STATISTIQUES DESCRIPTIVES BIVARIÉES

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1 L1 Psycho Statistiques descriptives STATISTIQUES DESCRIPTIVES BIVARIÉES Exercice 1. Un site internet reçoit visiteurs durant un mois. On désigne par X le navigateur internet utilisé et Y le système d exploitation utilisé. X \ Y Windows Mac Linux Chrome Firefox Internet Explorer Safari Autres (a) Identifier la population, sa taille ainsi que les variables étudiées en précisant leur type. (b) Quelle est la proportion de visiteurs sous Windows? (c) Quelle proportion de visiteurs utilisent le navigateur Safari? (d) Parmi les utilisateurs de Mac, quelle proportion utilise Chrome? (e) Parmi les utilisateurs de Safari, quelle proportion est sous Windows? ( f) Représenter graphiquement la distribution des proportions par avigateur pour chaque système d exploitation. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Corrigé de l exercice 1. (a) Population : visiteurs du site internet étudié. Individu : un visiteur du site internet. Taille : Variables étudiées : on étudie deux variables, à savoir X et Y. La variable X est le navigateur utilisé par le visiteur ; c est une variable qualitative nominale. La variable Y est le système d exploitation utilisé par le visiteur ; c est une variable qualitatif nominale. 1

2 (b) On recherche la proportion marginale P(Y Windows). Pour cela, on détermine les effecteurs marginaux dans le tableau de contingence : X \ Y Windows Mac Linux TOTAL Chrome Firefox Internet Explorer Safari Autres TOTAL L effectif marginal de la modalité «Windows» pour Y est donc On a donc : P(Y Windows) ,60 %. (c) L effectif marginal de la modalité Safari pour X est 704 donc P(X Safari) ,24 %. (d) On est sous la condition Y Mac donc on extrait du tableau de contingence la colonne Mac et on calcule les proportions correspondantes : On a donc : X Y Mac Effectif Proportion (%) Chrome 116 9,4 Firefox ,43 Internet Explorer 23 0,19 Safari ,21 Autres 40 0,33 TOTAL P(X Chrome Y Mac) 9,4 %. (e) On est sous la condition X Safari, donc on extrait du tableau de contingence la ligne correspondant à Safari : On a donc : Y X Safari Windows Mac Linux TOTAL Effectif Proportion (%) 9,43 90, P(Y Windows X Safari) 9,43 %. ( f) Puisque l on demande la répartition des proportions, on met les proportions en ordonnée. Puisque l on demande la répartition par avigateur, on met la variable X en abscisse. Finalement, puisque l on demande la répartition pour chaque système d exploitation, on doit 2

3 déterminer les proportions conditionnelles de X sachant les modalités de Y, c est-à-dire X Y Windows, X Y Mac et X Y Linux. À la question (d), on a déjà déterminer X Y Mac donc il nous reste X Y Windows et X Y Linux : X Y Windows Effectif Proportion (%) Chrome ,69 Firefox ,14 Internet Explorer ,37 Safari 66 0,7 Autres ,1 TOTAL X Y Linux Effectif Proportion (%) Chrome 427 7,9 Firefox ,75 Internet Explorer 0 0 Safari 0 0 Autres ,37 TOTAL ,01 On est maintenant en mesure de tracer le diagramme en tuyaux d orgues : Proportion (%) Windows Mac Linux Chrome Firefox IE Safari Autres avigateur Pour chaque modalité de X, les tuyaux ne sont pas du tout de la même hauteur ; cela signifie que le système d exploitation influe fortement sur le navigateur utilisé. Autrement dit, il n y a pas indépendance entre système d exploitation et navigateur utilisé. Exercice 2. En 15, Francis Galton publie un tableau de données comparant la taille Y des enfants avec la taille X de leurs parents (la taille des parents est égale à la moyenne de la taille 3

4 du père et de la mère). Pour compenser les différences de tailles entre sexes, toutes les tailles des personnes de sexe féminin ont été multiplié par 1,0. Les tailles sont exprimées en pouces (1 pouce 2,54 cm). X \ Y ]60 ; 61,7] ]61,7 ; 63,7] ]63,7 ; 65,7] ]65,7 ; 67,7] ]67,7 ; 69,7] ]69,7 ; 71,7] ]71,7 ; 73,7] ]73,7 ; 75] ]62 ; 64] ]64 ; 66] ]66 ; 6] ]6 ; 70] ]70 ; 72] ]72 ; 74] Les bornes des classes extrêmes ont été fixées arbitrairement pour les besoins de l exercice. (a) Préciser la population, les individus, la taille de la population ainsi que les variables étudiées. (b) Quelle est la proportion d enfants dont la taille est comprise entre 65,7 et 67,7? (c) Parmi les enfants dont la taille est comprise entre 71,7 et 73,7, quelle proportion a des parents dont la taille est entre 70 et 72? (d) Quelle est la taille moyenne des enfants dont les parents ont une taille comprise entre 6 et 70? Convertir le résultat en centimètres. (e) Même question pour la taille médiane. ( f) Même question pour l écart-type. Corrigé de l exercice 2. (a) Population : les enfants étudiés par Galton (en notant qu à chaque enfant, on associe ses deux parents). Individu : un enfant (et ses parents). Taille de la population : 93 (c est la somme de tous les éléments du tableau). Variables étudiées : la variable X «taille de l enfant» (quantitative continue) et la variable Y «taille des parents» (quantitative continue). (b) On cherche la proportion marginale P(65,7 X 67,7) : P(65,7 X 67,7) ,19 %. (c) On cherche la proportion conditionnelle P(X ]70 ; 72] Y ]71,7 ; 73,7]). Pour la calculer, on extrait la colonne Y ]71,7 ; 73,7] du tableau et on calcule les proportions : X Y ]71,7 ; 73,7] Effectifs Proportions (%) ]62 ; 64] 0 0 ]64 ; 66] 1 1,72 ]66 ; 6] 4 6,9 ]6 ; 70] 22 37,93 ]70 ; 72] 1 31,03 ]72 ; 74] 13 22,41 TOTAL 5 4

5 On a donc P(X ]70 ; 72] Y ]71,7 ; 73,7]) 31,03 %. (d) On regarde la distribution conditionnelle de Y sachant que X ]6 ; 70]. On extrait donc du tableau la ligne correspondante (on met les proportions cumulées pour les questions suivantes) : Y X ]6 ; 70] ]60 ; 61,7] ]61,7 ; 63,7] ]63,7 ; 65,7] ]65,7 ; 67,7] ]67,7 ; 69,7] ]69,7 ; 71,7] ]71,7 ; 73,7] ]73,7 ; 75] TOTAL Effectifs Proportions (%) 0,25 1,99 11,69 24, 33,5 20,9 5,47 1,24 Prop. cumul. (%) 0,25 2,24 13,93 3,1 72,39 93,29 9, Centre 60,5 62,7 64,7 66,7 6,7 70,7 72,7 74,35 La moyenne est donc : µ Y X ]6;70] 1 60,5 + 62, , , , , , , , , Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce 2,54 cm : µ Y X ]6;70] 6,30 2,54 173,4. (e) La médiane de Y X ]6 ; 70] se calcule à partir des proportions cumulées données dans le tableau précédent. La classe correspondant à la proportion cumulée 50 % est ]a ; b] ]67,7 ; 69,7] donc la médiane est donnée par la formule [ ] 50 P(X a) médiane a + (b a) P(X b) P(X a) [ ] 50 3,1 67,7 + (69,7 67,7) 72,39 3,1 [ 67, ,19 ] 33,5 67,7 + [2 0,3332] 67,7 + 0,67 6,37. Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce 2,54 cm : médiane 6,37 2,54 173,66. 5

6 ( f) Calculons l écart-type : 1 60, , , , , , , ,35 2 σ Y X ]6;70] , , ,9 4664,9 6,09 2,47. µ 2 Y X ]6;70] Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce 2,54 cm : σ Y X ]6;70] 2,47 2,54 6,27. Exercice 3. Les mesure du nombre X de jours de pluie et de la hauteur Y (en mm) de pluie à Paris tous les 5 ans entre 1960 et 1995 sont récapitulées dans le tableau suivant. année X Y (a) Représenter graphiquement le nuage de points. (b) Calculer le coefficient de corrélation. (c) Y a-t-il une relation de liaison entre les variables X et Y? Corrigé de l exercice 3. (a) Pour tracer un nuage de points, on place chaque donnée individuelle sur un graphique avec X en abscisse et Y en ordonnée : Y (hauteur de pluie) X (jours de pluie) 6

7 (b) Pour calculer le coefficient de corrélation, on doit calculer la covariance et les deux écarttypes. Pour calculer la covariance, on a besoin des deux moyennes. Rappelons les différentes formules lorsqu on dispose des données individuelles : µ X x(i) x(i), σ 2 X µ X, Cov(X, Y) x(i)y(i) µ X µ Y Moyenne de X. On a x(i) µ X 175,125. Moyenne de Y. On a y(i) µ Y 65, Écart-type de X. On a x(i) 2 σ X µ 2 X , , , ,109 1, ,125 2 Écart-type de Y. On a y(i) 2 σ Y µ 2 Y , , , ,43 115, ,

8 Covariance de X et Y. On a x(i)y(i) Cov(X, Y) µ X µ Y ,125 65, , , , ,71. Coefficient de corrélation de X et Y. On a Cov(X, Y) r(x, Y) σ X σ Y 1440,71 1, , , ,455 0,60. (c) Le coefficient de corrélation est proche de 0,7 donc on peut considérer que les variables sont assez fortement liées. On peut représenter la droite de régression qui illustre cette dépendance : Y (hauteur de pluie) X (jours de pluie) Le fait que les points sont relativement proches de la droite illustre la corrélation relativement forte.