S 3 : Propagation des ondes

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1 : PCSI Nous avons vu la notion de signal dans le chapitre précédent : une grandeur physique qui contient une information désirée. Ici, nous nous intéressons à une manière de transmettre cette information : les ondes. I Onde progressive Si l on considère plusieurs oscillateurs couplés, c est-à-dire qui ne sont pas indépendant les uns des autres, alors, le mouvement d un oscillateur (ici celui à gauche) va induire un mouvement de l oscillateur suivant. Celui ci va à son tour induire un mouvement à l oscillateur suivant et ainsi de suite. Il y a donc une perturbation par rapport à l équilibre qui se propage sans que les points matériels se déplacent en moyenne. 0 O On peut donc considérer la position de l oscillateur n au cours du temps : s n (t). Dans un milieu continu (eau, air, barre de métal...), les oscillateurs sont etrêmement nombreu et proches les uns des autres. On ne les repère plus par leur numéro, mais par leur position : s (t) ou s(,t). Définition : Une onde est un phénomène de propagation d une perturbation sans transport de matière. Si l on considère une onde qui se propage, à une dimension vers la droite, sans être absorbée (atténuée), ni déformée (pas de dispersion ) et que l on observe la forme de la perturbation à différents instants, on obtient les courbes ci-contre. s t () = c t t = 0 t = t 1 t = t 1 t = 3t La perturbation se propage sans se déformer, donc la courbe s t1 () est la même que la courbe s t=0 (), mais translatée vers la droite de. Ainsi s t1 () = s t=0 ( ) = s t=0 ( c t) = s t=0 ( ct 1 ). On peut donc trouver une fonction f telle qu on écrit la perturbation à chaque instant sous la forme s(,t) = f( ct). f correspond simplement à la forme de la perturbation à l instant t = 0. 1

2 Définition : Une onde s(,t) pouvant s écrire sous la forme s(,t) = f( ct) (resp. s(,t) = g( + ct)) est une onde progressive dans un milieu non absorbant ( pas d atténuation ) et non dispersif (pas de déformation du signal ) qui se propage dans la direction + e (resp. e ) avec une célérité c. On peut adopter un autre point de vue : un observateur se place à une position donnée et étudie l évolution temporelle de la per- turbation. La courbe est cette fois s (t). s (t) t = c = 0 = 1 = = 3 À nouveau, le signal est le même à différentes positions, mais translaté vers la droite. On peut donc aussi écrire les ondes progressives sous la forme suivante : f(t /c) f(t + /c) pour une onde progressive se propageant dans la direction des croissants pour une onde progressive se propageant dans la direction des décroissants t II Cas part des ondes progressives sinusoïdales Le chapitre précédent a souligné l importance des signau sinusoïdau puisque n importe quel signal peut être décomposé comme une somme de signau sinusoïdau. Si l on considère une onde dont la forme à t = 0 est sinusoïdale (s t=0 () = a cos(k) ). L onde possède alors une périodicité spatiale. s t () t = t 3 t = 0 t = t 1 t = t λ Définition : La longueur d onde d un signal possédant une périodicité spatiale est la plus petite distance au bout de laquelle le signal se répète identique à lui même. Elle est fréquemment noté λ, a pour dimension L et pour unité légale le mètre. Lien entre k et λ : quel est le lien entre k et λ? kλ = π k = π λ PCSI Page /7

3 Si cette onde sinusoïdale se se propage dans le sens des croissants, alors l onde s(,t) peut s eprimer de la façon suivante : s(,t) = a cos (k( ct)) L onde possède donc aussi une périodicité temporelle T : à un endroit donné, elle varie de façon sinusoïdale a cos( ωt + ϕ). Eercice Trouver le lien entre la fréquence, la longueur d onde et la célérité : s(,t) = a cos (k( ct)) = a cos (k ωt) kc = ω π λ c = πf c = λf ct = λ Autre manière de voir les choses : en dessinant les courbes au cours du temps, on observe que l on parcourt eactement une période spatiale en une période temporelle. (Attention ce point n est pas aussi évident qu il en a l air : pourquoi avance t on de λ en T?) Remarques : Ce résultat se vérifie très facilement par homogénéité donc il est interdit de se tromper Compte tenu de la double périodicité spatiale et temporelle, au lieu de supposer que l on avait une onde sinusoïdale qui se propage, on aurait pu supposer qu un émetteur oscillait sinusoïdalement. k est appelé vecteur d onde (k e en fait). Sa dimension est L 1 et son unité légale est rad/m. III Onde stationnaire 1. Réfleion Dans les paragraphes précédents, nous avons supposé que l onde se propageait dans un milieu infini, sans rencontrer d obstacle. Dans le cas d une onde dans une cavité, c est-à-dire une partie de l espace entourée de parois qui empêche la propagation de l onde (partiellement ou complètement), un phénomène de réfleion apparait au niveau des parois. Ainsi si une onde se propage dans le sens des croissants, elle va se réfléchir ( partiellement ou complètement) contre la paroi et donner naissance à une onde se propageant dans le sens des décroissants (et réciproquement).. Eemple d une corde vibrante Considérons le cas d une corde fiée à ses deu etrémités que l on repère par = 0 et = L (c est le cas par eemple dans les instruments de musique à cordes). Un opérateur génère une perturbation au milieu de la corde. 0 L PCSI Page 3/7

4 Supposons qu une onde progressive à la pulsation ω se propage dans le sens + e, alors celle-ci va se réfléchir en L et donner naissance à une onde progressive de même fréquence dans le sens des décroissants. Quelle est l onde résultante de la superposition de ces ondes? s + = s 0,+ cos(k ωt) (on choisit l origine des temps telle que pas de phase, ici s = y : l altitude de la corde) s = s 0, cos(k + ωt + ϕ) (a priori pas la même amplitude et peut-être un déphasage, mais même fréquence car milieu linéaire) ainsi l onde totale est : s = s + + s = s 0,+ cos(k ωt) + s 0, cos(k + ωt + ϕ). Il faut ensuite prendre en compte les conditions au limites. Il y en a deu car la corde est attachée en deu points : 1. t, s(0,t) = 0 et. t, s(l,t) = 0 La plus simple à utiliser est la première : s 0,+ cos(k0 ωt) + s 0, cos(k0 + ωt + ϕ) = 0 d où s 0,+ = s 0, = s 0 et ϕ = 0 s = s 0 cos(k ωt) s 0 cos(k + ωt). 3. Formules de trigonométrie Pour aller plus loin, il faut connaitre et utiliser les formules d additions de cosinus. Démonstration : cos p cos q = R(e ip e iq ) e ip e iq = e i p+q e ip e iq = e i p+q ( e i p q e p+q i ) on reconnait z z = ii(z) ) sin p q i sin p q = i ( cos p+q + i sin p+q d où cos p cos q = sin p+q sin p q p+q p q sin p + sin q = si co sin p sin q = co si cos p + cos q = co co cos p cos q = -si si {}}{{}}{ a + b a b a b si-co-co si-co-co moins si-si C est-à-dire par eemple : sin p + sin q = sin p + q cos p q ; cos a cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a b)) PCSI Page 4/7

5 4. Onde résultante Pour en revenir au ondes sur la corde : s = s 0 (cos(k ωt) cos(k+ωt)) = s 0 ( ) sin k+0 sin 0 ωt s(,t) = s 0 sin(k) sin(ωt) s t () t = 0 t = t t = t 3 ventres t = t 1 nœuds Définition : Une onde stationnaire est une onde pour laquelle il eiste des nœuds et des ventres. Remarque : Une telle onde peut se mettre sous la forme s(,t) = f()g(t). 5. Quantification des modes Il reste à prendre en compte la deuième condition au limites : t s(l,t) = 0 ce qui implique : s 0 sin(kl) sin(ωt) = 0. Le terme sin(ωt) n est pas nul pour tout t. On a donc soit : 1. s 0 = 0, mais dans ce cas il n y a ni signal ni onde,. soit sin(kl) = 0 kl = nπ ; n N (car k 0) L = n λ Cette deuième condition implique donc que seules certaines ondes peuvent se propager. Ces ondes sont appelées modes propres de la cavité. On appelle n-ième mode le mode correspondant à l entier n. Le premier mode est appelé le fondamental. Théorème : Dans une cavité, seules certaines ondes appelées modes propres peuvent se propager. Ce sont les conditions au limites qui déterminent les modes propres. On dit aussi que les modes d une cavité sont quantifiés. 0 L epérience de la corde de melde + stroboscopie PCSI Page 5/7

6 Eercice Trouver les fréquences des modes propres connaissant la célérité et la longueur de la corde : On a déjà vu que L = n λ c or λ = c/f donc f = n ; n L N Remarques : Nous avons trouvés les différents modes propres qui sont les seules ondes sinusoïdales qui peuvent se propager dans la cavité. De façon générale les ondes à l intérieur de la cavité peuvent s eprimer comme une superposition de modes propres : s(,t) = + n=1 s n sin k n sin ω n t En musique, une note est liée à la fréquence fondamentale (f 1 ) du son correspondant. Toutefois, différents instruments jouant la même note ne produisent pas le même son. Ce point est lié au différents harmoniques (fréquences multiple du fondamental) qui n ont pas la même amplitude avec les différents instruments 1. Ici, les conditions au limites imposaient des nœuds au niveau des etrémités de la cavité. Ce n est pas toujours le cas. Par eemple dans le cas où l une des etrémité de la corde est libre de se déplacer sans frottement, la condition au limites imposerait une force nulle et non pas une position nulle, ce qui change les conditions de quantification. IV Diffraction epérience de la cuve à onde La première partie de ce chapitre s intéressait à la propagation d onde dans un milieu infini sans obstacle, la partie suivante traite des ondes dans une cavité. Cette partie va concerner les ondes progressives qui rencontrent un obstacle. Mer calme (port) Vague transmise à travers l'obstacle y Mer agitée : vagues y z z Par eemple, dans le cas d une vague se propageant sur de l eau. Si cette vague rencontre un obstacle de type fente, alors la vague peut se propager au niveau de l ouverture alors qu elle subit une réfleion ailleurs. Après l obstacle, la zone en face de l ouverture est donc perturbée par l onde incidente alors que la zone autour est initialement au repos. Si rien ne se passe, le profil de l eau présente un bord très raide, ce qui n est pas raisonnable. 1. Le spectre émis par un instrument est en réalité plus complee à cause de phénomènes non linéaires et du couplage avec la caisse de résonance PCSI Page 6/7

7 On a donc apparition d un phénomène de diffraction : après le passage de l obstacle, l onde part dans plusieurs directions différentes de celle de l onde incidente. Remarques : La diffraction est caractéristique d un phénomène ondulatoire L amplitude de l onde transmise n est pas la même dans toutes les directions On observe en général une tache centrale entourée d autres motifs qui dépendent de la géométrie de l obstacle θ On observe en optique que l on peut réaliser la diffraction de la lumière par une fente (ce point met donc en évidence le caractère ondulatoire de la lumière). On observe également que plus la fente est fine, plus la tache de diffraction obtenue est large. Vu de l infini, on ne considère pas la largeur de la tache, mais plutôt l angle d émission θ. Taille de la tache de diffraction : : Lorsque l on regarde la tache centrale de diffraction, qui est en général beaucoup plus intense que les autres, le sinus de l angle au sommet θ qui délimite l onde diffractée a pour ordre de grandeur λ où d est la taille caractéristique d de l ouverture et λ la longueur d onde de l onde considérée : sin θ λ d Si l ouverture est trop grande devant la longueur d onde d λ, alors le phénomène de diffraction est imperceptible. Remarques : Pour observer un phénomène de diffraction epérimentalement on choisit donc un diaphragme d une taille d λ. Il faut donc déterminer ou connaitre un ordre de grandeur de la longueur d onde. Il ne s agit que d un ordre de grandeur. L angle eact dépend de la forme de l objet diffractant. On ne considère ici que la diffraction «à l infini», c est-à-dire pour laquelle la distance d observation est suffisamment grande devant d /λ. Cette diffraction est dite de Fraunhofer. Lorsque cette condition n est pas vérifiée, les calculs sont plus délicats et on parle de diffraction de Fresnel. Conséquence sur les faisceau laser et la focalisation des ondes : On observe epérimentalement qu un faisceau laser assez fin s élargit progressivement et ce d autant plus que le faisceau est initialement fin. Ce phénomène résulte directement de la diffraction du faisceau laser (il n y a pas de diaphragme, mais le laser a une largeur limitée). De même, lorsque l on essaye de focaliser une onde, il est difficile de concentrer l énergie sur une taille inférieure à la longueur d onde : en effet, à cette échelle la diffraction est importante et empêche la focalisation. PCSI Page 7/7

8 Table des matières I Onde progressive II Cas part des ondes progressives sinusoïdales III Onde stationnaire 1. Réfleion. Eemple d une corde vibrante 3. Formules de trigonométrie 4. Onde résultante 5. Quantification des modes IV Diffraction manip à monter : 1. chaine d oscillateur?. corde simple, que l on fait vibrer à la main (Gros élastique) 3. corde vibrante + stromboscope 4. cuve à onde 5. diffraction PCSI Lycée Poincaré