un contr^ole approfondi de toute la serie permet d'eliminer les instruments defectueux mais il co^ute 2000 Fr. D'autre part, le remplacement d'un instrument defectueux co^ute 50 Fr. Selon les statistiques de la production, les frequences des dierents pourcentages de pieces defectueuses sont les suivantes: 0.3 pour 2% de pieces defectueuses; 0.3 pour 4%, 0.2 pour 6%; 0.1 pour 8% et 0.1 pour 10%. Un employe contr^ole trois instruments, choisis au hasard, d'une serie qui vient d'^etre terminee. Aucun instrument n'est defectueux. Faut-il contr^oler toute la serie si l'on veut minimiser les pertes implicites? 4) Une cha^ne de restaurants etudie la possibilite d'ouvrir un restaurant dans un nouveau quartier. Les clients potentiels sont 2000 et la proportion de personnes frequentant le restaurant pourra ^etre de 10%, 15% ou 20% selon la reaction des habitants du quartier. On estime que les probabilites de ces trois proportions sont, respectivement, 0.5, 0.3 et 0.2. Les co^uts xes annuels sont de 30'000 Fr et le prot prevu est de 100 Fr par client. Avant de prendre une decision, le responsable du projet fait eectuer un sondage aupres de 50 clients potentiels. Dix personnes pensent utiliser le restaurant. Quelle decision doit-on prendre si l'on veut maximiser le prot espere? Serie 23 (N.B. Prenez un seuil de signication de 5%.) 1) Supposons qu'on decide de rejeter une hypothese si on obtient deux fois "pile" avec deux jets d'une piece de monnaie. Calculer la grandeur des deux types d'erreur. 2) Un acheteur de briques pense que la qualite du produit s'est deterioree. D'apres l'experience des achats precedents, on sait que la resistance moyenne est de 400 kg et l'ecart-type de 20 kg. Un echantillon de 100 briques pris dans la derniere livraison donne une moyenne de 390 kg. Tester si les soupcons de l'acheteur sont conrmes. 3) Dans une entreprise avec 2500 employes, on suppose qu'en general on ne doit pas avoir plus de 2% d'employes qui ne se presentent pas au travail chaque semaine. Une semaine, on constate que 60 employes ne se sont pas presentes. Est-ce qu'il faut proceder a une investigation? Serie 24 (N.B: Prenez un seuil de signication de 5%.) 1) On veut analyser l'eet d'un engrais sur la production de ble. On eectue 10 experiences avec l'engrais et 10 sans engrais et on obtient les productions suivantes (en

18 18 kg): avec engrais 6:2 5:7 6:5 6:0 6:3 5:8 5:7 6:0 6:0 5:8 sans engrais 5:6 5:9 5:6 5:7 5:8 5:7 6:0 5:5 5:7 5:5 Est-ce que l'engrais fait augmenter la production? On suppose que les productions suivent une loi normale. 2) Pour analyser l'eet de la torrefaction sur le contenu en proteines des arachides, on donne a 10 rats des arachides torreees et a 10 autres des arachides non torreees. On obtient les accroissements de poids suivants: Avec arachides torreees Avec arachides non torreees Tester l'hypothese H o normale., en supposant que les accroissements de poids suivent une loi 3) On a enseigne une langue etrangere a deux groupes de 50 eleves chacun. Avec le premier groupe on a utilise lamethode A et le resultat d'un test de lecture est le suivant: x a =73:4 et s a =8 Avec le deuxieme groupe, on a utilise lamethode B et le resultat a ete: x b =70:3 et s b =10 Est-ce que les deux methodes donnent le m^eme resultat? 4) On a les pourcentages suivants de pieces defectueuses obtenus avec une production journaliere de 1000 pieces: 2:2 2:3 2:1 1:7 3:8 2:5 2:0 1:6 1:4 2:6 1:5 2:8 2:9 2:6 2:5 2:6 3:2 4:6 3:3 3:0 3:1 4:3 1:8 2:6 2:1 2:2 1:8 2:4 2:4 1:6 1:7 1:6 2:8 3:2 1:8 2:6 3:6 4:2 Construire le diagramme de contr^ole et indiquer s'il faut regler la machine. Serie 25 1) Une fabrique de papier envisage l'achat de metres cubes de bois. Une certaine proportion de ce bois ne peut pas ^etre utilisee pour la production de papier. Selon son

19 19 experience, cette proportion peut ^etre de 5%, ou 10%. Elle estime que les probabilites de ces proportions sont, respectivement, de 0.4 et 0.6. Le prix d'achat est de 200 Fr le metre cube et le prot brut du bois utilise est de 10 Fr le metre cube. Le bois inutilisable est revendu a 100 Fr le metre cube. La fabrique envisage d'examiner un echantillon aleatoire de 15 troncs d'arbres. Calculer la region critique optimale en prenant Ho: 5%. 2) Une fabrique de calendriers envisage de produire un nouveau calendrier illustre. Selon le projet prepare par le responsable de ces produits, la production de ce calendrier exige un investissement de 11'000 Fr pour les co^uts xes et le co^ut unitaire variable est estime a 8 Fr. Le prix de vente sera de 10 Fr. Le calendrier sera propose aux 2'000 papeteries qui vendent les produits de cette fabrique. Si une papeterie decide d'ajouter ce calendrier a son assortiment, elle achete un carton contenant 20 calendriers. Les representants de la fabrique estiment que le pourcentage de magasins qui achetent ce calendrier peut varier entre 5% et 20%. Pour simplier les calculs, on prendra les taux de 5%, 10%, 15% et 20%. Les probabilites de ces pourcentages sont, respectivement, de 0.35, 0.30, 0.20 et Avant de prendre une decision denitive, la fabrique prefere eectuer un sondage aupres de 50 papeteries choisies au hasard. Calculer la region critique optimale en prenant Ho: 5%. Utiliser le programme PBRCO. 3) Une conserie veut determiner le nombre de lapins de P^aques qu'elle doit preparer. Elle desire minimiser les pertes implicites esperees. Les clients sont 2000 et le pourcentage de clients qui achetent un lapin est de 20% ou de 30% selon les cas. En prenant les ventes des annees precedentes, on remarque que dans 45% des cas le pourcentage de clients achetant un lapin est de 20 (%). Le prix de vente est de 10 Fr par lapin et le co^ut de fabrication de 6 Fr. Les lapins invendus sont donnes a des oeuvres de bienfaisance. La conserie se demande si elle doit eectuer un sondage an de determiner le pourcentage de clients qui desirent acheter un lapin. Le co^ut du sondage est de 15 Fr par client interviewe. Determiner la grandeur optimale de l'echantillon et la decision a prendre en fonction du resultat obtenu en prenant Ho: 20%. Serie 26 N.B. Prenez un seuil de signication de 5%. 1) Les donnees suivantes representent le resultat d'une etude sur le nombre de garcons dans 32 familles ayant 4 enfants: nombre de garcons nombre de familles

20 20 Tester si la distribution binomiale (avec p=1/2) est applicable dans ce cas. 2) Un livre a 748 pages. Le nombre de pages ayant des erreurs typographiques se monte a: nombre d'erreurs (x) nombre de pages avec x erreurs Les erreurs suivent-elles la loi de Poisson? 3) Une entreprise veut conna^tre le type d'emballage prefere par les menageres. Le departement du marketing presente 4 types d'emballage a un echantillon de 200 menageres et obtient les resultats suivants: Type d'emballage: A B C D Nombre de menageres qui le preferent Les menageres ont-elles des preferences egales pour ces types d'emballages? 4) Une grande entreprise industrielle possede les donnees suivantes concernant les accidents de travail: Nombre d'accidents (x) Nombre de jours avec x accidents Les accidents suivent-ils la loi de Poisson? Serie 27 N.B. Prenez un seuil de signication de 5%. 1) Pour tester un medicament, on donne a 82 personnes des pilules faites de sucre. On a les eets suivants: Eet positif Eet negatif Pas d'eet Medicament Sucre Le medicament est-il ecace? Prenez un seuil de signication de 5%.

21 21 2) Les donnees suivantes representent la qualite d'un certain compose chimique trouve par des analyses journalieres: 12:7 12:3 13:2 12:8 13:6 13:1 12:6 12:4 14:1 13:3 13:4 13:1 12:6 12:9 13:0 12:4 14:6 13:8 13:4 12:7 13:5 12:5 L'experience des analyses precedentes avait permis de conclure que l'ecart-type etait de 0.5. a) Tester l'hypothese = 0:5 en utilisant les donnees ci-dessus. b) Trouver l'intervalle de conance a 95% pour. 3) Les donnees suivantes representent le nombre d'absences en une annee classie en: bas (B), moyen (M) et eleve (E), des 318 employes d'une administration. Premier semestre B M E B Deuxieme semestre M E Les employes ont-ils tendance a appartenir a une categorie plut^ot qu'a une autre? 4) Certaines machines industrielles doivent ^etre revisees lorsque l'usure des dierentes parties produit une variation excessive dans l'article fabrique. Si la variance 2 ne doit pas depasser 50 et un echantillon de 40 articles donne une variance centree (s 2 )de60, faut-il reviser la machine?

22 22 Exercices a resoudre avec MINITAB Ces exercices ont pour but de vous familiariser avec le logiciel MINITAB et d'eectuer des simulations. Ils ne seront pas corriges. Noter les resultats obtenus et verier votre solution avec celle qui se trouve sur les serveurs du CEI (chiers EXM..). Exercice M1: Theorie des ensembles Un espace d'echantillonnage est forme des entiers 1; 2; 3;:::;10. On considere les evenements: E1: f1; 2; 3; 4; 5g E2: fentiers pairsg E3: fentiers impairsg a) Representer l'espace d'echantillonnage dans la colonne C1, les evenements E1, E2 et E3 dans les colonnes C2, C3 et C4. b) Dans les colonnes C5, C6, C7 et C8 representer les intersections de: E1 et E2, E1 et E3, E2 et E3, et E1, E2, E3. Comment faut-il interpreter le resultat de la colonne C7? c) Repeter b) sur les reunions, "mutatis mutandis". d) Representer les ensembles: (E1 \ E2) [ E3 (E1 [ E3) \ (E2 [ E3) e) Representer les ensembles: a E1 [ E2 a a E1 \ E2 Exercice M2: Espaces d'echantillonnage a) Construire un espace d'echantillonnage contenant trois evenements notes A, B et C, de probabilites respectives 0.55, 0.30 et b) Realiser un echantillon de 20 tirages non exhaustifs dans l'espace d'echantillonnage des evenements A, B et C. c) Denombrer les frequences obtenues lors de ces realisations et comparer ces frequences observees aux frequences theoriques. d) Recommencer b) et c) avec des echantillons de 100 et 1000 tirages respectivement.

23 23 Exercice M3: Espace d'echantillonnage, variables aleatoires, lois a) Construire un espace d'echantillonnage correspondant au jet d'une piece de monnaie, repete 6 fois dans des conditions independantes et identiques (pile=0, face=1). Y a-t-il un moyen de verier que les commandes MINITAB necessaires sont les bonnes? b) Soit X la somme des resultats obtenus (nombre de faces) et Y le produit des resultats obtenus (s'il y a une pile dans la suite, Y vaut zero). Dessiner la distribution dexety. c) Faire la table des valeurs prises par X et Y pour chaque evenement elementaire. Pour les dierentes valeurs de Y, les valeurs prises par X dierent-elles? d) Soit Z la variable aleatoire 64-X. Faire la table des valeurs prises par Z et Y pour chaque evenement elementaire. Pour les dierentes valeurs de Y, les valeurs prises par Z dierent-elles? Exercice M4: La loi normale a) Generer une subdivision de l'intervalle [0.05, 0.95] en pas de longueur Les subdivisions sont notees p i. b) Soit F la fonction de repartition d'une loi normale N(0,1). Obtenir les valeurs m i telles que p i = F (m i ). c) Repeter l'operation b) avec la fonction de repartition G d'une loi normale N(-5,1), puis N(0,5), enn N(-5,5). On obtiendra les points n i. d) Faire un graphique des couples (n i ;m i ). Qu'observe-t-on? Expliquer le resultat obtenu. e) Repeter les points c) et d) quand la fonction G est la fonction de repartition d'une loi uniforme sur l'intervalle [a,b], avec a et b valant successivement: a b

24 24 Exercice M5: Contr^ole de la normalite d'une loi Pour verier graphiquement qu'un ensemble de donnees suit une loi normale, on procede comme suit: on compare, sur le modele de ce qui a ete fait a l'exercice M4, la fonction de repartition empirique des donnees a celle d'une loi normale. Si les donnees sont tirees d'une loi normale, on devrait obtenir une droite. Avec cette operation on obtient les "scores normaux" de la distribution empirique. a) Tirer un echantillon d'une loi normale N(0,1) de taille 10, 20, 50, 100, 200, 500, Faire le graphique des scores normaux. Que peut-on observer? b) Est-ce que les donnees poids et taille du chier PERU.MTW (colonnes 3 et 4) suivent une loi normale? [ appliquer a) ] Si la reponse est negative, ou sont les dierences? c) Conrmer vos remarques sous b) en dessinant les histogrammes. d) Peut-on appliquer la methode pour "identier" des donnees uniformes? Exercice M6: Normalite par transformation de donnees Engendrer un echantillon d'une loi normale N(0,3) de taille 200. a) Appliquer chacune des transformations suivantes a cet echantillon: x devient x 2, x 3=2, x 4, x 1=2,x 2=3, x 1=4, ln(x), 01=x. b) Faire l'histogramme des donnees transformees. Qu'observe-t-on? c) Chercher la transformation des donnees poids du chier PERU.MTW qui rend "normales" les donnees transformees. Exercice M7: Loi des grands nombres et theoreme central de la limite a) Engendrer un echantillon de taille 160 d'une loi de Poisson de parametre 3. b) Faire la liste des moyennes sur les couples de deux valeurs successives de cet echantillon [si les valeurs obtenues sont, par exemple 3, 7, 1, 0, 3,..., on calculera les moyennes de (3,7), (1,0), (3,..)]. Recommencer, sur la liste obtenue, deux fois encore. On obtient ainsi les moyennes des echantillons de tailles 1, 2, 4, 8 et 16. Expliquer pourquoi. On nommera ces listes L1, L2, L4, L8, L16. c) Calculer la moyenne de chaque liste (notee m i ), ainsi que la variance empirique (notee s 2 ). Comparer aux vraies valeurs. i d) Faire un graphique des m i en fonction de i, dessiner l'horizontale a la vraie valeur de l'esperance. Que constate-t-on? e) Faire un graphique de la vraie variance de la moyenne en fonction de i, ainsi que de la variance empirique en fonction de i. Que constate-t-on? f) Etudier la normalite des donnees de chaque liste. Que constate-t-on? g) Repeter l'exercice avec une loi uniforme. Quelles sont les similarites et les dierences entre le cas Poissonien et le cas uniforme?

25 25 Exercice M8: Comparaison de deux echantillons a) Soit les deux series de donnees: Faire un graphique "x-y" de ces donnees, puis ordonner la seconde serie et recommencer. Noter et expliquer les dierences. b) Augmenter de 5 chaque valeur de la deuxieme serie (ordonnee). Faire un graphique "x-y" des donnees resultantes. Noter et expliquer les dierences par rapport a a) et surimposer une droite a 45 degres. c) Multiplier par 2 chaque valeur de la deuxieme serie (ordonnee), puis soustraire la mediane de la serie originale. Faire un graphique "x-y" des donnees resultantes. Noter et expliquer les dierences par rapport a a). d) Augmenter de 10 les deux dernieres valeurs de la deuxieme serie. Faire un graphique "x-y" des donnees resultantes. Noter et expliquer les dierences par rapport a a). e) Soient les deux series: A: B: Faire un histogramme des deux series. Faire un graphique "x-y" des donnees resultantes. Noter et expliquer les dif-ferences par rapport a a). Calculer les medianes et les ecarts interquartiles. f) Soient les deux series : Faire le graphique xy et un histogramme des deux series.

26 26 Les exercices suivants se rapportent au chier RESTRNT.MTW. Les donnees se trouvent dans le chier RESTRNT.MTW et ont ete obtenues par enqu^ete. L'enqu^ete porte sur des restaurants. Il y en a 279 et on a releve 13 caracteristiques ou variables. Le symbole '*' denote une donnee manquante. Voici la liste des variables: 1. NUMERO D'IDENTIFICATION (ID) 2. PERSPECTIVES (OUTLOOK). Valeurs: 1 a 6 (tres defavorables a tres favorables) 3. VENTES (brutes dans l'annee - SALES). Unites: CAPITAL (investi dans l'annee - NEWCAP). Unites: VALEUR (estimee de l'entreprise - VALUE). Unites: COUTS (des biens vendus en pourcentages des ventes - COSTGOODS). Unites: % 7. SALAIRES (en pourcentage des ventes - WAGES). Unites: % 8. PUBLICITE (en pourcentage des ventes - ADS). Unites: % 9. TYPE (de restaurant - TYPEFOOD). Valeurs: 1 : = "FASTFOOD" ; 2 : = "SUPPER CLUB" (restaurant ou l'on d^ne) ; 3 : = AUTRE 10. COUVERTS (nombre de couverts dans l'aire de restauration - SEATS) Valeurs: entiers positifs ou nuls 11. PROPRIETE (mode d'organisation - OWNER) Valeurs: 1 : = unique proprietaire ; 2 : = partenariat ; 3 : = societe 12. NB EMPLOYES PT (nombre d'employes a plein temps - FT.EMPL) Valeurs: entiers positifs ou nuls 13. NB EMPLOYES TP (nombre d'employes a temps partiel - PT.EMPL) Valeurs: entiers positifs nuls 14. TAILLE (du restaurant- SIZE) Valeurs: 1 : = de 1 a 9.5 equivalents d'employes plein temps ; 2 : = de 10 a 20 equivalents d'employes plein temps ; 3 : = plus de 20 equivalents d'employes plein temps N.B : equivalent d'employes plein temps = nombre d'employes a temps plein + (1/2) nombre d'employes a temps partiel Exercice M9: Sondages aleatoires simples On utilisera le chier RESTRNT.MTW et la variable VENTES. a) Conserver les echantillons sur les donnees brutes (DB) et les donnees transformees (DT) de maniere a obtenir des repartitions symetriques. Calculer les moyennes et les ecart-types. b) Tirer 5 echantillons de taille 10, 5 echantillons de taille 30 et 5 echantillons de taille 100 dans chacune des populations DB et DT. Pour chaque echantillon, calculer la moyenne et l'ecart-type.

27 27 c) Faire un graphique (moyenne, ecart-type) ou sont portes les resultats des calculs faits sous a) et b). d) Proceder a un sondage systematique de taille 30. Calculer la moyenne et l'ecarttype. Comparer les resultats obtenus avec ceux de la population et des autres sondages. Exercice M10: Sondages aleatoires straties Les strates seront les types de restaurants. Conserver les echantillons. On veut creer un echantillon de taille 75 en utilisant les methodes proportionnelle et optimale. Repeter l'echantillonnage 10 fois (avec 10 echantillons de taille 75). Commenter les resultats. Exercice M11: Intervalles de conance Pour chaque echantillon des exercices M9 et M10, calculer un intervalle de conance. Denombrer les intervalles qui contiennent la moyenne. Y a-t-il accord avec la theorie? Si la reponse a cette derniere question est non, quelle en est (sont) la (les) raison(s)? Exercice M12: Tests d'hypotheses On utilisera les donnees transformees de l'exercice M9. On va tester les hypotheses : Ho : =6,H1: 6= 6 et Ho : =6,H1:<6 au niveau de 95%. Tirer 20 echantillons de taille 20 et 20 echantillons de taille 80. Obtenir empiriquement les probabilites de type 1 et 2. Y a-t-il compatibilite de ces resultats avec les resultats "theoriques"? Si la reponse est non, quelle peut ^etre la (les) raison(s) de cette situation? Exercice M13: Tests de proportion a) Tester si la proportion des restaurants qui sont des societes est la m^eme selon le type de restaurant. b) Repeter les deux autres types de propriete. Exercice M14 Faire la somme des co^uts, des salaires et de la publicite. Le resultat represente les co^uts globaux de l'entreprise. Peut-on dire que les entreprises font un benece? Discuter la validite des hypotheses faites. Exercice M15 Est-ce que les perspectives de l'entreprise et le type de restaurant sont independants?

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