HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR

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1 INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES CVG 2516 HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR 3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes Magnitude et direction de la force hydrostatique Surface horizontale df = pda (sur une surface différentielle) F = A pda (sur la surface totale) surface horizontale d aire A obs: le point d application de la force totale F est au centroïde de la surface A, (x, y) - qui est identique au centre de pression (x cp, y cp ) Surface inclinée df = γysinα da F = γsinα A yda le premier moment de la section A F = γ y sinα A La force hydrostatique F = pa ou pest la pression au centroïde de la surface y (x, y) (x cp, y cp ) x 1

2 3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes Magnitude et direction de la force hydrostatique Calcul du centre de pression: en général, il se trouve en dessous du centroïde parce que la pression augmente avec la profondeur. Sur l axe y, y cp où est le deuxième moment de la section par rapport à l axe x (0-0). L équation de transfert: où est le moment d inertie par rapport à l axe horizontale du centroïde (parallèle a 0-0) 3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes Magnitude et direction de la force hydrostatique Sur l axe x, x cp où est le produit d inertie par rapport au système des axes (x, y). L équation de transfère: où est le produit d inertie par rapport aux axes du centroïde. (Rappel: et quand l axe y et un axe de symétrie, dans notre cas) 2

3 3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes Exemple: une vanne elliptique couvre l entrée d un conduit de 4m de diamètre. La vanne contient une charnière au niveau supérieure. Quelle force est nécessaire pour ouvrir la vanne si la profondeur de l eau au-dessus est de 8m (entre la surface libre est la position de la charnière).(ne pas tenir compte du poids de la vanne) calcul de la force hydrostatique (dimensions géométriques de l ellipse: diamètre majeur et F = pa; F =10m x γ eau x A (A = πab) = 1.541MN calcul des coordonnées du centre de la pression y cp - y = 0.125m. à l équilibreσm charnière =0; mineur de 5m et de 4m, respectivement) et =12.5m? y ( distance oblique ) F x 2.625m F x 5m = 0 F = 809kN F (x cp,y cp ) (x, y) 3.5 Les forces hydrostatiques sur des surfaces courbes En pratique, le but c est de modeler la force créée par la pression avec une force équivalente appliquée au centre de la pression. Une approche plus facile, est d analyser les forces dans le diagramme du corpslibre. Exemple: AB est un arc circulaire de 2m de rayon et de 1m de largeur. Calculez la magnitude et la direction de la force hydrostatique exercée sur la surface AB. F x =F AC = pa =5m x γ eau x 2m 2 = 98.1kN F y =W+F CB ; F CB = A = γ eau x 4m x 2m 2 =78.5kN; p o W = γ eau x V ABC =30.8kN; 2m D E 4m C F y =W + F CB =109.3kN; 3

4 3.5 Les forces hydrostatiques sur des surfaces courbes les coordonnées du centre de la pression y cp pour la composante horizontale y cp =5.067m D 2m E 4m C x cp pour la composante verticale (ΣM C =0) x cp F y =F BC x 1m+W x x (annexe A.1) W x cp =0.957m x w = 4r 3π Donc, la force hydrostatique a une magnitude, F, de 146.9kN et une direction, θ, de 48 o 3.6 Principe de la flottabilité Le principe d Archimède: un objet submergé dans un fluide est poussé vers le haut par une force égale au poids du volume d eau disloqué par l objet. F =γ(v b +V a ), ou V b le volume de l objet ABCD V a le volume d eau au-dessus de l objet (ABCFE) F = γv a, F B =F -F = γv b F F B F 4

5 3.6 Principe de la flottabilité Exemple:Dans un réservoir plein d eau, un morceau de métal est suspendu par un fil très mince attaché à un morceau de bois qui flotte. Trouvez la masse m 2 du morceau de métal et la tension dans le fil d ancrage. (S 1 =0.3, dim. bois: 50x50x10mm, V 2 =6600mm 3 ) Objet 1: T=F B1 - W 1 ;F B1 = γv D1 = N T= N W 1 = γ 1 V 1 = γs 1 V 1 = N Objet 2: W 2 =T+F B2 ;F B2 = γv D2 = N F B1 W 2 = N m 2 = W 2 /g =? W 1 +T F B2 +T W Principe de la flottabilité L hydromètre -instrument de mesure pour le poids spécifique des liquides, γ. W hydrom. = γ f V = γ eau V o ; γ f =Sγ eau, V = V o - h a, ou a est l aire de la section du tube γ eau V o =Sγ eau (V o - h a) :γ eau V o /S = V o ha 1. h = V o /a (S-1)/S pour faire la calibration avec Marque de calibrage des liquides dont les poids spécifiques sont connus 2. S = (V o ha)/ V o pour calculer les poids spécifiques h γ f 5

6 3.7 Stabilité des objets immergés et flottants Objets immergés La stabilité d un objet immergé dépend de la position relative du centre de gravité (G) et le centre de flottabilité (C) (= centroïde du volume déplacé par l objet). (a) (b) (c) centre de flottabilité au-dessus du centre de gravité stabilité centre de flottabilité coïncide avec centre de gravité stabilité neutre centre de flottabilité au-dessous du centre de gravité instabilité 3.7 Stabilité des objets immergés et flottants Objets flottants Le centre de flottabilité peut prendre différentes positions par rapport au centre de gravité. le centre de flottabilité C est au-dessous du centre de gravité G stabilité ou instabilité? définitions: M - le métacentre: l intersection entre les directions de la force de flottabilité avant et après un tangage GM - hauteur métacentrique GM = I 00 /V-CG, I 00 - le second moment de la section par rapport à la ligne de flottaison V -le volume total disloqué GM >0 GM <0 stabilité instabilité 6

7 3.7 Stabilité des objets immergés et flottants Objets flottants Exemple: Un bloc de bois de 30cm 2 dont la section est de 60cm de longueur pèse 32.4kg. Est-ce qu il va flotter s il a la forme présentée dans le schéma ci-après? calcul de la profondeur d immersion ΣF v = F B - W = 0 γv - mg = 0 γ x 0.3x0.6xd -mg = 0 d = 0.18m calcul de la stabilité par rapport à l axe longitudinal GM = I 00 /V-CG = = cm < 0 instabilité ( 15 9) calcul de la stabilité par rapport à l axe transversal GM = ( 15 9) = cm >0 stabilité Sommaire Les forces hydrostatiques sur - les surfaces planes - les surfaces courbes Le principe de flottabilité (la loi d Archimède) - l hydromètre Stabilité des objets immergés et flottants 7