ALGEBRE DE BOOLE I ) DEFINITIONS :

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1 ALGEBRE DE BOOLE I ) DEFINITIONS : ) Présentation : Les circuits électroniques sont classés en deux grandes catégories : les circuits digitaux (numériques) et les circuits analogiques. Dans un circuit analogique, les signaux électriques ont une amplitude variant continuellement. Cette amplitude peut prendre un nombre très élevé de valeurs entre le minimum et le maximum. Un amplificateur basse fréquence, par exemple, est un circuit analogique. Il amplifie aussi bien les signaux faibles que les signaux forts. L'amplitude varie sans cesse, suivant le niveau de la voix ou de la musique à amplifier. Un circuit digital est un circuit dans lequel les signaux ne peuvent avoir que deux niveaux, soit le niveau, soit le niveau 0. Un interrupteur, par exemple, est un circuit digital. Les circuits logiques utilisent la technique digitale Les circuits logiques ont besoin d une alimentation pour fonctionner, cette alimentation ne sera pas représentée pour ne pas compliquer les schémas, mais elle existera toujours!!! ) Introduction : * En logique binaire, on a deux symboles possibles : 0 et. * En électricité, on a deux possibilités : présence ou absence de courant ou de tension. En associant les deux, on obtient deux choix possibles : - En logique positive : Une logique est dite positive si l'on associe le potentiel électrique le plus élevé à l'état. -> Présence de courant ou de tension. 0 -> Absence de courant ou de tension. JFA09 BOOLE

2 - En logique négative : Une logique est dite négative si l'on associe le potentiel électrique le plus élevé à l'état logique > Présence de courant ou de tension. -> Absence de courant ou de tension. Remarque : D'une façon générale, dans les schémas logique, on travaille en logique positive. Le niveau logique 0 correspond à la tension 0V. Le niveau logique correspond à une tension positive (5V ou V par exemple). * Chronogrammes : On représente les états logiques en fonction du temps. ) Variable logique : Une variable logique ou binaire, notée X, est une grandeur qui ne peut prendre que deux états (0 ou ): X = 0 si X X = si X 0 Un interrupteur K ne peut prendre que deux états, il est ouvert, ou il est fermé. L'état de cet interrupteur peut être décrit par une variable logique X. En général, on attribue la valeur 0 à cette variable quand K est ouvert, et la valeur quand K est fermé 4 ) Opérateurs logiques : On définit cinq opérateurs logiques de base : OUI, NON, 5 ) Fonction logique : OU Inclusif, (et son complément), ET, (et son complément), OU Exclusif, (et son complément). Une fonction logique est une associations de variables, reliées par des opérations, qui ne peut prendre que deux valeurs (0 et ). Par suite une fonction logique pourra à son tour être considérée comme une variable vis-à-vis d'une autre fonction logique (fonction de fonction). JFA09 BOOLE

3 Exemple : Si S dépend de e et e, S est une fonction des variables e et e 6 ) Table de vérité : S=e+e La fonction S peut-être définie à partir d'un tableau appelé TABLE DE VERITE, qui indique la valeur de S, selon les valeurs de e et de e. Chaque table de vérité définit une fonction logique. Remarque : e e S L'état est aussi appelé état haut (H); l'état 0 est l'état bas (B, L). II ). DIFFERENTES FONCTIONS LOGIQUES : ) Fonction OUI : * Définition : La fonction OUI effectue l'égalité entre deux variables. Elle sert à transmettre et à amplifier l'information. * En électricité : Au repos (a=0), la lampe est éteinte (S=0). Si on appuie sur a (a=), la lampe s'allume (S=). On peut donc écrire la relation S=a. Donc un contact travail représente la variable. JFA09 BOOLE

4 * Table de vérité : a S 0 0 * Equation : * En électronique : S=a Symbole normalisé : Ancien Symbole : * Chronogrammes : ) Fonction NON : (NO) * Définitions : La fonction NON (ou négation) effectue le complément logique (ou l'inverse) d'une variable. On le note en ajoutant une barre sur la variable ( x est le complément de x et se lit x barre).cette définition conduit aux relations suivantes : 0;0 On en déduit que le complément de A est égale à A barre ( A); et le complément de A barre est égale à A. JFA09 4 BOOLE

5 Donc si A = 0 alors A = Et si A = alors A = 0 Il est possible de complémenter plusieurs fois une variable ou un groupe de variables. Exemple : A = A * En électricité : Au repos (a=0), la lampe est allumée (S=) ; si on appuie sur a (a=), la lampe s'éteint (S=0); On peut donc écrire S=a. Donc un contact repos représente le complément de la variable. * Table de vérité : a S 0 0 * Equation : * En électronique : S=a Symbole normalisé : Ancien symbole : JFA09 5 BOOLE

6 * Chronogrammes : ) Fonction ET : (AND) * Définitions : Cette opération, aussi appelée intersection, appliquée à deux variables, conduit au produit, ou fonction ET de ces deux variables. On la note par le signe entre les deux variables x et y, mais plus simplement xy ou x y. Le résultat est égal à si les deux variables valent. En électricité : Au repos, la lampe est éteinte; la lampe s'allume seulement si l'on appuie sur a et b.on est donc en présence d'une fonction ET. Remarque : Le ET en électricité se réalise en mettant les contacts en série. JFA09 6 BOOLE

7 * Table de vérité : a b S Remarque : En généralisant, pour que S soit à, il faut que toutes les variables d'entrées soient à. Le ET logique est équivalent à une multiplication. * Equation : * En électronique : S a. b Symbole normalisé : Ancien symbole : * Propriétés : A. A A A. A 0.A A 0. A 0 JFA09 7 BOOLE

8 * Chronogrammes : 4 ) Fonction OU (Inclusif) : (OR) * Définitions : Cette opération, aussi appelée réunion, appliquée à deux variables, conduit à la somme, ou fonction OU de ces deux variables. On la note par le signe U entre les deux variables x U y, ce qui évite de la confondre avec l'addition arithmétique, mais en pratique, on la notera sous la forme x+y. Le résultat est égal à si l'une ou l'autre des variables ou les deux valent. * En électricité : Remarque : Au repos, la lampe est éteinte; La lampe s'allume si l'on appuie sur a ou sur b. On est donc en présence d'une fonction OU. Le OU en électricité se réalise en mettant les contacts en parallèle. JFA09 8 BOOLE

9 * Table de vérité : a b S Remarque : En généralisant, il suffit qu'une des variables d'entrées soit à pour que la sortie soit à. Le OU logique est équivalent à une addition ;sauf la dernière ligne, car A et B sont des états et pas des valeurs numériques. * Equation : * En électronique : S a b Symbole normalisé : Le signifie que pour que la sortie passe à, il faut que le nombre d'entrées au niveau soit égal ou supérieur à. Ancien symbole : * Propriétés : A + A = A A + A = + A = 0 + A = A JFA09 9 BOOLE

10 * Chronogrammes : 5 ) Fonction OU Exclusif : (XOR) (OU disjonctif ou Dilemme) * Définition : La fonction OU Exclusif est encore appelée fonction d'anti-coïncidence car sa sortie n'est à l'état que lorsque les entrées sont dans des états différents. * En électricité : OU JFA09 0 BOOLE

11 Au repos, la lampe est éteinte; La lampe s'allume si l'on appuie sur a ou sur b, mais elle s'éteint si l'on appuie sur les deux. En résumé S= si et seulement si l'on appuie exclusivement sur a ou sur b. On est donc en présence d'un OU exclusif. * Table de vérité : Remarque : * Equations : * En électronique : a b S Attention au piège, en généralisant à entrées, il faudra d'abord effectuer un OU exclusif entre deux variables d'entrée, puis effectuer le suivant entre le résultat précédent et la troisième variable d'entrée. Le OU exclusif est équivalent à une addition modulo ( + = 0 et je retiens ). Symbole normalisé : S a b S a. b a. b S ( a b).( a b) Ancien symbole : * Propriétés : A A 0 A A JFA09 BOOLE

12 * Chronogrammes : 6 ) Fonction NON ET : (NAND) * Définition : La fonction NON ET n'est à l'état 0 que si toutes les entrées sont à l'état. Dès que l'une des entrées est à l'état 0, la sortie passe à l'état. * En électricité : Au repos, la lampe est allumée; La lampe s'éteint si l'on appuie sur a et sur b. On est donc en présence d'une fonction NON ET. JFA09 BOOLE

13 * Table de vérité : Remarque : * Equations : * En électronique : a b S En généralisant, la sortie est à 0 seulement quand toutes les variables d'entrées sont au niveau. Symbole normalisé : S a. b a b Ancien symbole : JFA09 BOOLE

14 * Chronogrammes : 7 ) Fonction NON OU (Inclusif) : (NOR) (NI) * Définition : La sortie ne se trouve à que si toutes les entrées sont à l'état 0. * En électricité : La lampe s'allume seulement au repos. * Table de vérité : a b S Remarque : En généralisant, La sortie est à seulement lorsque toutes les entrées sont à 0. JFA09 4 BOOLE

15 * Equations : * En électronique : S a b a. b Symbole normalisé : Ancien symbole : * Chronogrammes : 8 ) Fonction NON OU (Exclusif) : (EXNOR) (Egalité ou Coïncidence ou Identité) * Définitions : La sortie est à quand les entrées sont égales. * En électricité : JFA09 5 BOOLE

16 OU Au repos, la lampe est allumée; La lampe s'éteint si l'on appuie sur a ou sur b, mais elle s'allume si l'on appuie sur les deux. * Table de vérité : * Equations : S a b S a. b a. b S ( a b).( a b) a b S JFA09 6 BOOLE

17 * En électronique : Symbole normalisé : Ancien symbole : * Chronogrammes : III ) DIFFERENTES RELATIONS : ) Relations de bases : Les opérations fondamentales sont : la somme, le produit, le complément. * Toute variable A a un inverse appelé complément,et noté A tel que : A + A = A. A = 0 * Les opérations sont commutatives : A + B = B + A A. B = B. A * Les opérations sont distributives : JFA09 7 BOOLE

18 - Distributivité du ET par rapport au OU Une table de vérité permet de vérifier que : A.(B + C) = A.B + A.C Cette propriété autorise à développer ou, inversement, à mettre en facteurs comme en algèbre classique. Exemple : A=xyz + xq +w = x.(y.z+q)+w - Distributivité du OU par rapport au ET De même, on peut vérifier que : A + (B.C) = (A+B).(A+C) Cette relation est intéressante pour mettre une expression sous forme de produit logique (ET) de OU logique. Exemple : ) Autres relations : EXERCICES : ATTENTION : A= x+(y.z.q) +w = (x+y).(x+z).(x+q)+w A A.B A A (A B) A A A.B A B A (A B) A.B X A.B A.B A.(B B) A. A X A.B A.B.C A.(B B.C) A.(B C) X X A.B A.B.C.D A.B B.C.D (A B).(A C) A B.C X4 (A B).(A C).(A D) A B.C.D X5 (A B).(A B) A.B A.B X6 A.B A. C. B. C B.( A C) AC. B.( A AC. ) AC. A. B A. B. C AC. AC..( B) A. B A. B AC. X7 A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C A B C ) Théorème de DE MORGAN : a) er Théorème : Le complément d'un produit de variables, est égal à la somme des compléments de variables. A.B.C A B C JFA09 8 BOOLE

19 b) ème Théorème : Le complément d'une somme de variables, est égal au produit des compléments de variables. A B C A. B.C Ils permettent des simplifications remarquables des équations logiques, donc des réductions de schémas. Exemple : Trouver le complément de : X A B.C X A.B C.D X A.B C.D X A A.B.C A.B.C.D.E IV ) Réalisation des fonctions logiques à l'aide des différents opérateurs : Toute fonction logique peut-être réalisée de manières suivantes : - Soit avec des opérateurs ET, OU, NON. - Soit avec des opérateurs NON ET (NAND). - Soit avec des opérateurs NON OU (NOR). Le schéma obtenu s'appelle le logigramme. Exemple : Soit la fonction telle que F a.b a.b. Réalisation avec des opérateurs ET, OU, NON : Schéma : V ) LES SYSTEMES LOGIQUES : ) Définition : Toute fonction logique peut-être réalisée de manières suivantes : - Soit avec des opérateurs ET, OU, NON. JFA09 9 BOOLE

20 - Soit avec des opérateurs NON ET (NAND). - Soit avec des opérateurs NON OU (NOR). Nous dirons que ces groupes d opérateurs forment «un système complet». On appelle fonction logique, une combinaison de variables booléennes reliées par des opérateurs logiques : F (a b).(a c).d Le schéma obtenu s'appelle un logigramme. Exemple : Réaliser le schéma de l'équation suivante : Schéma : F a.c d.b Exercice : Rechercher l'équation et représenter le logigramme d'un système correspondant au fonctionnement suivant : S= a + b si x = S= a. b si x = 0 Solution : S (a b).x (a.b).x S a.x b.x a.b.x S a.(x b.x) b.x S a.x a.b b.x JFA09 0 BOOLE

21 Schéma : VI ) FONCTIONS LOGIQUES : ) Fonction complètement définie : Une fonction est complètement définie quand on connaît sa valeur (0 ou ) pour toutes les combinaisons possibles des variables d'entrées.ces combinaisons sont au nombre de n pour n variables d'entrées. On établit alors la table de vérité de la fonction. Exemple : Table de vérité de la fonction majorité sur variables : la fonction vaut si la majorité des variables d'entrées sont à. Il y a = 8 combinaisons des variables a, b, c. La fonction F est complètement définie si on connaît son état logique (0 ou ) pour chacune de ces 8 combinaisons. On aura la table de vérité suivante : JFA09 BOOLE

22 ) Fonction incomplètement définie : c b a F Une fonction est incomplètement définie quand sa valeur est indifférente ou non spécifiée pour certaines combinaisons des variables d'entrées. Ce cas se rencontre lorsque certaines combinaisons sont impossibles physiquement. On notera X la valeur de la fonction dans ce cas. Ces cas non définis sont très intéressants pour la simplification des fonctions. Exemple : Table de vérité de la fonction majorité pour 4 variables d'entrées. JFA09 BOOLE

23 d c b a F X X 0 0 X X 0 0 X X 0 0 c) Forme NON ET : Dans la pratique, on est amené à réaliser des fonctions avec une seule sorte de portes logiques, ici des NON ET. Il faut donc expliciter la fonction avec seulement des multiplications. La méthode consiste à complémenter fois la fonction et à utiliser le théorème de DE MORGAN avec une seule des complémentations. Exemple : Si on prends la fonction majorité précédente : F a.b.c a.b.c a.b.c a.b.c F a.b.c a.b.c a.b.c a.b.c F (a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c) JFA09 BOOLE

24 JFA09 4 BOOLE Schéma : 4 4 F b a c Transformer les entrées et 4 entrées en entrées : Il suffit de rajouter barres là où ca nous arrange pour avoir entrées : (a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c) F (a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c) F (a.b.c).(a.b.c).(a.b.c).(a.b.c) F a b c F

25 d) Forme NON OU : On peut aussi réaliser la fonction avec seulement des NON OU. Il faut donc expliciter la fonction avec seulement des additions. On la complémente fois, et on utilise le théorème de DE MORGAN. Exemple : si on prends la fonction majorité précédente Schéma : F F0 (a b c).(a b c).(a b c).(a b c) F0 (a b c).(a b c).(a b c).(a b c) F0 (a b c) (a b c) (a b c) (a b c) c b a F0 4 Transformer les entrées en entrées. Il suffit de rajouter barres là où ca nous arrange pour avoir entrées : F0 (a b c) (a b c) (a b c) (a b c) F0 (a b c) (a b c) (a b c) (a b c) JFA09 5 BOOLE

26 c b a F0 e) Nombre de circuits intégrés utilisés : Pour calculer le nombre de circuits intégrés utilisées, il faut partir d un circuit intégré qui possède 4 broches. On utilise broches pour l alimentation. Il en reste donc broches. Si on veut des portes à entrée : Il y a donc broche en entrée plus pour la sortie soit broches par porte! Donc broches / broches par portes = 6 portes à entrée par Circuit Intégré (C.I.). Si on veut des portes à entrées : Il y a donc broches en entrée plus pour la sortie soit broches par porte! Donc broches / broches par portes = 4 portes à entrées par CI. Si on veut des portes à entrées : Il y a donc broches en entrée plus pour la sortie soit 4 broches par porte! Donc broches / 4 broches par portes = portes à entrées par CI. Si on veut des portes à 4 entrées : Il y a donc 4 broches en entrée plus pour la sortie soit 5 broches par porte! Donc broches / 5 broches par portes = portes à 4 entrées par CI. Si on veut des portes à 8 entrées : Il y a donc 8 broches en entrée plus pour la sortie soit 9 broches par porte! Donc broches / 9 broches par portes = porte à 8 entrées par CI. JFA09 6 BOOLE

27 f) Portes restantes : Une fois le nombre de circuits intégrés déterminé, il peut rester des portes logiques non utilisées. Ces portes pour ne pas consommer inutilement à cause des parasites, doivent être branchées en entrée à un potentiel donné (soit VCC, soit GND), et laissées en l air pour la sortie (On met une croix verte sous Orcad Capture). Exemples : g) Diminution du prix : Pour des raisons de simplicité et matérielles, on est amené à rechercher la forme la plus réduite d'une fonction. On arrive à ce résultat par des mises en facteur, et avec l'algèbre de Boole, pour trouver des facteurs communs. er Exemple : Simplifier la fonction suivante : F a.b.c a.b.c a.b.c a.b.c F a.b b.c a.c En faire le logigramme, le moins cher, et compter le nombre de C.I. utilisés et représenter les portes restantes. ème Exemple : Faire de même en transformant les portes à entrées en portes à entrées. JFA09 7 BOOLE