Quelques problèmes élémentaires mais inextricables
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- Hugues Lefèvre
- il y a 7 ans
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1 Quelques problèmes élémentaires mais inextricables Shalom Eliahou Université du Littoral Côte d Opale Congrès MATh.en.Jeans Valenciennes, 11 avril 2015 Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 1 / 34
2 But aujourd hui Introduction Présenter quelques questions mathématiques, faciles à comprendre, mais non-résolues et posant de gros défis aux chercheurs! Au menu : Les nombres parfaits Le problème 3n + 1 de Syracuse Les homards sont-ils gracieux? Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 2 / 34
3 Quelques mots sur les maths Les mathématiques sont une science très ancienne et très moderne. But ultime des maths : comprendre le comportement des objets mathématiques. Qu est-ce qu un objet mathématique? A la base, ce sont les nombres entiers (1, 2, 3, etc. ) et les figures géométriques simples (carrés, triangles, cercles). Mais ensuite, pour mieux comprendre ces premiers objets, il faut en introduire de nouveaux (nombres premiers, rationnels, réels, etc.). Puis, pour mieux comprendre ces objets de 2ème génération, il faut en introduire d autres encore (fonctions, espaces vectoriels, probabilités, etc.). Ce processus se poursuit depuis des millénaires! Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 3 / 34
4 Une science vivante Les mathématiques sont vivantes, pleines de problèmes ouverts qui ne demandent qu à être résolus. Pourquoi tous ces problèmes? pour satisfaire notre curiosité, pour comprendre le comportement des objets mathématiques, pour défier notre capacité collective à apporter des réponses. Certains s énoncent très facilement... mais semblent insolubles! Aujourd hui, présentation de quelques exemples frappants : en arithmétique et en théorie des graphes. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 4 / 34
5 Nombres premiers : petit rappel Un nombre premier est un nombre entier positif, plus grand que 1, qui ne possède aucun diviseur strict à part 1. Les trois plus petits nombres premiers sont 2, 3 et 5. 4 et 6 ne sont pas premiers, puisque divisibles par 2. Les sept nombres premiers suivant 2, 3, 5 sont 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Theorem (Euclide) Il y a une infinité de nombres premiers. De plus, tout nombre entier plus grand que 1 est un produit de nombres premiers. Exemples : 28 = 2 2 7, 30 = Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 5 / 34
6 Addition et multiplication En arithmétique, l addition toute seule, ou la multiplication toute seule, sont faciles à comprendre. Mais quand on les fait intervenir ensemble, ça peut se compliquer très sérieusement! Typiquement, comment se comparent les décompositions de n et de n + 1 comme produits de facteurs premiers? On n en sait rien en général! Exemples. 28 = ; 29 est premier ; 30 = ; 31 est premier ; 32 = ; 33 = 3 11, etc. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 6 / 34
7 I. Les nombres parfaits Un nombre parfait est un nombre entier positif n qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts. Plus petit exemple : n = 6. En effet, ses diviseurs stricts sont 1, 2 et 3. Sommons-les : = 6. Y a-t-il d autres nombres parfaits? Oui! Par exemple, n = 28. Ses diviseurs stricts sont 1, 2, 4, 7 et 14. Sommons-les : = 28. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 7 / 34
8 Les nombres parfaits ont été inventés par les Grecs Anciens il y a plus de 2000 ans. Ils ont découvert les quatre plus petits nombres parfaits : 6, 28, 496, Question Existe-t-il un nombre parfait impair? Cette question reste ouverte depuis 2000 ans! On pense que la réponse est non, mais on ne sait pas (encore) le démontrer. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 8 / 34
9 Quelques résultats Theorem (Euclide) Si 2 n 1 est un nombre premier, alors 2 n 1 (2 n 1) est un nombre parfait. Exemples 6 = 2 1 (2 2 1) 28 = 2 2 (2 3 1) 496 = 2 4 (2 5 1) 8218 = 2 6 (2 7 1) Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 9 / 34
10 La réciproque est vraie aussi! Theorem (Euler, 18ème siècle) Réciproquement, si N est un nombre parfait pair, alors forcément N = 2 n 1 (2 n 1) où 2 n 1 est un nombre premier. Definition Les nombres premiers de la forme 2 n 1 s appellent les premiers de Mersenne. Il y a donc une correspondance parfaite entre nombre parfaits pairs et premiers de Mersenne. A ce jour, on connaît 48 premiers de Mersenne, et donc 48 nombres parfaits pairs. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 10 / 34
11 Liens avec le monde actuel Le plus grand nombre premier connu actuellement est un premier de Mersenne, justement. Il a été découvert le 25 janvier 2013, par le Great Internet Mersenne Prime Search. Il s agit de , un nombre premier à plus de 17 millions de chiffres! Question Existe-t-il une infinité de premiers de Mersenne? On n en sait rien! Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 11 / 34
12 II. Le problème 3n + 1 de Syracuse Considérons la transformation suivante sur les nombres entiers : Si n est pair, on applique n n/2. Si n est impair, on applique n 3n + 1. Exemples 1 4, 2 1, 3 10, 4 2, 5 16, 7 22,... Maintenant, partons d un nombre entier m quelconque, et itérons cette fonction : on l applique à m, puis on la réapplique au résultat, etc. Exemple : Appelons trajectoire de m la suite ainsi obtenue. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 12 / 34
13 Exemples Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 13 / 34
14 La conjecture de Syracuse Conjecture (Collatz, 1931) La trajectoire de tout entier positif m finit toujours par atteindre 1. Vrai ou faux? C est sûrement vrai mais personne ne sait le démontrer! Calculez la trajectoire de 27, elle vaut la peine! Cette conjecture est facile à tester sur calculatrice ou ordinateur. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 14 / 34
15 Record actuel, par ordinateur La conjecture de Syracuse est vraie jusqu à , c est-à-dire jusqu à 5 milliards de milliards! Autrement dit, en partant de n importe quel m inférieur à 5 trillions, sa trajectoire finit bien par atteindre 1. Résultat obtenu par Tomás Oliveira e Silva. Ses ordinateurs testent un milliard d entiers par seconde! Voir tos/3x + 1 Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 15 / 34
16 III. Les homards sont-ils gracieux? Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 16 / 34
17 Un peu de vocabulaire Un graphe G, c est la donnée : de points appelés sommets, d arêtes reliant des paires de sommets. Exemple. sommet arête Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 17 / 34
18 Réseaux Les graphes permettent de modéliser et analyser toutes sortes de réseaux : les réseaux routiers les réseaux téléphoniques les réseaux sociaux les filiations généalogiques les circuits électroniques etc. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 18 / 34
19 Exemple : le graphe d Internet Internet peut être modélisé par un graphe. Ses sommets sont les pages du web ; Ses arêtes sont les hyperliens. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 19 / 34
20 Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 20 / 34
21 Graphes spéciaux Il y a toutes sortes de graphes : chemins, cycles, arbres, etc. Qu est-ce qu un chemin? C est un graphe de cette forme : Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 21 / 34
22 C est un graphe de cette forme : Qu est-ce qu un cycle? Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 22 / 34
23 Qu est-ce qu un arbre? C est un graphe en un seul morceau, sans cycles. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 23 / 34
24 Un théorème de base Dans un arbre à n sommets, il y a toujours exactement n 1 arêtes. n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 24 / 34
25 Prenons un arbre G à n sommets. Numérotation induite Numérotons ses sommets de 0 à n 1. On numérotera alors ses arêtes selon la règle suivante : Règle du jeu Le numéro assigné à une arête est la différence positive des numéros de ses sommets C est la numérotation induite sur les arêtes. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 25 / 34
26 Numérotations gracieuses Prenons un arbre G à n sommets et, comme avant, numérotons ses sommets de 0 à n 1. On dit que cette numérotation est gracieuse si la numérotation induite sur les arêtes est sans répétition pas gracieuse :-( gracieuse :-)) Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 26 / 34
27 La Conjecture des Arbres Gracieux Un arbre mathématique est dit gracieux si on peut le numéroter gracieusement. Question. Quels arbres sont-ils gracieux? Conjecture (Alex Rosa, 1966) Tout arbre est gracieux. Vrai ou faux? On pense que c est vrai, mais... personne ne sait le démontrer! Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 27 / 34
28 Un exemple : gracieux ou pas? Gracieux! 7 0 Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 28 / 34
29 Quelques arbres spéciaux Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 29 / 34
30 Que sait-on en 2015? On sait démontrer que les arbres suivants sont gracieux : tous les chemins toutes les étoiles toutes les chenilles et par ordinateur... jusqu à 35 sommets. Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 30 / 34
31 Les homards Tous les homards sont-ils gracieux? En 2015, après un demi-siècle de recherches, on l ignore encore! Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 31 / 34
32 Défis Sauriez-vous montrer, vous aussi, que 1 toutes les étoiles sont gracieuses? 2 tous les chemins sont gracieux? 3 toutes les chenilles sont gracieuses? Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 32 / 34
33 Petit rappel des thèmes visités Les nombres parfaits : En existe-t-il un qui soit impair? En existe-t-il une infinité? La conjecture 3n + 1 : toute trajectoire atteint-elle forcément 1? Les homards sont-ils gracieux? Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 33 / 34
34 Merci pour votre attention :-) Shalom Eliahou (ULCO) Problèmes élémentaires mais inextricables Congrès MATh.en.Jeans, 11 avril 34 / 34
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