CHAPITRE 2: L esquisse en 3D

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1 HPITR 2: L esquisse en 3 1. Les constructions dans le cube xercice 2.1 : ombien de plans différents sont formés par les points, N, P et Q? Quel est le nom de la figure formée par ces 4 points? P N N Q Q P Remarques: Trois points non alignés définissent un plan. Quatre points sont dits coplanaires s ils sont contenus dans un même plan. P P N N Q Q N Q Q N P P page n 8

2 xercice 2.2 : ans quels cas les droites portées par les segments sont-elles coplanaires? et préciser dans ce cas si elle sont parallèles ou sécantes. Remarques: eux droites sont coplanaires elles sont confondues ou sécantes ou parallèles. eux droites sont dites gauches si elles ne sont pas contenues dans un même plan. page n 9

3 xercice 2.3: onstruire l'intersection P de la droite avec le plan de base du cube. e même construire P' = plan de base. Remarques: Le point P s appelle la trace de sur le plan de base. e même P est la trace de sur le plan de base. La droite PP correspond à l intersection du plan formé par les points avec le plan de base. ette droite s appelle la trace du plan sur le plan de base. page n 10

4 xercice 2.4: ans quels cas (justifier) les 2 droites et sont-elles coplanaires? a b a b α β α β t t a b a b α β α β t t a b a b α β α β t t Remarque: Si a et b sont sécantes alors le point P d intersection se situe sur la trace t = α β car: Remarque: Si a et b sont parallèles alors elles sont parallèles à t car: page n 11

5 xercice 2.5: ans quels cas les droites portées par les segments sont-elles coplanaires? Justifiez par une phrase justifications: justifications: page n 12

6 xercice 2.6: onstruire en rouge l'intersection des 2 plans α (, d) et β (, d') où d et d' sont données par leur trace sur le cube onvention: α (, d) signifie le plan α passant par le point et contenant d. page n 13

7 xercice 2.7: essiner l'intersection du plan avec le cube. Remarques: Tout plan coupant deux plans parallèles y détermine des droites d intersection parallèles. Respectez la visibilité dans le codage des traces du plan sur les faces du cube. page n 14

8 xercice 2.7 (fin): essiner l'intersection du plan avec le cube. page n 14 (bis)

9 xercice 2.8 (début): onstruire l intersection entre le cube et le triangle GLK, sachant que L et K appartiennent au plan. arche à suivre + justification. Indications: ommencer par construire l intersection du cube avec le plan GLK. H G L K arche à suivre: page n 15

10 xercice 2.8 (fin): onstruire l intersection entre le cube et le triangle GLK, sachant que L et K appartiennent au plan. H G L K onstruire l intersection entre le cube et le triangle GLK, sachant que L et K appartiennent au plan. H G L page n 16 K

11 xercice 2.9: On pose un cube dans un coin de chambre. onstruire avec visibilité l intersection du cube avec le plan KL K H G L onstruire ci-dessous les 2 morceaux obtenus en coupant effectivement le cube de départ le long du plan KL 1er morceau: 2ème morceau: page n 17

12 xercice 2.10: onstruire avec visibilité l intersection du cube avec le plan KL. K H G L K H G L page n 18

13 xercice 2.11: onstruire l intersection I de la diagonale avec le plan G H G Remarques: Il faut choisir un plan π auxiliaire contenant la droite. Le point I cherché se trouvera à l intersection de et de la trace de G sur π Reprendre la même démarche en choisissant dans chaque cas un autre plan auxiliaire H G H G page n 19

14 xercice 2.12: Le cube GH est coupé par le plan α selon la section GKL. Vrai ou aux? Justifier la réponse. K H G Justification: L Que faut-il penser de cette section plane du cube GH ou PK // N et KL // ON? Justifier la réponse. Justification: H N G P O L K Idem où L // K. H G Justification: L K page n 20

15 2. onstructions dans les pyramides et les prismes xercice 2.13: onstruire l'intersection du plan NP avec la quatrième arête puis construire en rouge l'intersection de la pyramide et du plan. O P N Idem O P N page n 21

16 xercice 2.14: onstruire l'intersection du plan NP avec la quatrième arête puis construire en rouge l'intersection de la pyramide et du plan. O N P O N P page n 22

17 xercice 2.15: On donne une pyramide S dont la base est située dans un plan π ainsi qu un plan α tel que α π = i, et = α S. onstruire l intersection de α et de la pyramide. π i S page n 23

18 xercice 2.16: Soit la pyramide non convexe S. coplanaires (plan π) IJK'L'' sur les arêtes (cf. dessin). éterminer: a) P droite IJ π. b) plan K L pyramide. S I L' ' K' J π page n 24

19 xercice 2.17: onstruire la trace de l'intersection du plan NP et de la pyramide. Idem avec le plan QR. N R Q P page n 25

20 xercice 2.18: onstruire la trace de l'intersection du plan NP et de la pyramide. Idem avec le plan QR. N R P Q page n 26

21 xercice 2.19: L intersection d un prisme avec 2 plans: (a) onstruire avec visibilité les traces du plan PQR avec les faces du prisme. (b) onstruire avec visibilité les traces du plan STU avec les faces du prisme. (c) onstruire d la trace du plan PQR avec le plan STU. (d) olorier avec visibilité à l intérieur du prisme le plan PQR en rouge et le plan STU en vert. Q = S P U T R page n 27

22 xercice 2.20: onstruire la trace de l intersection du plan PQR avec le prisme droit. onstruire la trace de l intersection du plan NL avec le prisme droit. Représenter en couleurs et en visibilité ces 2 plans de coupe. N R L P Q page n 28

23 xercice 2.21: e solide est formé d un cube GH surmonté d une pyramide régulière SGH. Représenter l intersection de ce solide avec le plan NP. S N H G P page n 29

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25 xercice 2.23: ême exercice que le précédent, où le triangle est remplacé par un quadrilatère. O α ' β O α ' β O α ' β page n 31

26 xercice 2.24: ême exercice que le précédent, discuter dans les 2 derniers cas de la position de O. O α O ' β α ' β O α ' β page n 32

27 xercice 2.25: ême exercice que le précédent, mais cette fois-ci on donne '''', le point O et un des sommets du quadrilatère correspondant dans le plan α. O α O ' ' ' ' β α ' ' ' ' β O α ' ' ' ' β page n 33

28 xercice 2.26: Le but de cet exercice est de comparer les ombres en fonction de la position de la source de la lumière 1er cas: la source de lumière est à une distance finie O α ' β 2ème cas: la source de lumière est à une distance infinie (comme le soleil) α ' β onstatations? page n 34

29 xercice 2.27: On a placé au coin d un cube une source de lumière S et on a découpé 2 lucarnes sur ses faces. onstruire les taches de lumière apparaissant alors sur le sol S page n 35

30 xercice 2.28: Un cube et un piquet vertical sont posés sur le sol. n utilisant l ombre au soleil du piquet, compléter l ombre du cube. page n 36

31 xercice 2.29 (début): n utilisant l ombre au soleil du piquet, compléter l ombre du parallélépipède et du cube sur le plan de base ainsi que l ombre du cube sur les faces du parallélépipède. page n 37

32 xercice 2.29 (fin): n utilisant l ombre au soleil du piquet, compléter l ombre du parallélépipède et du cube sur le plan de base ainsi que l ombre du cube sur les faces du parallélépipède. page n 38

33 xercice 2.30: n utilisant l ombre du piquet, construire puis hachurer (ou colorier) toutes les ombres de cette figure. page n 39

34 4. Les intersections de polyèdres xercice 2.31: onstruire l'intersection de la droite N avec le cube. = = plan G plan G N H G N H G Remarques: plan H G N H N G plan G plan page n 40

35 xercice 2.32: Tracer l intersection de la droite QP avec le cube et avec le plan. (les traits de construction doivent être visibles et la construction doit être précise avec visibilité par rapport au cube et au plan.) P Q page n 41

36 xercice 2.33: Soit GH un cube de côté 8 cm. (1) Poser milieu de, N milieu de et O milieu de G. (2) onstruire (avec visibilité) plan NO faces du cube. (3) onstruire plan NO {S}. H G page n 42

37 xercice 2.34: Le but de cet exercice est de construire l intersection de la pyramide S avec la droite d. On sait que d coupe le plan en. La droite S, où est un point de d, coupe le plan en. l aide de ces informations, construire la visibilité de la droite d plongeant dans la pyramide S d ême consigne S d page n 43

38 xercice 2.35: ême consigne que l exercice précédent S d S d page n 44

39 xercice 2.36: Le but de cet exercice est de construire l intersection de la pyramide S avec les 2 droites d et e concourantes en S. On sait que d coupe le plan en et e en. La droite SS coupe le plan en. l aide de ces informations, construire la visibilité des droites d et e plongeant dans la pyramide S S e d S S d e page n 45

40 xercice 2.37: êmes consignes que l exercice précédent S S e d S S e d page n 46

41 xercice 2.38: Le but de cet exercice est de construire l intersection du prisme avec les 2 droites d et e concourantes en S Par S, on a tracé une parallèle aux arêtes du prisme qui recoupe le plan en l aide de ces informations, construire la visibilité des droites d et e plongeant dans le prisme. S e d S e d page n 47

42 xercice 2.39: Le but de cet exercice est de construire l intersection de la pyramide S avec le triangle grisé formé des 2 droites d et e concourantes en S. On sait que d coupe le plan en et e en. La droite SS coupe le plan en. l aide de ces informations, construire et griser la visibilité du triangle plongeant dans la pyramide S S d e S S d e page n 48

43 xercice 2.40: êmes consignes que l exercice précédent S S e d S S e d page n 49

44 xercice calque: éterminer l intersection des pyramides S et S NP sachant que les bases et NP de ces pyramides sont situés dans le même plan π et que la trace de la droite SS sur π est le point T. Sur le papier calque, reproduire toutes les parties d arêtes et de faces visibles de ces 2 pyramides imbriquées l une dans l autre. S π S P T N page n 50

45 xercice calque: éterminer l intersection des pyramides S et S NP sachant que les bases et NP de ces pyramides sont situés dans le même plan π et que la trace de la droite SS sur π est le point T. Sur le papier calque, reproduire toutes les parties d arêtes et de faces visibles de ces 2 pyramides imbriquées l une dans l autre. S π S T P N page n 51

46 xercice calque: éterminer l intersection des pyramides S et S LN sachant que les bases et LN de ces pyramides sont situées dans le même plan π et que la trace de la droite SS sur π est le point T. On donne encore S1 et S1 les S projections orthogonales des sommets S et S sur π. Sur le papier calque, reproduire toutes les parties d arêtes et de faces visibles de ces 2 pyramides imbriquées l une dans l autre. S π T N S 1 S1 L page n 52

47 xercice calque: éterminer l intersection du prisme et de la pyramide SGH sachant que les bases et GH sont situés dans le même plan π et que la trace de la parallèle aux arêtes du prisme par S sur π est le point T. Sur le papier calque, reproduire toutes les parties d arêtes et de faces visibles de ces 2 polyèdres imbriqués l une dans l autre. π S T H page n 53

48 xercice calque: éterminer l intersection du prisme et de la pyramide SGH sachant que les bases et GH sont situés dans le même plan π et que la trace de la parallèle aux arêtes du prisme par S sur π est le point T. Sur le papier calque, reproduire toutes les parties d arêtes et de faces visibles de ces S 2 polyèdres imbriqués l une dans l autre. π G H T page n 54