Situation, données & hypothèses

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1 Situation, données & hypothèses Les réseaux d adduction et de distribution d eau potable présentent des connexions dont la structure est de forme maillée ou ramifiée. De tels réseaux sont caractérisés par la présence de nombreux réservoirs interconnectés. La connexion simplifiée entre trois de ces réservoirs (voir figure 1) doit être modifiée dans le but d augmenter la capacité hydraulique d alimentation du réservoir inférieur. Figure 1 Caractéristiques et paramètres du réseau Le tableau des paramètres de calcul est donné ci- dessous. Cas N Hypothèses de calcul D1 [m] D2 [m] D3 [m] NIV 1 [m s.m.] NIV 2 [m s.m.] NIV 3 [m s.m.] n [%] Tableau 1 Paramètres de calcul Ø Les niveaux dans les réservoirs dans constants Ø Les pertes de charges locales (embouchures et jonction) peuvent être négligées. Par contre, la perte de charge au débouché des réservoirs doit être considérée. Page 1

2 Questions Exercice 6 Ecoulement en charge dans un réseau d alimentation en eau potable Question 1 : Déterminer les débits dans les conduites ainsi que la charge piézométrique à l extrémité aval de la conduite 1-0 pour les conditions de la figure 1. La première itération pour tout le réseau doit se faire obligatoirement à la main, c est- à- dire avec l équation de Darcy- Weisbach et le diagramme de Moody. La différence de charge ΔH dans une conduite entre deux réservoirs est la somme des pertes linéaires (répartie) et des pertes locale (singulière). H = h! + h! Δh f causés par frottement peut être calculé avec l équation de Darcy- Weissbach. h! = f!!!!!! où f est le coefficient de frottement Le coefficient de frottement f est fonction de deux paramètres, à savoir : Ø La rugosité relative de la paroi ε =!!! Ø Le nombre de Reynold Re =!! =!!"#$%&é é!"#$%&'()'!"!"#$%!"#$%!"#$%&'()!"#$è!"#!"!"!"#$%&'( υ Pour les conduites commerciales en régime turbulent, f peut être calculé avec la formule de Colebrook- White. 1 f = 2. log[ ε Re f ] Cette formule est aussi représentée dans le diagramme de Moody à disposition sur le Moodle. Δh s représente les pertes de charges singulières au débouché des réservoirs. Il peut donc se calculer ainsi. h! = m!! où m=1 pour les conduites qui reçoivent!! Le but de la question est de déterminer Q 1,Q 2,Q 3 et H 0. Comme la charge piézométrique en 0 n est pas encore connue, il subsiste des interrogations concernant le fonctionnement des trois réservoirs. En effet, la conduite 2 peut : Ø Etre alimenté par le réservoir 1 Ø Alimenté elle- même le réservoir 3 Pour déterminer quel est le système d approvisionnement des réservoirs, on effectue une 1 ère itération à la main. On admet que H 0 = H 2 = 450 m s.m. Cela engendre donc l absence d écoulement dans la conduite 2 et donc diminue le nombre d inconnu initial. Page 2

3 On prend Q = 1m 3 /s dans les conduites 1 et 3. On peut donc à l aide des formules suivantes en déduire les vitesses dans les conduites respectives et le nombre de Reynold correspondant. v =!!!!! Re =!!! v 1 (m/s) v 3 (m/s) Re 1 Re E E+06 On peut calculer la rugosité relative pour les deux conduites avec ε =!!!. On a k s = 0.03mm. On trouve ε = 3.00E- 04 pour la conduite 1 et ε = 1.50E- 04 pour la conduite 3. On peut lire les valeurs de f correspondante à l aide du diagramme de Moody (ou solveur excel). Ø Conduite 1 : f = Ø Conduite 3 : f = H = h! + h! peut- être réécrite sous la forme suivante afin de pouvoir déterminer la vitesse dans les conduites. v = H. 2. g f. L D + m On trouve avec cette formule les vitesses suivante. v 1 (ΔH = NIV 1 H 0 = 75 [m]) = [m/s] et v 3 (ΔH = H 0 - NIV 3= 75 [m]) = [m/s]. On réinjecte (2 ème frottement f. itération) ces vitesses dans Re pour trouver les nouveaux coefficients de Ø Conduite 1 : f = (Re= 1.67E+05) Ø Conduite 3 : f = (Re = 3.57E+05) Les vitesses correspondantes sont : v 1 (ΔH = NIV 1 H 0 = 75 [m]) = [m/s] et v 3 (ΔH = H 0 - NIV 3= 75 [m]) = [m/s]. On réinjecte (3 ème frottement f. itération) ces vitesses dans Re pour trouver les nouveaux coefficients de Ø Conduite 1 : f = (Re= 1.53E+05) Ø Conduite 3 : f = (Re= 3.29E+05) Les vitesses correspondantes sont : v 1 = [m/s] et v 3 = [m/s]. La convergence est admissible. Les débits sont donc : Q 1 = [m 3 /s] et Q 3 = [m 3 /s]. Page 3

4 Comme Q 3 >Q 1, on peut en déduire que la conduite 2 alimente le réservoir3. Donc au point 0, la charge est plus petite que la charge au point 2 : H 0 <H 2. Ceci est nécessaire pour garantir l écoulement 2-0 à travers la conduite 2. En augmentant au fur et à mesure H 0, et en calculant les débits dans les différentes conduites par l équivalente entre la perte de charge et les pertes dues au frottement, on peut trouver H 0. En effet, le principe de continuité nous donne une relation supplémentaire au point 0, à savoir :! Q! = 0. Dans notre cas, nous avons Q1+Q2- Q3=0 car le réservoir 1 alimente le réservoir 3 et le réservoir 2 alimente aussi le réservoir 3. Cette relation n est vérifiée que pour une valeur unique de H 0. Une macro basée sur les formules de Darcy- Weisbach, de Colebrook et White permettant le calcul de f nous est fourni sur Excel. Nous lui ajoutons les critères pour le contrôle de la charge et du débit et on obtient les résultats suivant. Attention à changer le facteur «somme coeff» qui vaut 0 pour les conduites 1 et 2, 1 pour les conduites 3. H 0 [m] Q 1 [m 3 /s] Q 2 [m 3 /s] Q 3 [m 3 /s] Page 4

5 Question 2 : Quelle devrait être l altitude du point 0 pour disposer à cet endroit d une pression supérieure ou égale à 33 m c.e. (mètre colonne d eau)? On a que H! = z! + hauteur de colonne d eau avec z 0 = altitude. Pour disposer au point 0 d une pression supérieure ou égale à 33 m c.e. sachant qu à la question 1 nous avons trouvé une charge piézométrique au point 0 de m, l altitude nécessaire du point 0 vaut : z! = H! 33m = m Question 3 : Quel est le régime d écoulement dans les diverses conduites? Pour déterminer le régime d écoulement dans les différentes conduites, nous avons deux possibilités. 1. Calculer le nombre de Reynolds dans les différentes conduites. On distingue l écoulement laminaire de l écoulement turbulent. Pour l écoulement laminaire, les lignes de courant sont parallèles contrairement à l écoulement turbulent ou les trajectoires sont aléatoires. Osborne Reynolds a trouvé que la transition entre ces deux régimes d écoulement s effectue pour un nombre de Reynold supérieur à Il est important de noter qu on a généralement un régime turbulent dans les conduites des constructions hydrauliques. Conduite n Nombre de Reynold Régime d écoulement turbulent E+05 turbulent E+05 turbulent 2. Regarder sur le diagramme de Moody dans quel régime d écoulement on est. Conduite n Nombre de Reynold Régime d écoulement transitoire E+05 transitoire E+05 transitoire On peut dire qu on aboutit à des résultats assez différents selon la méthode. Sur le diagramme de Moody, le régime «fully turbulent» est atteint à partir d un nombre de Reynolds de 10 7 pour une rugosité faible comme dans notre cas. Mais on remarquera aussi que le régime transitoire comporte aussi d importantes turbulences. Page 5

6 Question 4 : Que faire pour augmenter de n % (70 %) le débit d alimentation du bassin inférieur à partir du point 0? Pour augmenter le débit d alimentation trois possibilités s offrent à nous. 1. Augmenter le diamètre de la conduite existante 2. Créer une deuxième conduite depuis le point 0 3. Diminuer la rugosité de la conduite existante Pour des raisons économiques et pour ne pas interrompre l exploitation de la conduite 3, on opte pour la 2 ème solution qui est la construction d une nouvelle conduite parallèle à l existante et ayant des caractéristiques similaires (même rugosité, longueur, ) mais un diamètre différent. On fera pour hypothèse simplificatrice que cette augmentation du débit d alimentation du bassin inférieur (réservoir 3) n a aucun impact sur le reste du réseau et que ce surplus peut être fourni. Les changements à effectuer n auront donc lieu que sur la conduite 3, pour une charge au point 0 admise constante. Selon mes paramètres de calcul, je dois augmenter de 90% le débit d installation. Le nouveau débit d alimentation du bassin inférieur à fournir est de : 1 + n Q! = m 3 /s. La nouvelle conduite doit avoir un débit de m 3 /s. On trouve un diamètre pour la nouvelle conduite de d= m. Page 6

7 Données de bases 1ère itération main 2ème itération main Longueur 1 L1 [m] 2000 v v Longueur 2 L2 [m] 3000 v v Longueur 3 L3 [m] 4000 Re1 9.65E+06 Re1 1.68E+05 Diamètre 1 D1 [m] 0.1 Re3 4.82E+06 Re3 3.57E+05 Diamètre 2 D2 [m] ε1 3.00E- 04 f Diamètre 3 D3 [m] 0.2 ε3 1.50E- 04 f Surface 1 S1 [m2] Colebrook White E- 07 Surface 2 S2 [m2] f ème itération main Surface 3 S3 [m2] ε v Niveau 1 H1 [m] 500 Re v Niveau 2 H2 [m] 450 f Re1 1.53E+05 Niveau 3 H3 [m] 400 f Re3 3.29E+05 Pourcentage d'augmentation n [%] 90 f Gravité g [m/s2] 9.81 f Rugosité k [m] 3.00E- 05 Viscosité cinématique ν [m2/s] 1.32E- 06 4ème itération main v v Q Q Calcul du coefficient de frottement d'après la formule de Coolebrook-White Q1 [m 3 /s] Q2 [m 3 /s] Q3 [m 3 /s] D [m] 0.1 D [m] D [m] 0.2 L [m] 2000 L [m] 3000 L [m] 4000 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 S [m 2 ] S [m 2 ] S [m 2 ] U [m/s] U [m/s] U [m/s] Epsilon, ks/d [-] Epsilon, ks/d [-] Epsilon, ks/d [-] Reynolds [-] 1.66.E+05 Reynolds [-] 1.87.E+05 Reynolds [-] 2.94.E+05 Coeff. frott. f [-] Coeff. frott. f [-] Coeff. frott. f [-] Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires dhl [m] dhl [m] dhl [m] Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Somme coeff. 0 Somme coeff. 0 Somme coeff. 1 dhs [m] dhs [m] dhs [m] Pertes de charge totales Pertes de charge totales Pertes de charge totales dhtot [m] dhtot [m] dhtot [m] contrôle charges H1 550 dh Contrôle des débits H2 475 dh H3 400 dh H Question 2 Question 3 z Re Re2 1.87E+05 Re3 2.94E+05 Surface 1 S1 [m2] Surface 2 S2 [m2] Surface 3 S3 [m2] Calcul du coefficient de frottement d'après la formule de Coolebrook-White Q1 [m 3 /s] Q2 [m 3 /s] Q3 [m 3 /s] Q4 [m 3 /s] D [m] 0.1 D [m] D [m] 0.2 D [m] L [m] 2000 L [m] 3000 L [m] 4000 L [m] 4000 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ks [m] 3.00E-05 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 ν [m 2 /s] 1.32E-06 S [m 2 ] S [m 2 ] S [m 2 ] S [m 2 ] U [m/s] U [m/s] U [m/s] U [m/s] Epsilon, ks/d [-] Epsilon, ks/d [-] Epsilon, ks/d [-] Epsilon, ks/d [-] Reynolds [-] 1.83.E+05 Reynolds [-] 2.90.E+05 Reynolds [-] 2.46.E+05 Reynolds [-] 1.97.E+05 Coeff. frott. f [-] Coeff. frott. f [-] Coeff. frott. f [-] Coeff. frott. f [-] Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires Pertes de charge linéaires dhl [m] dhl [m] dhl [m] dhl [m] Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Pertes de charge singulières Somme coeff. 0 Somme coeff. 0 Somme coeff. 1 Somme coeff. 1 dhs [m] dhs [m] dhs [m] dhs [m] Pertes de charge totales Pertes de charge totales Pertes de charge totales Pertes de charge totales dhtot [m] dhtot [m] dhtot [m] dhtot [m] contrôle charges H1 550 dh Contrôle des débits H2 475 dh H3 400 dh H dh Question 2 Question 3 Question 4 z0 (1+n)*Q Q Re Re2 4.80E Re3 4.37E+05 Surface [m2] 1 S Surface 2 S2 [m2] Surface 3 S3 [m2] Page 7