LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE

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1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE I. À PROPOS DES NOMBRES ENTIERS ET DE LA NUMÉRATION DÉCIMALE 1. Numéral ordinal ou cardinal, dialectique ordinal / cardinal Les définitions suivantes sont empruntées au dictionnaire Le Robert. Numéral Adjectifs numéraux : adjectifs indiquant le nombre (adjectifs numéraux cardinaux) ou le rang (adjectifs numéraux ordinaux). Emploi de l'adjectif numéral cardinal à la place de l'ordinal pour désigner les années (ex. : l'an I, l'année 1959), les heures (ex. : trois heures de l'après-midi), les dates (sauf premier; ex. : le 6 juillet), les numéros d'ordre (ex. : page vingt ; 12, place de la République). Ordinal Qui marque l'ordre, le rang. Nombre ordinal (opposé à nombre cardinal), indiquant la position, le rang d'un élément dans un ensemble bien ordonné. Cardinal Nombres cardinaux (par opposition à nombres ordinaux) : nombres désignant une quantité correspondant au nombre d'éléments dans un ensemble (propriété quantitative de l'ensemble). Nombre cardinal, ou cardinal d'un ensemble : grandeur mathématique telle que deux ensembles aient même cardinal si et seulement s'ils sont équipotents. Nombre Concept de base des mathématiques, une des notions fondamentales de l'entendement que l'on peut rapporter à d'autres idées (de pluralité, d'ensemble, de correspondance) mais non définir. 2. À retenir Trois activités distinctes avec les nombres - activité de mesure et de comparaison : répondre à la question «Combien?» ; - activité scientifique : mettre en relation des grandeurs ; - activité spéculative : étude des nombres pour eux-mêmes. Dialectique ordinal / cardinal Si le 7ème objet est le dernier, alors le nombre d objets est 7. A l œuvre quand on «compte» 24+8 sur les doigts 3. Expression numérale orale ou écrite, écriture numérique Numération Manière de rendre sensible la notion abstraite de nombre et d'en conserver la mémoire ; système permettant d'écrire et de nommer les divers nombres. Numération concrète (cailloux des anciens Romains, doigts de la main...). Numération parlée, écrite. Base de numération : nombre de chiffres qui servent à former les autres nombres. Objectifs de la numération Garder la mémoire des nombres, communiquer des nombres, calculer avec les nombres, contrôler les calculs effectués avec les nombres. Principes d une numération Une numération parlée ou écrite repose sur un alphabet, ensemble des mots ou des signes (chiffres) pour désigner certaines quantités (un, quarante ; 1,2, 3 ; I, V, X, L...) ; sur une grammaire qui permet de fabriquer des expressions pour désigner d autres nombres en utilisant éventuellement d autres mots ou signes (quarante et un, 41, XLI...) et éventuellement sur une base qui permet de limiter l alphabet et d identifier le nom du nombre et sa valeur. Avec une numération de position, tous les nombres s écrivent avec (seulement) les chiffres de la base. La valeur d un chiffre dépend de la position qu il occupe dans l écriture du nombre. PE1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE 1/6

2 Variations de la relation numéral (en mots) / numérique (en chiffres) français trois mille quatre cent quatre-vingt-quinze : belge trois mille quatre cent nonante cinq : italien tremilaquattrocentonovantacinque : anglais three thousand four hundred and ninety five : allemand dreitausendvierhundertfünfundneunzig : Sources de difficultés dans les passages numéral - numérique (en français) Contradiction entre le sens de lecture et la grammaire (4 237) ; Grammaire : juxtaposition de mots qui désignent des nombres (607 = soixante-sept) ; Grammaire : confusion zéro médial/zéro opérateur (4 200 = quatre cent deux) ; Base : présence simultanée de plusieurs bases. II. ANALYSE DE PRODUCTIONS D ÉLÈVES Voici un énoncé proposé à l entrée en CE2 dans le cadre des évaluations nationales annuelles du Ministère de l Éducation nationale (MEN) ainsi que des réponses d élèves. L objectif était d évaluer la compétence : «Transcrire en lettres des nombres écrits en chiffres et inversement» Énoncé L énoncé comportait cinq reproductions de chèques bancaires, le premier était un exemple où la somme en lettres et la somme en chiffres étaient complétées, les quatre autres étaient incomplets. Chèque n 1) F 130 Payez : Cent trente francs à... Chèque n 2) F 72 Payez : à... Chèque n 3) F Payez : Quatre-vingt-dix-huit francs à... Chèque n 4) F Payez : Sept cent vingt-six francs à... Chèque n 5) F 504 Payez : à... Les pourcentages de réussite (sans tenir compte de l orthographe ni de l oubli de l unité) variaient entre 75% et 85%. L absence de réponse variait entre 3% et 8%. Les erreurs les plus fréquentes étaient : n 3) 8018, 42018, n 4) 70026, 7126, n 5) cinquante-quatre Question Interpréter les erreurs des élèves et montrer que la réponse «72600» se distingue des autres. III. ANALYSE D ÉNONCÉS ET DE PRODUCTIONS D ÉLÈVES Voici trois énoncés proposés trois années successives à l entrée en CE2 dans le cadre des évaluations nationales annuelles du MEN. L objectif était d évaluer la compétence : «Placer des nombres sur la ligne des nombres». Énoncé n 1 Écris dans le bon ordre chaque nombre à la place qui convient : 452 ; 479 ; Le pourcentage de réussite est de 37% si l on ne tient pas compte de l ordre des nombres 452 et 479 dans le bon intervalle. 45,6% des élèves placent correctement 289 et seulement l un des deux nombres 452 et 479, l autre étant mal placé ou absent. PE1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE 2/6

3 Énoncé n 2 On a déjà placé trois nombres sur la ligne : 608, 723, 887. Place dans les étiquettes ces cinq nouveaux nombres : 624, 904, 783, 642 et Le pourcentage de réussite est de 70%. Les réponses erronées les plus fréquentes sont incomplètes. Énoncé n 3 On a placé trois nombres sur la ligne des nombres. Place dans les étiquettes les quatre nombres suivants : 595, 714, 698 et Le pourcentage de réussite est de 50%, et 58% si l on tolère trois nombres bien placés sur quatre. Questions 1) Expliquer pourquoi, avec le premier énoncé, tant d élèves placent correctement 289 et seulement l un des deux nombres 452 et ) Expliquer la différence des pourcentages de réussite des élèves avec les énoncés n 2 et n 3. IV. ANALYSE DE PRODUCTIONS D ÉLÈVES (D APRÈS CERPE, BESANÇON 2001) Voici (document 1) un énoncé extrait d un guide d aide à l évaluation des élèves, édité par le Ministère de l Éducation Nationale puis (document 2) la réponse de deux élèves. Document 1 PE1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE 3/6

4 Document 2 Questions 1) Dans quel(s) cycle(s) et en quelle année de ce(s) cycle(s) cette évaluation peut-elle être proposée? 2) L activité comme la formulation des consignes occultent «cinq» et «5». Pourquoi? 3) Analyse des productions des deux élèves. a) Les cartes proposées correspondent-elles aux consignes données? b) Que peut-on remarquer dans le travail de Pierre? Quelles hypothèses peut-on émettre quant à procédures de Pierre? PE1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE 4/6

5 V. EXERCICE ET QUESTIONS COMPLÉMENTAIRES (D APRÈS CERPE, PARIS 2000) Voici trois documents : Document n 1 : une activité de découverte d un manuel A Document n 2 : une activité d entraînement proposé par ce même manuel. Document n 3 : une activité de découverte d un autre manuel B PE1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE 5/6

6 Exercice Résoudre l activité d entraînement proposée dans le manuel A en justifiant la réponse. Question complémentaire n 1 a) Comparer la numération égyptienne à la numération usuelle. b) Il n y a aucune mention des numérations étrangères dans les programmes. Avec quel objectif pédagogique interviennent-elles dans de nombreux manuels de CM 1? c) Comparer les tâches proposées aux élèves dans les deux activités de découverte Question complémentaire n 2 a) Donner deux procédures différentes que des élèves de CM 1 peuvent mettre en œuvre pour effectuer l activité d entraînement proposée par le manuel A. b) Quelles sont les compétences qui entrent en jeu dans chacune de ces procédures? c) Quelle est parmi les deux procédures que vous proposez celle qui est la plus intéressante pour atteindre l objectif que vous avez précisé à la question complémentaire 1.b)? PE1 LES NOMBRES ENTIERS ET LA NUMÉRATION DÉCIMALE 6/6

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