CHAPITRE I GENERALITES SUR LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES

Transcription

1 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 CHAPITRE I GENERALITES SUR LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES I.1- Onde Electromagnétique On appelle onde électromagnétique (OE) le phénomène résultant de la propagation de deux grandeurs vibratoires : le champ électrique E et le champ magnétique B. On représente cette onde en tout point M de l espace qu elle atteint, à l instant t, par le couple de vecteurs ( E (M, t) ; B (M, t)). I.- Onde Lumineuse En optique, la lumière est décrite comme une perturbation de l espace associée à la présence d un champ électromagnétique qui varie dans l espace et dans le temps. La lumière est donc une onde électromagnétique. I.3- Equations de Maxwell Ce sont quatre équations, aux dérivées partielles, du premier ordre, qui expriment des relations entre les variations spatiales et temporelles des champs E et B. Elles s écrivent dans le vide parfait (en l absence de toute charge et de tout courant) : div E 0 B rot E - t div B 0 1 rot B c E t c étant la célérité de la lumière; c = x 10 8 m/s Dans un milieu, autre que le vide, supposé homogène, transparent et isotrope (MHTI), la vitesse de propagation est : v n c, n étant l indice du milieu. 6

2 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 I.4- Equation de Propagation d une OE Pour établir l équation vérifiée par le champ E seul, on élimine B en calculant: rot (rot E). On obtient l équation de propagation du champ électrique E : ΔE - c 1 E 0 t Δ étant le Laplacien. De la même façon, le calcul de rot (rot B) conduit à l équation de propagation du champ magnétique B 1 B : ΔB - 0 c t Si, à l instant t et au point M(x, y, z) d un trièdre direct (O, i, j, k), s(m, t) désigne l une des composantes du champ électromagnétique, on montre que : 1 s(m, t) Δs(M, t) - s(m, t) 0 c t étant le d Alembertien. On remarque que E, B et s(m, t) vérifient la même équation dite équation de propagation des ondes électromagnétiques ou tout simplement: équation d onde. I.5- Surface d onde On appelle surface d onde Σ t l ensemble des points de l espace représentant le même état physique à un instant t donné, le champ électromagnétique étant le même sur cette surface. I.6- Onde Plane Progressive OPP Une onde électromagnétique est qualifiée de plane lorsque ses surfaces d onde sont à tout instant t des plans. C est le cas lorsque les coordonnées spatiales du champ électromagnétique ne dépendent que d un seul paramètre, z par exemple: l onde se propage alors selon l axe des z. Appliquée à une onde plane se propageant selon cet axe, l équation de propagation se simplifie en une équation à une dimension : 7

3 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 s(z,t) - z dont la solution générale s écrit (voir T.D): 1 s(z,t) = 0 c t s(z, t) = f(z ct) + g(z + ct) ou s(m, t) = f( r. i ct) + g( r. i + ct) f et g étant deux fonctions arbitraires et r OM. La fonction f(z ct) représente une onde plane dite progressive, c est-à-dire se propageant sans déformation dans un sens donné qui est dans notre cas le sens des z croissants. La fonction g(z + ct) correspond à une onde plane progressive dans le sens des z décroissants. La solution générale de l équation d onde à une dimension est donc une superposition de deux ondes planes progressives en sens inverses. Si la direction de propagation est définie par le vecteur u (Fig.I.1) et si la vitesse de propagation est v, la solution générale s écrit: s(m, t) = f( r. u vt) + g( r. u + vt) Fig.I.1 Fig.I. Σ t est définie par l équation: r. u = OH = Cte. I.7- Onde Sphérique Progressive (OSP) Dans ce cas, l ensemble des points de l espace représentant le même état physique, à l instant t, se trouve sur une surface sphérique. Les solutions de l équation d onde sont de la forme (voir T.D) : s(r, t) = [f(r ct) + g(r + ct)] / r 8

4 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 I.8- Structure d une onde Plane dans le vide On montre (voir T.D) que pour une onde plane se propageant dans le vide dans la direction du vecteur unitaire u et à tout instant t: - les champs E et B sont contenus dans le plan d onde et constamment perpendiculaires ; - leurs modules sont constamment proportionnels: E = cb ; E et B sont donc en phase ; - ( E, B, u ) forme un trièdre direct (Fig.I.). On dit alors que l onde lumineuse est une onde transversale. I.9- Onde Plane Progressive Monochromatique OPPM C est une onde (dite aussi harmonique) caractérisée par une pulsation ω unique ou une fréquence ν unique. Un cas particulier d une OPPM se propageant à la vitesse v dans la direction du vecteur unitaire u est une onde sinusoïdale de la forme: s(z, t) = a cos k(vt - z) = a cos(ωt - φ) l origine des phases étant prise à l origine des coordonnées; a est l amplitude de l onde; k est une constante introduite pour que l argument du cosinus soit sans unité; φ est la phase au point M à t = 0. Remarque Pour simplifier les calculs, il est souvent plus commode d utiliser la notation complexe: on représente s(m, t) par la fonction: ae -jφ est l amplitude complexe de l onde. On en déduit : z(m, t) = ae j(ωt - φ) = ae -jφ e jωt ω π ν π π π z π K π σ ; φ r.u K. r ; v v vt λ λ λ λ est homogène à une distance, on l appelle longueur d onde: c est la distance parcourue par l onde dans le milieu considéré, à la vitesse v, en une période T. La lumière a donc une double périodicité : - T: période temporelle ne dépendant que de la source de lumière; - λ: période spatiale dépendant de la source et du milieu de propagation. 1 σ : est le nombre d onde (ou pulsation spatiale); λ K : est le vecteur d onde tel que le trièdre ( E, B, K ) est direct: λ = vt π K E ω B ; K u λ 9

5 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 Remarque Dans le vide, la longueur d onde est: λ 0 = ct. Dans un milieu homogène, isotrope et transparent, d indice n, elle devient: λ = vt, si la vitesse de l onde est v dans ce milieu. On en déduit la relation suivante: φ s écrit alors : λ 0 n λ π π φ nz L λ 0 λ 0 L étant le chemin optique dans le milieu considéré. En optique, on exprime généralement les longueurs d onde en μm (1μ(micro) = 10-6 ). Ainsi, le spectre visible (le domaine optique ayant pour détecteur l œil humain) s étend approximativement du à μm. Les tableaux ci-dessous donnent un ordre de grandeur de la longueur d onde λ o dans le vide des différents types d ondes électromagnétiques et du spectre visible. Ondes Électromagnétiques domaine Rayons γ Gamma Rayons X UV Violet Visible IR Infrarouge Ultra- Microondes Hertzien λ o 30 pm 30 nm 0,3 μm 0,6 μm 3 μm cm, mm mm, m, km (1p(pico) = 10-1 ; 1n(nano) = 10-9 ) Spectre Visible 0,380 λ o 0,780 couleur Violet Indigo Bleu Vert Jaune Orange Rouge λ o (μm) 0,40 0,43 0,48 0,54 0,58 0,60 0,65 Un ordre de grandeur : fréquence ν # Hz correspond à λ o = 0,60 μm. 10

6 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 I.10- Etat de polarisation d une OPPM L état de polarisation d une onde caractérise la trajectoire décrite par l extrémité du champ électrique au cours de la propagation. L onde est dite polarisée rectilignement lorsque le vecteur champ électrique garde une direction déterminée. C est le cas d une OPPM se propageant selon l axe des z par exemple (Fig.I.3). Le plan défini par le champ électrique E et le vecteur d onde K est appelé : plan de polarisation. Fig.I.3 Dans le cas général, le champ E peut être considéré comme la somme de deux champs électriques perpendiculaires E x et E y d amplitudes a et b et déphasé l un de l autre de Φ : E = a cosωt i x E y = b cos(ωt - Φ) j La trajectoire décrite par l extrémité de E est donnée par l équation suivante : E Ey ExE x y - cos sin a b ab C est en général une ellipse inscrite dans le rectangle de côtés a et b (Fig.I.4) et dont les axes OX et OY sont inclinés d un angle α sur Ox et sur Oy respectivement. 11

7 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 Fig.I.4 Fig.I.5 Selon les valeurs de Φ et des amplitudes a et b, l onde est polarisée elliptiquement, circulairement ou rectilignement (Fig.I.5). Cas particuliers : 1) Φ = 0 et a = b: la polarisation est rectiligne. π 3π ) Φ = et Φ = avec en plus a = b: l'ellipse devient un cercle, la polarisation de l onde est donc circulaire : Remarque π 3π Φ = : polarisation circulaire gauche ; Φ = : polarisation circulaire droite. La lumière naturelle (polychromatique ) est une superposition d OPPM dont les champs électriques sont déphasés d une manière aléatoire. L extrémité du champ électrique résultant décrit alors une trajectoire quelconque: l onde est donc dite non polarisée. I.11- Intensité d une onde lumineuse Les récepteurs de lumière (œil, plaque photographique, ) ne sont pratiquement sensibles qu à la moyenne sur le temps du carré du champ électrique (puisque E = cb) en raison de la très faible valeur de la période des ondes lumineuses (de l ordre de s). On appelle cette moyenne: intensité lumineuse I (ou éclairement). C est une grandeur proportionnelle à l énergie transportée par l onde (voir cours d électromagnétisme) donc directement mesurable: I = < E > Ainsi, pour une onde monochromatique de fonction d onde: s(m, t) = acos(ωt φ) l intensité est définie à un facteur multiplicatif près par : I = a 1

8 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 Ce n est donc que le carré de l amplitude de l onde considérée. C est cette définition qui est adoptée dans ce cours. Remarque 1 On définit différentes grandeurs énergétiques d une onde lumineuse selon que l on s intéresse à la source de lumière ou au récepteur de cette onde. Ainsi, l intensité (en candela) est définie comme étant le flux lumineux émis dans un certain angle solide de la source alors que l éclairement (en lux) représente ce flux reçu sur une certaine surface du récepteur ; ces deux grandeurs sont proportionnelles à l énergie moyenne rayonnée, elle-même proportionnelle à la moyenne < E >. Remarque Dans un milieu d indice n, l intensité est par définition: I = na I.1- Réflexion et réfraction d une OPPM - Coefficients de réflexion et de transmission Lorsqu une OPPM dont le champ électrique (champ incident E i et vecteur d onde K i ) s écrit : E i = a i cos(ωt φ i ) e i avec φ i = Ki. ri tombe sur un dioptre plan séparant deux milieux diélectriques d indices n 1 et n, elle se décompose en deux ondes de même pulsation ω. ωt - K. r ) e - une onde réfléchie correspondant au champ électrique: E r a r cos( r r ωt - K. r ) e - une onde transmise correspondant au champ électrique: E t at cos( t t avec : K i = K r = n 1 K 0 et K = n K 0 ; π K0 λ0 On définit les coefficients de réflexion r et de transmission t relatifs aux amplitudes par : a r r ; a i a t a On les exprime en fonction des indices des milieux (voir cours d électromagnétisme) par les expressions suivantes: t i n1 - n r n1 n n t 1 n1 n Lorsque la transmission de la lumière se fait dans le milieu n. 13

9 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version 3 : juillet 01 On remarque que: - t est toujours positif, - r est négatif si n 1 < n, ce qui se traduit par un déphasage de π de l onde réfléchie par rapport à l onde incidente. Remarque Si on considère les coefficients relatifs à chaque face (sup et inf) du dioptre, on écrit : r = r 1.r et t = t 1.t n Dans ce cas : 1 - n r r n n 1 1 n et 1n t n 1 n I.13- Composition de deux ondes monochromatiques synchrones Les trois méthodes de composition : - Méthode trigonométrique - Méthode des nombres complexes - Méthode de Fresnel seront traitées en TD. 14