a. Historique du calcul mental dans les programmes

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1 a. Historique du calcul mental dans les programmes Le calcul mental est une pratique sociale que chacun utilise sans même s en rendre compte : vitesse, durée, prix, consommation moyenne c est aussi une pratique scolaire et il a toujours fait partie des programmes de l école primaire. Avant les années 70 il fallait calculer vite et bien : les jeunes sortaient de l école élémentaire pour entrer dans la vie active et devaient maîtriser cette pratique pour être autonomes. Avec la réforme des maths modernes et les programmes de 1970 on est passé du concret et de la pratique ritualisée à une approche plus abstraite des concepts. Du coup on a laissé de côté le calcul mental et aussi beaucoup d élèves qui n avaient pas la «bosse des maths». A partir du milieu des années 80, les programmes et les évaluations nationales ont incité les enseignants à reprendre la pratique du calcul mental. En complément des programmes de 2002 un document d accompagnement intitulé «Le calcul mental à l école élémentaire» est publié pour aider les enseignants à mettre en œuvre cet enseignement dans leur classe. En 2007 les programmes organisent la partie calcul en calcul mental (résultats mémorisés, procédures automatisées, calcul réfléchi), calcul en ligne ou posé et calcul instrumenté. b. Les fonctions du calcul mental dans la vie quotidienne - Une fonction sociale C est un calcul d usage utile dans la vie ordinaire : Soit pour un calcul exact Soit pour un calcul approché Les élèves doivent comprendre que les nombres font partie de leur environnement quotidien, ils doivent donner du sens à l'usage des nombres. Il faut favoriser la prise de conscience des trois fonctions du nombre : désignation, quantification, datation. (D après les travaux de Valérie Barry) Le nombre est un outil de désignation : nous numérotons Les rues Les étages L'ascenseur Les façons d'entrer dans un immeuble (digicode) Les places de parkings Les chevaux de course Les voitures de course Les coureurs Les joueurs Les postes de téléphones Les lignes téléphoniques Les automobiles (plaque minéralogique, marque, numéro de série) Les cartes d'identité QUI? QUOI? OÙ?

2 La monnaie Les jeux (loto) Les horaires La vitesse (panneaux) Les bus Les trains Le poids La taille, la longueur (des vêtements) La pointure Les caisses de supermarché Les volumes (litre, etc.) Les numéros pour attendre son -tour Les prix Les pages d'un livre Les produits (référence catalogue, code-barres) Les lignes de métro Les codes de carte bancaire Les salles. Les-rois, lés papes - Les parcours des jeux de parcours (jeu de l'oie, etc.) Le nombre est un outil de datation : nous datons La naissance, la mort Les évènements quotidiens - Les rendez-vous Les limites de consommation (date de péremption) QUAND? Le nombre comme outil de quantification : nous dénombrons Les populations Le temps Le coût Le poids La taille, la longueur L'âge COMBIEN? Le nombre de cartes à jouer par personne dans un jeu de cartes Le nombre de prises de médicaments par jour Le nombre de médicaments à prendre (par prise) Le volume (litre d'essence, recette de cuisine) Les distances kilométriques Les points attribués aux élèves, dans une note sur 5, sur 10, sur 20, etc - Une fonction pédagogique (Document d accompagnement des programmes : le calcul mental aux cycles 2 et 3) Le calcul mental a un rôle important dans la compréhension et la maîtrise des notions enseignées.

3 Il permet : De construire et renforcer des connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels D assurer les premières compréhensions des propriétés des opérations De développer les capacités de raisonnement des élèves (calcul «réfléchi») D aider à la résolution de problème par analogie (ex. : à partir d exemples sur des nombres plus petits) De renforcer la fiabilité du calcul posé 2. Du côté théorique (Document d accompagnement des programmes : le calcul mental aux cycles 2 et 3) a. Ce que recouvre le terme «Calcul mental» L expression de calcul mental signifie qu entre l énoncé du problème et l énoncé du résultat on renonce à utiliser toute opération posée. Cela ne signifie pas qu aucun support écrit ne puisse intervenir ni dans l énoncé ni dans la formulation du résultat ni au cours du calcul. Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi qu une part d initiative de choix. Il opère sur des nombres (et non sur des chiffres comme pour le calcul posé) et permet d enraciner l ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés. b. Les différentes composantes du calcul mental. Il convient de distinguer : - Le calcul mental automatisé C est ce qu'il faut mémoriser ou automatiser : des résultats : les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure,... et des procédures apprises (ex : pour ajouter 9 on ajoute 10 et on enlève 1) quels que soient les nombres utilisés. A aucun moment on a recours à un support papier : le sujet est capable de donner un résultat direct. - Le calcul mental réfléchi (ou raisonné) Il ne s agit plus de récupérer directement dans sa mémoire un résultat ou une procédure apprise mais il faut être capable de reconstruire, d élaborer une procédure adaptée au problème posé : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s'appuyant sur ce qui est connu. Stratégie et raisonnement sont sollicités.. L'exploitation des diverses procédures mises en œuvre par les élèves pour un même calcul permet de mettre l'accent sur les raisonnements mobilisés et sur les propriétés des nombres et des opérations utilisées " en acte " (certains parlent d'ailleurs à ce sujet de «calcul raisonné») c. La mémorisation, condition essentielle :

4 Certains élèves mémorisent facilement les tables d addition ou de multiplication, d autres ne parviennent pas à une mémorisation suffisante, malgré un entraînement répété. L entraînement n est donc pas le seul ressort de la mémorisation. Une bonne représentation mentale des nombres, la compréhension des opérations en jeu et une élaboration progressive des résultats constituent l autre facette de l aide à la mémorisation. Importance de la représentation des nombres : Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées (constellations de dés, dominos, jeux de cartes) ou symboliques (codages issus du système de numération chiffrée ou verbale). Il est donc important dans les premiers apprentissages des nombres de consolider les images mentales des «petits nombres». Ces représentations figuratives ou symboliques impliquent également des relations entre les nombres entiers dont l ensemble est principalement structuré par deux rythmes : - Le premier est la succession qui organise la suite verbale des noms des nombres (chaque mot nombre «appelle» le suivant) - Le second est créé par la numération chiffrée en base 10, rythmée par les dizaines et les centaines, la répétition périodique du chiffre des unités à l intérieur d une dizaine, la répétition périodique du chiffre des dizaines à l intérieur des centaines. La mémorisation des tables est sans doute favorisée par une bonne maîtrise de ces deux rythmes. Conditions de la mémorisation : Mémoriser les tables est le résultat d un très long processus. Il s agit pourtant de connaissances indispensables pour la vie quotidienne et les apprentissages mathématiques. - La première condition réside dans la compréhension des opérations en jeu. - La seconde condition réside dans la prise de conscience de l intérêt qu il peut y avoir à disposer d un répertoire de résultats. - La troisième condition réside, pour l élève, dans la prise de conscience du fait que certains résultats sont mémorisés et qu un répertoire mental est en train de se constituer. - La quatrième condition réside dans la capacité à utiliser ce qu on sait pour obtenir d autres résultats. - La cinquième condition réside dans l entraînement des résultats mémorisés. Les équipes de cycle ont donc à examiner soigneusement dans quelle mesure ces différentes conditions de la mémorisation sont prises en charge à l école d. La place du calcul mental dans la résolution de problèmes On entre ici dans le domaine du calcul réfléchi qui est d une autre nature que le calcul automatisé. Il ne s agit plus de récupérer directement en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est posé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités. En calcul réfléchi, aucune procédure ne s impose à priori et, le plus souvent plusieurs sont possibles. Il suppose la mise en œuvre, souvent implicite, de diverses propriétés des opérations en jeu. Dans tous les cas (calcul automatisé ou réfléchi), les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situés dans le cadre de la résolution de petits problèmes dans des contextes variés : sens des opérations et entraînement au calcul mental sont travaillés simultanément.

5 Exemple : Poser la question : «calculez » (oralement ou par écrit) et le problème «Arnaud avait 17 billes et en gagne 23, combien en a-t-il maintenant?» n est pas équivalent. Chacun de ces énoncés active une représentation de la tâche à accomplir. Dans le premier cas elle porte sur les nombres purs, dans le second, elle s appuie sur l évocation d un certain champ de réalité. Et devient un moyen d aider efficacement les élèves à progresser dans la maîtrise du sens des opérations.