Exercices de THERMODYNAMIQUE

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1 Université Paul Sabatier L2 SPI - EEA Exercices de THERMODYNAMIQUE 1. 1 kg d air, considéré comme un gaz parfait, se trouve dans l état A de coordonnées thermodynamiques p A = 10 5 Pa, T A = 300K. A partir de cet état, on fait décrire à l air le cycle constitué par les transformations suivantes : A B : compression adiabatique réversible de la pression p A à la pression p B = Pa. B C : échauffement monobare au cours duquel l air reçoit, par transfert thermique, une quantité d énergie Q BC = 507kJ. C D : détente isotherme réversible. D A : refroidissement isochore. (a) Représenter le cycle décrit par l air dans les diagrammes de Clapeyron (p, V) et entropique (T,S). (b) Calculer les paramètres pression p, volume V et température T aux points A, B, C et D. (c) Calculer les quantités d énergie reçues par l air, par transfert mécanique, au cours de ces différentes transformations. (d) Calculer les quantités d énergie reçues par l air, par transfert thermique, au cours de ces différentes transformations (e) En prenant comme entropie de référence la valeur S 0 = 0 correspondant à l état p 0 = 10 5 Pa, T 0 = 273K, calculer l entropie massique de l air dans les états A, B, C et D. Constante massique de l air : r = 287J K 1 kg 1 Rapport de capacités thermiques : γ = 1,4 2. Turbopropulseur Une masse m = 1 kg d air prélevée dans l atmosphère à la température T 0 = 300 K sous la pression p 0 = 10 5 Pa subit dans un turbopropulseur les quatre transformations suivantes: A B: compression adiabatique réversible de l état A (p A = p 0, T A = T 0, V A ) à l état B (p B = 10p A, T B, V B ); B C: échauffement monobare, dans la chambre de combustion, au cours duquel elle reçoit la quantité de chaleur Q 1 = 501,466 kj qui la fait évoluer de l état B à l état C (p C, T C, V C ); C D: détente adiabatique réversible dans la turbine de l état C à l état D (p D = p 0, V D, T D ); D A: refroidissement monobare de l état D à l état A au contact de l atmosphère. L air est assimilé à un gaz parfait de constante massique r = 287 J.kg 1.K 1 dont le rapport γ des capacités thermiques vaut 1,4. (a) Représenter le cycle décrit par l air dans le diagramme de Clapeyron (p,v) et dans le diagramme entropique (T,s). (b) Calculer les températures T B, T C et T D. (c) Pour chaque transformation, calculer les quantités d énergie reçues par l air sous forme de chaleur et sous forme mécanique (travail). (d) Pour chaque transformation, calculer la variation d entropie.

2 (e) Calculer l efficacité du turbopropulseur fonctionnant suivant ce cycle. 3. Moteur Stirling On étudie dans ce problème une succession de transformations subies par une mole de gaz parfait constituant un cycle de Stirling. On note T C la température de la source chaude, T F la température de la source froide et T = T C T F. Le cycle est constitué des quatre transformations thermodynamiques suivantes (A, B, D, E sont des points où le gaz se trouve à l équilibre thermodynamique): au contact de la source chaude : - transformation AB : échauffement isochore de T F à T C - transformation BD : détente isotherme réversible au contact de la source froide : - transformation DE : refroidissement isochore de T C à T F - transformation EA : compression isotherme réversible On notera R la constante des gaz parfait et γ le rapport des capacités calorifiques. Le rapport des volumes du point D et du point B est noté α = V D VB (a) Représenter le cycle décrit par le fluide sur un diagramme de Clapeyron (p,v ) et sur un diagramme entropique (T,S). (b) Exprimer la quantité d énergie Q C reçue par le fluide au cours d un cycle au contact de la source chaude en fonction de R, γ, T, α et T C. (c) Exprimer la quantité d énergie Q F reçue par le fluide au cours d un cycle au contact de la source froide en fonction de R, γ, T, α et T F. (d) A partir d un bilan entropique sur le cycle exprimer l entropie produite au cours d un cycle dans le gaz en fonction de R, γ, T, T C et T F. Montrer qu il s agit d une grandeur positive. (e) Exprimer l efficacité thermodynamique η de cette machine. (f) Rappeler l expression de l efficacité de Carnot pour une machine fonctionnant entre les deux sources à T F et T C. Donner l expression du rendement de la machine étudiée. Comment peut-on augmenter le rendement sans changer la température des sources? 4. Moteur à allumage commandé Dans chaque cylindre d un moteur à allumage commandé, une masse m de mélange gazeux, assimilable à de l air, décrit le cycle ABDEA constitué des transformations suivantes: AB compression adiabatique réversible; BD échauffement isochore lors de la combustion; DE détente adiabatique réversible; EA refroidissement isochore. On donne: m = 0,53 g, T A = 330 K, T D = 3045 K, p A = 10 5 Pa Rapport volumétrique: α = V A V B = 8 Pouvoir calorifique du carburant: PCI = kj.kg 1 Masse volumique du carburant: ρ = 720 kg.m 3 L air est assimilable à un gaz parfait de constante massique r = 287 J.kg 1.K 1 dont le rapport γ des capacités thermiques à pression et à volume constants vaut 1,4.

3 (a) Calculer: T B, T E, p B, p D, p E (b) Calculer le travail W reçu par le fluide gazeux au cours d un cycle (c) Calculer l efficacité (rendement thermique) µ du cycle. (d) Sachant que le moteur est un moteur à quatre temps et qu il comporte quatre cylindres, calculer sa puissance théorique à 5000 tr.min 1 en Watt et en chevaux. (e) Calculer la consommation horaire du moteur en kg.h 1 et en l.h Moteur Diesel à double combustion Dans les moteurs Diesel actuels, on cherche à réaliser une combustion qui s effectue en deux étapes: - une première étape où la combustion s effectue à volume constant, - une seconde étape où la combustion s effectue à pression constante. On considère 1 kg d air subissant le cycle de transformations représenté sur la figure ci-après dans le diagramme de Clapeyron (p,v). La pression en 1 est p 1 = 10 5 Pa et la température est T 1 = 293 K. La pression maximale est Pa et la température maximale est T 4 = 2173 K. Le rapport de compression V 1 /V 2 vaut 19. On suppose que l air est un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol 1 et dont le rapport γ des capacités thermiques à pression et à volume constants est égal à 1,4. '" )&*!+ & ",-" $" %" #" &"!*!+ & ",-"!" ( # " (! " (" (a) Quelle est la nature de chacune des transformations constituant ce cycle? (b) En quoi ce cycle diffère-t-il du cycle Diesel classique? Rappeler l endroit du cycle Diesel classique où est injecté le carburant. (c) Calculer la température T 2 et la pression p 2 en fin de compression. (d) En déduire la valeur de T 3. (e) Calculer alors la température T 5 en fin de détente. (f) A partir des questions précédentes, calculer Q f et Q c, représentant respectivement les quantités d énergie reçues par l air sous forme de chaleur au contact des sources froide et chaude. (g) En déduire la valeur de l énergie reçue par l air sous forme mécanique au cours d un cycle. (h) Calculer alors l efficacité (ou rendement thermique) théorique du moteur fonctionnant suivant ce cycle mixte. 6. Modèle de fonctionnement d une machine frigorifique

4 On considère une machine frigorifique fonctionnant avec du HFC134a et suivant le cycle de Carnot composé de deux isentropiques et de deux isothermes. Le fluide est aspiré dans le compresseur à l état de vapeur saturante (état A) à la pression p A = p 1 = 3 bar et à la température T A = 273 K, et refoulé sous forme gazeuse (état B) à la pression p B en ayant subi une compression isentropique. Au contact de la source chaude à la température T c, le fluide cède une quantité de chaleur Q c par une transformation isotherme réversible jusqu à atteindre un état de liquide saturé (état D), à la pression p D = 5 bar. Il est alors détendu de manière isentropique jusqu à l état E à la pression p E = p 1 = 3 bar, puis vaporisé en recevant une quantité de chaleur Q f au contact de la source froide à température T f jusqu à revenir à l état A. Dans tout le problème on considérera une masse m de 1 kg de fluide. On assimile la vapeur à un gaz parfait de constante r = 80 J.kg 1.K 1 et on néglige le volume massique du liquide devant celui de la vapeur. La chaleur latente de vaporisation est supposée constante dans le gamme de température considérée: l v = 188 kj.kg 1. Le rapport γ des capacités calorifiques à pression et à volume constants de la vapeur (toujours assimilée à un gaz parfait) est de 1,16. La capacité thermique massique du liquide est c l = 1390 J.kg 1.K 1. (a) Représenter qualitativement le cycle dans un diagramme de Clapeyron (p,v ). (b) Quelle est la température de la source froide? (c) A partir de la relation de Clapeyron intégrée, déterminer la température T c de la source chaude. (d) Calculer la pression p B au point B. (e) Déterminer la quantité de chaleur Q c échangée au contact de la source chaude. (f) En déduire la quantité de chaleur Q f échangée au contact de la source froide, ainsi que l énergie reçue par le fluide sous forme mécanique au cours d un cycle. (g) Calculer alors l efficacité de cette machine frigorifique. 7. Pompe à chaleur diphasée La pompe à chaleur schématisée ci-dessous sert à chauffer de l eau par l intermédiaire de l échangeur 7) 8).!/0-1&(%)2) ) :) *+,&-*&(%) 9) ;-,%+&)&0()) <%"=*&)>)? ; ) L installation comporte les éléments suivants: deux échangeurs de chaleur A et B qui assurent les transferts thermiques avec les sources froide et chaude, un compresseur et un détendeur. Dans cette installation, le fluide frigorigène subit les transformations suivantes qui constituent un cycle diphasé:

5 1 2 Compression adiabatique irréversible dans le compresseur: à l entrée du compresseur, le fluide se trouve à l état de vapeur saturante dans les conditions p 1 = 2,92 bar et T 1 = 273 K (état 1). Il est comprimé de manière adiabatique jusqu à la pression p 2 = 21,13 bar (état 2). La température T 2 et l enthalpie massique h 2 de la vapeur dans l état 2 sont respectivement T 2 = 363 K et h 2 = 458 kj.kg Refroidissement monobare suivi d une liquéfaction totale, sans sous-refroidissement, dans le condenseur sous la pression p 2 = 21,13 bar. 3 4 Détente adiabatique irréversible et isenthalpique dans le détendeur. 4 1 Vaporisation monobare totale, sans surchauffe, dans l évaporateur sous la pression p 1. Les questions suivantes se rapportent à 1 kg de fluide frigorigène. Certains calculs nécessitent de se rapporter au tableau ci-joint dans lequel figurent des valeurs relatives au liquide saturant et à la vapeur saturante du fluide frigorigène. Il est demandé pour ces calculs, autant que possible, de ne pas se servir des grandeurs pouvant être lues sur le diagramme de Mollier (p,h). (a) Représenter le cycle décrit par le fluide (Forane 134a) dans le diagramme de Mollier (p,h). (b) Déterminer les valeurs numériques des chaleurs latentes massiques de vaporisation aux pressions p 1 et p 2. (c) Sachant qu à la sortie du condenseur (état 3), le fluide se trouve totalement à l état liquide saturant à la pression p 2, calculer la quantité de chaleur Q c = Q 2 3 reçue par le fluide frigorigène dans le condenseur. (d) A la sortie du condenseur, le fluide se détend de manière adiabatique et irréversible dans le détendeur de l état 3 (p 2, T 2 ) à l état 4 (p 1, T 1 ). Sachant que cette détente peut être considéré isenthalpique, déterminer le titre massique en vapeur x 4 du système liquide-vapeur dans l état 4. (e) Calculer la quantité de chaleur Q f = Q 4 1 reçue par le fluide dans l évaporateur. (f) Calculer le travail W reçu par le fluide au cours du cycle. (g) En déduire l efficacité de la pompe à chaleur. (h) Sachant que l on veut récupérer dans l échangeur B une puissance de 2500 W, calculer le débit massique en kg.s 1 que l on doit imposer au fluide frigorigène. (i) La chaleur cédée par le fluide frigorigène dans l échangeur B est entièrement reçue par l eau. Celle-ci entre dans l échangeur à la température T E = 288 K et on veut obtenir à la sortie de l eau à T s = 340 K. Sachant que la capacité thermique massique c l de l eau vaut 4180 J.kg 1.K 1, calculer le débit massique que l on doit imposer à l eau.

6 Table 1: conditions de saturation du Forane 134a T ( C) p (bar) h l (kj.kg 1 ) h v (kj.kg 1 ) -40 0, ,9 371,7-35 0, ,0 374,8-30 0, ,1 377,9-25 1, ,4 381,1-20 1, ,8 384,1-15 1, ,4 387,2-10 2, ,1 390,2-5 2, ,0 393,2 0 2,92 200,0 396,1 5 3, ,2 399,0 10 4, ,5 401,8 15 4, ,0 404,6 20 5, ,7 407,3 25 6, ,5 409,9 30 7, ,6 412,4 35 8, ,8 414, ,15 254,3 417, ,58 261,9 419, ,17 269,8 421, ,91 278,0 423, ,81 286,4 424, ,88 295,1 426, ,13 304,0 427, ,58 313,4 428, ,21 323,1 428, ,06 333,3 428, ,11 344,5 426,9