PHYSIQUE GENERALE I - Exercices

Transcription

1 PHYSIQUE GENERALE I - Exercices Exercice I corrigé la semaine précédente Exercice II : Grenade Un projectile est lancé d un canon avec une vitesse de sortie de 466 m/s et un angle de 57.4 par rapport à l horizontale. Au point le plus haut de sa trajectoire, le projectile explose en deux fragments de même masse. Un fragment, dont la vitesse immédiatement après l explosion est zéro, tombe verticalement. Si le canon est au niveau de sol, à quelle distance de canon l autre fragment touche le sol?

2 Exercice III : Une barque de 2 m de longueur et 100 Kg de masse se trouve librement dans l eau, sa pointe se trouvant à 50 cm du quai (voir figure). A l autre bout de la barque se trouve un homme pesant 60 Kg. Il s agit de déterminer si, une fois arrivé à la pointe, l homme sera capable, en sautant, d atteindre le quai. a) D abord, imaginez que l homme se dirige vers la pointe de la barque avec un déplacement parallèle à celle-ci. Une fois arrivé, déterminer quelle sera la distance entre lui et le quai. Négliger toutes les forces de frottement avec l air et de la barque avec l eau. b) Dans un deuxième temps il essaie de sauter sur le quai. En considérant que sur terre, il soit capable de sauter une distance horizontale de 1.80 m. De plus, on peut considérer que la portée de son saut est proportionnelle à sa vitesse horizontale. Calculez la portée de son saut. Atteindra t-il le quai? a) Prenons un référentiel associé à la terre avec l axe x parallèle à la direction du mouvement et positif vers la droite. L origine peut se trouver à la position initiale de la personne, mais on travaillera avec des déplacements, pas avec des positions absolues, donc la position de l origine n est pas importante. Comme il n y a pas de frottement ou d autres forces externes au système dans la direction du mouvement (horizontale, parallèle à la barque), la position du centre de masse doit rester la même. X CM =m p x p + m b x b ; m p, m b sont les masses de la personne et la barque respectivement et x p, x b leurs déplacements. La position du centre de masse sera, donc la même pour les moments initial et final, ce dernier étant le moment où il atteint le bout de la barque. m p x p 1 + m b x b 1 = m p x p 2 + m b x b 2, mais x p 2 = x p 1 + x p et x b 2 = x b 1 + x b, remplaçant : m p x p 1 + m b x b 1 = m p x p 2 + m b x b 2 + m p x p + m b x b, m p x p + m b x b =0 x p = -(m b / m p ) x b Donc, si la personne se déplace d une quantité x p vers la droite, la barque se déplacera de x b vers la gauche (puisque les signes sont contraires). De plus, on remarque que la différence des deux déplacements est égale à la longueur de la barque (différence parce qu ils vont dans des sens contraires). Pour le vérifier vous pouvez exprimer le déplacement de la personne (jusqu'à maintenant relatif au quai ou à la terre) en fonction du déplacement relatif à la barque

3 x p - x b = L = 2 m, x b = x p - L, remplaçant l expression de x p : x b =, -(m b / m p ) x b - L x b [1 + (m b /m p )]= -L, x b =-L/[1 + (m b /m p )] Essayez d imaginer les cas limites pour cette formule : 1- Si la masse de la barque est beaucoup plus grande que celle de la personne, m b /m p >>1 et le déplacement de la barque est très petit. C est comme si la barque ne sentait pas que la personne se déplace sur elle. 2- Si la masse de la barque est beaucoup plus petite que celle de la personne, m b /m p <<1 et le déplacement de la barque est très proche de L. En ce cas, c est comme si la barque glissait sous la personne en provoquant un tout petit effet sur elle (vous pouvez également vérifier qu en ce cas le déplacement de la personne serait très petit). Cette situation est d ailleurs très hypothétique, parce qu il serait très difficile de faire flotter une barque en ces conditions. On peut, donc calculer les déplacements : x b = m = -75 cm x p = 1.25 m On peut, donc, conclure que la pointe de la barque se trouve à la fin, à 1.25 m du quai. Parce qu elle était à 50 cm au début et elle s est déplacée de 75 cm. b) Il va essayer de sauter une distance de 1.25 m. Maintenant il va sauter sur un système mobile (la barque). Comme c est sur la barque qu il exerce la force, par rapport à la barque, sa vitesse sera égale à la vitesse avec laquelle il saute sur la terre (appelons la v). A partir de cette vitesse on peut calculer la vitesse par rapport à la terre : v p = v p b + v b = v b + v Maintenant, vu que dans la direction horizontale il n y a pas de force externe au système, la quantité de mouvement linéaire est conservée après le choc. Comme avant que la personne saute, tout était au repos (en fait le centre de masse est au repos tout le long du mouvement, jusqu'à ce que la personne atteigne le quai) la quantité de mouvement totale est égale a zéro avant et après le choc. P = 0 = m p v p + m b v b, en ce moment on peut remplacer v p 0 = m p (v + v b ) + m b v b = v b (m p + m b ) + m p v, v b = -m p v/(m p + m b ) v est positive, car la personne saute vers le quai et on a défini ceci comme le sens positif On peut remplacer ce résultat dans la formule de la vitesse de la personne : v p = v b + v = v[1- m p /(m p + m b )] Maintenant on connaît que la portée est proportionnelle à la vitesse horizontale, donc, si S=2 m est la portée sur la terre (avec vitesse v), et S b est la portée quand il saute depuis le bateau (avec vitesse v p ) :

4 S b /S=v p /v= 1- m p /(m p + m b ), masses : S b = S[1- m p /(m p + m b )], remplaçant les valeurs des S b =0.625 S, S b = 1.13 m Cette distance est plus petite que la distance qui le sépare du quai, donc, il ne peut pas atteindre celui-ci en sautant, bien qu il se trouve à une distance plus petite que ce qu il peut sauter sur terre.

5 Exercice IV : Descente de la station MIR Après 15 ans de succès dans son vol orbital, la première station spatiale internationale de l histoire (MIR) est rentrée dans l atmosphère terrestre le 23 mars 2001, pour plonger définitivement dans les eaux du Pacifique Sud. Voir, par exemple : Le but de ce problème est d estimer la force exercée par l atmosphère sur le vaisseau dans les couches profondes de la ionosphère (h 100 km) avant que ça commence à brûler! On va considérer le vaisseau comme un objet plat, dont la surface efficace est de 100 m 2. En arrivant à la hauteur de 100 km sa vitesse est de 7 km/s. La densité de molécules à cette hauteur est approximativement de molécules/cm 3, et leur masse moyenne de 3*10 23 g. La vitesse moyenne des molécules dans l ionosphère est de quelques dizaines de m/s. Donc, par rapport à la vitesse du vaisseau, on peut considérer ces molécules comme un ensemble de particules en repos qui se font rentrer dedans par le satellite en chute. a) Calculez le nombre de molécules par unité de temps qui frappent la surface du vaisseau. b) Calculez la quantité de mouvement que reçoit chaque molécule lors de la collision ( supposer que celle-ci est élastique ). c) Calculez enfin la force exercée sur la surface du vaisseau par les collisions des molécules. Correction. Mettons d abord toutes les données en unités du Système International. Surface Efficace du Vaisseau : A = 100 m 2 Vitesse du Vaisseau : v = m/s Densité de molécules : ρ = molécules/m 3 Masse moyenne des molécules : m = kg a) Soit "η" le nombre de molécules qui frappent le vaisseau par unité de temps. Pendant le temps t, MIR parcourre une distance d, es se fait frapper par toutes les molécules contenues dans le volume V (voir figure) N molé = ρ V η = N molé / t = ρ V / t V = A d d = v t η = A v ρ Application numérique : η = molécules/s

6 b) Pour calculer la quantité de mouvement reçu par la molécule il faut calculer le changement de sa vitesse après la collision. Pensons à un référentiel fixe au vaisseau. Les molécules arrivent avec une vitesse v. La collision, étant élastique, est pareille à celle d une balle contre un mur. Après le rebondissement la balle s éloigne du mur avec la même vitesse, en sens contraire. La variation de la quantité de mouvement est : p = p f p o p f = m v p o = - m v p = 2 m v Application numérique : p = kg m/s c) D après la loi de conservation de la quantité de mouvement, lors de la collision avec une molécule, le vaisseau aussi suit une variation de sa quantité de mouvement, égal mais en sens inverse à celle de la molécule p MIR = p Si pendant un intervalle de temps t, il y a un nombre N molé de collisions, la variation de la quantité de mouvement du vaisseau pendant ce temps est : P MIR = p N molé Selon la troisième loi de Newton la force exercé sur un système est F = dp/dt. Alors, sur notre vaisseau cela donne : F = P MIR / t F = p N molé / t F = p η Application numérique : F = N Le résultat, n est pas une force extrêmement grande. C est à peu près le poids de 300 kg. Par contre on peut imaginer ce qui se passe lorsque la densité de molécules dans l atmosphère commence à augmenter. Au niveau de la mer, la densité de molécules est de l ordre de molé/m 3, c est à dire, 10 6 fois plus que à la ionosphère. La force des molécules sur le vaisseau avec une telle vitesse ici en bas serait l équivalent à un poids de kg Evidemment, le vaisseau ne le supporterait jamais!!