LE CALCUL MENTAL AU CYCLE 2

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1 LE CALCUL MENTAL AU CYCLE 2

2 Ce que disent les programmes Le calcul mental : tables d addition et de multiplication (2,3,4 et 5). L entraînement quotidien (15 minutes) au calcul mental portant sur les techniques opératoires de l adition, de la soustraction (..) les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division une appropriation des nombres et de leurs propriétés.

3 Quelles différences? Plusieurs calculs : A (2 x 252) + (2 x 4) = B (2 x 213) + (26 x 324) = C 2 x 32 = D 33 x 125 = E (4 x 2 ) + (4 x 31 ) = F (4 x 1) + (3 x 21) = Comment les résoudre? Pour certaines, le calcul mental suffit

4 Comment travailler les quatre opérations? L addition La soustraction L approche de la division et de la multiplication

5 L addition l addition est l opération la plus souvent utilisée en calcul mental que ce soit à l école ou dans la vie de tous les jours. Pour être performant, l élève doit : connaître les résultats des tables d addition pratiquer des stratégies variées de calcul donner du sens aux résultats obtenus

6 TRAVAILLER Á PARTIR DU TABLEAU DE PYTHAGORE EN CLASSE DE CP

7 LES RELATIONS ENTRE LES NOMBRES LES RELATIONS ENTRE LES NOMBRES

8 Situations d apprentissages Découpez le tableau de Pythagore en différents secteurs fondés sur les relations entre les nombres Ces secteurs renvoient à des démarches d apprentissage qui donnent du sens aux nombres des secteurs peuvent se chevaucher

9 LES SUIVANTS

10 Les suivants : Il s agit de travailler la correspondance entre l ajout de 1 et le suivant (ou le successeur) d un nombre. Vocabulaire à installer : précédent, suivant, avant -après, prédécesseur-successeur, Exercices : ajouter 1, dans le champ numérique connu afin de faire du lien

11 LES REGLES DE LA NUMERATION

12 Les règles de la numération : La difficulté provient du fait que le nom des nombres de 11 à 16 ne reflète pas leur écriture : Dix sept = + soit 1 Quinze =? Ce sont des connaissances qu il convient d installer avec la triple correspondance (nom du nombre, écriture chiffrée, collection )

13 LES DOUBLES

14 Les doubles : La mémorisation des doubles des premiers entiers ne présente pas de difficulté majeure. Automatisation et systématisation permettent aux écoliers d être performants

15 LES COMPLEMENTS A DIX

16 Les compléments à dix : La connaissance des compléments à est un passage obligé pour l ensemble des activités numériques pour le cycle 2 travaux sur des collections Manipulables et les regrouper (aspect cardinal) ou faire avancer sur une file (aspect ordinal) ou travailler directement dans l abstrait des nombres.

17 LES PRESQUE DOUBLES

18 Les presque doubles : Ils peuvent être travaillés une fois la connaissance des doubles installées. Dans le tableau de Pythagore, ils se situent juste sur les lignes placées juste avant ou juste après les doubles. Ils peuvent être travaillées de deux manières : 6+5 = = 12-1 = = +1 = 11

19 LES SOMMES INFERIEURES A

20 Les sommes inférieures à : C est le travail par comptage qui va permettre leur installation : Plusieurs approches : avec 2 collections manipulables avec 2 collections dont 1 seule est manipulable avec 2 collections visibles mais non manipulables pratique directe sur les nombres

21 LE PASSAGE PAR PAQUET DE

22 Le passage par paquet de : Il est indispensable de faire acquérir cette stratégie notamment aux élèves ayant des difficultés. Quelques obstacles : difficulté à visualiser la collection «dizaine» passage d une manipulation ou la collection reste visible à une écriture «où elle disparaît»

23 Les suivants Les règles de la numération Les doubles Les compléments à Les presque doubles Les sommes inférieures à Le passage par le paquet de connaissance connaissance connaissance connaissance stratégie connaissance stratégie Les suivants - cases 11 Il s'agit dans un premier temps de travailler la correspondance entre l'ajout de 1 et le suivant (ou le successeur) d'un nombre. Le maître installera le vocabulaire précédent suivant, avant - après, prédécesseur - successeur en fonction de la maturité des élèves. Cette connaissance peut se travailler à l'ardoise, mais aussi à la calculatrice, afin de faire le lien entre les termes employés et les opérations correspondantes.

24 Calculer mentalement des sommes sommes du type + = + + = sans ou avec franchissement de la dizaine supérieure (on peut graduer les difficultés en jouant sur les retenues et d éventuels 0. sommes du type + 0 ou 00 avec franchissement de la dizaine, de la centaine (inférieures à 0 en CP, à 00 en CE 1)

25 Des progressions possibles Produire et reconnaître des décompositions additives des nombres Calculer mentalement des sommes CP < 0 x x CE1 < 00 x x Ecrire / Dire des suites orales de en (fin CP) ou de 0 en 0 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes x x x

26 LA SOUSTRACTION

27 Des exemples d énoncés 1 ) Jean a 15 billes, il en a donné 6 à Paul. Combien lui en reste-t-il? 2 ) Jean a 1 billes. Combien lui en manque-t-il pour arriver à 30? 3 ) Jean a 45 billes et Paul 1. Combien a-t-il de billes de plus que Paul?

28 1 énoncé : La notion de retrait. C est le premier sens de la soustraction (le plus naturel pour les élèves) puisqu il se traduit par une diminution (aspect cardinal) d une collection d objets. Le «recul» (aspect ordinal) est une autre manière de concevoir ce sens

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30 2 énoncé : La notion de complément. Si le calcul est posé, les élèves traduisent instinctivement par une addition à trous 1 pour aller à 20 = 2 20 pour aller à 30 = soit 2 + = 12

31 3 énoncé : c est la notion d écart : rien n indique dans L énoncé que la soustraction est l opération la plus pertinente (faire comprendre que l expression «combien de plus?» signifie «combien faut-il compléter?») Et cela renvoie à la forme mathématique précédente TRAVAILLER LES TROIS SENS

32 Des exercices au CP(1): Calculer mentalement des différences: type : - = On peut utiliser les nombres situés au dessus de la diagonale des compléments à du tableau de Pythagore de l addition Type : 1 - = On peut utiliser les nombres situés au dessous de la diagonale des compléments à du tableau de Pythagore de l addition

33 Des exercices au CP(2): les compléments à : Il s agit d un travail indispensable si vous souhaitez que les élèves gagnent en efficacité Possibilité de s appuyer sur des exercices de type «additions à trous» produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20

34 Des exercices au CE 1: Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des différences : type : - = avec ou sans changement de dizaine type : - = / - 0 = / - = dans la première situation, cas particulier de l opérateur 11 Ecrire ou Dire des suites orales de en, de 0 en 0

35 Un outil : le tableau des nombres : CP / CE

36 le tableau des nombres : Entraînement au calcul additif et soustractif Les élèves disposent d un tableau personnel et / ou il existe un tableau collectif en classe Des flèches : À partir d un nombre donné, quel sera le nombre indiqué via Donner les instructions pour atteindre un nombre cible à partir de deux nombres donnés

37 Des exemples d application

38 Dans ces exemples : le sens de la flèche peut aider l élève à partir d un point de repère à travailler comme sur une file numérique statut particulier des «bords» de la table des exercices plus complexes : - 14? - Ou? 4

39 Des progressions possibles Produire et reconnaître des décompositions additives des nombres Calculer mentalement des différences CP x <20 x CE1 < 00 x x Ecrire / Dire des suites orales de en ou de 0 en 0 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des différences x x x

40 LA MULTIPLICATION

41 Deux manières de l appréhender un sens provenant d un cadre géométrique : Représentation correspondante à un énonce de type : Le jardinier plante 4 rangées de 5 choux. Combien a-t-il planté de choux? b a

42 un sens provenant d un cadre algébrique ou «a» et «b» représentent une écriture simplifiée d une addition réitérée: 5 x 4 = 4 x 5 Égalité difficile à concevoir pour les élèves :

43 les additions intermédiaires sont différentes :

44 L apprentissage des tables de multiplication (1) introduction des tables 2,3,4 et 5 au cycle 2 Nous pouvons proposer : l apprentissage de la table de 2 pour la fin CP : les écoliers sont habitués à compter de «n» en «n» et à utiliser les doubles et les paquets de 5 dans des stratégies de calcul les autres pour le CE1

45 L apprentissage des tables de multiplication (2) les objectifs du cycle 2 : la mémorisation des tables. La présentation des résultats dans l ordre traditionnel comporte quelques avantages : structure les connaissances en les ordonnant, permet de faire «vivre» des stratégies de calcul en passant d une ligne à l autre (table de Pythagore), synthétise les connaissances en présentant l essentiel à retenir

46 Des stratégies associées : exemple de la table de 3 multiplication 1x3 6x 3 «cadre algébrique 3 « résultat 3 «1 Cadre géométrique «Représentation en base «

47 L apprentissage de la table Elle nécessite : la construction de nouvelles connaissances le travail sur les différentes écritures l entraînement sur les différentes écritures l écriture de la leçon (rédaction impérative) l exploration de connaissances connexes le calcul mental la création de problèmes

48 Exploration de connaissances connexes Il s agit de travailler des problèmes favorisant la consolidation des résultats Quelques exemples : comment écrire x3 autrement? dans 24, combien il y a de fois 3 comment passer de 1 à 24? dans 26 combien il y a de fois 3? Tout cela permet d enrichir les stratégies de calcul, de repérer les nombres qui sont des résultats de table et ceux qui n en sont pas

49 La création de problèmes : la table de 3 1 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Les tickets coûtent 2 euros. Combien a-t-elle payé? 2 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Les tickets coûtent 2 euros pièce et chaque carnet contient 15 tickets. Combien a-t-elle payé? 3 ) Jeanne a acheté 3 carnets de 15 tickets de tomb ola. Les tickets coûtent 2 euros l un. Combien a-t-elle payé? 1 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Chaque ticket coûte 2 euros. Combien a-t-elle payé? 1 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Il y a 15 tickets par carnet et un ticket coûte 2 euros. Combien a-t-elle payé?

50 Recherches : Dans ces différentes propositions, rechercher les différents énoncés qui renvoient aux structures multiplicatives?

51 La création de problèmes : la table de 3 1 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Les tickets coûtent 2 euros. Combien a-t-elle payé? 2 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Les tickets coûtent 2 euros pièce et chaque carnet contient 15 tickets. Combien a-t-elle payé? 3 ) Jeanne a acheté 3 carnets de 15 tickets de tombola. Les tickets coûtent 2 euros l un. Combien a-t-elle payé? 1 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Chaque ticket coûte 2 euros. Combien a-t-elle payé? 1 ) Jeanne a acheté 3 carnets de tickets de tombola. Il y a 15 tickets par carnet et un ticket coûte 2 euros. Combien a-t-elle payé?

52 La division CP : connaître les moitiés des nombres pairs Travail sur les moitiés au quotidien CE 1: connaître les moitiés des nombres d usage courant + travail sur la moitié à partir de représentations utilisées en mathématiques d objets en nombre pair

53 Discriminer : les mots qui traduisent des groupements les prépositions inductrices les termes représentant l unité

54 Des progressions possibles CP CE 1 Connaître les doubles Connaître les tables de multiplication Connaître et utiliser les procédures de calcul mental pour calculer des produits Des nombres inférieurs à 2 Des nombres inférieurs à 40 3,4 et 5 X

55 Quelques situations pour travailler la numération

56 CP : écrire une suite de nombres dans l ordre croissant ou décroissant Jeu de l oie : L enseignant dispose d une piste de Jeu de l oie et de deux dés de couleurs différentes, l un pour avancer l autre pour reculer. Il lance un dé et déplace le pion; les élèves doivent écrire la suite des nombres (croissante ou décroissante) entre la case de départ et celle d arrivée Si le 1 apparaît, le maître fait référence au nombre précédent ou suivant

57 CP : comparer, ranger des nombres Entre les bornes : L enseignant donne deux nombres et demande aux écoliers de trouver, entre ces bornes, des nombres entiers qui répondent à telle ou telle condition Exemple : trouver les nombres, situés entre et 23 qui ne s écrivent pas avec un 1

58 CE 1 :connaître les nombres entiers naturels inférieurs à 00 Dictée de nombres : (avec calculette) Construction des nombres dans leur globalité niveau 1: Écrire 2 centaines, 5 dizaines et unités niveau 2 : niveau 2 : Écrire 34 unités,2 dizaines et une centaine

59 CE1 : écrire ou dire des suites de nombres de en, de 0 en 0 Le nombre manquant : Le maître affiche une série de nombres, disposés de manière aléatoire. Il manque un nombre dans cette série, les élèves doivent l identifier et l écrire. Exemple :

60 CE1 : comparer, ranger des nombres Entre les bornes : L enseignant donne deux nombres et demande aux écoliers de trouver, entre ces bornes, des nombres entiers qui remplissent une ou plusieurs Exemple : trouver les nombres, situés entre 1 et 53 qui comportent un ou qui commencent par un 3 avec un 1