Cours de turbomachine à fluide compressible

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1 Cours de turbomachine à fluide compressible Xavier OAVY CNRS UMR 5509 Laboratoire de Mécanique des Fluides et d Acoustique à l École Centrale de Lyon

2 Plan du cours Cours de turbomachine Xavier Ottavy (CNRS Laboratoire de Mécanique des Fluides et d Acoustique UMR ECL) Introduction Analyse thermodynamique monodimensionnelle Analyse de l écoulement dans le plan circonférentiel Équation de l équilibre radial simplifié Cas d application : dessin d un étage de compresseur axial

3 1 ière partie - Introduction Introduction Introduction Définition Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Notion d étage échanges d énergies Courbes caractéristiques Approches 1D, D,.5D et 3D Analyse thermodynamique monodimensionnelle Analyse de l écoulement dans le plan circonférentiel Équation de l équilibre radial simplifié Cas d application : dessin d un étage de compresseur axial

4 Définition Cours de turbomachine Xavier Ottavy (CNRS Laboratoire de Mécanique des Fluides et d Acoustique UMR ECL) Définition Une turbomachine est une machine tournante qui réalise un transfert d énergie entre son arbre propre, et un fluide en mouvement. Ce transfert peut s effectuer dans les deux sens : Introduction une récupération de l énergie du fluide sur l arbre de la machine (fonction réalisée par les machines de type turbine) une augmentation de l énergie du fluide par fourniture d énergie mécanique sur l arbre de la machine (fonction réalisée par les machines de type compresseur, ventilateur, pompe )

5 Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Récupération de l énergie d un fluide (turbines) liquide : récupération d énergie potentielle hydraulique (barrages, ) gaz : turbines de dentiste, turbocompresseurs, turbopompes, turbines associées à d autres éléments (compresseurs, chambres de combustion, ) pour la production d énergie mécanique, ou pour la propulsion en aéronautique. Introduction Compression de gaz (compresseurs) fonction qui se présente dans des domaines très diversifiés : industrie chimique (pression de réaction), industrie pétrolière (extraction du pétrole), ou simplement création d air comprimé. compresseurs associés à d autres éléments (turbines, chambres de combustion, ) pour la production d énergie mécanique, ou pour la propulsion en aéronautique. ransport de fluide élévation : fournir une énergie pour vaincre le champ gravitationnel (pompes) transport horizontal : apport périodique d énergie au fluide pour vaincre les pertes de charges (boosters) Ventilation

6 Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction Production d énergie mécanique à partir d une source de chaleur Production réalisée par des turbines à gaz ou des turbines à vapeur. Ces machines associent dans un cycle thermodynamique turbines, compresseurs, sources de chaleur, refroidisseurs, Puissance variant de quelques kw à plusieurs dizaines de MW. Production d énergie électrique (aérospatiale, avions, chars, réseau nationale, ) Production d énergie mécanique : entraînement d hélice de bateau, d avion (turbopropulseur), de rotor d hélicoptère urbines à vapeur essentiellement destinées à la production de forte puissance d énergie électrique dans les centrales thermiques. Propulsion par réaction Ces machines associent dans un cycle thermodynamique turbines, compresseurs, chambres de combustions, tuyères urboréacteurs urbofans (multiflux)

7 PW Pratt & Whitney (epower-propulsion.com) Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction

8 CFM56 Snecma Moteurs (epower-propulsion.com) Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction

9 BR715 BMW/Rolls-Royce (epower-propulsion.com) Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction

10 GP7000 EA (GE / Pratt & Whitney) (epower-propulsion.com) Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction

11 PEGASUS Rolls-Royce (epower-propulsion.com) Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction

12 F404 General Electric (epower-propulsion.com) Fonctions et domaines d utilisation des turbomachines Introduction

13 Notion d étage Échanges d énergies Notion d étage Échanges d énergies Géométries des turbomachines Les géométries sont très diverses (de l éolienne à la Pelton), mais une majorité des turbomachines peut être répertoriée en 3 catégories : Introduction Les machines axiales : le fluide entre et sort avec une vitesse débitante approximativement axiale. Machines caractérisées par des débits importants, mais des taux de pression limités (de l ordre de 1,4 pour un compresseur transsonique et de pour un compresseur supersonique). Les machines centrifuges : le fluide sort approximativement dans un plan radial, l entrée pouvant ne pas être radiale. Machines caractérisées par des débits limités et des taux de pression important (pouvant atteindre 10 grâce au travail de la force de Coriolis et à l augmentation de la pression statique liée à l action de la force centrifuge. Les machines mixtes

14 Notion d étage échanges d énergies Notion d étage - échanges d énergie Un étage de turbomachine se compose d une partie mobile appelée rotor (ou rouet) et d une partie fixe appelée stator (ou selon le cas : redresseur, distributeur, diffuseur, ) Introduction Le rotor : Rôle : assurer le transfert d énergie entre l arbre de la machine et le fluide en mouvement. L écoulement étant défléchi au passage de la roue, il existe donc une force exercée par le fluide sur les aubages. Le point d application de la force se déplace du fait de la rotation des aubages, il y a donc travail => échange d énergie

15 Notion d étage échanges d énergies Le rotor (suite): Énergie de pression : une turbomachine échange nécessairement de l énergie de pression avec le fluide (même si cela ne doit pas être sa fonction principale). Cas compresseur : augmentation de la pression pour compenser les pertes de charge du circuit. Cas turbine : une partie de l énergie récupérée l est toujours sous forme de pression. Introduction Énergie cinétique : une turbomachine échange nécessairement de l énergie cinétique avec le fluide du fait de la giration de l écoulement au passage de la roue mobile. Énergie calorifique : il n y a pas d énergie calorifique directement échangée entre le fluide et la roue. Cependant le fluide peut recevoir de la chaleur naissant de la dégradation d une partie de l énergie cinétique <= travail des forces de frottement liées à la nature visqueuse du fluide. Phénomène de dissipation principalement localisé près des parois = transformation de la forme d énergie et non transfert de l énergie («pertes» => rendement). Faible surface des parois en rapport avec les grands débits rendent les échanges de chaleur avec l extérieur négligeable => parois considérées comme adiabatiques

16 Le stator : Notion d étage échanges d énergies Rôle : modifier la forme d énergie (énergie cinétique en pression, ou inversement). Il existe comme pour la roue mobile une force exercée par le fluide sur les aubages, liée à la déflection de l écoulement. Par contre l aubage étant fixe, il n y a pas de déplacement du point d application de la force. Donc pas de travail => pas d échange d énergie Introduction Redresseur de compresseur axial : Situé en aval de la roue mobile Rôle : redresser l écoulement vers la direction axial, transformant ainsi l énergie cinétique de la composante giratoire de vitesse en pression statique. «Orienter» le fluide dans une direction compatible avec le prochain étage. Distributeur de turbine axiale : Situé en amont de la roue mobile Rôle : provoquer une giration de l écoulement, transformant ainsi une partie de l énergie de pression statique disponible sous forme d énergie cinétique. Cette énergie est ensuite récupérée au niveau de la roue mobile. Diffuseur de compresseur centrifuge : Récupération de pression statique avec l augmentation de la section de passage (rayon).

17 Courbes caractéristiques Courbes caractéristiques Compresseurs et turbines sont en général calculés pour un point de fonctionnement (débit massique m et taux de pression Π) où le rendement est maximal : c est le point de fonctionnement nominal. Introduction Il est cependant intéressant de connaître le comportement de la machine à d autres débits, d où la notion de plage de fonctionnement. C est la fourchette de débit où la machine conserve un taux de pression acceptable avec un rendement acceptable. Ce fonctionnement hors adaptation est illustré sur les courbes caractéristiques. Actuellement, les recherches sont largement orientées sur l extension des plages de fonctionnement : Interaction rotor/stator rôle des effets potentiel dans l amorce du décollement tournant raitement du carter pour profiter de son interaction avec les écoulement de jeux. But : repousser la zone de pompage.

18 Courbes caractéristiques Courbes caractéristiques des compresseurs Débit aux de pression Rendement isentropique m& m& = red p t 1 t 1 Π = p p t t1 Π ηis = γ 1 γ t t1 1 1 Vitesse de rotation N t1 Introduction

19 Courbes caractéristiques Exemple de déclenchement d un décollement tournant hèse : Nicolas Gourdin ONERA/ECL - calcul elsa,5d - compresseur subsonique CME de Snecma Moteurs Introduction

20 Courbes caractéristiques Courbes caractéristiques des turbines Débit réduit Rendement Introduction Asymptote commune, indépendante de la vitesse de rotation => blocage sonique dans distributeur (partie fixe) Plage de rendement très étalées => caractère accéléré de l écoulement au passage des aubes (contrairement aux compresseurs où l écoulement décélère)

21 Approche 1D, D,.5D et 3D Approche 1D, D,.5D et 3D Écoulement réel dans une turbomachine complexe : tridimensionnel visqueux instationnaire Introduction Définition de surfaces «méridienne» et «aubes-à-aubes» Surface méridienne Surface aubes-à-aubes

22 ième partie - Analyse thermodynamique monodimensionnelle Introduction Analyse thermodynamique 1D Analyse thermodynamique monodimensionnelle Équations de conservation de base Bilan des différentes contributions Équation de l entropie (équations de Gibbs) ravail mécanique et travail utile Conditions d arrêt Intérêt du diagramme entropique et enthalpique Rendements isentropiques Rendements polytropiques Analyse de l écoulement dans le plan circonférentiel Équation de l équilibre radial simplifié

23 Équations de conservation de base Équations de conservation de base Équations de conservation de l énergie totale Analyse thermodynamique 1D forme locale générale e est l'énergie interne par unité de masse (qui n'inclue pas l'énergie cinétique du mouvement d'ensemble macroscopique des molécules, mais uniquement l'énergie cinétique liée à l'agitation de nature aléatoire de celles-ci) q représente l'énergie calorique massique échangée avec l'extérieur w e est le travail des forces extérieures par unité de masse. Après utilisation de l équation de continuité, on a : r dw ( ) ( 1 e 1 V d ) f V div V grad p p dt = r r + ρ τ ρ r r ρ dt r f représente les forces extérieures par unité de masse, appliquées sous forme volumique τ ( ) de d V dq dw + = + e dt dt dt dt est tenseur des contraintes visqueuses Le travail des forces de pression comporte termes : r V 1 qui est un terme de transport ρ gra d r p ( ) p d 1 ρ qui est un terme de compressibilité dt 1 V

24 Équations de conservation de base Analyse thermodynamique 1D Expression adaptée à un système ouvert, en introduisant l enthalpie (h): L équation d énergie devient : En exprimant cette équation sous la forme : On a donc par identification : dw dt h = e + div( V ) f V dt + dt = τ ρ t + ρ r + r r + dt dh d( V / ) 1 p 1 dq où dw /dt représente la puissance dite utile par unité de masse p ρ dh d V dq dw + = + dt dt dt dt ( / ) r r 1 ( r ) 1 p = f V + div τ V + ρ ρ t

25 Équations de conservation de l énergie cinétique Équations de conservation de base Analyse thermodynamique 1D Cette équation peut se substituer à l'équation de la dynamique ou à celle de la quantité de mouvement. Elle s'exprime par : dw i dt d(v ) dt = dw e dt où D est le tenseur des déformations : puissance des forces extérieures puissance des forces intérieures = terme de dissipation interne (irréversibilité mécanique) dû au travail intérieur de la viscosité + dw i dt = σ: D ρ = τ :D ρ + p ρ div V r = τ : D ρ + p d ( 1 ρ ) dt ( ) D = 1 gra d r V r + t grad r V r Soit, finalement : r d( V ) r r 1 ( r ) V r 1 = { f V + div τ V grad p τ : D dt travail des 1443 ρ 1443 ρ 13 ρ forces travail des travail des dissipation d' de volume forces forces de pression énergie cinétique visqueuses (transport) par viscosité div τ V r = terme de production dû au travail des forces extérieures de viscosité ( ) ρ τ :D ρ

26 Équations de conservation de l énergie interne Équations de conservation de base Analyse thermodynamique 1D Cette équation s'obtient directement en retranchant membre à membre les deux équations précédentes : Soit : de dq dw = i dt dt dt ( ) de dq 1 d 1 ρ = + τ : D p dt { dt 13 ρ 1443 dt apport extérieur de chaleur dissipation travail de mécanique compression (dit volumique) Remarque : dans l'équation de l'énergie totale les termes de pression interviennent dans le travail surfacique extérieur : la pression est donc une pression extérieure. Dans l'équation de l'énergie interne, ces termes proviennent du travail des forces internes : la pression est donc une pression intérieure. ( ) d p ρ Expression adaptée à un système ouvert (en ajoutant aux membres) : dt dh 1 dp dq 1 = + + τ : D dt ρ dt dt ρ

27 Bilan des différentes contributions Bilan des différentes contributions Analyse thermodynamique 1D Énergie totale r de d( V ) dq 1 ( ) V d ( 1 ) { f V div V grad p p dt + dt = ρ τ { dt + r r + ρ r r ρ dt travail des Énergie cinétique d V dt r r r r r f V div V grad p D 1443 ρ 1443 ρ 13 ρ ( ) 1 V 1 = + τ : ( ) { τ travail des forces travail des travail des dissipation d' de volume forces forces de pression énergie cinétique visqueuses (transport) par viscosité ( ) de dq 1 d 1 ρ = + τ : D p dt { dt 13 ρ 1443 dt apport extérieur de chaleur apport extérieur de chaleur forces travail des travail des de volume forces forces de pression visqueuses (transport) Énergie interne >0 <0 dissipation travail de mécanique compression (dit volumique) V travail de compression (dit volumique)

28 Équation de l entropie (équations de Gibbs) Équation de l entropie Analyse thermodynamique 1D En divisant l'équation de l'énergie interne par en tenant compte de : div q r r = div q q r grad r 1 1 de d ( 1 ) 1 dq 1 : D r 1 q q 1 1 : D p ρ τ r r r + = + = + div + grad + τ dt dt { dt 13 ρ ρ 1443 ρ 13 ρ apport de irréversibilité apport de chaleur irréversibilité irréversibilité chaleur mécanique thermique mécanique réversible Le deuxième membre de l'équation précédente s'identifie comme la variation d'entropie du système par unité de masse ds dt D'où la première équation de Gibbs : ( ) de dt + p d 1 ρ dt = ds dt La deuxième équation de Gibbs s'obtient en introduisant l'enthalpie : dh dt 1 dp ρ dt = ds dt

29 ravail mécanique et travail utile ravail mécanique et travail utile Interprétation physique du travail utile Analyse thermodynamique 1D ( D ) f V 1 V ( D 1 ) ( D ) dm ( D' 1) D m m = ρ ϑ(t) f m = ρ ϑ(t+dt) dm ( D' ) masse de gaz m=ρϑ(t), comprise entre les sections d'entrée D1 et de sortie D et occupant le domaine matériel Dm. à l'instant t+dt cette masse de fluide m=ρϑ(t+dt) se sera déplacée vers l'aval. Puissance utile échangée avec cette masse m : P dw dt = = D m dw ρ dt dϑ

30 ravail mécanique et travail utile Analyse thermodynamique 1D Expression du travail utile, vue précédemment : dw r r 1 ( r ) 1 p = f V + div τ V + dt ρ ρ t Donc : dw r r r r p ρ ϑ ρ ( ) ϑ τ ϑ dt t P = d = f V d + V n ds + d D D D D m m m m Avec un écoulement permanent, une condition d'adhérence imposant une vitesse nulle sur les parois fixes ( Df) et des tensions visqueuses négligeables sur D1 et D (au sein du fluide), on a : r f dw dt ρ r f r V dϑ Dm (cf. énergie totale) ou représente les forces de volume autres que les forces de pesanteur, c.à.d. dans notre cas les forces exercées par les aubages de la machine sur le fluide. Le travail utile représente donc le travail échangé avec la machine.

31 Autres expressions du travail mécanique et du travail utile ravail mécanique et travail utile Analyse thermodynamique 1D ravail mécanique : En ajoutant les variations d'énergie cinétique dans l'équation de l'énergie interne : de d ( V ) dq 1 d ( 1 ρ ) d ( V : ) + = + τ D p + dt dt dt dt dt et, en identifiant avec l'équation de l'énergie totale : ravail utile : En effectuant la même opération avec l'équation d enthalpie : ρ ( 1 ρ ) d ( V ) dw d e dwd = p + dt dt dt dt ( ) dw 1 d ( V ) dh d V dq d dp + = dt dt dt dt ρ dt dt et, en identifiant avec l'équation de l'énergie totale (enthalpie) : dw dw d dp d V = + + dt dt ρ dt dt 1 ( )

32 Différence entre puissance mécanique et puissance utile ravail mécanique et travail utile Analyse thermodynamique 1D dw { dt puissance utile = dw e { dt puissance mécanique soit, en intégrant sur le domaine D m défini précédemment : dw dt dw e dt + d( p ρ) 14 dt4 3 puissance de transvasement d( p ρ) = ρ dϑ Dm dt = d p ρ dt Dm ρ dϑ = p t dϑ + pv r n r ds D m Dm Si on fait l'hypothèse d'un écoulement permanent, et si nous tenons compte du fait que la condition d'adhérence impose une vitesse nulle sur les parois fixes ( Df), il vient : dw dt dw e dt D1 D = pv r n r ds Le travail utile diffère donc du travail mécanique par le travail des forces de pression sur les surfaces libres d'entrée et de sortie que l'on appelle travail de transvasement.

33 Illustration : Compresseur et son entrée d air ravail mécanique et travail utile Analyse thermodynamique 1D ( D ) 0 V ( D ) 1 ( D ) D 0 D 1 domaine D1: travail utile échangé (par l'intermédiaire des pales mobiles) et travail des forces de pression sur les surfaces de contrôle ( D1) et ( D) (car les pressions p 1 et p sont différentes). w 0 et w 0 domaine D0 : aucun travail échangé avec les parois matérielles Mais : puissance des forces de pression nulle sur ( D0) (si on la situe suffisamment loin pour considérer que la vitesse du fluide y est nulle), elle ne l'est pas sur ( D1). w = 0 et w 0 e e

34 Conditions d arrêt Conditions d arrêt Notion de variable d arrêt absolue Analyse thermodynamique 1D Écoulement uniforme (p,,ρ) et permanent de fluide Pas d échange de travail ni de chaleur avec l extérieur Plaçons y une sonde de température et de pression Équation de conservation de l énergie entre les points 1 et, sur ces lignes de courant h + (V ) = w + q = 0 L'enthalpie au point englobe donc à la fois l'enthalpie statique et l'énergie cinétique en 1, d'où son nom d'enthalpie totale. Mais, c'est aussi l'enthalpie obtenue après avoir arrêté le fluide, d'où son nom d'enthalpie d'arrêt. h 0 = h + V M 1 x p,, ρ, V M' x 1 M M'

35 Définition des variables d arrêt Conditions d arrêt Analyse thermodynamique 1D Les conditions d'arrêt sont les conditions que l'on obtiendrait par une transformation fictive ramenant isentropiquement (réversiblement et sans échange de chaleur) et sans échange de travail utile, le fluide à vitesse nulle. empérature d arrêt Dans le cas d un gaz parfait : En considérant que : ainsi : h = C p ( ) h0 V = + C ( ) C ( ) 0 p est la température statique qui représente l'énergie cinétique moyenne d'agitation moléculaire (de nature aléatoire). V /Cp est la température dynamique qui représente l'énergie cinétique du mouvement d'ensemble des molécules. p h = C ( ) C ( ) C 0 p 0 0 p 0 p 0 = + V C p

36 Pression et masse volumique d arrêt Conditions d arrêt Analyse thermodynamique 1D En utilisant la définition précédente, qui exprime que l'on passe de l'état dynamique (p, r,, V) à l'état d'arrêt (p 0, r 0, 0, 0) par une transformation isentropique: Autre formulation En introduisant la notion de nombre de Mach : Il vient : γ 1 0 = 1+ M p 0 p = ρ 0 ρ p 0 = p 1 + V C p γ γ γ 1 = 0 V C p = γ r C p V a = γ 1 M γ ρ0 = ρ 1+ γ γ 1 ρ 0 = ρ 1 + V C p M γ M = V a = 1 γ 1 V γ r p 0 = p 1 + γ 1 M γ γ 1

37 Approximation pour un écoulement incompressible Conditions d arrêt Analyse thermodynamique 1D Les effets de compressibilité sont négligeables si le fluide se déplace à basse vitesse. On considère généralement que la limite acceptable de l'approximation est M < 0,3. Dans ce cas, pour l air : γ 1 M << 1 Soit en effectuant un développement limité au premier ordre : Cas de l entropie p 0 p 1 + γ γ 1 γ 1 M = p + γ p γ r V p 0 p + 1 ρ V L'entropie statique s'exprime, en fonction des variables p et ρ et de la définition des variables d'arrêt : s = C v Log( p ρ γ γ )= C v Log( p 0 ρ 0 )= s 0 s s 0 Ce résultat pouvait être prévu sans aucun calcul, car l'entropie étant associée à une quantité de chaleur (échangée ou produite par irréversibilités), elle ne dépend pas du repère considéré.

38 Variables statiques et d arrêt absolues ou relatives Conditions d arrêt p 0 et 0 sont les pression et température «ressenties» par des sondes fixes Analyse thermodynamique 1D Pour mesurer les variables statiques, il ne faut pas modifier la dynamique du fluide. Nécessité de sondes solidaires d'un référentiel lié au fluide (difficile). En pratique: sondes de paroi parallèle à l'écoulement de fluide. Si on se rappelle que le phénomène de pression résulte de l'intégrale des forces d'impact des molécules sur la paroi, alors : capteur sur paroi parallèle au mouvement du fluide, la pression mesurée n'inclut que les chocs liés au mouvement aléatoire des molécules : c'est la pression statique capteur sur paroi perpendiculaire au mouvement du fluide, la pression mesurée inclut à la fois les chocs liés au mouvement aléatoire des molécules et ceux liés à leur mouvement d'ensemble de vitesse : c'est la pression totale. Lorsqu'une sonde est liée à un référentiel qui n'est ni fixe, ni solidaire des particules de fluide, elle mesure une quantité que l'on appelle variable d'arrêt relative. Exemple : pales d'un compresseur animées d'un mouvement de rotation uniforme : Le fluide possède, dans le référentiel lié aux pales, une certaine vitesse W (dite vitesse relative, différente de la vitesse absolue V). La température "ressentie" par la pale au point d'arrêt est la température d'arrêt relative : 0 R = + W C p

39 Équation thermique d état Conditions d arrêt Pour un gaz parfait, la définition des variables d'arrêt entraîne : Analyse thermodynamique 1D p = ρ r = ρ γ 1 M 1 γ r 0 = ρ 0 r γ 1 M p 0 = ρ 0 r γ 1 M Ce résultat est évident si on considère que l'état d'arrêt (même s'il est fictif) est un état au sens thermodynamique : les variables y caractérisant le fluide sont donc régies par l'équation thermique d'état. γ 1 γ 1

40 Analyse thermodynamique 1D Cours de turbomachine Xavier Ottavy (CNRS Laboratoire de Mécanique des Fluides et d Acoustique UMR ECL) Expression du travail utile pour une transformation adiabatique Expression du travail utile et de l entropie établies précédemment : 1 dw = dp + d( V ) + dwd ρ dq δ q δ q ds = ext ext méca rév irrév irrév ransformation adiabatique => A=0, donc p ρ 0 0 p ρ r V dw 0 r V = 0 1 ρ A dw = dp + d( V ) + ds 1 dw 0 ds 0 0 ds 0 dw 0 ds 0 dw 0 1 ds ds 1 dw = dp ds ρ p + dp ρ + d ρ + d r r V + dv p + dp 0 0 ρ + d ρ d r V = Conditions d arrêt Pour un écoulement adiabatique, les irréversibilités de nature mécanique dw d sont les seules causes d'augmentation d'entropie Conditions statiques Conditions d arrêt

41 Rappel : Équation d énergie exprimée avec l enthalpie : Conditions d arrêt Analyse thermodynamique 1D Cas adiabatique : dq=0, donc : dh + d V = dq + dw dh ( / ) dh0 = dq + dw dw 0 Cas transfo isentropique (adiabatique + réversible) entre 1 et, avec un gaz parfait : Compression : Π > 1 => 0 > 01 => W 1 > 0 = 1 dh = C d = dw = dp + ds Pertes par dissipation 0 p ρ0 γ 1 0 p γ 0 W = C p ( 0 01 ) = C p01 1 C p 01 1 = 01 p 01 γ 1 γ W = C p01 Π 1 Isentrop. Détente : Π < 1 => 0< 01 => W 1 < 0 Importance de la température d entrée

42 Diagrammes entropique (,s) et enthalpique (h,s) Diagrammes entropique et enthalpique Analyse thermodynamique 1D Diagrammes couramment utilisés pour représenter les transformations. Si gaz parfaits évoluants dans une plage de températures limitée, Intérêt d un tel diagramme température et enthalpie sont identiques à une constante près : h = h() = C p () C p les ordonnées représentent l'énergie du système. On peut donc directement y visualiser : pour une transformation adiabatique : Les échanges de travail utile pour une transformation à p constante : Les échanges de chaleur h = w + q = w h = w + q = q pour un système isolé : h = 0 : Les transferts internes (énergie cinétique énergie de pression) dans le cas d'une transformation adiabatique, les abscisses représentent le degré d'irréversibilité de la transformation. compressions ou détentes usuelles : visualisation directe des transferts d'énergie, quantitativement en ordonnées et qualitativement en abscisses.

43 Quelques iso-valeurs intéressantes Diagrammes entropique et enthalpique Analyse thermodynamique 1D Isentropiques : les compressions et détentes usuelles réversibles sont représentées par des droites verticales. Adiabatiques irréversibles : selon le second principe w d > 0, que ce soient des compressions ou des détentes, l'entropie augmente. Isothermes (ou isenthalpiques) : ce sont des droites horizontales. Isobares (cas des apports de chaleur usuels) : Après intégration de l équation de Gibbs, on montre que les isobares sont des exponentielles croissantes se déduisant l'une de l'autre par translation horizontale. Remarques : l'écart vertical entre deux isobares augmente avec la température : ce résultat est déterminant pour comprendre le fonctionnement d'une turbine à gaz. dans le cas d'un gaz non parfait, il est indispensable d'utiliser le diagramme enthalpique, où toutes ces courbes sont distordues. ex : vapeur d'eau utilisée dans les turbines à vapeur (le diagramme enthalpique correspondant est le diagramme de Mollier).

44 Rendements isentropiques Rendements isentropiques Analyse thermodynamique 1D Ces rendements s'appellent isentropiques parce qu'ils comparent la transformation réelle à une transformation isentropique fictive. is 1 p p compression w h h is ηc = = w h h 1 is 1 1 s détente Pour un gaz parfait à Cp constant, ces rendements peuvent aussi s'écrire : ηc = is is is p 1 p w h h1 η = = w h h η = 1 is 1 is 1 s

45 Rendements isentropiques total-à-total Rendements isentropiques Analyse thermodynamique 1D Les rendements isentropiques total-à-total d'une roue mobile sont définis de façon analogue à la formulation initiale, mais en utilisant les variables d'arrêt pour conserver leur sens physique de rendements énergétiques globaux (entrée-sortie). η c = h 0is h 01 h 0 h 01 η = h 0 h 01 h 0 is h 01 pour une compression pour une détente Dans le cas où Cp constant => rendements définis avec les températures d'arrêt. Étage de turbomachine : la partie mobile : transfert d'énergie entre la machine et le fluide. En effet, les pales étant mobiles, l'ensemble des forces de pression et visqueuses exercées sur le fluide travaillent. la partie fixe ne réalise qu'une transformation interne de la forme d'énergie du fluide (pas d'échange d'énergie avec la machine). Existence de forces (fixes) entre les pales et le fluide => pas de travail. le premier principe exprime que : h 0 = w + q 0 il n'est pas possible de caractériser le degré d'irréversibilité de la transformation par ce type de rendement. On utilise les rendements isentropiques statique à statique

46 Étage de compresseur Rendements isentropiques Analyse thermodynamique 1D = is p 0 is V 1 Cp p0 1 p 1 p 0 3 V Cp p p 3 p 0 3 V 3 C p s η c = 0is

47 Étage de compresseur (suite) Rendements isentropiques Analyse thermodynamique 1D Roue mobile Roue fixe Energie totale fournie : C p( 0-1) > 0 Energie mécanique : p - p > Energie totale échangée : C p( 0 - ) 0 Dissipation visqueuse : p - p > 0 0 is 0 Energie mécanique : p - p < Dissipation visqueuse : p - p > p - p > 0 1 V V 1 - > 0 p - p > 0 3 V3 V - < 0

48 Étage de turbine Rendements isentropiques Analyse thermodynamique 1D = is V 1 Cp p0 1 1 p 1 V C p p 0 p p 0 3 is V 3 C p 3 p 0 3 p 3 s η = t is 01

49 Étage de turbine (suite) Rendements isentropiques Analyse thermodynamique 1D Roue fixe Roue mobile p - p < 0 1 V V 1 - > 0 p - p < 0 3 V3 V - < 0 Energie mécanique : p - p < Energie mécanique : p - p < Dissipation visqueuse : p - p > Dissipation visqueuse : p - p > 0 03 is 03 Energie totale échangée : C p( 0-01) 0 Energie totale récupérée : C p( 0-3) > 0 0

50 Rendements polytropiques Rendements polytropiques Processus polytropiques Analyse thermodynamique 1D Une définition : une transformation polytropique est une transformation au cours de laquelle le rapport entre la chaleur totale échangée, et la variation d'enthalpie est égale à une constante β. dq + dw d = β = constante dh Pour un gaz parfait : (sans variation d Ec) avec : d où : p = ρ r C p r C p r 0 dh = dw + dq = dp + d + dw + dq 0 ρ ( V ) dh dp ρ β = = dh C d d = 1 1 r ρ dp + p d 1 ρ 1 ρ dp + pd 1 β 1 ρ ( β 1) p d 1 + C p ρ r p ( ) = 1 ρ dp p dp C d d ρ ( β 1) +1 1 ρ dp = 0

51 Rendements polytropiques Analyse thermodynamique 1D soit, en utilisant la relation de Mayer : et en multipliant toute l'équation par ρ, p γ 1 γ β 1 il vient : Soit, en posant : Et en intégrant => dp p n = + γ (β 1) γ β 1 γ (β 1) γ β 1 p ρ n = constante C p C v = r d(1 ρ) 1 ρ = 0 C p r = γ γ 1 On appelle n exposant polytropique, qui est donc constant tout le long de la transformation.

52 Remarques sur la valeur de l exposant polytropique : Rendements polytropiques ransformation isotherme : n = 1 c Analyse thermodynamique 1D ransformation adiabatique réversible : Compression : les phénomènes dissipatifs créent de la chaleur et éloignent encore plus la transformation adiabatique de l'isotherme (on a un sur-échauffement par rapport à l'adiabatique réversible). Donc : n γ Détente: les phénomènes dissipatifs diminuent le refroidissement naturel de l'adiabatique réversible (ils rapprochent la transformation réelle d'une transformation isotherme). Donc : 1 n γ Assimilation du processus adiabatique irréversible réel à un processus polytropique: dq + dw d = β = constante = coéfficient de pertes dh 0 Avec des effets dissipatifs (pertes) répartis de manière "relativement" uniforme tout le long de la transformation, on peut assimiler le processus réel à un processus polytropique (cf. développement des couches limites et des pertes qu elles génèrent, de façon relativement constante tout au long de la surface si le profil turbulent est établi). nc = γ c