Arbre couvrant de poids minimum Algorithme de PRIM

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Aline Pinard
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1 Arbre couvrant de poids minimum de PRIM Master I - Le Havre

2 Plan

3 de poids minimum

4 Problème Enoncé du problème Soit G = (S, A) un graphe connexe non orienté, un arbre de recouvrement T = (S, A ) est un sous-graphe de G, tel que : s i S, a j A tel que s i soit un sommet incident à a j, T ne contient pas de cycle. Remarque : si le graphe n est pas connexe, on parle de forêt couvrante.

5 Exemple Plan

6 Exemple Plan

7 Remarques Un arbre couvrant permet de visiter à partir d un sommet source l ensemble des sommets d un graphe en parcourant un nombre minimum d arêtes. Application directe à la diffusion d information sur un réseau. Les algorithmes de parcours présentés dans le cours précédent construisent implicitement des arbres couvrants pour les graphes parcourus.

8 Arbre de poids minimum Le problème qui nous intéresse est celui de la détermination, pour un graphe connexe non orienté dont les arêtes sont valuées par des valeurs numériques, d un arbre couvrant dont la somme des valeurs associées aux arêtes est minimale. diffusion à moindre coût dans un réseau de télécommunications Poids : 0 Poids :

9 s Le problème peut se résoudre par un algorithme de complexité polynomiale. Premières méthodes de résolution en 1926 (Boruvka), et 190 (Jarnik). Deux types de méthodes : sans remise en question des choix déjà effectués. algorithme avec retour arrière (Dijkstra 1959).

10 Historique et principe Jarnik (190) Prim (1957) à partir d un seul sommet, l arbre de recouvrement de poids minimum est construit. algorithme glouton qui maintient un sous-graphe partiel à chaque étape, une nouvelle "meilleure" arête est choisie.

12 Plan Principe construction incrémentale d un arbre de poids minimum au départ, un sommet s i est choisi arbitrairement, ce sommet constitue l arbre couvrant de poids minimum parmi toutes les arêtes incidentes à s i, choisir celle de plus faible poids (s i, s j ) le nouvel arbre obtenu est constitué des sommets s i et s j et de l arête (s i, s j ) tant qu il reste des sommets en dehors de l arbre : parmi l ensemble des arêtes incidentes aux sommets de l arbre et ayant une extrémité hors de l arbre, choisir celle dont le poids est le plus faible

13 Définition dans un graphe G = (S, A), le co-cycle d un ensemble de sommets S est l ensemble des arêtes (u, v) telles que u S et v S\S.

14 Plan S l ensemble des sommets du graphe T = (S T, A T ) l arbre couvrant (ensemble d arêtes. Vide au départ) S T.ajouter({s 1 }) CC co-cycle de S T TantQue S T < S Faire (s, t) arête de CC de poids minimum S T.ajoute(t) A T.ajoute((s, t)) CC mise à jour du co-cycle de S T fintantque

15 Exemple Plan

16 Exemple Plan

17 Exemple Plan

18 Exemple Plan

20 Soit G = (S, A) le graphe d origine, avec S = n, et A = m, soit T = (S T, A T ) l arbre couvrant à chaque étape un sommet est ajouté à l arbre, il y a exactement n 1 étapes à chaque étape, le co-cycle de S T est mis à jour, c est-à-dire qu un nombre d arêtes égal au degré - 1 du sommet ajouté sont examinées pour éventuellement être ajoutées au co-cycle l arête de plus faible poids est choisie

21 mise à jour du co-cycle, sur la totalité de l algorithme : somme des degrés : m l arête de plus faible poids est choisie O( S 2 )

22 Proposition L algorithme de Prim construit un arbre couvrant de poids minimum

24 Plan En deux étapes : montrer que l algorithme construit un arbre montrer que cet arbre est de poids minimum

25 Plan Etape 1 : arbre couvrant 1 L algorithme se termine lorsque l ensemble des sommets du sous-graphe construit par l algorithme est égal à l ensemble des sommets du graphe de départ. 2 Soit S T l ensemble des sommets du sous-graphe construit par l algorithme de Prim, chaque nouvelle arête ajoutée appartient au co-cycle de S T, ainsi le sous-graphe construit ne contient aucun cycle et est connexe. A chaque ajout d une arête, un sommet de S\S T est ajouté à S T. Au départ, S T = 1, l algorithme construit donc un sous-graphe contenant S 1 arêtes. En conclusion, l algorithme de Prim construit un sous-graphe connexe T = (S, A ) du graphe G = (S, A) qui ne contient aucun cycle et qui contient S 1 arêtes, il s agit donc d un arbre couvrant.

26 Plan Etape 2 : l arbre de recouvrement est de poids minimum. par induction. 1 A l étape 1, l arbre construit par l algorithme de Prim T 1 se réduit à un sommet et il existe un arbre couvrant de poids minimum qui contient cet arbre. 2 Considérons l arbre T i construit par l algorithme de Prim et contenant i sommets et supposons qu il existe un arbre couvrant de poids minimum T min tel que T i soit un sous-arbre de T min. A l étape i + 1 l algorithme de Prim ajoute une arête e = (u, v) à T i, le nouvel arbre est T i+1.

27 Plan Etape 2 : suite. 1 A l étape i + 1 l algorithme de Prim ajoute une arête e = (u, v) à T i, le nouvel arbre est T i+1. Si T i+1 est un sous-arbre de T min c est fini. Sinon, ajoutons e à l arbre T min, cet ajout introduit un cycle. Considérons le co-cycle des sommets de T i. Il existe une arête e qui appartient à ce co-cycle mais également à T min (arbre connexe). Or, le poids associé à e est forcément supérieur ou égal au poids de e puisque l algorithme de Prim ne l a pas choisie.

28 http ://litis.univ-lehavre.fr/ guinand/index.html

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