Circuits électriques

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1 Préparation à l agrégation de Sciences-Physiques ENS Physique Circuits électriques R. Journeaux, Electricité, électronique, optique. Berty, Electricité pratique, tome I H-PREPA Electronique-Electrocinétique II, 1ère année PCSI-PTSI. (ancienne édition) H-PREPA Electronique I, 2eme année PSI. (ancienne édition) N. Ischinose, T. Kobayashi, Guide pratique des capteurs, Masson (1990).

2 1 Ce polycopié présente quelques expériences simples d électronique, notamment des méthodes de mesure classiques et en cela importantes à retenir (mesure d une résistance à 4 points, notion d impédances de sortie et d entrée...). Il peut vous être plus particulièrement utile pour les montages : 17. Métaux ; 19. Condensateurs, effets capacitifs ; 20. Induction, Auto-induction; 23. Capteurs et transducteurs ; 24. Mesures électriques ; 39. Phénomènes de transport ; 40. Phénomènes dissipatifs ; I) Sources et appareils de mesure 1) Mesure d une tension efficace à l aide d un voltmètre numérique Les voltmètres alternatifs analogiques (à redresseur) donnent la valeur efficace uniquement pour des signaux sinusoïdaux ; pour d autres types de signaux périodiques, il faut appliquer un coefficient correctif (parfois appelé facteur de forme). Les voltmètres numériques mesurent en général la valeur efficace (dite aussi RMS pour Root Mean Square = v 2 1/2 ) quelle que soit la forme du signal. Si la tension v = v DC + v AC (t) : en position AC+DC (sur certains voltmètres) : on lit V eff = (v 2 DC + v 2 AC ) 1/2 en position DC : on lit v DC en position AC : on lit V eff,ac = v 2 AC 1/2. Envoyer sur l oscilloscope et le voltmètre un signal alternatif + décalage à partir d un générateur basse fréquence (GBF ou BF). Comparer V eff,ac et l amplitude mesurée à l oscilloscope pour différents types de signaux. Pour les relations entre valeur efficace, valeur moyenne, facteur de forme des différents signaux voir Berty, pages ) Impédances d entrée et de sortie Journeaux, chap.7, pp a) Mesure de l impédance d entrée d un oscilloscope L impédance d entrée de l oscillo est une résistance R en parallèle sur une capacité C. Fixer V e. Mesurer l amplitude V 0 du signal sur l oscilloscope pour R = 0. Augmenter R jusqu à ce que V 0 soit divisée par 2. On a alors R = R. En considérant le déphasage entre V e et V 0 vérifier que la capacité joue un rôle négligeable ; sinon, réduire la fréquence. Pour mesurer la capacité C remplacer R par un condensateur variable C et procéder comme précédemment à fréquence suffisamment élevée. Note 1 : la capacité mesurée inclut celle du câble coaxial qui vaut 100 pf par mètre et qui est en parallèle. Elle s ajoute donc à la capacité d entrée de l oscilloscope. Note 2 : pour mesurer C on peut aussi se dispenser du condensateur C et se servir de R à fréquence élevée. Attention cependant lorsque R = 1/Cω le signal est divisé par 2, non par 2.

3 2 R' oscillo V e ~ R C b) Mesure de la résistance de sortie d un générateur basse fréquence On suppose dans tout ce paragraphe que l impédance de sortie du BF est une résistance pure 1. 1ère méthode Cette méthode, très simple dans son principe, a l inconvénient de faire débiter un fort courant au générateur. mesurer V 1 lorsque R est infinie. on a alors V 1 = e s. ajuster R pour avoir V 1 = e s /2. S il y a distorsion, réduire e s. 2ème méthode Cette méthode consiste à réaliser une adaptation d impédance. Lorsque la charge (ici la résistance R) est adaptée, elle reçoit un maximum de puissance de la source. Dans le cas présent où on suppose l impédance du générateur purement résistive, cela revient à étudier P = V 1 2 R = R (r s + R) 2e2, courbe qui atteint son maximum en R = r s. 3ème méthode Cette mesure est directement basée sur le théorème de Thévenin (voir figure ci-dessous). Pour l effectuer il faut tout d abord annuler la f.e.m. du BF que l on veut étudier (ne pas l éteindre, mettre le bouton du niveau de sortie sur 0). On utilise ensuite un BF auxiliaire (noté BF sur le dessin) et une résistance R de l ordre du kω. Mesurer V 1 et V 2, en déduire r S. 1 Il est possible de compléter les expériences afin de le vérifier. En pratique dans le cas d un BF, le modèle d une résistance pure est valable.

4 3 BF v 2 v 1 R 1 kω v 2 v 1 R r S e S = 0 BF' r S ~ e' (a) Expérience (b) Schéma équivalent II) Conductivité électrique. Principe de la mesure à 4 points On dispose d un long rouleau de fil de cuivre relativement pur, de section S et longueur L connues. 1) Principe de la mesure à 4 points I A r A Alimentation continue stabilisée E pouvant débiter environ 10 A A B A' V B' fil de cuivre (L, S) r A' I' = 0 r B' V r B La résistance de ce fil de cuivre étant très faible (quelques centièmes d Ω), on doit utiliser une méthode de mesure particulière : elle permet de s affranchir de la résistance parasite des contacts et des fils de liaison. Le principe de cette mesure à 4 points est que les fils d arrivée du courant et de mesure de la tension ne soient pas connectés au même point du composant dont on veut mesurer la résistance. Sur la figure ci-dessous on représente ces résistances parasites, et on voit que la mesure au voltmètre ne les fait effectivement pas intervenir puisque r A et r B sont parcourues par un courant négligeable devant le courant principal I. Comparer les indications du voltmètre lorsqu il est branché en A et B ou en A et B, et en déduire un ordre de grandeur des résistances parasites. 2) Mesure de la conductivité électrique du cuivre On peut accéder à la conductivité du cuivre en mesurant la résistance de ce fil. On pourra en montage effectuer cette mesure à différentes températures, en plongeant le fil dans un cristallisoir

5 4 contenant de l eau. Vérifier qu on peut approximer localement la résistivité en fonction de la température par une loi affine : ρ(t) = ρ(t 0 )[1+α(T T 0 )] (loi de Matthiessen) 2. Le coefficient α, appelé coefficient de température, est donné dans le Handbook. III) Condensateurs Encyclopédia Universalis, à l article diélectriques : 2, 3, 8, 9, 10. 1) Étude des condensateurs en basse fréquence Journeaux, Chap.3, p. 80 a) Modélisation des pertes Pour tenir compte de la puissance active dissipée dans un condensateur réel, on introduit dans son schéma équivalent une résistance qui peut être placée arbitrairement en parallèle (r p ) ou en série (r s ) avec la capacité pure. Dans la suite nous considérons le modèle avec r p. C jcω δ A r p 1/r p L admittance du condensateur étant A = jcω + 1/r p, on définit le coefficient de pertes D par le rapport de sa partie réelle à sa partie imaginaire : D = 1/r p Cω tanδ ; δ est appelé angle de pertes. On définit aussi le facteur de qualité du condensateur par Q = 1/D. b) Utilisation du LCR-mètre Il s agit d un appareil qui permet de mesurer inductances et capacités ainsi que leurs coefficients de pertes. N utiliser que le ELC-131D, les autres sont trop imprécis pour la mesure des pertes. étudier divers condensateurs, comparer notamment deux condensateurs de 1 µf, l un chimique et l autre non. Opérer aux deux fréquences disponibles 1000 Hz et 120 Hz. Déterminer les éléments de leur modèle à ces deux fréquences, illustrant ainsi le fait que les paramètres du modèle dépendent de la fréquence. Ces deux condensateurs vont servir par la suite. On retiendra qu un condensateur non chimique a un comportement proche de l idéal (typiquement tanδ 10 3 ), c est pourquoi dans la suite on utilisera un condensateur chimique (tanδ 10 1 ) pour mettre en évidence les pertes. Remarque : Le LCR-mètre fonctionne par détection synchrone (cf H-Prépa, Électronique I, 2ème année PSI, p. 243). 2 En toute rigueur, la section et la longueur du fil augmentent avec la température. Il faudrait donc en tenir compte pour remonter à la conductivité. Cet effet est cependant négligeable ici.

6 5 c) Utilisation d un pont Journeaux, p. 75; Duffait, p.20 condensateur à étudier (modélisé) C r p R 2 Transformateur d'isolement 1/1 oscillo C 0 condensateur étalon R 0 R 1 + BF avec décalage continu Pour mesurer des valeurs de L, C ou R, on peut utiliser suivant les cas différents ponts. Ici pour mesurer C et r p, on utilise le pont de Sauty représenté ici. La méthode de pont est une méthode de comparaison qui suppose connues les caractéristiques du condensateur étalon. On prend pour étalon le condensateur non chimique de 1 µf étudié précédemment, qu on suppose parfait, et on étudie le condensateur chimique de 1 µf. Celui-ci étant polarisé, il faut ajouter une composante continue de signe adéquat au signal sinusoïdal (sinon il peut exploser!). La sensibilité du pont est maximale lorsque la résistance R 2 est voisine de l impédance à mesurer placée en série avec elle : R 2 1/Cω 1kΩ. Le pont est équilibré pour l égalité du produit des impédances croisées ; en déduire les relations donnant C et r p. (Expérimentalement, commencer l équilibrage sans placer la résistance R 0.) d) Fuite d un condensateur (facultatif) Berty, p. 189 Un condensateur chargé puis isolé de l extérieur, perd progressivement sa charge. Le modèle introduit précédemment (résistance en parallèle d un condensateur parfait) permet d expliquer ce phénomène. Cependant l expérience montre que cette résistance r S varie beaucoup dans le temps et présente des phénomènes d hystérésis, ce qui fait que l auto-décharge d un condensateur (chimique ou non) n est pas du tout exponentielle, contrairement à ce qui est souvent dit dans les livres. De plus les temps caractéristiques de décharge étant toujours supérieurs à 10 3 s, une étude sérieuse de cette question est trop longue pour un montage d agrégation.

7 6 e) Expérience Réaliser le montage ci-dessous : R 1 kω voltmètre numérique 10 V continu C r f p voltmètre électrostatique Keithley La résistance R, placée en série avec le générateur, a pour but de réduire l irréversibilité qui accroît les phénomènes d hystérésis. Pour mesurer la tension du condensateur il faut utiliser un voltmètre qui ne perturbe pas la mesure, le voltmètre analogique Keithley de résistance interne Ω, devrait convenir! Pour améliorer la précision de lecture, brancher un voltmètre numérique sur la sortie analogique à l arrière du Keithley. Ouvrir l interrupteur et mesurer la chute de tension au bout de quelques dizaines de secondes. Sur une aussi courte durée, on peut considérer que la résistance r p n a pas varié, on peut donc définir un temps caractéristique de décharge τ = r p C qui vérifie : v/ t v/τ. En déduire la valeur expérimentale de τ. Avec les condensateurs non chimiques usuels on trouvera initialement τ 10 4 s, puis si laissant le condensateur en charge, on reprend la mesure 1 heure plus tard, on constatera que τ a gagné un ordre de grandeur. Par contre si on inverse la polarité τ redevient de l ordre de 10 4 s. Pour les condensateurs chimiques, le phénomène est identique avec initialement τ 10 3 s. Un montage plus simple est possible avec un condensateur chimique de technologie récente, et de très forte capacité 3 (10 F). On peut prendre le seul voltmètre numérique de résistance interne 10 MΩ. Il est en revanche nécessaire de diminuer fortement la résistance R en série avec le générateur. Pour interpréter ces modifications du montage, on pourra évaluer l ordre de grandeur du temps de charge à travers R, et du temps de décharge à travers le voltmètre. f) Note sur les causes physiques des pertes et des fuites Aux fréquences supérieures à 1 MHz, les pertes sont dues aux charges liées qui se déplacent, à l échelle microscopique, en retard sur l action du champ électrique. En pratique il y a toujours, même dans les bons isolants, une très faible concentration de charges libres (ions et électrons). En basse fréquence, les pertes sont dues au déplacement macroscopique de ces charges libres qui migrent sur de grandes distances. Aux temps longs, on observe un phénomène de fuite : ces charges libres ont le temps d atteindre les électrodes et déchargent progressivement le condensateur. La résistance de perte r p et la résistance de fuite r f traduisent des phénomènes voisins, mais correspondent à des temps caractéristiques très différents. Il ne faut donc pas s étonner de l énorme écart entre les deux. 3 Cette capacité est très fragile, détruite dès qu on l alimente sous une tension supérieure à sa tension nominale, ou mal polarisée. On lui a donc placé en parallèle des diodes tête-bêches. Pour éviter qu elles ne perturbent la mesure, travailler à une tension un peu plus basse que la tension nominale.

8 7 2) Circuit RC : régime permanent, régime transitoire a) Régime harmonique, fonction de transfert Visualiser à l oscilloscope l évolution de l amplitude et de la phase du signal de sortie. Effectuer à une fréquence la mesure du gain en décibels et de la phase. Pour le tracé complet du diagramme de Bose, utiliser le programme Bode à l ordinateur (cf poly Acquisition et traitement numérique de la série 0). Avant de se lancer dans la manipulation avec interfaçage, toujours vérifier rapidement que le circuit a bien le comportement attendu (filtre passe-bas ici). b) Réponse à un échelon de tension (réponse indicielle) On réalise en pratique des échelons de tension avec un générateur BF délivrant des créneaux de période très grande devant RC. Étudier le régime transitoire qui prend naissance à l établissement et à l annulation de la tension. Mesurer la constante de temps du circuit. Quelle est sa relation avec la fréquence de coupure mesurée en fréquentiel? c) Réponse impulsionnelle (facultatif) On peut aussi s intéresser à la réponse impulsionnelle mais c est plus délicat. IV) Induction On étudie ici quelques propriétés des bobines. 1) Inductance mutuelle et coefficient de couplage La proximité de deux circuits inductifs fait apparaître un coefficient de couplage M (induction mutuelle), dépendant de la géométrie de l ensemble. On a alors : di 2 v 2 = L 2 dt + M di 1 dt

9 8 i 1 i 2 v 2 bobines couplées i 1 ampèremètre BF LL 11 1 khz M L 2 v 2 voltmètre En régime sinusoïdal dans le cas où i 2 = 0, on aura donc v 2 = jmωi 1 (j 2 1). On fera l expérience avec 2 bobines Leybold accolées. En déduire le coefficient de couplage défini par θ = M L1 L 2, en déterminant L 1 et L 2 avec un LCR-mètre. Complément : fermer le circuit magnétique à l aide d un étrier Leybold et déterminer à nouveau θ. Il y a cependant une difficulté : le comportement devient très non linéaire. On peut aussi faire cette expérience avec les solénoïdes enroulés l un autour de l autre, avec ou sans le noyau de fer doux (attention, il aura ici un rôle un peu différent de l étrier mentionné précédemment). 2) Autoinduction : surtension aux bornes d une bobine Niard, Courant continu 1ère F Auvray, Électronique des signaux analogiques, chap. II BUP 647 Dans cette partie, on modélise les pertes ohmiques dans les enroulements par une résistance r en série avec une bobine idéale L. Lors de l ouverture d un interrupteur dans certains circuits selfiques, il apparaît une surtension. Cet effet est parfois recherché 4 mais souvent indésirable. On l annule en ajoutant une diode en parallèle sur la self. 4 Cette surtension à l ouverture est utilisée dans divers dispositifs servant à obtenir de hautes tensions : bobine de Ruhmkorff, allumage de voiture, clôture électrique...

10 9 Réaliser l expérience ci-dessous : K oscillo à mémoire synchronisé en monocoup E D R L, r u L E ~ 5 V L, r bobine Leybold 1000 tours sans fer R x 10 Ω En l absence de la diode D, lors de l ouverture de K on observe l évolution suivante : u L E - E R r τ = L R+r t a) Interprétation K fermé, le courant qui circule dans L vaut i = E/r. A l ouverture de K, L impose la continuité de i qui ne peut que remonter dans R. Pourquoi la durée est-elle d autant plus courte que la surtension est grande? Dans le cas où R est supprimée (R ) le calcul indique une surtension infinie mais en réalité il faut faire intervenir le comportement non idéal de K et la capacité parasite de la self. Ajouter la diode et constater l amélioration. Quel nom donne-t-on à ce type de diode? V) Étude d un capteur : la jauge de contrainte 1) Principe Une jauge de contrainte est constituée d un fil métallique ou semiconducteur très fin dont la résistance varie avec l élongation. Collée directement sur la structure, elle en subit les déformations ; en ce sens, il s agit plutôt d une jauge de déformation. La variation relative de sa résistance est donnée par : R R 0 = K l l 0

11 10 où K est le facteur de jauge et l/l 0 est l allongement relatif de la jauge. La connaissance des propriétés élastiques de la structure permet de remonter aux contraintes appliquées. Une telle jauge est collée sur une poutre métallique encastrée à une extrémité. Les lois de la résistance des matériaux montrent que l allongement relatif de la jauge est relié au déplacement z de l extrémité libre de la poutre par la relation (donnée dans la notice) : l l 0 = 3e 2L 2 z où L et e sont respectivement la longueur et l épaisseur de la poutre (e = 0,6 mm). jauge de contrainte poutre z règle 2) Expérience Références : Duffait, p. 103 Ischinose et Kobayashi p Notice Mesures : Mesurer la résistance à vide R 0 de la jauge à l aide d un ohmmètre numérique affichant au moins 4 digits. Fléchir la poutre et noter l ordre de grandeur et le signe des variations R. a) Montage en 1/4 de pont Afin de ne mesurer que les variations significatives de R, la jauge sera incluse dans un pont de résistances (cf figure ci-dessous). Mesurer la résistance R 1 (veiller à ne bien mesurer que R 1 ). Alimenter le pont sous une tension continue E 0 20 V. équilibrer le pont à vide à l aide du potentiomètre P. Charger la poutre avec une masse (déviation maximale z 3 cm) et observer le signal E sur un voltmètre numérique. Ce signal E est relié au déséquilibre du pont par la relation facile à retrouver :

12 11 P + V R 1 R=R + R 0 E E 0 = R 1 R (R 0 + R 1 ) 2. Étudier les variations de E en fonction de z. En déduire le facteur de jauge K. à cause de déformations irréversibles, sa valeur peut varier notablement par rapport à celle fournie par le constructeur : K = 2, 070 ± 0, 5 à T=24 C. 3) Application à une balance électronique masse 400 g jauges de contrainte 5 V environ R 1 R 2 R 1 R 2 jaune voltmètre noir support fixe Il s agit d illustrer une application des jauges de contrainte au moyen de la partie mécanique d une balance électronique (notice N 13). Les deux jauges de contrainte sont collées sur le bâti et mesurent ses déformations : si l une des jauges s allonge sa résistance augmente (attention, dans la formule R = ρl/s les trois paramètres ρ, L et s varient, tous agissant dans le même sens sur la résistance). Les variations de R 1 et R 2 sont mesurées au moyen d un pont de Wheatstone qui inclut deux autres résistances placées à l intérieur du boîtier. Régler le zéro du pont lorsqu aucune masse n est posée sur la balance.

13 12 Placer des masses, sans dépasser la valeur limite de 400 g, et vérifier la linéarité du signal électrique correspondant. Remarquer la faiblesse du signal (quelques mv), ce qui donne une idée de la performance de l électronique incluse à l origine dans cette balance, permettant de mesurer 400 g à 0.1 g près. En interprétant le signe de la tension mesurée, identifier la jauge qui s allonge : R 1 ou R 2? Vérifier que le schéma ci-dessous traduit bien la réalité. On peut comprendre ce schéma de la façon suivante : dans une pièce mécanique soumise à une contrainte, c est la partie la moins rigide qui se déforme le plus (ainsi lorsqu on tire deux ressorts en série, le plus souple s allonge davantage). Ici les 4 points faibles se comportent comme des articulations, avec rappel élastique, n autorisant que le déplacement représenté sur la figure.