SYSTEMES OSCILLANTS. L étude des oscillations d un mobile en translation (MOt) ou d un mobile en rotation (MOr) est le sujet de cette manipulation.

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1 MO 1 SYSTEMES OSCILLANTS On rencontre fréquemment en physique des phénomènes périodiques (ou oscillants ou vibratoires): mouvement autour d'une position d'équilibre d'un pendule, d'un poids suspendu à un ressort, des atomes d'un solide ou d un gaz lors de la propagation d'un son, variation de l'intensité d'un courant électrique dans un circuit oscillant, etc. Parmi les mouvements oscillatoires, le mouvement sinusoïdal ou harmonique est le plus simple à décrire mathématiquement et constitue une bonne approximation de nombreux phénomènes rencontrés dans la nature. L étude des oscillations d un mobile en translation (MOt) ou d un mobile en rotation (MOr) est le sujet de cette manipulation. Pour mettre en évidence le parallélisme entre les mouvements de translation et de rotation, nous traiterons simultanément la théorie des deux cas. 1 THEORIE MOt MOr 1.1 Force de rappel élastique 1.1 Moment de rappel élastique Soit un point matériel (PM) de masse m astreint à se mouvoir sur une droite d et attaché à un ressort dont l'autre extrémité est fixée (fig. 1). La position du PM est repérée par la distance x entre le PM et un point 0, position d'équilibre du point matériel. Soit un solide indéformable de moment d'inertie I par rapport à un axe vertical.(voir 2.3). Le solide est suspendu à un fil métallique confondu avec l'axe, l'autre extrémité du fil étant fixée (fig. 2). L'axe est choisi parmi les axes principaux du solide et les seuls mouvements possibles sont des rotations autour de. La position du solide est repérée par l'angle β entre un axe horizontal Ξ lié au solide et un axe horizontal fixe Γ indiquant la position d'équilibre du solide.

2 MO 2 Ξ β d 0 F m x M Γ Figure 1 Figure 2 Le problème étant unidimensionnel, on peut se passer de la notation vectorielle. Lorsqu'on l'écarte de sa position d'équilibre, le PM est soumis à une force proportionnelle mais de sens opposé au déplacement x. C'est la force de rappel élastique: Le solide ne peut tourner qu autour de l'axe ; il est ainsi soumis à des forces dont seuls les moments dirigés selon cet axe ont un effet; on peut donc se passer de la notation vectorielle. Lorsqu'on l'écarte de sa position d'équilibre, le solide est soumis au moment d'un couple de rappel exercé par le fil en torsion. Ce moment, proportionnel mais de sens opposé au déplacement angulaire β, est le moment de rappel élastique: F = k x. (1) M = Cβ. k est la constante élastique du ressort. C est la constante de torsion du fil. 1.2 Equations du mouvement La seconde loi de Newton, loi fondamentale de la dynamique, est appliquée au PM. Dans un cas unidimensionnel tel que celui qui nous intéresse, elle s'écrit: Dans la géométrie qui nous intéresse ici, la loi fondamentale de la dynamique des rotations appliquée au solide en rotation autour de l'un de ses axes d'inerties principaux (voir MMa) s'écrit (sans notation vectorielle): Σ F = ma = m d2 x dt 2. (2) Σ M = I γ = I d 2 β dt 2. a est l'accélération du point matériel. γ est l'accélération angulaire du solide.

3 MO 3 Si on néglige les frottements: la seule force qui agit sur le PM est la force de rappel élastique donnée par (1). On obtient donc l'équation du mouvement du PM: le seul moment qui agit sur le solide est le moment de rappel élastique donné par (1). On obtient donc l'équation du mouvement du solide: k x = m d2 x dt 2. (3) Cβ = I d 2 β dt 2. Ces deux équations différentielles du deuxième ordre ont pour solutions des fonctions sinusoïdales qui peuvent s'écrire x = x o sin(ω t +φ). (4) β = β o sin(ω t +φ). x o : amplitude du mouvement; c'est l'élongation maximale. ω : pulsation. φ : déphasage. β o : amplitude du mouvement; c'est l'angle maximal de déviation. Ω : pulsation. φ : déphasage. Les équations (4) sont les équations horaires qui donnent la position du PM ou du solide en fonction du temps. Le déphasage dépend de la position initiale (position au temps t=0). Si la fonction (4) est la solution de l'équation du mouvement (3), on obtient la pulsation ω en introduisant cette solution dans (3), ce qui donne ω = k m 1/2. (5) Ω = C I 1/ Période du mouvement et masse du point matériel 1.3 Période du mouvement et moment d'inertie du solide La période T est l'intervalle minimal de temps qui sépare deux états identiques du système. C'est la durée d'une oscillation complète. La fréquence ν des oscillations est le nombre d'oscillations effectuées par unité de temps: ν = 1 T. (6)

4 MO 4 La pulsation est directement reliée à la fréquence: ω = 2πν. (7) Ω = 2πν. En utilisant ces définitions on obtient, à partir de la relation (5) T = 2π ω = 2π m 1/2 k. (8) T = 2π Ω = 2π I C La période, la fréquence et la pulsation sont des constantes caractéristiques de l'oscillateur. Elles sont, pour un oscillateur harmonique, indépendantes de l'amplitude du mouvement. On dit que les oscillations sont isochrones. Remarque: tous les mouvements oscillatoires ne sont pas harmoniques. Pour un oscillateur non-harmonique, la période peut dépendre de l'amplitude du mouvement. 1/2. 2 MANIPULATION 2.1 L'oscillateur élastique 2.1 Le pendule de torsion Le dispositif expérimental est représenté sur la figure 3. Un support mobile est relié par deux lames d'acier à un appui fixe. Ces lames exercent sur le mobile une force élastique de rappel. Hors de sa position d'équilibre, la partie mobile se met à osciller avec une période T o : Le dispositif expérimental est représenté sur la figure 4. Le solide mobile consiste en un cylindre vertical muni de deux tiges horizontales. L'ensemble est suspendu à un fil d'acier coïncidant avec l'axe du cylindre. Le fil exerce un couple de rappel élastique sur le mobile. Hors de sa position d'équilibre, le solide oscille avec une période T o : T o 2 = 4π 2 k m o ; (9) T o 2 = 4π2 C I o ; m o est la masse équivalente de l'oscillateur. I o est le moment d'inertie équivalent du pendule de torsion.

5 MO 5 appui fixe fil d'acier lames d'acier corps additionnels masses additionnelles Figure 3 Figure 4 Si l'on place sur le support une masse additionnelle m, la période T sera: Le moment d'inertie du solide peut être augmenté par l'adjonction d'un corps de moment d'inertie I. La nouvelle période T mesurée obéit à la relation: T 2 = 4π2 k (m o + m). (10) T2 = 4π2 C (I o + I). Cette relation entre T et m permet de déterminer k et m o. Cette relation entre T et I permet de déterminer C et I o et d'utiliser le pendule de torsion pour déterminer des moments d'inertie par une mesure de la période d'oscillation. Une représentation graphique de T 2 en fonction de m ou de I permet notamment de vérifier la relation (10). Dans le graphique représentant T 2 en fonction de m, k est obtenu à partir de la pente p de la droite par [relation (9)]: Dans le graphique représentant T 2 en fonction de I, C est obtenu à partir de la pente p de la droite par [relation (9)]: k = 4π2 p et m o est l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses. (11) C = 4π2 p et I o est l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.

6 MO 6 Ces résultats peuvent être obtenus au moyen d'une régression linéaire. 2.2 Technique de mesure Les périodes mesurées sont petites, ce qui peut conduire à des erreurs de chronométrage assez importantes. Les mesures se feront donc de la manière suivante. On chronomètre le temps nécessaire à 10 (ou à 20) oscillations de petite amplitude. On répète la mesure de ces 10 (ou 20) périodes un nombre de fois suffisant pour calculer la valeur moyenne et l incertitude moyenne selon une méthode statistique. La période moyenne s obtient en divisant le temps moyen par le nombre de périodes. 2.3 Calcul du moment d inertie d un solide Le moment d inertie d un point matériel de masse m se trouvant à une distance r de l axe de rotation est par définition: I = mr 2. (12) Un solide est formé d un grand nombre de PM, de sorte que son moment d inertie est égal à la somme des moments d inertie de tous les PM du solide, c est-à-dire à l intégrale: I = r 2 dm. (13) M Les solides ajoutés pour augmenter le moment d inertie du système sont des cylindres de rayon R, percés d'un trou carré qu on approximera par un cercle de rayon r. Si M est la masse d un de ces cylindres, le moment d inertie, obtenu par le calcul de l intégrale (13) ci-dessus, vaut: I = M ( 2 R2 + r 2 ). (14) 3 PLAN DE TRAVAIL 3.1 Vérifiez l isochronisme en mesurant la période à vide (selon le 2.2) pour une petite, puis pour une grande amplitude. Qu en déduisez-vous? 3.2 Mesurez la période pour des masses ou des moments d inertie additionnels croissants. Par une combinaison judicieuse des corps à disposition, il est possible d obtenir des mesures concernant au moins une dizaine de périodes différentes. Etablissez un tableau de mesures. 3.3 Faites le graphe de T 2 en fonction de m ou de I. Déterminez la pente de la droite et son intersection avec l axe des abscisses au moyen d une régression linéaire. Déterminez la constante k ou la constante C, la masse équivalente m o ou le

7 MO 7 moment d inertie équivalent I o. Comparez k à la valeur déterminée à l'aide d'un dynamomètre; comparez C à la valeur donnée par la théorie de l'élasticité: C = E t πr 4 2L où r est le rayon du fil, L sa longueur et E t le module de cisaillement que l'on trouve dans la table des constantes. 3.4 Déterminez une masse inconnue en mesurant la période ou déterminez le moment d inertie obtenu en fixant de petites masses additionnelles sur les tiges horizontales du pendule de torsion. Comparez le résultat au calcul effectué en considérant les masses comme des points matériels se trouvant à une distance r de l axe [relation (13)] (r sera la distance mesurée depuis l axe du cylindre jusqu au centre des petites masses). 3.5 Trouvez, par intégration, le moment d inertie d un cylindre percé [formule (15)]. Bibliographie - Halliday et Resnick, tome 1, Mécanique, chap Sears, Zemansky et Young, University physics, chap Berkeley, tome 1, Mécanique, chap. 7 - Alonso et Finn, Mécanique, chap Feynman, Lectures on physics, tome 1, chap. 21