Visualisation 3D. Principes mathematiques. Christian NGUYEN. Departement d informatique Universite de Toulon et du Var. Visualisation 3D p.

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Émile Beauchemin
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1 Visualisation 3D Principes mathematiques Christian NGUYEN Departement d informatique Universite de Toulon et du Var Visualisation 3D p.1/24

2 Transformations géométriques Visualisation 3D p.2/24

3 Transformations simples Translation Rotations autour de l axe autour de l axe Visualisation 3D p.3/24

4 ! (! + Déformations Formule générale : ' & #%$ ' &( #*)! ' &+ #-, Une dilatation est une forme particulière de déformation. Visualisation 3D p.4/24

5 .! + Effilement (tapering) suivant &'.( ( &' ( +!! ( Visualisation 3D p.5/24

6 ! 10/! (! + 10/ Visualisation 3D p.6/24 Torsion (twisting) autour de : grandeur de torsion, fonction de la distance. '&+. ''& &.( ''& &.( ( ''& &.( 2+ ''& &.(

7 Courbure, pliure (bending) Transformation composite (rotation, translation). Exemple : Visualisation 3D p.7/24

8 ! 16 '! 16 ( 6 ' 16 6 ' : ; 6 10/ ' ' ; 6 : 10/! + 6 ' ' : ; 6 10/ 6 Courbure, pliure (bending) =(?> =( ( 2(8< ' ; 6 &: + ( ( &: 2/0 1 ( 2(8< ' ; 6 &: A(> ( (?> &: 2/0 1 ( 2(8< ' ; 6 &: =(?> =( ( 2; & ( ( &:( ; & + &:( 354 & A(?> ( (?> 21 2; Visualisation 3D p.8/24

> =( ( 2(8< ' ; 6 &: + 354 @( ( ( &: 2/0 1 ( 2(8< ' ; 6 &: + 354 78797879797879787

9 Projection Visualisation 3D p.9/24

10 Projection simple On utilise trois systèmes de coordonnées (eyes) et à. G C BDF (screen). On suppose ici que BDC (world), BDE G E est colinéaire Yw Ys Ow Xw Zw Os Xs Ye De Ze Oe Xe Visualisation 3D p.10/24

11 Projection simple Trois étapes : 1. changement de repère : du système de coordonnées global ( ( BDE ) : B C ) au système de coordonnées lié à la caméra C ( C ( E E B C BHE 2 + 6C + E Visualisation 3D p.11/24

12 + F Projection simple 2. projection : parallèle, on ignore la coordonnée en point : de chaque E ( E ( F Visualisation 3D p.12/24

13 PPOO NNMM TTSSS Projection simple perspective, on tient compte de la coordonnée. La vue en coupe, selon le plan montre que les triangles K BDE!L F et ' G E &I EJ sont similaires : KL E BDE + E Ye Ys Ps Pe Oe Ze Q Os Q OwRRQQ Visualisation 3D p.13/24

14 F Visualisation 3D p.14/24 Projection simple ' G E &I EJ : Soit, dans le plan ( E V + E U E ( F soit ( E + E ( F U E ' G E &W EJ : De même pour le plan E V + E U E soit E + E F U E + E + F

15 F L [ 6 Projection simple 3. formatage des coordonnées en fonction de la résolution de l écran. En considérant que l origine de l écran est un point situé au centre de cet écran, les formules de projection et de mise à l echelle deviennent : ' XDZYJ &X B F Y X2 E V + E U E XDZ 2 ( E V + E U E ( F D où le pipe-line 3D première version : [ 6 ' + C ( CJ & CJ changement de repère ' ( F & FJ L F ' projection + E ( EJ & EJ L E Visualisation 3D p.15/24

de mise à l echelle deviennent : ' XDZYJ &X B F Y X2 E V + E U E XDZ 2 ( E V + E U E ( F D où le pipe-line 3D

16 # ^ ' ' $ayj a Projection générale Dans le cas général, la caméra est située à un endroit (from) dans le repère de la scène, et pointe vers un endroit (at) toujours exprimé dans ce même repère. ' +\ (\J & ]\J ' + $ ( $J & $J B C Paramètres de visualisation (projection et découpage) : 2 points : PRP (Projection Reference Point) et VRP (View Reference Point), 2 vecteurs : VPN (View Point Normal) et VUP (View Up Vector), 6 scalaires : et partition du plan de projection, plans de coupe avant et arrière. &`_ ebdca bdcj &`_ et définissant une les distances des e a$ Y f ) f \ Visualisation 3D p.16/24

$' +\ (\J & ]\J ' + $ ( $J & $J B C Paramètres de visualisation (projection et découpage) : 2 points : PRP (Projection Reference Point) et VRP (View$

17 e _ L hg &gl 6 L hg! _ m _ i Lg p _ e Projection générale On définit et les deux autres vecteurs du modèle de caméra à partir de la projection de VUP sur le plan de projection défini par VPN : i Lg ' l ikj n om on Visualisation 3D p.17/24

18 t wx yz Projection générale Le calcul de la matrice de changement de repère fait alors intervenir trois rotations en plus de la classique translation [Newman79] : translation du repère, rotation autour de l axe projection parallèle dans le plan du vecteur défini par les deux points F et A, qsr au point u r afin d aligner l axe { v y v r du repère avec la A h1 Pz Ow Xw Px α Oe Xe Ze Zw Visualisation 3D p.18/24

autour de l axe projection parallèle dans le plan du vecteur défini par les deux points F et A, qsr au

19 Projection générale rotation du repère, qsr autour de l axe x r Ye Ze h1 h2 θ Oe Xe Visualisation 3D p.19/24

20 Projection générale inclinaison de la caméra le long de son axe verticale changement de signe, qui permet de transformer le repère intialement direct, en un repère indirect. u r ), v r (modification de la, q r Composées, ces cinq transformations donnent la matrice de changement de repère finale. Les autres phases du pipeline graphique (la projection) restent les mêmes. Visualisation 3D p.20/24

u r ), v r (modification de la, q r Composées, ces cinq transformations donnent la matrice de

21 Fenêtrage Visualisation 3D p.21/24

22 Fenêtrage Cette opération passe d abord par la définition d un volume de visualisation. Visualisation 3D p.22/24

23 Fenêtrage Calcul de l intersection des segments de droites avec chacun des 6 plans définissant le volume de vue (transpositions directes des algorithmes en 2D de Cohen-Sutherland, Sutherland-Hodgman,...). projection parallèle : > J (> 6J ( 6 + a$ Y +?> + a bdcj + Visualisation 3D p.23/24

24 Visualisation 3D p.24/24 Fenêtrage projection perspective : + > + 6J + (}> + 6J ( + a$ Y +> bdcj + a +

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