COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE

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1 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE Mai 2011 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 2 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 4 pages, y compris celle-ci. 1

2 Première L Composition de mathématiques informatique Mai 2011 Exercice 1 : Etude statistique de la clientèle d'un site de vente aux enchères sur Internet (10 points) Un site de vente aux enchères sur Internet désire réaliser une étude statistique de sa clientèle. Les responsables de l'étude utilisent un échantillon de clients parmi les plus réguliers du site. Partie A La première question concerne l'âge des clients considérés. Les résultats sont donnés dans le tableau figurant en annexe 1. 1) Compléter sans justifier le tableau de l'annexe 1. 2) A l'aide de la calculatrice, déterminer sans justifier (on arrondira les résultats au dixième) : a) l'âge moyen µ des clients du site de vente aux enchères. b) l'écart-type σ de cette série. 3) Peut-on estimer que le pourcentage des individus qui ont un âge appartenant à la plage [µ - σ; µ + σ] est supérieur ou égal à 75 %? Partie B La seconde question posée aux clients du site porte sur la durée moyenne de connexion en minutes durant la période d'une semaine/ 1) L'étude a montré que la série des durées moyennes est une série gaussienne de moyenne µ = 83,5 et d'écart type σ = 26,6. a) Déterminer la plage de normalité à 95% de cette série. b) A combien peut-on estimer le nombre des clients dont la durée moyenne de connexion par semaine est située en dehors de cette plage? 2) Pour cette série, le 1 er quartile est Q 1 = 65, la médiane m est 85, le 3 ème quartile Q 3 est 100. a) Quel est le nombre minimum de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine sur le site est inférieure ou égale à 65 minutes? b) Les responsables du site espèrent qu'au moins personnes se connecteraient en moyenne 1 heure et 40 minutes ou plus par semaine. Cet objectif est-il atteint? 2

3 Première L Composition de mathématiques informatique Mai 2011 Exercice 2 : Enquête basée sur l'indice de masse corporelle (IMC) (10 points) Une enquête a été menée auprès d'un échantillon de personnes (600 hommes et 400 femmes) afin d'étudier un des facteurs prédisposant aux affections cardio-vasculaires. Pour chaque personne, on définit l'indice de masse corporelle noté IMC qui se calcule de la manière suivante : I = P où P est la masse (en kg) et T est la taille (en m) de la personne. T² Pour un IMC strictement supérieur à 22 chez la femme et strictement supérieur à 23 chez l'homme, la personne est déclarée "à risque". Pour un IMC strictement supérieur à 27, la personne est déclarée "à risque élevé". 1) a) Un homme mesure 1,70 m et pèse 70 kg. Calculer son IMC. b) Une femme mesure 1,60 m et pèse 52 kg. Calculer son IMC. c) Un homme mesure 1,70. Quel est son poids maximum pour que I < 23? 2) Dans cette question, on s'intéresse au groupe des 600 hommes de l'échantillon initial. Le diagramme en boîte figurant en annexe 2, correspond à la série des IMC des 600 hommes. Les traits verticaux aux deux extrémités indiquent le minimum et le maximum. a) Donner l'étendue, la médiane et les quartiles de cette série. b) Au vu du diagramme et en justifiant chaque réponse, répondre par vrai ou faux à chacune des deux affirmations suivantes : A : Moins de 20% des hommes sont déclarés "à risque élevé". B : Au moins 25% des hommes sont déclarés comme n'étant pas "à risque". 3) Dans cette question, on s'intéresse aux IMC des 400 femmes de l'échantillon initial. On a obtenu le tableau suivant : IMC Effectif a) Déterminer la médiane et les quartiles de cette série. Tracer un diagramme en boîte pour cette série en utilisant la même graduation que pour les diagrammes des hommes sur l'annexe 2. b) Peut-on affirmer, au vu des résultats que le pourcentage des femmes déclarées comme n'étant pas "à risque" est supérieur à celui des hommes? Justifier. 3

4 Annexe 1 : tableau de l'exercice 1 Classe d'âge Centre de classe Effectif Fréquence en % [13;18[ 10 [18;20[ 11 [20;25[ 22,5 [25;30[ 27,5 32 [30;35[ 32,5 18,6 [35;45[ 40 7,4 [45;55[ 1,9 [55;70[ 1 Total Annexe 2 : Diagrammes en boîte pour l'exercice 2 4

5 Exercice 1 Partie A 1) Classe d'âge Centre de classe Effectif Fréquence en % [13;18[ 15, [18;20[ [20;25[ 22, ,1 [25;30[ 27, [30;35[ 32, ,6 [35;45[ ,4 [45;55[ ,9 [55;70[ 62, Total ) A partir du menu de la calculatrice (sur TI), on saisit les informations centre de classe et effectif dans les listes L 1 et L 2. On saisit la séquence de touches suivantes pour obtenir les paramètres statistiques de la série. Ce qui se traduit à l'écran par: Puis : 5

6 a) L'âge moyen µ est donné par la variable x. Donc µ 27,09 b) L'écart-type est donné par la variable : σ x. Donc σ 8,05 3) L'intervalle [µ - σ; µ + σ] est environ : [27,09 8,05; 27,09 + 8,05]. Soit environ : [19,04; 35,15]. Le nombre de valeurs comprises dans cet intervalle est environ : = Ce qui représente un pourcentage de : ,2 % On peut donc considérer que le pourcentage d'individus qui ont un âge appartenant à la plage [µ - σ; µ + σ] est proche de 75 % sans pouvoir préciser s'il est inférieur ou supérieur ou égal à 75 %. Partie B 1) a) La plage de normalité à 95% est : [µ - 2σ; µ + 2σ] soit : [83,5-2 26,6;83, ,6] = [30,3;136,7]. b) 5% des clients ont une durée moyenne de connexion située en dehors de cette plage. Soit = 150 2) a) Un quart des individus d'une série statistique ordonnée sont situés entre le minimum et le premier quartile = Le nombre minimum de clients dont la durée moyenne de connexion par semaine sur le site est inférieure ou égale à 65 minutes est heure 40 minutes = 100 minutes Un quart des individus d'une série statistique ordonnée sont situés entre le troisième quartile Soit 750 personnes. L'objectif des 1000 personnes n'est donc pas atteint. 6

7 Exercice 2 : Enquête basée sur l'indice de masse corporelle (IMC) (10 points) 1) a) I = P T² = 70 1,70² 24,2 b) I = P T² = 52 1,6² 20,3 Un homme mesure 1,70. Quel est son poids maximum pour que I < 23? I = P T² = P 1,7² I < 23 P < 23 P < 23 1,7² P < 66,47 kg 1,7² Le poids maximum pour que I < 23 est 66,47 kg. 2) a) Etendue = Max Min = = 9 Médiane = 24 Q 1 = 22 et Q 3 = 27 b) A : Moins de 20% des hommes sont déclarés "à risque élevé". L'IMC minimum pour le risque élevé est 27. Il y a donc au moins 25% des hommes qui sont à risque élevé. L'affirmation A est donc fausse. B : Au moins 25% des hommes sont déclarés comme n'étant pas "à risque". Le premier quartile étant 22 inférieur à 23; alors on a au moins 25% des hommes dont l'imc est inférieur à 23. Donc l'affirmation B est vraie. 7

8 a) On peut construire le tableau des fréquences cumulées croissantes. IMC Effectif Fréquence 6% 9% 27% 23% 10% 10% 4% 3% 4% 3% 2% Fréquence cumulée 6% 16% 42% 65% 75% 84% 88% 91% 95% 98% 100% La médiane correspond à la première valeur de l'imc dont la fréquence cumulée croissante est supérieure égale à 50% Donc la médiane est égale à 22. Le premier quartile correspond à la première valeur de l'imc dont la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 25%. Donc le premier quartile Q 1 est égal à 21. Le troisième quartile correspond à la première valeur de l'imc dont la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 75%. Donc le troisième quartile Q 3 est égal à 23. c) Le pourcentage des femmes n'étant pas à risque est environ égal à 50%. En effet, en dessous d'un IMC de 22, une femme n'est pas déclarée à risque et 22 est la médiane de la série statistique des femmes. Le pourcentage des hommes n'étant pas à risque est environ égal à 25%. En effet, en dessous d'un IMC de 23, un homme n'est pas déclaré à risque et 23 est la médiane de la série statistique des femmes. On peut donc en conclure que le pourcentage des femmes déclarées comme n'étant pas "à risque" est supérieur à celui des hommes. 8