Une démonstration du théorème de Pythagore illustrée avec GEOGEBRA

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1 Une démonstration du théorème de Pythagore illustrée avec GEOGEBRA Le but de cette activité est d apprendre à se servir de GEOGEBRA pour réaliser une figure qui ressemble à la figure suivante et qui illustre une démonstration du théorème de Pythagore : Avant de se lancer dans cette construction compliquée regardons les différentes étapes plus simples. Bertrand PELLETIER Page 1

2 Présentation du logiciel Voici l apparence de GEOGEBRA lors le la première ouverture : Bertrand PELLETIER Page 2

3 Décrivons un peu les différents outils et objets présents dans cette fenêtre : Menu Icones représentant les outils Objets «numériques» Petit triangle permettant d accéder à des sous-menus Cette zone est la zone géométrique où le dessin est réalisé Première opération à réaliser : dans la zone de construction il y a un repère dont on n a pas besoin pour notre construction. Pour ne plus afficher ce repère : - Cliquer sur <affichage> puis <Axes> Les icônes utilisées pour faire les constructions peuvent changer d allure suivant la fonction sélectionnée, à cause de cela, nous allons numéroter les icones de gauche à droite pour pouvoir s y référer dans la suite du document. Il y a 9 icônes, celle de gauche numérotée 1, est très souvent. Celle de droite, numérotée 9, est très souvent après l icône.. Le numéro de l icône sera indiqué entre crochets Construction d un point libre Cliquer sur l icône [2] puis n importe où sur la zone de géométrie, un point est placé et nommé automatiquement A. En cliquant avec le bouton droit sur le point on peut modifier ces propriétés Bertrand PELLETIER Page 3

4 (couleur, taille ). Pour déplacer l étiquette du point, cliquer sur l étiquette maintenir enfoncé le bouton puis déplacer la souris. Construction d un segment Pour construire un segment : cliquer sur le petit triangle de l icône [3], dans le sous menu, cliquer sur segment entre deux points. Puis cliquer sur le point A puis sur le point B. Le segment est construit. Remarque : dans la fenêtre algèbre apparait sous Objets dépendants, le nom du segment (a) et sa longueur. La fenêtre doit maintenant ressembler à la fenêtre suivante : Construction d un triangle rectangle en A Tout d abord il faut construire une droite perpendiculaire à (AB) passant par A : cliquer sur le petit triangle de l icône [4] et choisir <droite perpendiculaire>. Amener la flèche (blanche) sur le segment [AB], celui-ci passe en gras, cliquer. Amener ensuite la flèche sur le point A et cliquer. La droite est tracée. Bertrand PELLETIER Page 4

5 Il faut ensuite placer un point sur cette droite : cliquer sur le triangle de l icône [2] et choisir <nouveau point>, déplacer la flèche sur la droite que l on vient de construire et cliquer. Le point C est placé. Pour construire le triangle on peut construire un polygone à trois cotés : cliquer sur l icône [3] et choisir <polygone>. Cliquer ensuite successivement sur A, B, C et A. Le triangle est construit. Remarque : Dans la fenêtre de gauche on voit apparaitre poly1=un nombre, ce nombre représente l aire du polygone. Pour changer les paramètres de ce polygone (couleur, ) cliquer avec le bouton droit sur son nom et choisir <propriétés>. A ce moment précis la fenêtre doit ressembler à la suivante : Puisque la droite (AC) ne va pas nous servir pour la suite, on peut ne pas l afficher : cliquer avec le bouton droit sur la droite et choisir <Afficher objet> dans la liste. L objet disparait. On peut maintenant faire bouger la figure, pour cela cliquez sur [1], puis cliquer sur un des points et le déplacer. Bien sûr tous les points ne se déplacent pas librement puisque le triangle doit rester rectangle. Bertrand PELLETIER Page 5

6 Construction d un carré de côté [AB] Deux possibilités ici : faire simple ou faire compliqué. Mais pourquoi faire simple quand on sait faire compliqué? On va d abord construire un quadrilatère avec 3 angles droits et deux cotés consécutifs de la même longueur. Petit travail mathématique : démontrer qu un tel quadrilatère est bien un carré. D abord construire la perpendiculaire à (AB) qui passe par A puis la perpendiculaire à (AB) qui passe par B. On va ensuite construire le cercle de centre A qui passe par B : cliquer sur l icône [5] et choisir <Cercle Centre-Point>, Cliquer sur A puis sur B. Il faut ensuite construire les points d intersection de ce cercle et de la droite (AC): cliquer sur [2] choisir <Intersection entre deux objets>, cliquer sur le cercle et sur la droite (AC). Deux points sont construits E et D. Construire ensuite la perpendiculaire à (AC) qui passe par le point D (de manière à ce que le carré que l on veut construire soit à l extérieur du triangle). Construire ensuite le dernier sommet du carré comme intersection de deux droites déjà construite. Le carré s appelle ADFB. La figure doit ressembler à ça : Bertrand PELLETIER Page 6

7 On peut maintenant faire disparaitre les objets de construction : cliquer sur ces objets de construction avec le bouton droit et choisir <afficher objet>. La figure ressemble à la suivante : Bertrand PELLETIER Page 7

8 Pour construire le carré, construire comme précédemment le polygone ABFD. La figure ressemble à la suivante : Bertrand PELLETIER Page 8

9 Pour construire un carré plus simplement on peut construire un polygone régulier à 4 cotés : cliquer sur l icône [3], choisir Polygone régulier, puis cliquer sur A et C (dans cet ordre). Un menu apparait demandant le nombre de cotés, taper 4. Le carré ACGH est construit et la figure ressemble à la suivante : Choisir une méthode pour construire le carré CBIJ. Bertrand PELLETIER Page 9

10 On obtient la figure suivante : Marquage d un angle droit Construire maintenant la perpendiculaire à (CB) qui passe par A et le point d intersection K avec la droite (CB)(qui est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC). L angle est un angle droit, nous allons coder la figure : cliquer sur le triangle de l icône [6] et choisir <Angle>. Cliquez ensuite sur les points A, K et B (dans cet ordre). L angle est marqué. On peut supprimer le 90 en cliquant avec le bouton droit sur l angle et en choisissant <Afficher l étiquette>. Bertrand PELLETIER Page 10

11 La figure ressemble à la suivante : Illustrer le fait que les triangles JCK et JCA ont la même aire Petit travail mathématique : démontrer que si deux triangles ont la même base et que le troisième somme est sur une parallèle à la base alors ces deux triangles ont la même aire. Construire ensuite le point L sur la dernière droite tracée puis construire le polygone ou le triangle CLJ. Ce triangle s appelle poly5 et sont aire est inscrite dans la fenêtre de gauche. Pour l exemple l aire est 1,3. Si on déplace le point L sur la droite (AK), l aire de ce triangle ne change pas. On observe alors que l aire du triangle JCK et JCA sont les mêmes. Bertrand PELLETIER Page 11

12 La figure obtenue est la suivante : Illustrer le fait que les triangles JCA et GCB ont la même aire Pour alléger la figure on peut provisoirement ne plus afficher le triangle «mobile» LCJ et aussi la droite (AK) et le point K. Rappel : cliquer avec le bouton droit sur ces objets et choisir <afficher objet>. Construire le triangle JCA. Bertrand PELLETIER Page 12

13 La figure ressemble maintenant à la suivante : L idée maintenant est de «faire tourner» le triangle ACJ autour du point C et de superposer cette image avec le triangle GCB. Petit travail mathématique pour un élève de seconde : Montrer que les triangles ACJ et GCB sont isométriques. On va tout d abord construire un arc de cercle de centre C et qui passe par J et B : cliquer sur le triangle de l icône [5] et choisir <arc de cercle (centre 2 points)>, cliquer ensuite sur C, B et J, l arc de cercle est tracé. Placer un point M sur cet arc de cercle. Construire le segment [CM]. On peut déplacer le point M sur l arc de cercle du point B au point J. Il faut ensuite mesurer l angle : cliquer sur le triangle de l icône [6] et choisir <Angle>, puis cliquer successivement sur A, C et J. Dans la fenêtre de droite on voit que l angle créer s appelle et qu il mesure dans l exemple 159,85. On peut faire ne plus s afficher la mesure de l angle. Bertrand PELLETIER Page 13

14 On va maintenant construire un point N tel que l angle soit égal à l angle : cliquer sur le triangle de l icône [6] et choisir <Angle de mesure donnée>, cliquer sur M puis C, une fenêtre s ouvre, la remplir comme suit : Puis cliquer sur <Appliquer>. Le point N est créé. Attention : dans l exemple le point N est créé trop à droite et on ne le voir pas! Il faut déplacer la figure : pour cela cliquer sur l icône maintenant le bouton appuyer et déplacer la figure. [9], puis n importe où sur la figure en La figure doit ressembler à celle-ci : Bertrand PELLETIER Page 14

15 Il faut maintenant créer le segment [NC], l arc de cercle de centre C qui passe par A et G, le point d intersection O de cet arc et du segment [NC], le triangle OCM et enfin ne plus afficher les objets de construction. La figure obtenue ressemble à la suivante : On peut déplacer le point M son arc de cercle et faire tourner le triangle OCM, ce «triangle tournant» peut se superposer avec les triangles ACJ et GCB, ces deux triangles ont donc la même aire. Pour la suite de l activité on peut faire ne plus afficher les triangles ACJ, le triangle tournant et les arcs de cercle de construction. On revient à la figure suivante : Bertrand PELLETIER Page 15

16 Illustrer le fait que les triangles GCB et GCA ont la même aire Placer un point P sur le segment [AB], puis construire le triangle (mobile) GCP. Déplacer le point P sur le segment [AB] pour illustrer le fait que les triangles GCB et GCA ont la même aire. Petit travail mathématique : démontrer que ces triangles ont la même aire. Bertrand PELLETIER Page 16

17 Le travail avec GEOGEBRA est fini, il faut maintenant écrire une démonstration du théorème de Pythagore. L aire du carré CBIJ est égale à CB². Elle est aussi égale à 2 fois l aire du triangle CKJ plus 2 fois l aire du triangle IKB. On a montré que l aire du triangle JCK est égale à l aire du triangle CGA qui est la moitié de l aire du carré ACGH. On pourrait montrer de même que l aire du triangle IKB est égale à l aire du triangle BAD qui est la moitié de l aire du carré ADFB. En conclusion CB²=AB²+AC². Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés. Bertrand PELLETIER Page 17