Dans une situation mathématique, la question du sens est fondamentale. La trace écrite n est pas la simple exécution d une tâche à effectuer.

Transcription

1 Qu est-ce qu un problème? L enfant est avide de questions mais «s essayer à raisonner» est plus difficile surtout lorsqu il s agit de développer l esprit de déduction. Pour développer cette pensée logique, on s appuie sur le problème et la résolution de problème. Dans une situation mathématique, la question du sens est fondamentale. La trace écrite n est pas la simple exécution d une tâche à effectuer. Il s agit d engager l enfant dans une résolution de problème où il va devoir agir, argumenter, justifier ses choix, les modifier, prendre en compte les effets de son action. Un problème se caractérise par : 1. Une situation initiale et un but à atteindre. 2. Une suite d opérations ou d actions nécessaires pour atteindre ce but. 3. Un rapport sujet / situation : la solution n est pas disponible d emblée mais possible à construire. 1. Une situation initiale et un but à atteindre : (donc savoir : de quoi ça parle et que dois-je faire?) Permettre l identification de la situation et de la tâche par la dévolution* du problème : o par le matériel : il pose à lui seul le problème : Matériel orienté Matériel ouvert 1

2 o par l exposition du résultat attendu o par l exposition d exemples o par la formulation d une consigne o en faisant appel à la pensée inductive * : Transmission d une personne à une autre. 2. Une suite d opérations ou d actions nécessaires pour atteindre ce but. Favoriser l engagement dans la résolution : o par la mise en valeur d un défi à relever. o par la possibilité d agir concrètement sur la situation. o par le droit à l erreur. o par la mise en scène, la théâtralisation. Manipulation ou fiches? : Les activités proposées doivent s appuyer sur un matériel riche et varié : Objets «tout venant» 2

3 Jeux Supports fabriqués «Les activités papier-crayon doivent avoir une place limitée Elles ne se justifient que si elles sont en lien avec un vécu (action effective, jeu..) qu elles accompagnent ou qu elles prolongent pour en garder une trace figurative ou symbolique» Extraits de «Vers les mathématiques Quel travail en maternelle?» 3. Un rapport sujet / situation : la solution n est pas disponible d emblée mais possible à construire. En créant ses propres situations, cela permet de modifier les variables didactiques, et d envisager la différenciation dans les activités. Le support : nature, forme, taille Les objets : nombre, taille, forme Le nombre de propriétés en jeu Les objectifs Le but du jeu La situation de départ Le type d atelier prévu La consigne Le trajet, la distance prévus 4. Un exemple : «Le jeu des gobelets» (Le jeu des voyageurs, le jeu de la marchande ) Consigne : «Il faut aller chercher juste ce qu il faut de jetons pour avoir un jeton dans chaque gobelet. Il ne faut pas de gobelet vide» 3

4 Les variables de la situation : (Cette situation peut se proposer de la MS au CP) Le nombre de gobelets Le nombre d allers et retours possibles La distance spatiale entre les deux collections Le choix du matériel (gobelets, robots, grappes de raisin, wagons de voyageurs, coccinelles ) Le type de communication : élève seul, un banquier, par oral, par écrit 5. Les différentes situations problèmes 1. les situations fonctionnelles 2. les situations rituelles 3. les situations construites 1. Les situations fonctionnelles : Ce sont de «vrais» problèmes. L acceptation et l engagement des élèves sont favorisés. Les problèmes peuvent être complexes. o La préparation du goûter (nombre de gobelets à compter, distribution = partage des gâteaux) o Le matériel à préparer pour un atelier (en fonction du nombre d élèves) o Le matériel d EPS à préparer ou à distribuer. o La fabrication d un jeu o 2. Les situations rituelles : Ce sont des situations repères, mais elles ne sont pas suffisantes. 4

5 o Le comptage des présents et des absents o Jeux avec la bande numérique o Réunion de collections (greli-grelo ) o Utilisation de fiches (de type flashcards) o 3. Les situations construites : L enseignant a la maîtrise de ces situations : il en fixe la nature, le moment, la forme et les variables. Les situations construites permettent d approcher un savoir ou un savoir-faire par des entrées multiples, condition nécessaire pour qu il y ait apprentissage! Les problèmes posés doivent avoir du sens pour les élèves : situation et tâche doivent avoir été clairement identifiées. o Jeu o Matériel o Activités sur fiches (le moins possible) o 6. Quels types de problèmes? A l école élémentaire, il existe quatre types de problèmes : o Problèmes de découverte o Problèmes d application o Problèmes complexes o Problèmes pour chercher A l école maternelle, on ne peut utiliser cette même typologie, par contre nous pouvons distinguer deux catégories de problèmes : o Les problèmes pour apprendre : on vise des connaissances 5

6 o Les problèmes pour chercher : on développe l esprit logique Des exemples : 1. Le tangram : Un problème pour apprendre : Les contours des pièces sont visibles. L élève doit reconnaître, différencier les pièces, les formes, repérer les différences de taille et les orientations. Les pièces d un tangram La forme à réaliser avec les silhouettes de chaque morceau du tangram Un problème pour chercher : il ne s agit plus seulement de reconnaître les pièces, les connaissances à disposition ne sont pas suffisantes. L élève va essayer, peut se tromper et recommencer. La silhouette est donnée seule. On peut utiliser des albums pour la liaison GS/CP. Pong au cirque, Pong à la ferme, à la mer, au stade, à la montagne, à la fête (Editions Epigone), permettent la dévolution du problème. Ces albums ne sont plus édités mais il est facile d inventer des histoires et d envoyer aux CP les illustrations, afin qu ils réalisent les tangrams. 6

7 2. Utilisation des géoplans : planches à trous La situation Utilisation d un seul bracelet élastique pour délimiter une forme et de perles de 3 couleurs (rouge à l intérieur, vert à l extérieur, jaune sur le bracelet) Il est important de s assurer que l enfant a bien compris cette «règle» du jeu - Si le but à atteindre est pour l élève de positionner les perles correctement en respectant la consigne : «intérieur, extérieur, sur», c est un problème pour apprendre. - Si on positionne d abord les perles et que l on demande à l enfant où positionner le bracelet élastique, il s agit d un problème pour chercher. Là, il ne s agit plus seulement de maîtriser les notions d «intérieur, extérieur, sur». L enfant va devoir observer, chercher, essayer Il va se tromper, réessayer et recommencer 7. Quelles procédures? Des procédures personnelles (Procédures par essais et ajustements) aux procédures expertes 7

8 o Procédures par essais et ajustement : Il faut réhabiliter l idée du tâtonnement (même si c est parfois long) Les mathématiques, c est aussi tâtonner L enseignant (ou l ATSEM) en faisant «à la place de l élève» condamne la procédure par essai et ajustements. En revanche, il faut inviter l élève à prendre du recul, à réfléchir à ce qu il a fait, à verbaliser ce qu il a fait, à s intéresser aux procédures des autres, o Procédures par induction (à vraiment développer à l école maternelle) On propose un début de réalisation à l élève. Il doit trouver comment ça fonctionne et poursuivre. L élève doit découvrir la règle et la prolonger. But : Compléter ces grilles Suite logique sur une grille Tableau à double entrée sans indiquer les entrées o Procédure par déduction J ai caché une pièce semblable à l une de celles-ci laquelle est-ce? Est-ce un carré? Est-il bleu? Est-il jaune? NON NON NON 8. Quelle place donner en classe à la résolution de problème? Il faut prendre le temps de la construction des connaissances et des compétences. Mettre les enfants en situation de résolution de problème en s appuyant sur le plaisir du jeu, de l action, de l exploration, la manipulation, le tâtonnement. Mais il ne suffit pas d en rester à la «surface» des problèmes, il faut par le langage amener les élèves vers l abstraction (passer «des lions sur leur tabouret» à la correspondance terme à terme) : formuler des hypothèses, expliquer, reformuler, échanger, verbaliser l action, mémoriser. 8

9 Trois phases de l activité mathématique à distinguer : 1. La phase de découverte / identification est essentielle, incontournable ; cette phase de jeu libre permet à l enfant de prendre possession du matériel, d identifier ses caractéristiques, d acquérir l habileté motrice sans laquelle il ne pourrait être en situation de résolution de problème. 2. La phase de recherche résolution de problèmes, c est le vrai moment de mathématiques. 3. La phase de familiarisation : C est un moment important où les enfants font et refont ce qu ils ont déjà fait (ex : puzzle que l enfant refait pour la dixième fois ). L enfant se montre qu il a acquis un certain savoir, il prend conscience du pouvoir que lui donne un outil, un savoir-faire; il va y trouver la motivation pour aborder de nouveaux apprentissages 9. Acquérir des compétences notionnelles favorisant le développement de la pensée logique : A- Quelles compétences notionnelles pour favoriser le développement de la pensée logique? - comparer des objets - classer des objets - ranger des objets - reconnaître et poursuivre des rythmes - interpréter et produire des symboles (même si ce n est pas le but de la maternelle de travailler sur le symbolique en mathématique) B- Quelques précisions de vocabulaire Attention, le sens de ces verbes en mathématique est parfois différent voire à l inverse du sens habituel, dans le langage courant : Classer, trier : c est mettre ensemble (faire des paquets, mettre dans des boîtes ) Ranger, sérier : c est mettre en ordre (réaliser une file, une chaîne) Trier : c est prendre en compte une seule valeur de la propriété : la nature figurative de l élément par exemple. Classer : c est prendre en compte toutes les valeurs de la propriété (on ne polarise pas seulement sur une valeur). Passer du tri au classement, c est faire preuve d une conduite plus évoluée. 9

10 L enfant effectue un tri L enfant effectue un classement Un exemple de sériation, la frise décorative : C est un algorithme, une alternance. Il s agit d une sériation. Un exemple de rangement, une frise chronologique : Reconstituer les étapes de la reconstitution d un véhicule est une activité plus délicate car, à chaque fois, je n ai qu une seule solution pour la pièce suivante. L activité est plus contraignante que la première. Des exemples d algorithmes : Rythmes répétitifs Rythme évolutif 10

11 C- Pourquoi développer ces compétences? Elles sont des outils permettant l accès à de nouveaux savoirs, elles sont aussi un moyen de développer les capacités d abstraction qui seront nécessaires pour résoudre des problèmes mathématiques. D- L importance des matériels structurés On appelle «matériel structuré» tout matériel dont les propriétés sont rigoureusement définies. Les blocs logiques Les abaques Les Acromaths Quadriludi 60 blocs : 5 formes, 3 couleurs, 2 tailles, 2 épaisseurs 25 pièces : 2 propriétés, 5 formes 5 couleurs 2 tailles de clown, 4 formes de pièces, 6 couleurs Tableau logique 4 formes figuratives. 4 couleurs E- L intérêt des jeux logiques Repérer l intrus On joue sur la couleur, la taille, la disposition spatiale, la position relative des deux éléments Ex : Retrouver l élément manquant ou. 11

12 L activité de manipulation s impose pour les enfants qui effectuent un classement. Le jeu du portrait Il faut retrouver l objet préalablement choisi en posant les questions. Le clown et le tambour sont-ils de la même couleur? Le clown est-il rouge? Le tambour est-il vert? Le clown est-il grand? NON OUI OUI OUI Le jeu de différence Il s agit de trouver les différences entre les deux compositions côte à côte et pour cela analyser les différences de formes, de couleurs, de positionnement. ou Chaine à une seule différence à chaque fois. On garde une seule propriété à chaque fois. 10. Jouer sur les variables didactiques pour une véritable liaison GS/CP : o L awalé o Les attrimaths o Les trois camps o Les différences (cartes) o Sudanimaux, sudoku o La réussite o Le jeu de l oie 12

13 Nom du jeu choisi Variables didactiques GS CP Objectifs But du jeu Phase d apprentissage Situation de départ Consigne Support (Taille, forme ) Objets (Nombre, taille ) 13