Oscillation dans un circuit RLC

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1 Oscillation dans un circuit RL I.Décharge d un condensateur dans un dipole RL I.a. Le montage Le condensateur est initialement chargé. Il se décharge dans le dipôle RL I.b. Les trois régimes libres du circuit RL On mesure U avec un oscilloscope pour différentes valeurs de R Le régime pseudo-périodique est observé pour de faibles valeurs de R R < L Lorsque est grand (amortissement L imporatnt), R > on observe une décharge du condensateur sans que la tension oscille. On parle de régime apériodique (sans période) L Ici R =, c est dans ce cas que U tend le plus rapidement vers la valeur nulle. On parle de régime apériodique critique. Il n y a pas d oscillation. TS Page 1

2 I.c. Equation différentielle d un circuit RL série en régime libre D après la loi d additivité des tensions on peut écrire : U R + U L + U = 0 De plus dq du U R = Ri = R = R di d dq d q U L =L = L ( ) = L L q U = = D où L du + R + U = 0 II.Oscillations non amorties d un circuit L II.a. Mise en équation Dans ce cas R=0 Ω l équation précédente devient : L + U = 0 II.b. Résolution de l équation différentielle π t La solution générale de l équation est U = A cos( + φ) A est l amplitude et ( TS Page π t + φ) la phase des oscillations. est la période propre des oscillations de la tension U. φ est la phase à l instant t = 0 Détermination de A et φ Il faut utiliser les conditions initiales : U (t=0) = U 0

3 Exprimons i(t) : q(t=0) = U 0 i(t=0) = 0 dq du i = = du de plus π π t = -A sin( + φ) d où i = -A π sin( π t + φ) Pour t=0 on a i (0) = -A π sin(φ) or i (0) =0 donc sin(φ) = 0 et φ = 0 (à π près) De plus U (t=0) = A = U 0 donc A = U 0 Détermination de π t On va injecter la solution U = A cos( ) dans l équation différentielle L +U =0 U = A cos( du = -A π t ) π sin( π t ) π π t = -A T cos( ) 0 π π t π t π π -LA T cos( )+A cos( ) = 0 d où -L 0 T 0 T + 1 =0 soit 1 = L 0 T 0 Donc = π L II.c. Analyse dimensionnelle de la période propre. On utilise les formules suivantes q = U di U B = L dq i = [L] [] [L]. [] s V.s A A. = V Vs [ L. ] s II.d. Pseudo-période T et période propre La pseudo période T est toujours plus grand que la période propre TS Page 3

4 La pseudo-période T est d autant plus proche de la période propre que l amortissement est faible. III.Etude énergétique. III.a. Bilan énergétique di q U R + U L + U = 0 soit Ri + L + =0 dq Multiplions par i : (on rappelle que i = ) Ri di q + Li + dq =0 On rappelle aussi que (u n ) = n.u (n-1).u On peut transformer l écriture en : Ri d i 1 + L ( )+ d q ( )=0 soit Ri d Li q + ( + ) = 0 On appelle ξ (t) l énergie emmagasinée par le circuit. ξ (t) = Li + q On peut donc écrire que Ri + = 0 Energie ξ B emmagasinée dans la bobine à la date t Energie ξ emmagasinée dans le condensateur à la date t III.b. Interprétation as d un amortissement négligeable R = 0 Ω L équation précédente devient : = 0, c'est-à-dire que l énergie emmagasinée ξ est constante ξ = ξ B + ξ d où = d( ξb + ξ ) = 0 soit B + = 0 d où B =- La relation B =- montre qu il y a échange d énergie entre la bobine et le condensateur, l énergie totale reste constante. TS Page 4

5 as d un amortissement non négligeable Dans ce cas = - Ri ; la dérivé est négative donc ξ(t) décroît. Le circuit perd de l énergie. (Echauffement de la résistance) Evolution au cours du temps de l énergie totale ξ du circuit RL, de l énergie ξ et de l énergie ξ L dans le cas d oscillations amorties IV.Entretien des oscillations Les oscillations s atténuent car il y a une perte d énergie au niveau de la résistance du circuit RL par effet joule. Pour limiter les pertes d énergie il faut donc limité la valeur de R. Or la plus petite valeur que l on puisse obtenir pour R c est la valeur de la résistance de la bobine. Pour compenser les pertes énergétiques du dipôle RL, on peut envisager de lui associer un dipôle D qui lui restitue à chaque instant l énergie qu il perd. Une solution consiste à utiliser une résistance négative, ainsi la résistance globale du circuit devient nulle. Si R > 0, il y a amortissement des oscillations Si R = 0 les oscillations sont entretenues Si R < 0 les oscillations sont d amplitude croissante jusqu à une valeur maximal. TS Page 5

6 Ici la résistance totale R du circuit à pour valeur R = 0 Ω TS Page 6