Curriculum vitae. Departament de Matemàtiques

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1 Jérôme Scherer Curriculum vitae Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona E Bellaterra Espagne Téléphone: bureau (0034) , personnel (0034) jscherer@mat.uab.es CARRIÈRE PROFESSIONNELLE. Universitat Autònoma de Barcelona, Espagne. Professeur, , Lauréat du concours Ramón y Cajal. Université de Lausanne, Suisse. Professeur remplaçant, Maître-assistant, CRM Barcelona, Espagne. Bourse de jeune chercheur du FNRS 1997/98. Poste partiel de post-doctorant du CRM et prolongation de la bourse du FNRS 1998/99. ETH Zürich, Suisse. Poste de post-doctorant, 1996/97. The Fields Institute, Toronto, Canada. Bourse Bonjour + Fondation Claraz, 1995/96. Université de Lausanne, Suisse. Assistant-doctorant, DIPLÔMES. Université de Lausanne, Suisse. Thèse de doctorat, juin Titre: Exposants Universels pour les Groupes Gamma de la Suite Exacte de Whitehead Directeur de thèse: Professeur Dominique Arlettaz. Diplôme de mathématicien, octobre sous la direction du Professeur Dominique Arlettaz. Licence ès Sciences Mathématiques, Juillet

2 2 PUBLICATIONS: PREPRINTS DISPONIBLES 1. Excision in homotopy cyclic homology. with D. Chataur. Travail en cours. 2. Relative homological algebra. with W. Chachólski and W. Pitsch. Travail en cours. 3. A characterization of p-nilpotent p-local finite groups. avec A. Viruel. Travail en cours. 4. Towards p-noetherian groups. avec N. Castellana et J. A. Crespo. Travail en cours. 5. Three-stage Postnikov towers. avec J. Møller. Travail en cours. PUBLICATIONS: PREPRINTS SOUMIS 6. A connection between cellularization for groups and spaces via twocomplexes. avec J. L. Rodríguez. Preprint soumis en Homology exponents for H-spaces. avec A. Clément. Soumis en On the cohomology of highly connected covers of finite complexes. avec N. Castellana and J. A. Crespo. Preprint soumis en Generalized orientations and the Bloch invariant. avec M. Matthey and W. Pitsch. Preprint soumis en Representations of spaces. avec W. Chachólski. Preprint soumis en PUBLICATIONS: ARTICLES ACCEPTES 9. Cellularization of classifying spaces and fusion properties of finite groups. avec R. Flores, (Jour. London Math. Soc.). 10. Relating Postnikov pieces with the Krull filtration: A spin-off of Serre s theorem. avec N. Castellana et J. A. Crespo, Forum Mathematicum 19 Number 3 (2007), Cohomological finiteness conditions: spaces versus H-spaces. avec N. Castellana and J. A. Crespo) in Guido s book of conjectures, l Enseign. Math.

3 3 PUBLICATIONS: ARTICLES PUBLIES 12. Deconstructing Hopf spaces. avec N. Castellana et J. A. Crespo, Invent. Math. 167 Number 1 (2007), Postnikov pieces and BZ/p-homotopy theory. avec N. Castellana et J. A. Crespo, Trans. Amer. Math. Soc. 359 Number 3 (2007), Non-simple localizations of finite simple groups. avec J. L. Rodríguez et A. Viruel, J. Algebra 305 (2006), On the homotopy groups of p-completed classifying spaces. avec N. Castellana et J. A. Crespo, Manuscripta Mathematica 118, number 3, (2005), Homotopy pull-back squares up to localization. avec W. Chachólski et W. Pitsch, in An alpine anthology of homotopy theory, Proceedings of the second Arolla Conference on Algebraic Topology 2004, Contemp. Math. 399, Fibrewise localization and the cube theorem. avec D. Chataur, Comment. Math. Helv. 81 (2006), Preservation of perfectness and acyclicity: Berrick and Casacuberta s universal acyclic space localized at a set of primes. avec J. L. Rodríguez et A. Viruel, Forum Math. 17 (2005), Realizing operadic plus-constructions as nullifications. avec D. Chataur et J. L. Rodríguez, K-Theory 33 (2004), On localizations of torsion abelian groups. avec J. L. Rodríguez et L. Strüngman, Fund. Math. 183 (2004), Homology fibrations and group-completion revisited. avec W. Pitsch, Homology, Homotopy, and Applications 6 (2004) Finite simple groups and localization. avec J. L. Rodríguez et J. Thévenaz, Israel J. Math. 131 (2002), Homotopy colimits in model categories. 90 p., avec W. Chachólski, Memoirs of the Amer. Math. Soc. 155, Number 736 (2002). 24. Homological localization preserves 1-connectivity. avec C. Casacuberta, in Une Dégustation Topologique, Homotopy Theory in the Swiss Alps, Proceedings of the Arolla Conference on Algebraic Topology 1999, Contemp. Math. 265, Cellular approximations using Moore spaces. avec J. L. Rodríguez, in Cohomological Methods in Homotopy Theory, Progress in Mathematics 196, Birkhäuser Verlag, 2001, pp

4 4 26. Universal Exponents for high-dimensional Gamma Groups. Expo. Math. 13 (1995), PUBLICATIONS: AUTRES TRAVAUX 23. Classes of commutative squares. Lectures from the Skye conference 2005, 6 p. 24. The Kan-Thurston theorem. CRM Quaderns, Cohomology of groups 98, 2 p. 25. Generators for tensor products over the Steenrod algebra. Preprint Exposants Universels pour les Groupes Gamma de la Suite Exacte de Whitehead. Thèse de doctorat, Université de Lausanne, Le groupe Γ m+2 X de la suite exacte de Whitehead modulo une classe de Serre. Diplôme, Université de Lausanne, ENSEIGNEMENT. Universitat Autonoma de Barcelona, Espagne, semestre d hiver Théorie de l homotopie, cours de doctorat Universitat Autonoma de Barcelona, Espagne, Algèbre linéaire, divers exercices pour physiciens, chimistes, informaticiens de première année Universitat Autonoma de Barcelona, Espagne, semestre d été 2004, Topologia algebraica, Cours destiné aux étudiants de mathématiques de quatrième année Universitat Autonoma de Barcelona, Espagne, semestre d été 2003, 2004, Fundaments de Matemàtique Discreta, Cours destiné aux étudiants d informatique de première année Universitat Autonoma de Barcelona, Espagne, semestre d hiver Matemàtiques I, Cours destiné aux étudiants d économie de première année Université de Lausanne, Suisse, semestre d été Chapitres Choisis II, Cours destiné aux étudiants de HEP et licence en mathématiques Université de Lausanne, Suisse, année académique Mathématiques I et II, Cours destiné aux étudiants de première année de Chimie, Informatique et Police Scientifique Université de Lausanne, Suisse, semestre d hiver Modules instables et la conjecture de Sullivan, Cours du III-ème cycle romand de mathématiques

5 Université de Lausanne, Suisse, semestre d été Localisations homotopiques, Cours de DES Université de Lausanne, Suisse, Coordination des exercices du cours d algèbre linéaire de première année (Mathématique et Physique) ETH Zürich, Suisse, AK der Homotopietheorie, Cours de deuxième cycle ORGANISATION Membre du comité d organisation du Troisième congrès d Arolla, Suisse, août Membre du comité d organisation du SECA 4, congrès sur la théorie des catégories et applications, Barcelone, juin Organisateur du Barcelona Topology Workshop (BTW) 2007 (orateurs: Emmanuel Dror Farjoun, Kathryn Hess Bellwald, Michael Joachim, Markus Linckelmann, Fernando Muro, Lionel Schwartz) Organisateur du Barcelona Topology Workshop (BTW) 2005 (orateurs: Dave Benson, Jean Barge, Jesper Grodal, Wolfgang Pitsch) Organisateur du Barcelona Topology Workshop (BTW) 2004 (orateurs: Bill Dwyer, Emmanuel Dror Farjoun, Wojciech Chachólski, Assaf Libman) Coorganisateur de l école d été String Topology, Almería septembre 2003 (K. Hess, R. Cohen, A. Voronov) Editeur avec D. Chataur des notes de cours de cette école, pour paraître en janvier 2006 chez Birkhäuser dans la série CRM advanced courses in mathematics. Coorganisateur de la conférence B-2001-ETC, Barcelone, juillet 2001, soutenue par le programme de l EEE pour jeunes mathématiciens. Organisateur du séminaire UAB-UB Duality in algebra and topology, Barcelona Organisateur du séminaire UAB-UB Geometric homology, Barcelona été Organisateur du séminaire UAB-UB H-spaces, Barcelona Coorganisateur du séminaire UAB-UB String topology, Barcelona Coorganisateur des séminaires Applications fantômes ( ), Groupes de Lie ( ) et Calcul de Goodwillie ( ) de l IMA de Lausanne (conjointement avec le DMA de l EPFL). Coorganisateur du séminaire Teoría K de topologie algébrique de l UAB de Barcelona, DIRECTION ET JURYS Directeur du travail de diplôme de M. Bernasconi, Lausanne, mars 04. Directeur du travail de diplôme de Mme. Reimberg, Lausanne, mars 02. Membre du jury de thèse de Mme. Bastardas, Barcelona, juin 03. Membre du jury de thèse de M. Flores, Barcelona, juin 04. 5

6 6 Membre du jury de thèse de M. Ghebrewold Weldegebriels, Western Cape, octobre 03. Membre du jury de thèse de M. Clément, Lausanne, mars 02. Membre du jury de thèse de M. Crespo, Barcelona, mars 99. Membre du jury du travail de diplôme de M. Graffagnino, Lausanne, mai 00. Membre du jury du travail de diplôme de Mme. Lohm, Lausanne, février 00. Membre du jury de tesina (travail de diplôme) de Mme. Bastardas, Barcelona, septembre 98. DISTINCTIONS ET BOURSES. Referee pour la London Math. Soc., Algebr. Geom. Topol., Trans. Amer. Math. Soc., Comm. Algebra, Manuscripta Math., Publ. Math. Reviewer pour MathSciNet et Zentralblatt. Mai 2006, invitation d un mois à l Institut Mittag-Leffler, Suède. Décembre 2006, acreditación I3 espagnole. Janvier 2006, qualification de professeur des universités, section 25. Janvier 2006, accreditació de recerca catalane. Juillet 2005, retenu parmi les 6 candidats auditionnés pour le poste W3- tenure track à Göttingen. Septembre 2001, retenu dans la liste finale du concours Ramón y Cajal du Ministère Espagnol de Science et Technologie , CRM Barcelone, bourse de post-doctorant du CRM , CRM Barcelone, bourse de jeune chercheur du FNRS. Juin 97, Oberwolfach, programme Research in Pairs , ETH Zürich, Postdoctoral Fellowship , The Fields Institute, Bourse Bonjour + Fondation Claraz + Rectorat UNIL. Octobre 91, Prix de Faculté, Université de Lausanne. QUELQUES CONFÉRENCES RÉCEMMENT TENUES. Oberwolfach Topologie Seminar, Oberwolfach, Septembre 06 titre: Resolutions of unbounded chain complexes Groups in Geometry and Topology, Malaga, Septembre 06 titre: The Bloch invariant and generalized orientations Emphasis semester, Mittag-Leffler Institute, Djursholm, Mai 06 titre: The cohomology of highly connected covers of finite complexes Alpine operadic workshop, Villars, Mars 06 titre: Relative homotopy cyclic homology

7 GDR de topologie algébrique, Lille, septembre 05 titre: Espaces classifiants complétés Second Skye conference on algebraic topology, juin 05 titre: Classes of commutative squares Semestre de théorie des groupes, EPFL, janvier 05 titre: The Suzuki groups at the prime 2 Second Arolla Conference on Algebraic Topology, août 04 titre: A cellular dichotomy Conference on Algebraic Topology, Louvain-la-Neuve, juin 04 titre: Deconstructing Hopf spaces Séminaire de topologie algébrique, Paris 13, janvier 04 titre: H-espaces et filtration de Krull Algebraic Topology in Malaga (GDRE), septembre 03 titre: Fiberwise localization with the cube theorem Barcelona Conference on Algebraic Topology, juillet 02 titre: Plus construction and additive K-theory Semaine sur le mapping class group, Luminy, janvier 02 titre: Γ-spaces Skye Conference on Algebraic Topology, juin 01 titre: Localization of simple groups Euro MTM, Conference on Algebraic Topology, juillet 00 titre: Homological localizations preserve 1-connectivity ETH Zürich, mai 00 titre: Homological localizations and 1-connected spaces Université de Lausanne, novembre 99 titre: Petite histoire des localisations homologiques Conference on Algebraic Topology, Arolla, août 99 titre: Building CW-complexes with Moore spaces and cellularization of groups CRM Barcelone, avril 98, séminaire de cohomologie des groupes titre: The Kan-Thurston theorem CRM Barcelona, novembre décembre 97 (3 exposés) titre: Mini cours sur les colimites homotopiques ETH Zürich, décembre 96 titre: Neuer Blick auf homotopische Colimites Réunion de la SMS, Zürich, octobre 1996 titre: Homotopy Colimits University of Columbus, Ohio, mars 96 titre: Gamma groups and the Hurewicz homomorphism The Fields Institute, Toronto, décembre 1995, titre: Universal exponents for Gamma groups 7

8 8 PARTICIPATION À SÉMINAIRES ET CONFÉRENCES. Semestre de topologie algébrique, Institut Mittag-Leffler, Suède, mai Semestre de théorie des groupes, Centre Bernoulli, EPFL, Lausanne, janvierfévrier Encuentro de topologia, UB, Barcelona, mai Advanced course on finite p-local groups, Nice, France, décembre 02. GDR de topologie, Nantes, France, septembre 01. LMS Lectures de T. Goodwillie, Aberdeen, Ecosse, juin 01. Stable Homotopy, CIRM, Luminy, France, janvier 01. GDR de topologie, Paris, France, septembre 99. Encuentro de Topología, Palma de Mallorca, Spain, mars 99. Congrès sattelite de l ICM d Angers, France, septembre 98. Barcelona Conference on Algebraic Topology, CRM, Barcelona, Espagne, juin Advanced course on classifying spaces and cohomology of groups, CRM, Barcelona, Espagne, mai Northwestern Topology Conference, Northwestern University, Chicago, Etats Unis, mars Summer school on localizations, CRM, Barcelona, Espagne, été Program in homotopy theory, Fields Institute, Toronto, Canada, Advanced course on Elliptic Cohomology, CRM, Barcelona, Espagne, été EXPOSÉS RÉCENTS. Mars 07: Séminaire sur les catégories supérieures, UAB, Barcelona. 1 exposé sur les espaces de Segal complets. Octobre 05 + février 2006: Séminaire sur la dualité en algèbre et topologie, UAB, Barcelona. 1 exposé d introduction et 1 exposé sur la cellularisation et le carré arithmétique. Mai 05: Séminaire sur l homologie géométrique, UAB, Barcelona. 1 exposé sur les S-orientations. Octobre 04: Séminaire sur les splittings stables de BG, UAB, Barcelona. 1 exposé sur la conjecture de Segal. Octobre 03: Séminaire sur le mapping class group, UAB, Barcelona. 1 exposé sur la présentation et les twists de Dehn. Avril 03: Séminaire sur la string topology, UB, Barcelona. 2 exposés sur les travaux de Cohen-Jones.

9 Décembre 02: Séminaire sur les H-espaces et variétés, UAB, Barcelona. 3 exposés sur la chirurgie. Octobre 01 + Mars 02: Séminaire sur le calcul de Goodwillie, Lausanne. 1 exposé d introduction et de motivation, 1 exposé sur les dérivées de l identité. Mai 01: Séminaire sur les caractères généralisés, Bern. 2 exposés sur l homotopie stable G-équivariante. Décembre 00 + Mai 01: Séminaire sur les groupes de Lie, Lausanne. 1 exposé sur la cohomologie de G 2 et de son espace classifiant, 3 exposés sur le théorème d Adams-Wilkerson. Avril 00: Séminaire sur les applications fantômes, Lausanne. 2 exposés sur des théorèmes de Zabrodsky et McGibbon. Mai 99: Séminaire de K-théorie, Barcelone. 2 exposés sur le théorème d Atiyah sur la K-théorie des groupes finis. Novembre 98: Séminaire sur les Vertex Operator Algebras, Barcelone. 2 exposés sur les Vertex Operators Algebras et BU. Janvier 98: Séminaire sur les groupes simpliciaux, Barcelone. 1 exposé sur la structure de catégorie de modèle des groupes simpliciaux. Décembre 97: Séminaire sur la p-complétation de Bousfield-Kan. 1 exposé sur les objets cosimpliciaux. 9 DONNÉES PERSONNELLES. Né à Lausanne, Suisse, le premier avril Nationalité Suisse. Langues: français, allemand (langues maternelles), anglais, espagnol.

10 10 EXPOSÉ. Dans les lignes qui suivent on trouvera des détails supplémentaires sur les activités d enseignement, de recherche et d administration, qui complètent les listes précédentes. Les références à mes articles sont faites en utilisant les numéros de la liste de publications. Activités d enseignement. L enseignement est une activité essentielle dans la vie quotidienne des scientifiques. Nous partageons ainsi nos connaissances avec les étudiants, en licence aussi bien qu en doctorat. L enseignement nous permet d une part de gagner en clarté et en fluidité dans nos explications (un cours d algèbre linéaire pour informaticiens forme un défi autrement plus difficile que la présentation de sa propre recherche lors d un congrès). D autre part cela nous oblige à nous soucier de l image des mathématiques dans d autres disciplines. De plus l enseignement permet, au sein du département de mathématiques, d obtenir une certaine unité, puisque des chercheurs spécialisés dans des voies diverses sont amenés à organiser par exemple un cours d analyse de base. Personnellement je pense qu il est possible de partager notre enthousiasme et notre vocation avec tous les étudiants, de leur donner un petit aperçu d un monde d abstraction et de rigueur, en leur montrant la puissance que la conceptualisation peut avoir lorsqu elle s applique dans leur domaine. Comme vous pouvez le constater en parcourant mon CV, j ai enseigné des cours variés: mathématiques élémentaires pour étudiants de première année (informatique, physique, chimie, futurs enseignants), cours spécialisés de deuxième cycle ou cours de doctorat, dont un cours du troisième cycle Romand de mathématiques. Je pense que j ai toujours réussi à motiver les participants, que j ai répondu aux attentes des étudiants les plus brillants, sans oublier de m occuper de la classe dans son ensemble. L année passée ( ) j ai donné un cours de doctorat d introduction à la théorie de l homotopie. Il y a eu plus de 10 participants, parmi lesquels se trouvaient les jeunes topologues du département, mais aussi de jeunes géomètres et un professeur d économie. Activités d administration et d organisation. J ai organisé une conférence, B-2001-ETC, à Barcelone en juillet 2001 (avec A. Viruel, N. Castellana et J.A. Crespo). Soutenue par le programme de l EEE pour jeunes mathématiciens (contribution de Euros) et par le Centre de Recherche Mathématique de Barcelone, cette conférence a attiré environ 80 participants venus de toute l Europe. Les orateurs invités représentaient les courants principaux de la recherche en topologie algébrique: N. Strickland (Sheffield), D. Green (Wuppertal), O. Cornea et S. Whitehouse (Lille), S. Schwede (Bielefeld), P. Salvatore (Rome), P. Lambrechts (Louvain) et W. Chachólski (Yale).

11 J ai organisé une école d été sur la topologie des cordes, à Almeria en septembre 2003 avec J.L. Rodríguez et D. Chataur. Cette école d une semaine consista de trois cours donnés par K. Hess, R. Cohen et A. Voronov et attira une soixantaine de participants, principalement de jeunes doctorants/docteurs européens. Avec D. Chataur nous nous sommes occupés de l édition des notes de cours. Elles paraîtront en janvier 2006 dans la série CRM advanced courses in mathematics chez Birkhäuser (série éditée par M. Castellet, directeur du CRM). J ai organisé les deux BTW (Barcelona Topology Workshop) en 2004 et Il s agit d une rencontre annuelle d une journée à laquelle participent principalement les topologues de Barcelone. Les orateurs en 2004 furent Bill Dwyer, Emmanuel Dror Farjoun, Wojciech Chachólski et Assaf Libman, et en 2005 Dave Benson, Jean Barge, Jesper Grodal et Wolfgang Pitsch. J organise la nouvelle édition A partir de 1998, j ai toujours participé activement à l organisation des séminaires et colloques. Les plus récents, à Barcelone, ont touchés des sujets aussi variés que la dualité en algèbre et en topologie, l homologie géometrique, les H-espaces ou la topologie des cordes. Le principe de ces séminaires est celui d un groupe de travail et il incombe donc à l organisateur de préparer un plan des exposés et de distribuer les différents sujets aux participants. Pour plus de détails, on pourra consulter la page web du séminaire (dont je m occupe): J ai dirigé deux travaux de diplôme et j ai régulièrement fait partie de jurys de thèse et de diplôme. Activités de recherche. Les fondations de la théorie de l homotopie se trouvent dans l interaction avec d autres branches des mathématiques, principalement la géométrie différentielle, mais aussi la théorie des groupes, la géométrie algébrique, la physique, etc. Ma recherche personnelle ne fait pas exception à ce principe de multi-disciplinarité, et on peut dire que j ai principalement travaillé à appliquer les techniques de localisations homotopiques dans des contextes variés. Rappelons qu un foncteur de localisation L consiste en une application naturelle X LX de telle sorte que LX L(LX) est une équivalence d homotopie. En topologie algébrique ce concept fut introduit par Adams, Bousfield, Dror Farjoun et Sullivan. Personnellement j ai étudié les foncteurs de localisations dans le cadre des groupes finis (cf. [14] et [22], en collaboration avec J. Thévenaz, théoricien des groupes), des groupes infinis abéliens ([20], avec L. Strüngmann, spécialiste de ce domaine), des groupes parfaits ([18]) où nous répondons par la négative à une question de Dror Farjoun par un contre-exemple d une simplicité étonnante, ou encore dans un cadre opéradique ([17] et [19]) qui nous permet par exemple de définir une construction plus à la Quillen pour des algèbres de Lie différentielles graduées, explicitant des liens avec la K-théorie algébrique. 11

12 12 J aimerais maintenant entrer un peu plus en détail dans quatre projets de recherche récents qui montrent quatre aspects différents de mes intérêts actuels. Je pense que les résultats que j ai obtenu dans les deux premiers sujets cités sont mes contributions scientifiques les plus importantes. H-espaces La notion de H-espace a été introduite par J.-P. Serre dans le but d étudier les groupes de Lie d un point de vue homotopique. Dans les années 70 il est devenu clair qu une classification ne serait possible que si l on considère ces objets localisés en un nombre premier p, par exemple du point de vue de la (co)homologie modulo p. Cela amène naturellement à définir un H-espace modulo p fini comme étant un H-espace (peut-être infini comme CW-complexe) dont la cohomologie modulo p est finie. Si de nombreux travaux concernent ces espaces finis, peu de choses sont connues sur les analogues de grande dimension. Citons les travaux de Broto and Crespo, [BC], sur les H-espaces dont la cohomologie modulo p est noethérienne, mais signalons que les revêtements hautement connexes de H-espaces finis ont une cohomologie plus grande. Dans mes travaux récents avec Castellana et Crespo ([12], voir aussi [4],[11],[13] et [15]) j ai réussi à décrire explicitement les H-espaces d une classe qui comprend tous les exemples mentionnés ci-dessus: les H-espaces dont la cohomologie modulo p est de type fini comme algèbre sur l algèbre de Steenrod. Un tel espace diffère d un H-espace modulo p fini en un nombre fini (et calculable) de groupes d homotopie! Ce résultat profond est obtenu en comparant des méthodes homotopiques de localisation [Bou] avec des techniques algébriques basées sur le foncteur T de Lannes [Lan]. L outil qui permet de compter le nombre de groupes d homotopie qui apparaissent est la filtration de Krull de la catégorie des modules instables, introduite par Schwartz et Kuhn en relation avec leurs travaux sur la réalisabilité, [Kuh] and [Sch]. Ce théorème ouvre de nombreuses voies et des questions se posent dans plusieures directions. Dans quelle mesure ces techniques s appliquent-elles pour des espaces arbitraires (qui ne sont pas des H-espaces)? Existe-t-il une relation entre localisation et filtration de Krull pour une classe plus large d espaces? D autre part le foncteur de localisation considéré est celui de BZ/p-nullification, i.e. les espaces LX sont ceux pour lesquels l espace d applications pointées map (BZ/p, X) est contractile. Que peuton dire lorsqu on remplace le classifiant BZ/p par un espace d Eilenberg-MacLane K(Z/p, n) avec n 2? Les techniques de foncteur T ne sont plus disponibles, mais des résultats même partiels seraient extrêmement intéressants. En effet les espaces représentant les théories de Morava apparaissent de forme naturelle dans ce contexte plus général. Nous aimerions savoir en particulier quels sont les H-espaces que les K-théories de Morava permettent de détecter.

13 Approximations de catégorie de modèle Une catégorie de modèle est une catégorie munie de trois classes de morphismes distingués, les équivalences faibles, les fibrations et les cofibrations, qui satisfont 5 axiomes élémentaires, [Qu2]. Quillen montra que ceux-ci suffisent à développer la théorie de l homotopie dans ce contexte abstrait. L une des questions centrales de ce sujet est de savoir si cette structure de base contient toute l information supérieure. Dans mon travail avec W. Chachólski [23], je donne par exemple une méthode pour construire toutes les colimites homotopiques dans une catégorie de modèle. Le problème ici est qu une catégorie de diagrammes arbitraire pourrait ne pas être dotée d une structure de catégorie de modèle. La solution que nous proposons est d approximer cette catégorie par une catégorie de modèle dans laquelle les constructions désirées de (co)limites homotopiques se font géométriquement. Ces idées sont appliquées dans [13] dans le cas de la catégorie de morphismes entre espaces topologiques. Nous montrons que le théorème de complétion en groupe se base sur un fait de nature très générale lié aux foncteurs de localisation homotopique à la Bousfield Dror Farjoun. Dans notre projet actuel [2] nous utilisons les mêmes techniques d approximation dans le cadre de l algèbre homologique relative. Fixons une classe W d objets dans une catégorie abélienne, auxquels nous pensons comme une classe de projectifs ou d injectifs (et nous supposons qu il y en a assez, afin de pouvoir former des résolutions). Nous travaillons dès lors dans la catégorie des complexes de chaînes non bornés. Ces questions remontent à Hochschild, Eilenberg et Moore. Dans [CH] Christensen et Hovey montrent qu il existe une structure de catégorie de modèle pour laquelle les résolutions projectives jouent le rôle des objets cofibrants lorsque la classe W satisfait une hypothèse supplémentaire (de petitesse ou sur sa construction comme pull-back de la classe projective triviale). Une conséquence de ce résultat est que les morphismes entre deux complexes dans la catégorie dérivée forment un ensemble, et non pas une classe propre. Nous formons une approximation de modèle de cette catégorie en toute généralité, si bien que la conséquence mentionnée ci-dessus est toujours vérifiée. De plus nous le faisons aussi bien avec une classe de projectifs qu une classe d injectifs, un cas qui apparemment ne peut être traité avec les techniques (trop) rigides de catégorie de modèle pures (il n existe pas de small object argument dual). Finalement nous avons la possibilité d étudier une certaine dualité des approximations (à gauche pour les projectifs, à droite pour les injectifs) et nous espérons obtenir des conséquences dans l esprit de la dualité de Dwyer, Greenlees et Iyengar, [DGI]. Variétés hyperboliques Ce projet [7] fût commencé avec Michel Matthey (décédé en 2005) et Wolfgang Pitsch. Dans [NY] Neumann et Yang montrent que l invariant de Bloch d une variété hyperbolique de dimension 3 ne dépend pas de la triangulation idéale et qu il permet de retrouver le volume via le régulateur de Borel. Cisneros-Molina et Jones donnent 13

14 14 une autre construction moins géométrique de cet invariant et essayent de le relever du groupe de Bloch dans le troisième groupe de K-théorie algébrique des nombres complexes, K 3 (C), [CJ]. Notre approche est totalement algébrique et passe par la K- théorie algébrique de Zπ, l algèbre du groupe fondamental de la variété. Le leitmotiv de ce travail est que K alg 3 (Zπ) contient énormément d information métrique sur la variété. L idée est que les seules données du groupe fondamental π d une variété hyperbolique M de dimension 3, compacte et sans bord (ce sont les hypothèses de notre article [7]), et le choix d une structure Spin σ : π SL 2 (C), permettent de construire un élément de K 3 (C) dont le régulateur de Borel donne le volume de M. Nous remarquons d abord que M est KO-orientable par les travaux de Atiyah, Bott et Shapiro [ABS], par conséquent aussi ko-orientable et KZ-orientable, où KZ est le spectre qui représente K-théorie algébrique des entiers. Via le produit de Loday KZ BSL(C) + KC, nous obtenons un homomorphisme H 3 (M; Z) KZ 3 (Bπ) KZ 3 (BSL 2 (C)) KZ 3 (BSL(C)) K 3 (C) Nous montrons que cet homomorphisme coïncide avec celui de Cisneros-Molina et Jones. Ainsi l image du générateur de H 3 (M; Z) coïncide avec l invariant de Neumann-Yang. Dans le cas non-compact de volume fini nous obtenons une indétermination d ordre 2. Ce projet ouvre de nouvelles perspectives en dimensions supérieures. Il s agit tout d abord de donner une interprétation géométrique des KZ-orientations des variétés hyperboliques de dimension 4. Groupes p-locaux finis nilpotents Ceci est un projet commun avec Antonio Viruel, [3]. Le concept de groupe p-local fini est dû à Puig et fût exporté dans le champ de la théorie de l homotopie par Broto, Levi et Oliver dans une série d articles spectaculaire, voir par exemple [BLO]. Ils y définissent un groupe p-local fini comme étant un triple (S, F, L), où S est un p-groupe fini (le sous-groupe de Sylow), F est le système de fusion, qui explique comment les sous-groupes de S sont conjugués l un dans l autre, et L est un centric linking system. La p-complétion de la réalisation L est alors un objet topologique qui vérifie de nombreuses propriétés que possède l espace classifiant p-complété d un groupe fini. Nous disons qu un groupe p-local fini (S, F, L) est (p-)nilpotent si F = F S (S), i.e. la réalisation L est équivalente à BS à p-complétion près. Nous souhaitons fournir une série de résultats qui permettent d identifier les groupes p-locaux finis nilpotents. Les preuves de ces résultats donnent en particulier des nouvelles démonstrations des théorèmes classiques concernant les groupes p-nilpotents honnêtes. Les techniques que nous utilisons parcourent un éventail assez large, de la théorie de l homotopie à l analyse des systèmes de fusion, en passant par les caractères généralisés en K-théorie de Morava.

15 Rappelons que Quillen établit un critère pour reconnaître un groupe p-nilpotent à partir de la cohomologie en grands degrés, [Qu1]. Nous pensons que le même critère reste valable pour les groupes p-locaux finis nilpotents. References [ABS] M. F. Atiyah, R. Bott, and A. Shapiro, Clifford modules, Topology 3 (1964), no. suppl. 1, [Bou] A. K. Bousfield, Localization and periodicity in unstable homotopy theory, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), no. 4, [BC] C. Broto and J. A. Crespo, H-spaces with Noetherian mod two cohomology algebra, Topology 38 (1999), no. 2, [BLO] C. Broto, R.n Levi, and B. Oliver, The homotopy theory of fusion systems, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), no. 4, (electronic). [CH] J. D. Christensen and M. Hovey, Quillen model structures for relative homological algebra, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 133 (2002), [CJ] J. L. Cisneros-Molina and J. D. S. Jones, The Bloch invariant as a characteristic class in B(SL 2 (C), T ), Homology Homotopy Appl. 5 (2003), no. 1, (electronic). [DF] E. Dror Farjoun, Cellular spaces, null spaces and homotopy localization, Lecture Notes in Mathematics 1622, Springer-Verlag [DGI] W.G. Dwyer, J.P.C. Greenlees, S. Iyengar, Duality in algebra and topology, to appear in Adv. Math. [Kuh] N. J. Kuhn, On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 2, [Lan] J. Lannes, Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d un p-groupe abélien élémentaire, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1992), no. 75, , With an appendix by Michel Zisman. [NY] W. D. Neumann and J. Yang, Bloch invariants of hyperbolic 3-manifolds, Duke Math. J. 96 (1999), no. 1, [Qu1] D. Quillen, A cohomological criterion for p-nilpotence, J. Pure Appl. Algebra 1 (1971), no. 4, [Qu2] D. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics 43, Springer-Verlag [Sch] L. Schwartz, À propos de la conjecture de non-réalisation due à N. Kuhn, Invent. Math. 134 (1998), no. 1,