Oscillations dans le circuit RLC série (Correction)

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1 Oscillations dans le circuit RLC série (Correction) 1 DECHARGE D UN CONDENSATEUR A TRAVERS UNE BOBINE REELLE OU DANS UN CIRCUIT RLC SERIE 1.1 Montage 2 E + 1 EA1 C K L, r EA0 Régler les paramètres d acquisition suivant dans le logiciel LATIS PRO : Nombre de points : 1000 points, Total temps : 5 ms. R Déclenchement : source : u R ; sens : montant et seuil : 0,05 V. Nom du fichier : «RLC_decharge» 1. Montrer, sur ce schéma, comment acquérir u C et u R. On acquiert U R par la voie EA0 et U C par la voie EA1, en convention récepteur. Les courbes sont en annexe 2. Que se passe-t-il lorsque l interrupteur est en 1? En basculant K sur la position 1, le générateur est relié aux bornes du condensateur : on charge le condensateur. 3. Que se passe-t-il lorsque l interrupteur est en 2? En basculant K sur la position 2, on décharge le condensateur dans la bobine et le conducteur ohmique en série. 4. Mesurer L pour 500 spires et 250 spires avec l inductancemètre et r de la bobine dans chaque cas. Pour 500 spires : L = 11,0 mh et r = 9,8 Ω. Pour 250 spires : L = 2,5 mh et r = 4,8 Ω. 5. On veut étudier la décharge du condensateur donc on déclenche lorsque l interrupteur passe de 1 de 2. Déterminer les conditions initiales (tensions, intensités) de cette étude. Initialement, le condensateur est chargé (position 1) : la tension à ses bornes u C est donc maximale (u C = E). L intensité dans le circuit est initialement nulle (le circuit est ouvert le temps qu on bascule de 1 à 2) : la di tension u R est donc initialement nulle ; en revanche, puisque le courant s établit, 0 et la tension u L dt t 0 aux bornes de la bobine n est pas nulle (sa composante résistive «r I» est toutefois nulle). 1.2 Observation de u C Réglages : E = 6,0 V, bobine de 500 spires, C = 2 F, R = Tracer u C = f(t) dans la fenêtre 2. Courbe n Comment varie l amplitude de u C dans le temps? Justifier le terme de «pseudo-période». La courbe représentative de u C (t) présente des oscillations amorties : on pourrait parler d un évolution périodique s il n y avait pas d amortissement, mais il convient de parler d une évolution «pseudopériodique». 3. Mesurer 5 pseudo-périodes afin de déterminer la pseudo-période. Quel est l intérêt de cette méthode? On mesure, pour 5 pseudo-périodes, Δt = 4,603 ms. On en déduit T = 4,603 / 5 = 0,9206 ms. On aurait pu ne mesurer qu une pseudo-période mais l intérêt d en mesurer 5 est d augmenter la précision, en faisant une sorte de moyenne sur une durée plus grande (donc mesurée avec moins d incertitude relative). 1.3 Observation de l intensité dans le circuit 1. Déterminer l expression de l intensité dans le circuit.

2 U R ( ) ( t i t ) R 2. Tracer i = f(t) dans la fenêtre 3. Courbe n Comment varie i par rapport à t? Conclure. L intensité i(t) est une grandeur oscillante et amortie dans le temps. 1.4 Observation de la charge des armatures du condensateur 1. Déterminer l expression de la charge en fonction de u C. q( t) C U ( t) 2. Tracer q = f(t) dans la fenêtre 4. Courbe n Comment varie q par rapport à t? Conclure. La charge q(t) du condensateur est une grandeur oscillante et amortie dans le temps. 4. Que dire de la charge lorsque i est maximale et lorsque i est nulle? Lorsqu on regarde les courbes i(t) et q(t), on peut se rendre compte que lorsque i est maximale, q est nulle, et lorsque i est nulle, q est extrémale (minimale ou maximale, mais maximale en valeur absolue). C 2 INFLUENCE DES PARAMETRES DU CIRCUIT 2.1 Influence de la capacité du condensateur (fichier RLC_influ_C.ltp) On a tracé u C = f(t) avec C 1 1 F, C 2 2 µf, C 5 5 µf et C F. Pour ces mesures, L = 40 mh. 1. Sur quoi influe la capacité du condensateur? La capacité C du condensateur influe sur la valeur de la pseudo-période T : plus C est grande, plus la pseudopériode est grande. Remarque : les courbes u C (t) ne démarrent pas toutes de la valeur u C,max = E = 6,0 V. Ceci s explique par la durée entre le début de l acquisition et la bascule de l interrupteur, le condensateur commençant à se décharger entre temps Ceci n influe toutefois pas du tout sur la valeur des pseudo-périodes obtenues. 2. Déterminer les pseudo-périodes dans les quatre 4 cas, T 1, T 2, T 5 et T 10. Justifier votre méthode. C (µf) 1,02 2,02 5,25 10,47 T (ms) 1,37 1,85 2,90 4,10 C (µf ½ ) 1,01 1,42 2,29 3,24 Pour chaque valeur de T, on détermine la durée de plusieurs pseudo-périodes, comme nous avons procédé au Tracer T = f(c) Courbe n 2.1a et T = f( C) Courbe n 2.1b. Conclure. La courbe T = f(l) ne correspond à aucune fonction simple, mais ressemble à une racine carrée : en traçant T = f( C), on voit apparaître une relation linéaire, T = 1,2753 C 2.2 Influence de l inductance de la bobine (fichier RLC_influ_L.ltp) On a tracé u C = f(t) avec une bobine de L mh, L mh, L mh et L mh. Pour ces mesures, C = 10,5 µf. 1. Sur quoi influe l inductance de la bobine? L inductance L de la bobine influe sur la valeur de la pseudo-période T : plus L est grande, plus la pseudopériode est grande. 2. Déterminer les pseudo-périodes dans les quatre cas, T 10, T 40, T 70 et T 90. Justifier votre méthode. L (mh) 11,1 40,0 71,3 93,7 T (ms) 2,15 4,09 5,00 6,27 L (mh -½ ) 3,33 6,23 8,44 9,68

3 Pour chaque valeur de T, on détermine la durée de plusieurs pseudo-périodes, comme nous avons procédé au Tracer T = f(l) Courbe n 2.2a et T = f( L) Courbe n 2.2b. Conclure. La courbe T = f(l) ne correspond à aucune fonction simple, mais ressemble à une racine carrée : en traçant T = f( L), on voit apparaître une relation linéaire, T = 0,0205 L Détermination de l expression de la pseudo-période 1. Déduire des questions 2.1 et 2.2 précédentes que la pseudo-période peut s écrire sous la forme T k L C, k étant une constante. Résumons. Nous avons déterminé les relations empiriques T = 1,2753 C avec L = 40,0 mh T = 0,0205 L avec C = 10,47 µf On peut synthétiser ces résultats sous la forme T k L C 2. Montrer que k n a pas de dimension, par analyse dimensionnelle, et qu elle s exprime simplement en fonction du nombre π. U q q q 2 L C L C t di / dt U di / dt ( q / t) / t donc L C t T t Ainsi, k. L C t T = 1,2753 C avec L = 40,0 mh conduit à k 1, , 2753 L 1,2753 soit k 3 L 40,0.10 6,38 T = 0,0205 L avec C = 10,47 µf conduit à k 0,0205 0,0205 C 0,0205 soit k 6 L 10, ,34 On peut donc conjecturer que k 2. Ainsi, T 2 L C NB : si nous n avions pas fait de régressions linéaires en 2.1 et 2.2, il suffit de prendre quelques couples de valeurs (T,L) et/ou (T,C). 2.3 Influence de la résistance du circuit a) Si R est faible 1. Tracer u C = f(t) avec une résistance de 2 et de 20 dans la fenêtre 4 sans changer les autres paramètres. Ne pas oublier de légender Courbe n 2.3a 2. Sur quoi influe la résistance du circuit? La résistance R du circuit influe sur l amortissement des oscillations : plus R est grand, plus les oscillations s amortissent rapidement. b) Si R est grand 1. Tracer u C = f(t) avec une résistance de 50 et de 90 dans la fenêtre 4 sans changer les autres paramètres du circuit. Courbe n 2.3b 2. Comment qualifier le régime de fonctionnement du circuit RLC série lorsque R est grand? Le régime de fonctionnement du circuit RLC, pseudo-périodique si R est petit, tend à devenir apériodique lorsque R est grand. NB : R c 3 L 11, C 2,00.10 c) Si R était nulle

4 1. Prévoir ce qu il se passerait si R T était nulle. Schématiser u C = f(t) dans ce cas. Si R était nul, les oscillations ne seraient pas amorties : le régime de fonctionnement serait alors purement périodique. 2. Comment appellerait-on ce genre de circuit? Le circuit RLC serait alors un circuit oscillant périodique non amorti. 4 ETUDE ENERGETIQUE DU CIRCUIT RLC SERIE : Nom du fichier : RLC_energie». Acquérir u C = f(t) et u R = f(t) comme dans le I. 1. Déterminer les expressions des énergies emmagasinées par le condensateur E C et par la bobine E L ainsi que l énergie totale du système condensateur-bobine, qu on notera E. 2. Tracer E C = f(t) et E L = f(t) dans la fenêtre 2 Courbe n 4.2. Comment varie E C et E L? E C et E L oscillent à la manière de U C (t) et de i(t), mais en restant positives (présence du carré dans leurs expressions). Par ailleurs, les variations sont en opposition de phase : lorsque E C est maximale, E L est minimale, et réciproquement. 3. Tracer E C = f(t), E L = f(t) et E = f(t) dans la fenêtre 3 Courbe n 4.3. Comment varie E? L énergie totale E = E C + E L décroît, à la manière des oscillations observées dans U C (t) et i(t). L énergie totale du circuit diminue au cours du temps. 4. A quoi est due la diminution de l énergie totale du système au cours du temps? C est dans l amortissement des oscillations qu il faut chercher la diminution d énergie : la présence de R implique une dissipation de l énergie par effet Joule ; cette énergie dissipée est transmise à l environnement sous forme d énergie thermique au niveau de la résistance (bobine et conducteur ohmique). 5. Comment serait l énergie totale si R T était nulle? Dans le cas où R est nulle, les oscillations ne seraient plus amorties : l énergie totale serait constante. 6. Représenter E C = f(t), E L = f(t) et E = f(t) dans ce cas. 5 BILAN DE CE TP Le dipôle RLC série constitue est le siège d oscillations électriques pour peu que la résistance totale du circuit soit suffisamment faible ; dès lors, la pseudopériode T o des oscillations amorties est fonction des paramètres du dipôle, T 2 L C o

5 Ce TP permet de constater expérimentalement le principe de fonctionnement d un tel dispositif : le condensateur initialement chargé se décharge dans la bobine ; cette dernière lui répond en intensité et le recharge en inversant le signe de ses armatures, et ainsi de suite jusqu à ce que la dissipation intervenant par effet Joule au niveau de la résistance «à chaque échange» annule totalement l énergie initiale stockée dans le condensateur. Cette dissipation serait en théorie nulle dans un circuit où la résistance serait négligeable. Les élèves de spécialité le savent : le RLC série constitue un filtre passe-bande passif très simple permettant d éliminer une bande de fréquences donnée dans un signal. La largeur de bande est évidemment commandée par les paramètres physiques des composants R, L et C qui sont utilisés. Il permet alors, par exemple, de sélectionner la fréquence captée par un récepteur d ondes radio

6 Courbe 1.2 : U C (t) Courbe 1.3 : i(t)

7 Courbe 1.4 : q(t) Influence de C

8 4,50E-03 T (s) T = f(c) Courbe 2.1a : T(C) 4,00E-03 3,50E-03 3,00E-03 2,50E-03 2,00E-03 1,50E-03 1,00E-03 5,00E-04 C (F) 0,00E+00 0,00E+00 2,00E-06 4,00E-06 6,00E-06 8,00E-06 1,00E-05 1,20E-05 4,50E-03 T (s) T = f(racine de C) Courbe 2.1b : T( C ) 4,00E-03 3,50E-03 3,00E-03 2,50E-03 T = 1,2753 x racine(c) R 2 = 0,9979 2,00E-03 1,50E-03 1,00E-03 5,00E-04 racine de C (F 1/2 ) 0,00E+00 0, , , , , , , ,00350

9 Influence de L

10 T = f(l) Courbe 2.2a : T(L) T (s) 7,00E-03 6,00E-03 5,00E-03 4,00E-03 3,00E-03 2,00E-03 1,00E-03 L (H) 0,00E+00 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 6,00E-02 7,00E-02 8,00E-02 9,00E-02 1,00E-01 7,00E-03 T (s) T = f(racine de L) Courbe 2.2b : T( L ) 6,00E-03 5,00E-03 4,00E-03 3,00E-03 T = 0,0205 x racine de L R 2 = 1 2,00E-03 1,00E-03 Racine de L (H1/2) 0,00E+00 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350

11 Courbe 2.3a R = 50 Ω Influence de R Courbe 2.3b R = 100 Ω Courbe 2.3c R = 200 Ω

12 Courbe 4.2 Evolutions énergétiques en régime pseudo-périodique Courbe 4.3 Cas théorique : R = 0