LICENCE D' INGENIERIE MATHEMATIQUES - 1LINM

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1 UNIVERSITE PAUL SABATIER SCIENCES TOULOUSE III U.F.R. MATHEMATIQUE INFORMATIQUE GESTION LICENCE D' INGENIERIE MATHEMATIQUES - 1LINM PRESENTATION DES ENSEIGNEMENTS Année Universitaire 2003/2004

2 La licence d'ingénierie Mathématiques est la base de la filière de Mathématiques Appliquées à Toulouse, qui conduit à Bac+5 à un emploi de type ingénieur mathématicien. Pour autant, le débouché vers l'enseignement n'est pas exclu. 2

3 Responsable de la formation Michel PRADEL Laboratoire MIP - Tél [email protected] Secrétariat de la formation Lydie RASSIE Porte 9 - Bâtiment 1TP1 Tél [email protected] Conditions d'admission De plein droit aux étudiants titulaires d'un DEUG sciences de Toulouse. Sur dossier examiné par la commission de scolarité : Les étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et grandes écoles toulousaines. Les étudiants titulaires d'un DEUG sciences non obtenu à l'université Paul Sabatier et les titulaires d'un DEUG MASS toulousain (ces derniers sont acceptés automatiquement). Les étudiants étrangers titulaires d'un diplôme équivalent au DEUG. Organisation Unités obligatoires Calcul intégral - Analyse Hilbertienne Calcul différentiel - Probabilités Statistique Calcul scientifique Programmation Anglais scientifique Projet ou Stage Unités à choix Algèbre et géométrie Outils informatiques L'étudiant a le choix entre ces deux unités (les étudiants qui souhaitent intégrer l'iufm devront choisir obligatoirement le module d'algèbre et géométrie). Le projet sous la direction d'un membre de l'équipe enseignante ou d'un partenaire extérieur, débouche sur la rédaction d'un mémoire et d'une soutenance. Le stage, à partir de la dernière semaine du mois de mai, est l'occasion pour l'étudiant de découvrir et de s'intégrer au monde de l'entreprise, il débouche sur la rédaction d'un mémoire et d'une soutenance. 3

4 CALCUL INTEGRAL, ANALYSE HILBERTIENNE - 1L5IM1M (48 h de cours et 48 h de T.D.) Calcul Intégral Nécessité de mesurer des ensembles et d'intégrer des fonctions pour un ingénieur mathématicien. L'intégration à la Lebesgues. Les grands théorèmes de convergence en Calcul Intégral. Calcul intégral : intégration sur un produit d'espaces ; intégration par changement de variables. Espaces de Lebesgues des fonctions de puissance p-ème intégrable : définition et propriétés, caractère complet, premiers résultats de dualité, comparaison des modes de convergence. Convolution, régularisation, approximation de fonctions intégrables. Transformée de Fourier de fonctions intégrables : définition et premières propriétés, exemples de transformées, transformée de Fourier inverse. Espace des fonctions à écrasement rapide à l'infini. Transformation de Fourier dans l'espace des fonctions de carré intégrable. 2. Topologie et analyse hilbertienne : une introduction Distances, espaces métriques. Normes, espaces vectoriels normés. Espaces préhilbertiens. Introduction à la topologie générale. Suites de points dans un espace métrique. Espaces métriques complets. Espace de Banach, espaces de Hilbert. Complété d'un espace métrique, d'un espace vectoriel normé, d'un espace préhilbertien. Fermés d'un espace métrique. Densité. Séparabilité. Ouvert d'un espace métrique. Parties complètes, compactes, d'un espace métrique. Applications continues, uniformément continues. Homéomorphismes. Applications linéaires continues. Applications continues définies sur un compact. Prolongements d'applications continues. Point fixe des applications contractantes, méthodes des approximations successives. Projection sur un convexe complet d'un espace préhilbertien. Analyse Hilbertienne (suite) : isométrie de F. Riesz d'un espace de Hilbert, opérateur adjoint d'un opérateur, une application : problèmes de moindres carrés, bases hilbertiennes. 4

5 PROBABILITES, CALCUL DIFFERENTIEL - 1L6IM4M (48 h de cours et 48 h de T.D.) 1. PROBABILITES. Rappels : lois classiques et situations dans lesquelles elles sont utilisées. Approximations de la loi binomiale. Variables aléatoires indépendantes. Fonctions génératrices et caractéristiques. Application au calcul de la loi de la somme de variables aléatoires indépendantes. Vecteurs gaussiens. Convergences stochastiques. Loi des grands nombres. Théorème de la limite centrée. Chaines de Markov à valeurs dans un ensemble fini. Transitions, irréductibilité, mesure invariante, théorème ergodique. Introductions au Processus de Poisson et au filtrage de Kalman discret. 2. CALCUL DIFFERENTIEL. Fonctions Différentiables. Fonctions Différentiables. Différentiation des fonctions composées. Différentielles partielles. Théorème des accroissements finis. Formules de Taylor. Théorème d'inversion locale. Théorème des fonctions implicites. Applications. Condition d'optimalité pour des problèmes avec contraintes d'égalité. Courbes et surfaces. Champs de vecteurs et éléments d'analyse vectorielle. Equations Différentielles. Equations différentielles linéaires (coefficients constants et non constants) Théorème de Cauchy-Lipschitz. Dépendance des solutions par rapport aux conditions initiales. 5

6 STATISTIQUE (48 h de cours, 72 h de T.D.) Après une introduction générale à la statistique, ce cours se décompose en 3 parties. Les 2 premières correspondent chacune à un semestre (24 h de cours et 24 h de TD) ; la troisième est constituée de 24 h de TD SAS au second semestre. 1. (1L5IM2M) STATISTIQUE DESCRIPTIVE MULTIVARIEE - Cas unidimensionnel. Tableaux statistiques, représentations graphiques usuelles, calcul de caractéristiques numériques (tendance centrale et dispersion.). - Cas bidimensionnel. Notion de liaison. Nuages de points, corrélation linéaire, régression linéaire simple. Rapport de corrélation. Tables de contingence, profils, indicateurs de liaison liés au Khi-deux. - Outils mathématiques. Représentations de données dans des espaces euclidiens. Projecteurs orthogonaux. Décomposition en Valeurs Singulières d'une matrice. - Analyse en composantes principales. Principes généraux. Résolution dans l'espace des individus, puis dans celui des variables. Représentations graphiques et interprétation. - Analyse factorielle des correspondances. Principes de l'a.f.c. Résolution. Représentations graphiques et interprétation. - Analyse des correspondances multiples. Tableau disjonctif complet et tableau de Burt. Etude de l'a.f.c. de ces deux tableaux. Principes de l'a.f.c. multiple. Interprétation des graphiques obtenus. 2. (1L6IM5M51) STATISTIQUE INFERENTIELLE - Introduction à l'inférence statistique. Notion de modèle statistique. Notions d'estimation et de test. Fonction de vraisemblance. - Estimation ponctuelle d'un paramètre. Notion d'estimateur ; biais et convergence. Inégalité de Cramer-Rao et efficacité. Méthode des moindres carrés, des moments et du maximum de vraisemblance. Introduction à l'estimation d'un paramètre multidimensionnel. - Estimation par intervalle de confiance. Principe. Cas des paramètres de la loi normale. Cas d'une proportion. Intervalles de confiance asymptotiques. - Généralités sur les tests. Notion d'hypothèse, de test, de risque, de puissance et de convergence. Lemme de Neyman-Pearson et applications. Cas d'une alternative composée (fonction puissance, notion de test UMP et UMPU). - Tests paramétriques usuels. Tests relatifs aux paramètres d'une ou de deux lois normales, puis binominales. - Tests non paramétriques usuels. Test de signes, de Wilcoxon, de Mann-Whitney et de Kolmogorov-Smirnov. Introduction aux tests du Khi-deux. 3. (1L6IM52) PRATIQUE DU LOGICIEL SAS Cette partie se déroule sous forme de 12 séances de TP, chacun de 2 heures. Chaque étudiant(e) est seul(e) devant un terminal X (les groupes sont de 15 étudiants au maximum) et apprend à se servir du logiciel statistique SAS. L'apprentissage de ce logiciel est aussi l'occasion de revoir, voire d'approfondir, l'ensemble des notions de statistique exposées dans les 2 premières parties. En dehors de l'apprentissage des procédures de base du logiciel, l'accent est mis sur les représentations graphiques élaborées, les macros et la simulation statistique. 6

7 CALCUL SCIENTIFIQUE (48 h de cours, 72 h de T.D.) 1. (1L5IM31) ANALYSE NUMERIQUE MATRICIELLE - Résolution d'un système linéaire - Gauss - Cholesky - Householder. Normes matricielles - Conditionnement d'une matrice. - Résolution itérative d'un système linéaire - Jacobi - Gauss-Seidel - Méthodes de relaxation. - Méthodes de Krylov. - Méthode du gradient conjugué. - Calculs de valeurs propres - Puissance itérée - Méthodes LR, QR - Valeurs singulières. 2. (1L6IM11) ANALYSE NUMERIQUE DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE - Interpolation. - Intégration approchée - Newton-Cotes - Noyau de Peano - Méthode de Romberg. Polynômes orthogonaux - Méthode de Newton. - Approximation - Polynômes de Tchebychev - Fonctions splines - Fonctions de Bézier. Résolution des équations différentielles ordinaires Méthode d'euler. Méthodes numériques à un pas - Consistance - Stabilité - Convergence - Runge-Kutta. Méthodes à pas multiples - Adams-Bashforth - Adams-Moulton - Prédiction, correction. Nota : Les T.D. incluent l'apprentissage et l'utilisation du logiciel Matlab. 7

8 PROGRAMMATION - 1L5IM4M (28 h de cours et 32 h de T.D.) ALGORITHMIQUE Introduction aux concepts permettant la construction de programmes informatiques. Ces concepts recouvrent des données (scalaires, tableaux, chaînes de caractères, booléens, ) et des opérations sur ces données (tests, boucles, procédures, ). Traitement de quelques algorithmes de base. LANGAGE C Etude et mise en pratique de tous les aspects du langage antérieurs à la programmation objet (L'étude du C++ est abordée en master). FORTRAN 90 Généralités - Procédures - Modules - Interface - Tableaux - Programmation de quelques algorithmes en calcul scientifique. 8

9 ANGLAIS SCIENTIFIQUE - 1L5IM5M (24 h de cours et 24 h de T.D.) Oral Prendre des notes dans le cadre d'un cours suivi à l'étranger - Intervenir lors des colloques - etc.... Le cours est axé sur l'étude de la langue scientifique. Ecrit Rédiger une communication, un rapport scientifique. 9

10 OUTILS INFORMATIQUES - 1L6MIM3M (10 h de cours et 30 h de T.D.) CALCUL AVEC MAPLE Initiation au logiciel Maple par des exercices de difficulté croissante. Mise en évidence de la spécificité des approches formelle, numérique et graphique dans la résolution de problèmes mathématiques. COMPLEMENTS Au choix de l'enseignant, traitement de quelques aspects complémentaires de l'informatique utiles dans la filière d'ingénierie : UNIX, LATEX, bureautique, multimédia, 10

11 ALGEBRE ET GEOMETRIE - 1L6IM2M (20 h de cours et 20 h de T.D.) Prérequis : Groupes - Définition, sous-groupes, homomorphismes, sous-groupes distingués, groupes quotients, factorisation des homomorphismes. Géométrie : espaces vectoriels, applications linéaires et bilinéaires. Programme : - Groupe symétrique. Groupes cycliques. - Groupes opérant sur un ensemble, formule des classes. - Groupe linéaire réel. Géométrie - Espaces affines, applications affines. - Géométrie euclidienne. Isométries de R n (cas particuliers : n=2,3). Sous-groupes finis des rotations de R 2 et R 3. Géométrie euclidienne affine, coniques affines. 11

12 PROJET (1L6IM6M) - STAGE (1L6IM7M) Chaque étudiant doit choisir entre un stage en entreprise d'une durée de 2 mois et demi ou un projet à réaliser à l'université. Le projet et le stage feront l'objet d'un rapport et d'une soutenance orale. 12