Mathématiques en seconde, rentrée 2009

Transcription

1 Mathématiques en seconde, rentrée 2009

2 Projet initial. Consultation. Projet post-consultation ( 19 mai 2009, Eduscol) Présentation au C.S.E. le 11 juin 2009.

3 Motivations d un changement de programme? Continuité avec les programmes de collège. Seconde : classe de détermination.

4 Une introduction brève qui précise La fonction du programme de mathématiques de seconde Les places respectives de l acquisition de techniques et de la pratique du raisonnement.

5 Objectif de former les élèves à la démarche scientifique Les rendre capables de - Modéliser et s engager dans une activité de recherche. - Conduire un raisonnement, une démonstration. - Pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique. - Faire une analyse critique d un résultat, d une démarche. - Pratiquer une lecture active de l information ( ) en privilégiant les changements de registres ( ). - Utiliser les outils logiciels ( ) adaptés à la résolution d un problème. - Communiquer à l écrit et à l oral.

6 Organisation du programme Trois parties: fonctions, géométrie, statistiques et probabilités. Deux champs transversaux: - Algorithmique, - Notations et raisonnement mathématiques.

7 Ce qui est attendu des élèves est précisé : Capacités attendues. Objectifs de chaque partie du programme. Objectifs pour le lycée des parties transversales «Notations et Raisonnement mathématiques» et «Algorithmique».

8 L activité mathématique des élèves : Diverse, en lien avec l objectif général (et ses sept déclinaisons), En classe et hors la classe, Autonomie et initiative, Poursuite de l entraînement au calcul, mental, numérique, littéral.

9 Les outils logiciels : Pour expérimenter dialectique observation/démonstration. Selon 3 modalités. Une des déclinaisons de l objectif général: rendre les élèves capables d utiliser les outils logiciels ( ) adaptés à la résolution d un problème.

10 L évaluation des élèves : Doit porter sur les capacités attendues, Selon des modalités variées, en lien avec l objectif général (et ses sept déclinaisons).

11 Les 7 déclinaisons de l objectif général (reprise) : - Modéliser et s engager dans une activité de recherche. - Conduire un raisonnement, une démonstration. - Pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique. - Faire une analyse critique d un résultat, d une démarche. - Pratiquer une lecture active de l information ( ) en privilégiant les changements de registres ( ). - Utiliser les outils logiciels ( ) adaptés à la résolution d un problème. - Communiquer à l écrit et à l oral.

12 Partie Fonctions Objectifs en termes de résolution de problèmes de 2 types. Situations issues de domaines variés. Utilisation de logiciels recommandée. Résolution de problèmes et progression dans la maîtrise du calcul algébrique. Distinction entre courbe représentative et dessin fourni par grapheur ou représentation point par point.

13 Images, antécédents, courbe représentative: dans la continuité de la troisième. Etude qualitative de fonctions, sens de variations: - Savoir changer de registre : graphique/tableau de variations/expression française. - Savoir exploiter un sens de variation donné. Il ne s agit pas d apprendre aux élèves à étudier le sens de variation d une fonction.

14 Fonctions de référence, études de fonctions : Fonctions linéaires et affines, fonction carré, fonction inverse, fonctions polynômes de degré 2, fonctions homographiques (ensemble de définition seul). On étudie ces fonctions en classe. On établit ou on admet certaines de leurs propriétés. Capacités attendues des élèves: savoir faire appel à ces résultats «donner, connaître..., représenter» pour résoudre des problèmes à l aide de fonctions de ces types. Il ne s agit pas d apprendre aux élèves à étudier le sens de variation d une fonction.

15 Expressions algébriques, équations, inéquations. En lien avec la résolution de problèmes. donc expressions non artificielles. la maîtrise technique au service du raisonnement. Résolutions graphiques et algébriques (si possible) d équations et d inéquations.

16 Trigonométrie : Un minimum. Capacité attendue très limitée. Lien avec la géométrie du triangle rectangle vue au collège.

17 Calcul numérique : des réinvestissements en situation (calcul d images, d antécédents, de solutions d équations, d inéquations ) et dans les résolutions de problèmes mais pas de chapitre spécifique. Ensembles de nombres, intervalles: notations à introduire au fur et à mesure des besoins, poursuite du travail sur valeur exacte/valeur approchée mais pas de chapitre spécifique.

18 Valeur absolue: n est pas au programme. Fonction racine carrée, fonction cube : pas de capacités attendues. Non mentionnées.

19 Partie Géométrie Géométrie plane : Objectifs en termes de résolution de problèmes issus de configurations étudiées au collège, et portant sur : calculs de distances, alignement de points, parallélisme ou intersection de droites, propriétés d un triangle, d un polygone

20 Les techniques disponibles sont celles étudiées au collège, auxquelles s ajoutent celles de la géométrie plane repérée (coordonnées, distance, droites) et les vecteurs, Toute autonomie pouvant être laissée sur le choix des techniques mobilisées. L utilisation de logiciels de géométrie dynamique est recommandée (autonomie, initiative).

21 Les vecteurs : Un vecteur n est plus introduit par la donnée de direction, sens et longueur : Il est introduit comme objet mathématique associé à une translation, c est-à-dire à la présence d un parallélogramme (éventuellement aplati). La somme de deux vecteurs est associée à l enchaînement des deux translations correspondantes, Le produit d un vecteur par un réel est défini à l aide de ses coordonnées.

22 Mais la translation, en tant que transformation du plan, n est pas étudiée en classe de seconde.

23 Géométrie dans l espace Fournit des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d autres champs des mathématiques ou de la physique. Doit être abordée tôt dans l année. On entraîne les élèves à l utilisation autonome d un logiciel de visualisation et de construction.

24 Géométrie dans l espace Contenus : Solides usuels étudiés au collège Droites et plans de l espace, positions relatives, parallélisme. Capacités attendues limitées : Manipuler, Construire, Représenter en perspective. Mais aussi : Calculer des longueurs, des aires, des volumes, Effectuer des démonstrations de géométrie plane.

25 Partie Statistiques et Probabilités Relations étroites entre les deux enseignements. Objectifs visés à l occasion de la résolution de problèmes. Situations riches, issues de domaines variés. Utilisation de calculatrices ou de logiciels (tableur en capacité attendue).

26 Objectifs dans le cadre de l analyse de données : Déterminer et interpréter des caractéristiques Comparer deux séries statistiques. Les outils : Caractéristiques de position et de dispersion (médiane, quartiles, moyenne), Graphiques (dont courbe des fréquences cumulées).

27 Objectifs dans le cadre de l échantillonnage : Réfléchir à la conception et à la mise en œuvre d une simulation, Sensibiliser aux notions de fluctuation d échantillonnage, d intervalle de confiance, et à l utilisation qui peut en être faite.

28 Objectifs dans le cadre des probabilités : Etudier et modéliser des expériences (équiprobabilité) Proposer un modèle probabiliste (approche fréquentiste dans des situations simples), Interpréter des événements de manière ensembliste, Mener à bien des calculs de probabilités. Les expériences étudiées sont à une ou deux épreuves.

29 Notations et raisonnement mathématiques Une exigence au collège comme au lycée: développer l argumentation et l entraînement à la logique. Des objectifs concernant le lycée (et pas seulement la seconde). Pas de cours spécifique : introduction des notations et des concepts et méthodes relevant de la logique - au fur et à mesure des besoins, - dans tous les chapitres du programme.

30 Notations mathématiques Les notations classiques: appartenance, inclusion, intersection, réunion, complémentaire. Les notations des ensembles de nombres et des intervalles.

31 Le raisonnement logique Les élèves sont entraînés sur des exemples à Dans la continuité du collège, cet entraînement porte sur : - le «et» et le «ou», - les quantificateurs universel et existentiel ( ), - les propositions conditionnelles ( ), - La formulation de la négation d une proposition, - l utilisation d un contre exemple, - la reconnaissance et l utilisation de raisonnements spécifiques ( ).

32 Algorithmique Quels objectifs? Quel contenu? Quelles bonnes habitudes de rigueur? Des exemples liant l algorithmique et les autres parties du programme? Quels logiciels adaptés?

33 Quels objectifs? Dans l introduction, il est dit que l algorithmique fait partie intégrante : De la formation des élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes, De la diversité des activités mathématiques des élèves.

34 Quels objectifs? Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés : à décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ; à en réaliser quelques uns à l aide d un tableur ou d un petit programme réalisé sur une calculatrice ou avec un logiciel adapté ; à interpréter des algorithmes plus complexes.

35 Quel contenu? Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d une résolution de problèmes, doivent être capables : d écrire une formule permettant un calcul ; d écrire un programme calculant et donnant la valeur d une fonction ; ainsi que les instructions d entrées et sorties nécessaires au traitement.

36 Quel contenu? Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d une résolution de problèmes, doivent être capables : de programmer un calcul itératif, le nombre d itérations étant donné ; de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle.

37 Quelles bonnes habitudes de rigueur? Il s agit de familiariser les élèves avec les grands principes d organisation d un algorithme : gestion des entrées-sorties, affectation d une valeur, mise en forme d un calcul, en opérant essentiellement sur des nombres entiers.

38 Activités - Principe Les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme mais aussi avec les autres disciplines ou la vie courante. Les capacités attendues dans le domaine de l algorithmique sont transversales. Des activités de type algorithmique possibles sont signalées dans les différentes parties du programme et précédées du symbole

39 Analyse : Des exemples. Numérique : le traitement des nombres permet d'aborder des problèmes de comparaisons et de taille des nombres. Algorithme de tracé de courbe. Étude qualitative de fonctions Encadrer une racine d une équation grâce à un algorithme de dichotomie. étude numérique et asymptotique.

40 Des exemples. Géométrie : Constructions géométriques. Le cadre de la géométrie repérée offre la possibilité de traduire numériquement des propriétés géométriques. Géométrie analytique : questions d'affichage d'objets géométriques simples (cercle, droites) peut être un champ d'investigation très riche.

41 Des exemples. Statistiques : Questions de tris, détermination de certains indicateurs (médiane, quartiles).

42 Des exemples. Probabilités : Modélisation de certains phénomènes à partir de fréquences observées, Instructions conditionnelles dans un algorithme issu d une simulation, Algorithme pour la répétition d expériences aléatoires

43 Tableur, Quels logiciels? Logiciels dédiés (Scratch, Execalgo...), Logiciels de programmation liés au calcul scientifique (Python, Scilab...), Les logiciels de calcul formel (XCAS, Maxima, WIRIS...) qui proposent un module de programmation.

44 Question annexe L algorithmique, est-ce une vraie nouveauté?

45 Une vraie nouveauté? Le terme algorithme est vu la première fois en «technologie» en quatrième : Traitement du signal : algorithme, organigramme, programme. Identifier une condition logique de commande (Utilisation des opérateurs logiques : ET, OU, NON. )

46 Une vraie nouveauté? Algorithmes opératoires - Programme de calcul Cinquième : Programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs. Quatrième : Enchaînement d opérations gestion d un programme de calcul utilisant des parenthèses. Troisième : Le programme de calcul autour de la notion de fonction...

47 Une vraie nouveauté? Terme «algorithme» vu en classe de Troisième : Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers : algorithme «des soustractions successives» algorithme d Euclide

48 Une vraie nouveauté? Enseignement existant déjà au lycée en Série L (option + Spé ) Les objectifs du programme sont : D attirer l attention des élèves sur la différence entre la résolution abstraite d un problème et la succession des opérations permettant de produire un objet mathématique qui en est solution ; de soulever la question de l efficacité des algorithmes rencontrés, en terme de nombre d opérations élémentaires nécessaires. L algorithme est ici considéré comme un outil dont on s attache à découvrir les propriétés, sans toutefois développer une théorie, même très élémentaire, de la complexité ou de la rapidité.

49 Une vraie nouveauté? Enseignement existant déjà au lycée Série L (option + Spé ) Les élèves seront entraînés : à décrire des algorithmes en français ; à en réaliser quelques-uns parmi les plus simples, à l aide d un tableur ou d une calculatrice (ce qui permettra de les contrôler) ; à interpréter des algorithmes plus complexes (c est-àdire à identifier ce qu ils «produisent»).

50 Une vraie nouveauté? Enseignement existant déjà au lycée Série L (option + Spé ) Compétences attendues des élèves : identifier le résultat mathématique sur lequel s appuie l algorithme ; savoir se restreindre à n utiliser que les opérations autorisées ; déclarer un format d entrée, un format de sortie, une boucle, un test logique.

51 Des documents ressources à venir pour la classe de seconde : Sur la partie fonctions, Sur la partie statistiques et probabilités, Sur l algorithmique, Sur le champ transversal : notations et raisonnement mathématiques.