COURS MECANIQUE VIBRATOIRE ONDES ACOUSTIQUE

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1 COURS MECANIQUE VIBRATOIRE ONDES ACOUSTIQUE V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 1 sur 83

2 I - SYSTEME CONSIDERE Chapitre 1 SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE : OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME NON AMORTI SYSTEME MASSE RESSORT SANS FROTTEMENT Le système : Ressort indéformable, parfaitement élastique, sans masse et sans hystérésis, de raideur k (N m -1 ) y 0 y 0 + y y F mg F Masse m (kg) Pas de frottement mg II - ETUDE A L EQUILIBRE A l équilibre, la somme des forces s exerçant sur un système est nulle. La force F de rappel d un ressort est proportionnelle à l allongement du ressort : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 2 sur 83

3 En projection sur l axe Oy orienté positivement vers le bas on obtient : Remarque 1 : Remarque 2 : III - ETUDE EN DYNAMIQUE La masse est écartée de sa position d équilibre par une intervention extérieure. On note y l allongement par rapport à la position d équilibre. L allongement total est donc y 0 + y. D après le principe fondamental de la dynamique, nous avons : En projection sur l axe Oy : D où l équation différentielle : d 2 y/dt 2 + (k/m) y = 0 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 3 sur 83

4 IV - SOLUTION DE L EQUATION DIFFERENTIELLE 1 / SOLUTION On sait que pour un système sans frottement, le ressort écarté de sa position d équilibre va osciller indéfiniment de façon sinusoïdale. La solution de l équation différentielle du second ordre sans frottement est sinusoïdale : 2 / PULSATION PROPRE La fréquence propre (en Hz) est : f 0 = ω 0 /(2π) La période propre (en s) est : T 0 = 1/f 0 3 / REMARQUES ω 0 = (k/m) montre que : On a vu au I 2 / que : Si on ne connaît pas la masse suspendue et la raideur du ressort, on peut déterminer la pulsation propre à partir de la mesure de l allongement en statique. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 4 sur 83

5 I - SYSTEME CONSIDERE Chapitre 2 SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE : OSCILLATIONS LIBRES DU SYSTEME AMORTI SYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS Le système : 0 Ressort indéformable, parfaitement élastique, sans masse et sans hystérésis, de raideur k (N m -1 ) y 0 y 0 + y y F mg F F f Frottement fluide (visqueux). Le coefficient de frottement est noté f (N s m -1 ) Masse m (kg) II - ETUDE A L EQUILIBRE A l équilibre, la vitesse étant nulle, le frottement fluide n introduit pas de force. On a donc toujours : En projection sur l axe Oy orienté positivement vers le bas on obtient : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 5 sur 83

6 III - ETUDE EN DYNAMIQUE La masse est écartée de sa position d équilibre par une intervention extérieure. On note y l allongement par rapport à la position d équilibre. L allongement total est donc y 0 + y. Le frottement fluide introduit une force de frottement notée F f dont l intensité est proportionnelle à la vitesse : F f = f v D après le principe fondamental de la dynamique, nous avons : En projection sur l axe Oy : D où l équation différentielle : Le fonctionnement du système est une équation différentielle du 2 nd ordre linéaire à coefficients constants. Elle est identique à celle d un circuit RLC. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 6 sur 83

7 IV - SOLUTION DE L EQUATION DIFFERENTIELLE 1 / FORME NORMALISEE DE L EQUATION DIFFERENTIELLE Sous forme normalisée, l équation s écrit : d 2 y/dt z ω 0 dy/dt + ω 0 2 y = 0 On a : Pulsation propre ω 0 = (k/m) Coefficient d amortissement : z = f / ( 2 (km) ) 2 / SOLUTION Les résultats sont les mêmes qu en électricité pour le circuit RLC. L équation caractéristique tirée de l équation différentielle est : r zω 0 r + ω 0 = 0 son discriminent est : = ω 0 (z 2 1) Les différents cas possibles sont : z < 1 => < 0 2 racines r 1 et r 2 complexes conjuguées sol eq diff type A e r1 t + B e r2 t Les parties imaginaires des exp complexes donnent une sinusoïde (Cf formules d Euler) Les parties réelles des exp donnent une enveloppe d amortissement La solution est oscillatoire amortie : régime pseudopériodique. y(t) = C e z ω0 t cos (ω ps t + ϕ ) ω ps pseudopulsation : pulsation des oscillations amorties ω ps = ω 0 ( 1 z 2 ) V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 7 sur 83

8 z > 1 => > 0 2 racines r 1 et r 2 réelles négatives sol eq diff type A e r1 t + B e r2 t Les exp tendent vers 0. La solution apériodique. y(t) = e z ω 0 t [ A exp [ ω 0 ( z 2 1) ] + B exp [ ω 0 ( z 2 1) ] ] z = 1 => = 0 1 racine réelle double Cas limite entre les deux régimes : régime critique. y(t) = (A t + B ) e z ω 0 t Les constantes sont déterminées par les conditions initiales. D 1 y(t) z > 1 D 2 T ps t z < 1 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 8 sur 83

9 3 / REMARQUES ω ps = ω 0 ( 1 z 2 ) montre que : - ω ps < ω 0 - ω ps tend vers ω 0 quand l amortissement diminue - ω ps diminue quand l amortissement augmente 4 / DECROISSANCE DES PSEUDO-OSCILLATIONS En reprenant l expression de y(t) dans le cas oscillatoire amorti, on exprime le rapport des amplitudes de 2 oscillations consécutives. Le sin est alors a sa valeur minimale (soit 1). On obtient : D 1 / D 2 = C exp (- z ω 0 t ) / [ C exp [- z ω 0 ( t + T ps ) ] ] Ceci donne après calculs l expression du décrément logarithmique : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 9 sur 83

10 I - SYSTEME CONSIDERE Chapitre 3 SYSTEME A UN DEGRE DE LIBERTE : OSCILLATIONS FORCEES SYSTEME MASSE RESSORT AVEC FROTTEMENTS ye(t) y e (t) = Y emax cos ωt 0 On fait vibrer cette extrémité à l aide d un système extérieur (vibreur, moteur + bielle ) y 0 y 0 + y y F mg F F f mg II EQUATION DIFFERENTIELLE DU MOUVEMENT La force de rappel du ressort est : Le principe fondamental de la dynamique donne : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 10 sur 83

11 mg k (y + y 0 y e ) f d(y + y 0 - y e )/dt = m d 2 (y + y 0 ) / dt 2 mg k y 0 k y + ky e - f dy/dt + f dy e /dt f dy 0 /dt = m d 2 y/dt 2 + m d 2 y 0 /dt 2 = 0 Cf I = 0 car y 0 cst = 0 car y 0 cst D où l équation différentielle : d 2 y/dt 2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) y e + (f/m) dy e /dt Sous forme normalisée : d 2 y/dt 2 + ( 2 z ω 0 ) dy/dt + ω 0 2 y = ω 0 2 y e + ( 2 z ω 0 ) dy e /dt III REPONSE TEMPORELLE d 2 y/dt 2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) Y emax cos ωt - (f/m) Y emax ω sinωt V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 11 sur 83

12 La solution de cette équation différentielle est : y(t) = SGESSM + SPEC z < 1 pseudopériodique ω ps = ω 0 (1 z 2 ) z > 1 apériodique Le régime transitoire disparaît au bout d un certain temps V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 12 sur 83

13 IV REPONSE HARMONIQUE 1 / METHODE UTILISEE La réponse harmonique (en régime sinusoïdal forcé permanent) est, comme en électricité, abordée à l aide de la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales. Ainsi : y e (t) = Y emax cos ωt engendre y(t) = Y max cos ( ωt + ϕ ) Y e = [ Y emax ; 0 ] Y = [ Y max ; ϕ ] 2 / FONCTION DE TRANSFERT d 2 y/dt 2 + (f/m) dy/dt + (k/m) y = (k/m) y e V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 13 sur 83 On retrouve la fonction de transfert d un filtre passe-bas du second ordre, identique à celle d un circuit RLC en régime sinusoïdal.

14 3 / REPONSE EN FREQUENCE Y / Y e On voit apparaître un phénomène de résonance : 1/ [ 2z (1 z 2 ) ] Z < 1/ 2 1 Z = 1/ 2 Z > 1/ 2 ω 0 ω r = ω 0 (1 2 z 2 ) ω Cette pulsation de résonance est toujours inférieure à la pulsation propre : ω r < ω 0 Plus l amortissement est faible plus ω r se rapproche de ω 0 On montre que la bande passante est approximativement donnée par : si z faible : Plus l amortissement est faible : - - V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 14 sur 83

15 4 / DEPHASAGE ϕ s/e ω 0 log ω Plus l amortissement est faible, plus ϕ s/e varie rapidement autour de ω 0 Excitation BF : Excitation HF : Excitation à la pulsation propre : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 15 sur 83

16 Chapitre 4 GENERALITES SUR LES ONDES I DEFINITION D UNE ONDE 1 / DEFINITION 2 / EXEMPLE Jeter un caillou dans une étendue d eau provoque une modification locale du niveau d eau et engendre une perturbation qui se propage. Un objet qui flotte reste toujours à la même position lors du passage de la perturbation, il monte et il descend, mais ne se déplace pas horizontalement. Ainsi cette perturbation n entraîne pas de courant d eau mais un déplacement d énergie capable de mettre l objet en mouvement. II - DIFFERENTES SORTES D ONDES 1 / AVEC OU SANS SUPPORT MATERIEL C est le cas dans l exemple précédent. De même l oscillation de l extrémité d une corde se propagera le long de la corde. Les signaux sonores se propagent dans l air et non dans le vide. Ce sont des ondes mécaniques : la perturbation met en jeux une grandeur mécanique. comme les ondes électromagnétiques qui se propagent dans l air comme dans le vide. La perturbation met en jeux le champ électromagnétique. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 16 sur 83

17 2 / ONDES LONGITUDINALES OU TRANSVERSALES Soient u vecteur unitaire dans la direction du déplacement de l'énergie et v la vitesse de l'onde : u // v : l'onde est longitudinale. Exemple : Ressort à boudin. Si on comprime deux spires, on voit se former après les avoir libérées, une onde de compression des spires qui se propage suivant la droite que constitue l'axe de symétrie du ressort. L onde et l énergie se propagent dans la même direction, l onde est longitudinale à une dimension. u v : l'onde est transversale. Exemple : Corde Si on agite l extrémité d une corde très longue, le mouvement de la corde se fait verticalement alors que l onde se propage horizontalement. L onde est transversale. u v et la direction de u n est pas constante : Onde de cisaillement. Exemple : torsion dans une barre 3 / DIMENSIONS DES ONDES 2 dimensions : ondes de surface 1 dimension : Ex : corde / ressort 3 dimensions : Ondes Sphérique V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 17 sur 83

18 Pour les ondes tridimensionnelles, l ensemble des points d égale déformation constituent la surface d onde. C est la surface d une sphère pour les ondes sphériques. A grande distance de la source, le rayon de courbure de la sphère R est tel que : R >> λ. La sphère est assimilable à un plan. On parle alors d onde plane. La surface d onde devient un plan d onde. Si R >> λ Surface d onde plan d onde. => Onde plane R III AFFAIBLISSEMENT 1 / DISSIPATION 2 / ONDES SPHERIQUES SANS DISSIPATION L énergie émise par unité de surface est : Un capteur de surface s placé à la distance R recueille donc une énergie : L énergie recueillie est inversement proportionnelle au carré de la distance. Quand la distance double, l énergie est divisée par 4. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 18 sur 83

19 IV CELERITE 1 / DEFINITION Photo à t 1 Célérité de l onde : d = distance parcourue Photo à t 2 Exemple : Vitesse des ondes sonores dans l air à 15 C et 1 Bar : 340 m s -1 Vitesse des ondes mécaniques longitudinales dans l acier : 3200 m s -1 Vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide : m s -1 Vitesse des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial : m s -1 2 / FACTEURS AFFECTANT LA CELERITE Pour une onde matérielle : Pour une onde électromagnétique, la vitesse de propagation sera généralement d'autant plus grande que le milieu est dilué. (voir l indice de réfraction n = C vide /V) V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 19 sur 83

20 IV ONDE PROGRESSIVE PERIODIQUE 1 / INTRODUCTION Au lieu de jeter un seul petit caillou dans l eau, on recommence à intervalle de temps régulier appelé période T. Au lieu d avoir une perturbation unique (onde circulaire) qui se propage, on obtient des vagues successives. Une photo à un instant donné de la surface de l eau montre des cercles concentriques correspondant chacun au jet d un caillou. En réalité, on réalise cette expérience avec la cuve à onde. Un vibreur vient perturber périodiquement la surface de l eau. L intervalle de temps entre deux excitations est T. L onde se propage à la vitesse c λ La distance parcourue par l onde pendant T est appelée longueur d onde λ. Elle apparaît encore comme la distance entre deux creux sur la photo. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 20 sur 83

21 2 / DOUBLE PERIODICITE On prend une photo du milieu à un moment donné : - La hauteur de l eau dans une direction donnée varie de façon périodique (ici presque sinusoïdalement) en fonction de la position. - y (m) λ (m) x (m) On se place en un point donné : - La hauteur de l eau décrit une oscillation sinusoïdale au cours du temps. -. y (t) T (s) t (s) Ainsi une onde progressive périodique est caractérisée par une double périodicité : - Période spatiale λ en m - Période temporelle T en s. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 21 sur 83

22 3 / CELERITE DES ONDES PERIODIQUES On a déjà vu que la célérité des ondes dépend des propriétés du milieu. - Pour une onde matérielle, plus le milieu est rigide, plus la célérité est grande. Sur une corde, la célérité d'une onde est d'autant plus grande que la corde est tendue. La célérité du son est plus grande dans un solide que dans l'air. - Plus l'inertie du milieu est grande, plus la célérité diminue. Sur une corde, la célérité est d'autant plus grande que la masse linéique (masse par unité de longueur) est faible. - Pour une onde électromagnétique, la vitesse de propagation sera généralement d'autant plus grande que le milieu est dilué (dans le cas général, il convient cependant de considérer les propriétés électromagnétiques du milieu, qui peuvent compliquer la physique du problème). Ainsi, la vitesse de propagation de la lumière est maximale dans le vide. Dans du verre, elle est environ 1,5 fois plus faible. De façon générale, la célérité dépend aussi de la fréquence de l'onde. De tels milieux sont qualifiés de dispersifs. Les milieux pour lesquels la célérité est indépendante de la fréquence sont dits non-dispersifs. L'air est un milieu non dispersif pour les ondes sonores! Le phénomène de dispersion est à l'origine de l'arc-en-ciel : les différentes couleurs se propagent différemment dans l'eau, ce qui permet de décomposer la lumière du soleil suivant ses différentes composantes. Le verre est un milieu dispersif : La différence de vitesse de propagation des ondes électromagnétiques de différentes fréquences constituant une lumière blanche permet de réaliser la décomposition de cette lumière par un prisme. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 22 sur 83

23 Chapitre 5 PROPAGATION DES ONDES I PROPAGATION D UNE DEFORMATION 1 / CAS DE LA CORDE On considère une corde sans raideur, infiniment longue de masse linéique µ Un opérateur (émetteur) positionné à l extrémité gauche de la corde, donc au point d abscisse x=0, agite la corde selon un mouvement de faible amplitude. Les photos de la corde à deux instants t 1 et t 2 montre que la perturbation engendrée se propage. Photo à t 1 x C : Célérité de l onde x d = distance parcourue Photo à t 2 Quel a été le mouvement de l émetteur en x = 0? Attention : Il s agit de donner le chronogramme au point d abscisse x = 0! Au vu de la photo de la corde, l émetteur a d abord agité la corde vers le bas puis vers le haut pour ensuite revenir en position initiale. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 23 sur 83

24 De même le chronogramme d un point d abscisse x 1 de la corde donnera : Durée pour que la déformation apparaisse : Pour décrire la perturbation, il faut trouver une fonction définie en tout point x et à chaque instant t. C est forcément une fonction de deux variable x et t. On la notera ψ. On peut écrire que : 2 / GENERALISATION ONDE PROGRESSIVE En tout point x, une onde progressive peut être décrite par une fonction ψ définie par : 3 / PROPAGATION EN SENS INVERSE Il suffit de remplacer c par c On obtient ainsi pour une propagation dans le sens des x négatifs : 4 / PROPAGATION DANS LES DEUX SENS V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 24 sur 83

25 II EQUATION DE D ALEMBERT Il s agit de trouver l équation différentielle dont ψ est la solution. ψ/ t = e (t x/c) + s (t + x/c) 2 ψ/ t 2 = e (t x/c) + s (t + x/c) ψ/ x = (-1/c) e (t x/c) + (1/c) s (t + x/c) 2 ψ/ x 2 = (1/c 2 ) e (t x/c) + (1/c 2 ) s (t + x/c) = (1/c 2 ) [ e (t x/c) + s (t + x/c) ] 2 ψ/ x 2 = (1/c 2 ) 2 ψ/ t 2 2 ψ/ t 2 - c 2 2 ψ/ x 2 = 0 Equation de d Alembert Equation de propagation Cette équation décrit le phénomène de propagation d une onde dans une direction x donnée. c est la vitesse de propagation de cette onde, appelée vitesse de phase exprimée en m s -1. La solution générale de l équation de d Alembert est la superposition de deux ondes progressives se propageant en sens opposés à la même vitesse c. ψ (x,t) = e (t x/c) + s (t + x/c ) V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 25 sur 83

26 REMARQUES SUR LA FONCTION ψ ψ(x A, t) Evolution temporelle en x A t ψ(x B, t) Evolution temporelle en x B τ t ψ (x B, t ) = ψ (x A, t - τ) = ψ (x A, t (x B x A )/c ) ψ(x, t) x B - x A = c τ x B Photo corde à l instant t x ψ(x, t-τ) Photo corde à t - τ x x A ψ (x B, t ) = ψ (x A, t - τ) = ψ ( x A + cτ, t) Pour représenter la fonction ψ de deux variables, on peut utiliser un graphique 3D. ψ(x,t) ψ(x, t 2 ) t t t 2 x A x B Photo corde à t 2 x ψ(x, t 1 ) τ = t 2 t 1 t 1 x A Photo corde à t 1 x V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 26 sur 83

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28 IV PROPAGATION D UNE DEFORMATION PERIODIQUE L extrémité gauche de la corde est agitée à la période T. e(t) Evolution temporelle en x = 0 T t On représente la corde à différents instants : ψ(x, t) Photo corde à l instant T x ψ(x, 2T) Photo corde à 2T x ψ(x, 3T) Photo corde à 3T x λ = c T V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 28 sur 83

29 Si l excitation est périodique, alors la perturbation le long de la corde est périodique. La période spatiale est la longueur d onde, reliée à la période temporelle de l excitation par : λ = ct. ψ( λ, t) Evolution temporelle en x = λ λ t V ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE 1 / EXEMPLE DE DISPOSITIF L extrémité d une corde infiniment longue est reliée à un vibreur qui engendre une onde progressive sinusoïdale se propageant le long de la corde. La corde étant infiniment longue, il n y a pas de réflexion à son extrémité. e(t) Evolution temporelle en x = 0 t y(x) T t 0 M Ces deux graphiques montrent de nouveau la double périodicité spatiale et temporelle. Photo à t 0 x λ x V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 29 sur 83

30 2 / EXPRESSION INSTANTANEE DE L ONDE La perturbation créée à la source est sinusoïdale. Elle s écrit donc : Soit un point M de la corde situé à l abscisse x M reproduit le même mouvement que l origine de la corde avec un retard τ = x/c. Ainsi : ψ (x,t) = Posons k = ω/c = 2π /( T c ) = 2 π / λ On remarque que k joue le même rôle pour la période spatiale que la pulsation ω pour la période temporelle. k est appelé nombre d ondes. On a alors : ψ(x,t) = ψ(x,t) = V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 30 sur 83

31 I REFLEXION D UNE DEFORMATION Chapitre 6 REFLEXION DES ONDES ONDES STATIONNAIRES On considère une onde progressive se propageant de gauche à droite le long d une corde. L extrémité droite de la corde est attachée à un obstacle. Le point b est donc immobile. Extrémité attachée Extrémité libre En arrivant à cette extrémité, l impulsion exerce une force verticale sur le point d ancrage. Celui-ci exerce, par réaction, une force opposée sur la corde. Cette force renverse l onde réfléchie par rapport à l onde incidente. Cette extrémité monte poussée vers le haut par l énergie de l onde. Cette énergie n étant pas nulle quand l extrémité libre atteint la hauteur de la déformation, la corde continue de se déplacer. L extrémité libre exerce alors une force sur la corde et produit l onde réfléchie de même forme que l onde incidente. Le déplacement vertical maximum est le double de la hauteur de crête incidente. Onde réfléchie opposée à l onde incidente L onde réfléchie reste dans le même sens. L onde réfléchie se propage à la même vitesse que l onde incidente. L onde réfléchie se propage à la même vitesse que l onde incidente. Pour une onde périodique sinusoïdale Changement de phase de 180 Pour une onde périodique sinusoïdale Pas de changement de phase V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 31 sur 83

32 Extrémité attachée Extrémité libre V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 32 sur 83

33 Cas de la reflexion partielle : lorsque l onde rencontre une secdtion de corde plus lourde, une partie de l onde incidente est transmise alors que l autre partie est réfléchie avec inversion du signe de la perturbation. Si la deuxième portion est moins lourde, l onde réfléchie ne subit pas ce changement de signe. c c V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 33 sur 83

34 II INTERFERENCE ENTRE DEUX ONDES EN SENS INVERSE On considère deux ondes progressives se propageant en sens inverses le long d une corde. Les perturbations considérées sont de faible amplitude. 1 / ONDES OPPOSEES c Point toujours au repos : Interférence destructrice en ce point. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 34 sur 83

35 2 / ONDES IDENTIQUES c Point d amplitude de déplacement maximum : Interférence constructive en ce point. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 35 sur 83

36 III ONDES STATIONNAIRES 1 /DEFORMATIONS PERIODIQUES OPPOSEES PROGRESSANT EN SENS INVERSE On considère deux ondes périodiques progressant en sens inverse, de même amplitude et de même longueur d onde. On se retrouve dans le cas II 1 / Il existe des points où les ondes interfèrent de façon destructrice. Ces points sont toujours au repos et appelés nœuds de vibration. 2 / CAS SINUSOÎDAL Soit ψ1(x,t) la déformation se propageant de gauche à droite ( x croissant) Soit ψ2(x,t) la déformation se propageant de droite à gauche ( x décroissant) La déformation résultante en un point x le long de la corde sera : ψ (x,t) = ψ1(x,t) + ψ2 (x,t) = = V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 36 sur 83

37 Distance entre deux nœuds : Rappel : k = 2π / λ Si kx = n π sin (kx) = 0 ψ est nulle à chaque instant nœud de vibration 2π x /λ = nπ x = n λ/2 Les nœuds sont distants de λ/2 Position des ventres : Si kx = π/2 + nπ sin (kx) = amplitude de ψ maximale ventre de vibration 2π x/λ = π/2 + nπ x = λ/4 + n λ /2 Les ventres sont distants de λ/2 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 37 sur 83

38 3 / ONDES STATIONNAIRES La corde de longueur L est maintenant fixée à ses deux extrémités. Un vibreur agite transversalement l extrémité gauche de la corde. Vibreur Réglage de la tension. Tension augmente => c augmente Point d attache m Le point d attache engendre la réflexion de l onde. La superposition de l onde incidente et de l onde réfléchie de même fréquence et de même amplitude, peut engendrer dans certain cas l apparition de nœuds et ventres de vibration. L onde apparaît alors immobile, on parle d ondes stationnaires. Les extrémités attachées imposent les conditions aux limites : ψ(0,t) = 0 et ψ(l,t) = 0 or λ = c/f donc : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 38 sur 83

39 Tension cste c cste f augmente λ = 2L λ = 2L/2 = L λ = 2 L/3 Cette relation montre que : Les ondes stationnaires n apparaissent que : - - f cste T augmente c augmente Modes de vibration d une corde tendue λ = 2L/4 = L/2 λ = 2L/5 Pour une tension de corde donnée, la variation de f fera apparaître successivement les différents modes. Pour une fréquence donnée, la variation de la tension de la corde fera apparaître les différents modes. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 39 sur 83

40 4 / ONDES STATIONNAIRES ET RESONANCE En réalité, compte tenu des réflexions multiples, l amplitude de vibration des ventres est supérieure à 2A. Lors de l apparition du phénomène d ondes stationnaires, il apparaît un mouvement de grande amplitude correspondant à un phénomène de résonance : Les différentes fréquences propres de la corde font penser à la série de Fourier, pour cette raison, le premier mode de vibration en onde stationnaire f1 = c/2l constitue le fondamental. Les fréquences propres multiples sont les harmoniques propres de la corde. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 40 sur 83

41 5 / EXCITATION PAR UN SIGNAL PERIODIQUE QUELCONQUE Le signal d excitation peut être décomposé en série de Fourier. Si la fréquence f du fondamental du signal d excitation correspond à une fréquence propre de la corde, prenons pour simplifier son fondamental : f = c/2l => Onde stationnaire, résonance sur le premier mode Mais l harmonique 2 de l excitation : 2f = 2 c/2l => Apparition du deuxième mode avec une amplitude plus faible du fait de la décroissance de l amplitude de l excitation. Idem pour les harmoniques suivants de l excitation. Amplitude Spectre de l excitation Excitation du 1 er mode Excitation du 2 nd mode Excitation du 3 ème mode La corde entre en résonance aux fréquences c/2l, c/l, 3c/2L f 2f 3f f Superposition des 3 modes Superposition des ondes stationnaires Onde stationnaire complexe Timbre sonore d un instrument de musique On remarque que si on diminue la longueur d une corde (violon) la fréquence augmente => son plus aigu. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 41 sur 83

42 Chapitre 7 ONDES ACOUSTIQUES, ONDES SONORES I NATURE PHYSIQUE DES ONDES ACOUSTIQUES ET SONORES 1 / NATURE PHYSIQUE Les ondes acoustiques sont classées en : Infrasons : f < 20 Hz Ondes sonores : 20 Hz < f < 20 khz => 17,2 m > λ > 1,72 cm Ultrasons : f > 20 khz Hypersons : f > 1 GHz Dans les fluides compressibles, l onde sonore est une onde élastique longitudinale qui modifie la densité du milieu et donc la pression. L onde sonore est donc la propagation d une variation de pression. Il n y a pas de déplacement du fluide, l onde sonore ne produit pas de courants d air ou de débit du fluide! 2 / PRODUCTION D ONDE SONORE Considérons un piston en mouvement sous l effet d oscillations à une fréquence f. Les molécules ne se déplacent pas sur de grandes distances. Elles oscillent légèrement autour d une position moyenne. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 42 sur 83

43 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 43 sur 83

44 L évolution temporelle de la pression et de la position sont en quadrature. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 44 sur 83

45 3 / PRESSION ACOUSTIQUE Soit P 0 la pression dans le fluide au repos Soit P la pression absolue du fluide. La pression acoustique est p = P P 0 Si p > 0 il y a compression du fluide Si p < 0 il y a dilatation du fluide. II VITESSE DE PROPAGATION 1 / HYPOTHESES Une onde sonore est une perturbation mécanique qui modifie les propriétés locales : pression, masse volumique, température et vitesse du milieu dans lequel elle se propage. Par suite : V(x,t) = v(x,t) ρ t (x,t) = ρ 0 + ρ(x,t) P (x,t) = P 0 + p(x,t) Les zones comprimées voient leur température augmenter. On peut considérer les transformations adiabatiques si les variations de volume sont suffisamment rapides par rapport aux temps mis en jeux dans les transferts thermiques entre particules. Ceci est justifié car les fluides sont peu conducteurs de la chaleur. Si on considère le fluide comme parfait, on néglige les phénomènes dissipatifs, les transformations sont alors réversibles. L hypothèse de transformations adiabatiques et réversibles est une hypothèse d iso-entropie des transformations. (transformations isentropiques). V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 45 sur 83

46 2 / EQUATION DE PROPAGATION On considère une onde acoustique qui se propage à la vitesse c selon une direction x. x + ε(x) x + dx + ε(x+dx) x x + dx L équation de propagation est obtenue à partir des deux relations fondamentales de l acoustique : ε(x,t) / x = - χ s p(x,t) p / x = - ρ 0 2 ε(x,t)/ t 2 Equation d Euler (principe fond de la dyn) Equation de continuité (conservation de la masse) Le fluide étant caractérisé par : - sa masse volumique ρ 0 (kg.m -3 ) - son coefficient de compressibilité isentropique χ S = - 1/V [ V/ P] S (Pa -1 ) L équation de propagation s écrit : 0 = x p ρ χ S 2 t p Entropie S constante V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 46 sur 83

47 3 / VITESSE DE PROPAGATION Pour les gaz parfaits : χ S = 1/(γ P) γ = C P /C v = 1,401 pour l air Pour une mole de gaz parfait : PV = RT ρ = M/V Cp : capacité thermique isobare Cv : capacité thermique isochore Ce qui donne : c = R = 8,314 J mol -1 K -1 T température en K M masse molaire en kg mol -1 Pour les gaz : M augmente ρ augmente car le volume molaire est constant V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 47 sur 83

48 4 / SOLUTION DE L EQUATION La solution de l équation de d Alembert est la superposition d une onde progressive et d une onde régressive : p(x,t) = f(t-x/c) + g(t+x/c) Cas sinusoïdal : p(x,t) = P m cos (ωt kx) + P m cos (ωt + kx) Si l onde sonore résulte du déplacement d amplitude A d un piston, l amplitude de la variation de pression est : III IMPEDANCE ACOUSTIQUE 1 / DEFINITION 2A P m = Rappel : En électricité, en régime sinusoïdal, l impédance d un dipôle est définie par : Z = U / I Analogie : U p : pression acoustique I ט : vitesse de déplacement des particules. Pour une onde sinusoïdale, on définit l impédance acoustique du milieu pour relier en un point x la pression acoustique à la vitesse de déplacement des particules : Z(x) = p(x) / ( x )ט V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 48 sur 83

49 2 / PRESSION ACOUSTIQUE ET VITESSE On considère une onde acoustique plane sinusoïdale qui se propage à la vitesse c selon une direction x. Ainsi p(x,t) = P m cos ω(t x/c) = P m cos (ωt kx) => p(x,t) = avec k = ω/c x + ε(x) x + dx + ε(x+dx) x x + dx ε(x,t) / x = - χ s p(x,t) (Equation d Euler Cf p 46) ε(x,t) = - χ s p(x,t) dx => ε = - χ s P m e j(ωt kx) dx = - χ s P m e j(ωt kx) / (- jk) or χ s = 1/(ρ 0 c 2 ) et k = ω/c entraîne : D où la vitesse : ε (x,t) = ט (x,t) = ε/ t = Pression acoustique et vitesse sont en phase Pression acoustique et déplacement sont en quadrature V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 49 sur 83

50 3 / EXPRESSION DE L IMPEDANCE ACOUSTIQUE En un point x : Z(x) = p (x,t) / ( x,t )ט = ρ 0 c = (ρ 0 /χ s ) Dans le cas d une onde progressive plane, l impédance acoustique est constante et la même en tout point dans la direction de propagation. Cette impédance est appelée impédance caractéristique Z c du fluide. S exprime en Pa s m -1 ou N s m -3. L impédance acoustique augmente quand la densité du milieu augmente L impédance acoustique augmente quand la compressibilité diminue Pour P m donnée, quand Z augmente, l amplitude de la vitesse diminue. L impédance acoustique caractérise en quelque sorte l aptitude du milieu à diminuer la vitesse pour une surpression donnée. Ordre de grandeurs : ρ 0 = 1,21 kg m -3 γ = 1,402 T = 20 C = 293,15 K P atm = 10 5 N/m 2 M = ρ 0 / V M = 1,21. 0,0224 = 27,1 g V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 50 sur 83

51 IV ENERGIE ACOUSTIQUE x + ε(x) x + dx + ε(x+dx) ε x x + dx 1 / ENERGIE CINETIQUE Ec = ½ m ( ε/ t ) 2 = ½ ρ 0 V ( ε/ t ) 2 Densité volumique d énergie cinétique : E c =½ ρ 0 ( ε/ t ) 2 2 / ENERGIE POTENTIELLE dep = - F. dε = - p S dε = - p dv dv = - χ s V dp dep = p χ s V dp Ep = χ s V p dp = χ s V p 2 / 2 Densité volumique d énergie potentielle : E p χ s p 2 / 2 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 51 sur 83

52 3 / ENERGIE MECANIQUE TOTALE Densité volumique d énergie : E = ½ ρ 0 ( ε/ t ) 2 + χ s p 2 / 2 Cas d une onde progressive plane harmonique : E = 1/(ρ 0 c 2 ) P m 2 e 2j ( ωt kx) => E = 1/(ρ 0 c 2 ) P m 2 cos 2 ( ωt kx) En moyenne : < E > = P m 2 /( 2 ρ 0 c 2 ) L onde sonore propage une énergie capable de mettre en mouvement la membrane d un micro ou du tympan. L énergie est liée au carré de l amplitude de la pression acoustique. V INTENSITE ACOUSTIQUE DE L ONDE 1 / DEFINITION Intensité acoustique en W m 2 : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 52 sur 83

53 2 / EXPRESSION EN FONCTION DE LA PRESSION ACOUSTIQUE P = de / dt Energie mise en jeux : de = E. volume = E S c dt c c dt D où : P = E S c => I = P /S = E c or E = 1/(ρ 0 c 2 ) P m 2 cos 2 ( ωt kx) 2 = 1/(ρ 0 c ) P m cos 2 ( ωt kx) En moyenne : < I > = I s exprime en W/m 2 < I > = Remarques : Pour une même amplitude de pression acoustique, l intensité sonore augmente quand l impédance caractéristique du milieu diminue (par exemple quand la densité du milieu diminue.) => Les matériaux d isolation sonore ont une forte densité. => Les isolants multicouches utilisés dans le bâtiment sont valables pour l isolation thermique mais pas bons pour l isolation phonique! 3 / EVOLUTION AVEC LA DISTANCE Pour une source sonore émettant une puissance P e dans tout l espace et ainsi source d ondes sphériques, l intensité acoustique à la distance d est : I = P e /4πd 2 et décroît avec le carré de la distance. Ainsi un capteur de surface s à distance r d une source reçoit une puissance : V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 53 sur 83

54 Chapitre 8 PERCEPTION DES SONS I CONSTITUTION ET PROPRIETES DE L OREILLE 1 / CONSTITUTION 1 - Partie osseuse 2 - Pavillon 3 - Conduit auditif 4 - Tympan 5 - Marteau 6 - Enclume 7 - Etrier 8 - Trompe d'eustache 9 - Cochlée 10 - Nerf auditif V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 54 sur 83

55 2 / DESCRITION A - L'oreille externe : C est la seule partie visible de l oreille humaine. Elle prend la forme d un pavillon qui va collecter les sons et canaliser sa transmission par le conduit auditif jusqu au tympan. Ce dernier fonctionne comme la partie supérieure d un tambour : il se met à vibrer au contact des ondes sonores. Au niveau du CAE (conduit auditif externe) s accumule le cérumen, produit par le corps, qui permet de protéger le tympan. B. L'oreille moyenne : Elle est composée d une chaîne de trois osselets, les plus petits du corps humain : tout d'abord, le marteau rattaché sur l autre face du tympan, puis l enclume et enfin, l étrier en relation avec la cochlée. Leur rôle est de transformer les ondes acoustiques en ondes vibratoires (de la même manière qu un micro) et de les acheminer vers l oreille interne. C. L'oreille interne : C'est la partie complexe du système auditif. En effet, les vibrations sonores pénétrant dans la cochlée (en forme d escargot) provoquent la transmission d une onde dans l organe auditif rempli de fluide. Ce mouvement met en action les cellules ciliées qui émettent alors un signal électrochimique au nerf auditif. Au bout de cette chaîne, ce signal est renvoyé vers le cerveau qui le perçoit comme un son. 3 / PROPRIETES Le système auditif humain est sensible à des fréquences allant de 20 Hz à un maximum d'environ Hz. Mais l'étendue des fréquences audibles diminue avec l'âge du fait de la presbyacousie. Dans cette gamme de fréquences, l'oreille humaine est plus sensible entre 1 et 5 khz. Cela est dû principalement à la résonance du canal auditif et à la fonction de transfert des osselets dans l'oreille moyenne. L oreille est particulièrement sensible aux fréquences autour de 3 khz. Plus de sensibilité à basse fréquence entraînerait la perception des bruits internes liés au fonctionnement interne du corps humain. II HAUTEUR DU SON f augmente hauteur du son augmente La hauteur du son est liée à sa fréquence : Cependant pour deux sons de même fréquence, le plus intense semblera plus aigu. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 55 sur 83

56 III TIMBRE L oreille permet de faire la distinction entre deux même notes (même hauteur, donc même fréquence) de même intensité sonore jouée par deux instruments différents. Chaque instrument a son propre timbre lié au spectre des sons qu il émet. La décomposition en série de Fourier indique : + y(t) = Y 1 cos (ωt + ϕ 1 ) + Y n cos (nωt + ϕ n ) n=2 Fondamental : fréquence la plus basse Harmoniques physiques : fréq multiples Un instrument de musique est plus complexe. Sous harmoniques : modulations, vibratos Fondamental : hauteur de la note Exemple : son d une cloche! + Harmoniques : Timbre Harmoniques musicaux : pas forcément multiples. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 56 sur 83

57 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 57 sur 83

58 IV NIVEAU SONORE OU NIVEAU D INTENSITE SONORE (SL - SPL) 1 / CONSTAT L oreille permet d entendre les ondes ayant des intensités sonores variant dans des proportions considérables : de à 1 W m -2. On constate : I 2 I x 2 I 10 I x 10 I 1 x n n I 1 I 2 x n n I 2 Ces constatations montrent que l oreille est un détecteur de niveau sonore qui fonctionne logarithmiquement. La sensation sonore doit donc être chiffrée par une grandeur logarithmique. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 58 sur 83

59 2 / DEFINITION : Niveau d intensité ou niveau sonore (SL) Le niveau d intensité sonore (Sound Level : SL) d une onde est le nombre de multiplications par 10 nécessaires pour obtenir sa valeur à partir du seuil d audibilité I 0 = W m -2. Il s exprime en Bel. Ainsi le niveau d intensité sonore se définirait par L = log I/I 0 et s exprimerait en Bels. On utilise en réalité le décibel comme unité. D où la définition : 3 / DEFINITION : Niveau de pression sonore (SPL) S exprime en db SL La grandeur mise en jeux n est plus l intensité mais la pression efficace. Or I = P 2 / ( ρ 0 c) d où L = 10 log [ P 2 / ( ρ 0 c) ] / [ P 0 2 / ( ρ 0 c) ] = 10 log [ P 2 / P 0 2 ] = 20 log [ P/ P 0 ] Avec P 0 = (I 0 ρ 0 c ) = 20 µpa (efficace) Le niveau de pression sonore (Sound Pressure Level : SPL) d une onde est défini par : S exprime en db SPL V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 59 sur 83

60 4 / REMARQUES Ne pas confondre avec les db utilisés en électronique pour caractériser un quadripôle. E Quadripôle (ampli/filtre) S G = 20 log S max / E max Pas de référence fixe Comparaison de deux tensions. V VOLUME SONORE La sensation auditive de volume sonore est subjective et dépend du spectre de fréquence en jeux, de la durée de l exposition et de l intensité du son. Ces notions seront développées ultérieurement et sont du domaine de la psycho-acoustique. 1 / REPONSE AUDITIVE L'unité de mesure de niveau de son est le phone. Deux ondes sinusoïdales d'égal phone correspondent au même niveau sonore pour l'oreille humaine. Etablies en 1933 par Fletcher et Munson, revues en 1956 par Robinson et Dadson et base du standard ISO226, actualisées en 2003 pour donner la nouvelle norme ISO226:2003 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 60 sur 83

61 Courbes isosoniques V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 61 sur 83

62 2 / SEUIL D AUDIBILITE La courbe 2 représente le seuil d audibilité : intensité acoustique minimale audible. Il dépend de la fréquence. Le niveau sonore correspondant est de 0 phone 1000 Hz Amplitude vibration : 1 µm 0 db SPL P 0 = Pa = Bar I = W m -2 3 / SEUIL DE LA DOULEUR La courbe 1 représente le seuil de la douleur : intensité acoustique maximale au-delà de laquelle l oreille subit des lésons irréversibles. Il dépend de la fréquence dans de moindres proportions que le seuil d audibilité. Le niveau sonore correspondant est de 120 phones Hz Amplitude vibration : 10 µm 120 db SPL P 0 = 20 Pa = Bar I = 1 W m -2 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 62 sur 83

63 4 / CONSEQUENCES A faible niveau sonore, les graves et les aigus sont très mal perçus. Sur les appareils de reproduction sonore, on utilise un correcteur physiologique «loudness» pour compenser ce phénomène. Ce correcteur n a d utilité qu à faible niveau d écoute. Les instruments de mesure (sonomètres) possèdent des corrections (appelées pondérations) permettant de compenser ce phénomène. (Voir module acoustique du semestre 4). VI OPERATIONS SUR LES db 1 / SUPERPOSITION DE DEUX SOURCES SONORES Source A I A L A I = I A + I B L L A + L B Source B I B L B On additionne les W/m 2 On n additionne pas les db V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 63 sur 83

64 Calcul du niveau sonore résultant : L A = 10 log [ I A /I 0 ] => I A = I 0 10 L /10 A L B = 10 log [ I B /I 0 ] => I B = I 0 10 L /10 B L = 10 log [ (I A + I B )/I 0 ] L = 10 log ( 10 L A / L B /10 ) 2 / SOURCES SONORES IDENTIQUES NON COHERENTES Sources sonores identiques : I A = I B => L = L A + 3 db Démonstration : L = 10 log [ (2 I A )/I 0 ] = 10 log log [ I A /I 0 ] = 3 + L A V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 64 sur 83

65 Chapitre 9 ONDES STATIONNAIRES DANS UN TUBE I PRINCIPE L air comme le fil tendu agité à une de ses extrémité peut être le siège d ondes stationnaires. Pour cela il doit être contenu dans une cavité résonante de forme quelconque. Les instruments de musique utilisent souvent une cavité résonante pour amplifier le son. Excitation : large bande de fréquences Anche vibrante Lèvres Jet d air Cordes vocales Bois Cuivres Orgues Flutes Voix Seules subsistent et s amplifient les fréquences générant des ondes stationnaires résonantes. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 65 sur 83

66 Différentes configurations sont possibles pour un tuyau sonore : Ouvert Ouvert Orgue / Flute P = Pa p = 0 Nœuds de pression Ventres de déplacement P = Pa p = 0 Fermé Ouvert Cuivre / Bois p = maxi P = Pa p = 0 Ventre de pression Noeud de déplacement Nœud de pressions Ventre de déplacement V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 66 sur 83

67 II MODES DE VIBRATION 1 / TUBE OUVERT-OUVERT Mode Fondamental : Pression acoustique Pour la pression acoustique, ce cas est identique à celui de la corde attachée aux 2 extrémités λ/2 = L Harmonique 2 : déplacement Pression acoustique λ = L n ième mode : λ n = 2L/n f n = n c / (2L) V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 67 sur 83

68 2 / TUBE FERME-OUVERT Mode Fondamental : Pression acoustique λ/4 = L λ = 4L Harmonique 2 : Pression acoustique λ/2 = 2L/3 λ = 4L/3 n ième mode : λ n = 4L/(2k+1) f n = (2k+1) c / (4L) k = n - 1 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 68 sur 83

69 3 / TUBE FERME-FERME Mode Fondamental : Pression acoustique Harmonique 2 : λ/2 = L Pression acoustique λ = L n ième mode : λ n = 2L/n f n = n c / (2L) V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 69 sur 83

70 III - REFLEXION TOTALE 1 / RAPPEL DU PHENOMENE ψ(x,t) = A cos (ωt kx) + A cos (ωt + kx + ϕ r/i ) Rappel du phénomène étudié dans le cas de la corde vibrante : La superposition de deux ondes de même amplitude progressant en sens inverse engendre la formation d ondes stationnaires. 2 / REMARQUE SUR ϕ r/i Extrémité ouverte : Nœud de pression => ϕr/i = π pour la pression acoustique Ventre de déplacement => ϕr/i = 0 pour le déplacement Extrémité fermée : Ventre de pression => ϕr/i = 0 pour la pression acoustique Nœud de déplacement => ϕr/i = π pour le déplacement 3 / DEMONSTRATION GRAPHIQUE Etudions le cas du tube fermé à ces deux extrémités et observons la pression acoustique : p(x,t) = A cos (ωt kx) + A cos (ωt + kx) Chaque sinusoïde peut être représentée par un vecteur de Fresnel : I = [A, -kx ] et R = [A, kx ] V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 70 sur 83

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72 kx = 0 + nπ P max = 2A => L amplitude est maxi : Ventre de vibration. R P I kx = quelconque I R kx -kx P kx = π/2 + nπ P max = 0 => L amplitude est nulle : Noeud de vibration. R I V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 72 sur 83

73 4 / CONCLUSION Tube fermé aux deux extrémités. Etude de l onde stationnaire de pression acoustique : Position des ventres : kx = nπ x = n π / k x = n λ/2 Rappel : k = 2π/λ Position des noeuds : kx = π/2 + nπ x = π /2k + nπ/k x = λ/4 + n λ/2 Pression acoustique λ/4 λ/2 λ/2 IV TAUX D ONDES STATIONNAIRES En réalité la réflexion totale n est pas très réaliste. Il y a toujours une partie de l onde incidente qui est absorbée voire transmise. Onde incidente Onde réfléchie Onde transmise Une partie absorbée V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 73 sur 83

74 Ainsi l expression de l onde résultante est : ψ(x,t) = A i cos (ωt kx) + A r cos (ωt + kx + ϕ r/i ) Le coefficient de réflexion est défini par : r = A r / A i Si r = 1 => Ai = Ar => Ondes stationnaires Si r = 0 => Ar = 0 : pas de réflexion, onde progressive incidente Si 0 < r < 1 => Cas intermédiaire : onde progressive et onde stationnaire se superposent. On définit le Taux d Ondes Stationnaires : TOS = P max (ventre) / P min (nœud) = (1+r)/(1-r) Le TOS est aussi appelé Rapport d Ondes Stationnaires (ROS). V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 74 sur 83

75 Chapitre 10 QUELQUES PHENOMENES I PHENOMENE DE BATTEMENT 1 / ADDITION DE DEUX SINUSOIDES DE MEME FREQUENCE u 1 s u 1 (t) = U max sinωt + u 2 u 2 (t) = U max sin(ωt + ϕ) s = u 1 + u 2 Si ϕ = 0 : U 1 S U 2 u 1 et u 2 en phase s est sinusoïdal Amplitude 2U max Si ϕ = π/2 : U 2 S u 1 et u 2 en quadrature s est sinusoïdal Amplitude U max 2 U 1 Si ϕ = π : U 2 S U 1 u 1 et u 2 en opposition de phase s est nul V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 75 sur 83

76 2 / ADDITION DE DEUX SINUSOIDES DE FREQUENCES VOISINES u 1 u 2 + s u 1 (t) = U max sinω 1 t u 2 (t) = U max sinω 2 t s = u 1 + u 2 a) expression instantanée s(t) = U max sin ω 1 t + U max sin ω 2 t or : ω 2 = ω 1 + ω d où : s(t) = U max sin ω 1 t + U max sin (ω 1 + ω)t s(t) = U max sin ω 1 t + U max sin (ω 1 t + ω t ) ϕ = ω t Dans la représentation de Fresnel du I, le vecteur U 2 tourne par rapport à U 1 à la vitesse angulaire ω. Le signal somme voit son amplitude varier dans le temps à la pulsation ω d autant plus faible que ω 1 est proche de ω 2. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 76 sur 83

77 b) Chronogrammes u 1 (t) t u 2 (t) t En phase En opposition de phase En phase En opposition de phase s(t) 2U max t Modulation d amplitude à porteuse supprimée. Fp = (f1 + f2)/2 Fm = (f2 f1)/2 V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 77 sur 83

78 c) Calcul s(t) = U max sin ω 1 t + U max sin ω 2 t = 2U max cos [(ω2 -ω1)t/2] sin[(ω1 + ω2)t/2] Rappel : sin p + sin q = 2 cos[(p-q)/2] sin [(p+q)/2] Amplitude modulée Porteuse U m Spectre de s = Porteuse x Modulant f 1 f 2 f (f 1 + f 2 )/2 f (f 1 - f 2 )/2 f d) Application Accord d instrument de musique V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 78 sur 83

79 II EFFET DOPPLER 1 / SOURCE S APPROCHE DE L OBSERVATEUR C C vitesse de propagation de l onde V s vitesse de déplacement de la source C λ Observateur au repos λ : longueur de l onde sonore émise par la source immobile f : fréquence de l onde sonore émise par la source immobile T : période de l onde sonore émise par la source immobile λ : longueur de l onde sonore perçue par l observateur f : fréquence de l onde sonore perçue par l observateur V s λ Observateur au repos Lorsque la source s approche de l observateur, la longueur d onde perçue par celui-ci diminue : On a λ = CT V s T = (C-V s )T => f = C / λ = C / ( C V s ) T = f / (1 V s /C) Source avance => λ diminue => f augmente V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 79 sur 83

80 2 / SOURCE S ELOIGNE DE L OBSERVATEUR C Observateur au repos V s Lorsque la source s éloigne de l observateur, la longueur d onde perçue par celui-ci augmente : On a λ = CT + V s T = (C+V s )T => f = C / λ = C / ( C + V s ) T = f / (1 + V s /C) Source s éloigne => λ augmente => f diminue V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 80 sur 83

81 3 / SOURCE ET OBSERVATEUR EN MOUVEMENT a) Premier cas C On a toujours λ = (C V s ) T La vitesse de propagation de l onde par rapport à l observateur est : C + V o V s λ V o Observateur en mouvement Ainsi la fréquence perçue par l observateur devient : f = (C + V o ) / λ = (C + V o ) / [ (C V s ) T ] b) Deuxième cas Observateur en mouvement V o C V s On a toujours λ = (C + V s ) T La vitesse de propagation de l onde par rapport à l observateur est : C - V o Ainsi la fréquence perçue par l observateur devient : f = (C - V o ) / λ = (C - V o ) / [ (C + V s ) T ] V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 81 sur 83

82 c) Généralisation Il suffit de prendre les valeurs algébriques des vitesses V o, V s et c sur un axe orienté 4 / DEPLACEMENT DANS DES DIRECTIONS DIFFERENTES V o cos θ o V o θ o V s θ s V s cos θ s f = f (1 - V o cos θ o /C ) / (1 - V s cos θ s /C) V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 82 sur 83

83 III ONDE DE CHOC Une source sonore se déplace à la vitesse V. La distance parcourue entre les instants t 2 et t 1 est S 1 S 2 = V (t 2 t 1 ) Le rayon de l onde émise en S 1 à l instant t 1 est à l instant t 2 : R = C (t 2 t 1 ) S 1 S 2 t 1 t 2 V Si V < C alors les ondes sont reçues successivement et dans le bon ordre : V Si V > C alors les ondes sont reçues en même temps : P θ V S 1 S 2 S 3 S 4 S 1 P = C (t 4 t 1 ) S 1 S 4 = V (t 4 t 1 ) Sin θ = C/V = 1/n n est le nombre de mach Les ondes sont reçues en même temps. Il y a accumulation d énergie sur le front de cette onde appelée onde de choc. V. Chollet - Acoustique-1-12-trous - 04/10/2013 Page 83 sur 83