Correction des sujets de thermodynamique (feuille d'exercices n 7).

Transcription

1 Correction des sujets de thermodynamique (feuille d'exercices n 7). Exercice er principe : W = - Q - Q 2 car ΔU = 0 sur un cycle, d'où η = (-Q -Q 2 )/Q 2 = - - Q /Q 2. Compte tenu du fait que Q /Q 2 < 0 et que Q /Q 2 < (plus de chaleur absorbée que de chaleur rejetée pour produire du travail) on obtient, en posant Q /Q 2 ε <, que - - Q /Q 2 = - + ε = - ε = + Q /Q 2 (). Or Q = m.cv.(t - T 4 ) et Q 2 = m.cv.(t 3 - T 2 ) d'où Q /Q 2 = (T - T 4 )/(T 3 - T 2 ) (2) de plus T. γ- = T 2. 2 γ- et T 3. 3 γ- = T 4. 4 γ- or = 4 et 2 = 3 d'où T 3. 2 = T 4. γ-. On en déduit que : T 2 = T.( / 2 ) γ- = T.τ γ- (pour T = 20 C 293 K et τ 6 on obtient T ,4 600 K 327 C) T 3 = T 4.( / 2 ) γ- = T 4.τ γ- (or T 3 = P 3 /P 2 T /2, K 800 C). d'où (2) Q /Q 2 = (T - T 4 )/( T 4.τ γ- - T.τ γ- ) = (T - T 4 )/[τ γ- ( T 4 - T )] = -τ -γ ainsi () η = - τ -γ η = τ η est d'autant plus grand que le taux de compression volumétrique τ est élevé. Ici τ / 2 = 600/00 6 η = 5 %,4 6 En pratique η 35 %, voire moins (viscosité). γ Exercice A = détente isochore. C = expansion isotherme. CD = compression isochore. DA = compression isotherme. Pour les travaux : W A = 0 et W CD = 0 (transformations isochores). max W C = P.d or P. = R.T pour une mole, d'où WC =.T min d'où W C = -R.Tln ( max / min ) de même W DA = - R.Tln( min / max ) Pour les quantités de chaleur : max min.d R = R.T[ ln ] max min Q A = ΔU A (er principe de la thermo avec W A = 0) or ΔU A = Cv.(T-T2) d'où Q A = Cv.(T - T2) de même Q CD = Cv.(T2 - T) Comme AD et C sont des isothermes on a Q C = - W C et Q DA = - W DA d'où Q C = R.Tln ( max / min ) et Q DA = R.Tln( min / max W A = 0 page /3

2 Q A = 2 ( ) = -357 J W C = -8, ln J Q C = -W C 2523 J W = W A + W C + W CD + W DA = W C + W DA d'où W = -R.Tln ( max / min )- R.Tln( min / max ) = -R.Tln ( max / min ) + R.Tln( max / min ) Ainsi W = R. ln(max/min) (T2 - T) On trouve W = 8,32 ln 3 ( ) 55 J Le cycle est récepteur car W est positif (de plus le cycle est décrit dans le sens trigonométrique). On peut représenter sur un schéma les différentes transformations : isochore Q A -357 J isochore Q CD 357 J isotherme Q C 2523 J gaz isotherme Q DA J T 3 C W 55 J T 2 20 C avec Q QA + Q C et Q' QCD + Q DA Calculons, pour s'amuser (;-) les entropies échangées par les thermostats : vérifient-elles l'égalité de Clausius QA QC QCD QDA Q Q' qui assure la réversibilité du cycle? On a = 2,5 J / K 0 : le cycle T T T2 T2 T T2 ditherme n'est absolument pas réversible, quoi qu'en dise l'énoncé. D'où vient cette contradiction entre les calculs et l'énoncé? En fait le cycle de Stirling peut être considéré comme : / soit réversible (dans ce cas il n'est plus considéré comme ditherme car lors des transformations isochores le système doit être en contact avec des thermostats de température infiniment proche). Dans ce cas les entropies échangées par les sources ne correspondent pas à Q/T et Q'/T 2 puisqu'il n'y a pas 2 sources (il faudrait calculer les variations d'entropie du système lors de chaque transformation, égales au variations d'entropie des thermostats puisqu'il y a réversibilité). Le rendement sera cependant maximal (car réversibilité) = -T min /T max (je n'ose pas dire T et T 2 car il y a une infinité de thermostats). 2/ soit ditherme (dans ce cas les transformations isochores sont irréversibles) : dans ce cas les entropies échangées par les sources valent Q/T et Q'/T 2 : c'est le calcul ci-dessus qui est mené et qui prouve l'irréversibilité du processus. De toute façon je n'aime pas ce genre de sujet où le fonctionnement de la machine n'est même pas décrit!!! Comment assurer un tel cycle? Je vous engage à taper "machine de Stirling" sur un moteur de recherche internet et vous comprendrez mieux de quoi il s'agit. Pour effectuer la transformation A il faut refroidir le gaz, ce refroidissement n'est possible que parce que la source froide entre en contact avec le gaz, Q A est donc rejetée à la source froide et non prise de la source froide, Q A n'intervient donc pas dans le Q qui doit être prise de la source froide (énoncé). Pour effectuer la transformation C il faut que le gaz absorbe de la chaleur, or il n'est en contact qu'avec la source froide (puisqu'il s'agit d'une isotherme), cette chaleur est donc prise à la source froide, Q C intervient donc dans Q. page 2/3

3 Pour effectuer la transformation CD il faut absorber de la chaleur, cette chaleur est absorbée lors de la mise en contact du gaz avec la source chaude, cette chaleur est donc prise à la source chaude et donc Q CD n'intervient pas dans Q. Pour effectuer la transformation DA il faut rejeter de la chaleur, or le gaz n'est en contact qu'avec la source chaude, cette chaleur est rejetée alors à la source chaude et donc Q DA n'intervient pas dans Q. Finalement Q est due uniquement à la transformation C et donc Q = Q C 2523 J par cycle et par mole. on remarque que cette machine prend de la chaleur d'une source froide grâce à un apport de travail : elle fonctionne donc comme une pompe à chaleur (on s'en serait douté étant données les valeurs des températures : T 3 C qui correspond à une température extérieure en période froide, et T 2 20 C qui correspond à la température d'un appartement). Note : en considérant le cycle ditherme (cas adopté par l'énoncé et cas réellement réalisé en pratique) son Q2 efficacité vaut e = W avec Q 2 la chaleur fournie à la source chaude (Q 2 = Q CD + Q DA = J), d'où e (e T2 max = 7 serait obtenue avec une infinité de sources ou un four qui T2 T "accompagne" l'évolution de température du système, de manière à assurer la réversibilité du cycle de Stirling). Exercice P. = n.r.t (gaz parfait) P = R.T pour n = mole = R.T/P 8, / litres A A 2 adiabatique P γ = P2 γ P2 = P(/2) γ P2 = Px γ 0 5 4, Pa P2 = R.T2 T2 = P2/R or 2 /x d'où T2 = P/(x.R) /(4 8,32) 948 K P3 = R.T3 3 = R.T3/P3 et puisque P3 = P2 on a 3 = R.T3/P2 8, / ,7 litres Q 23 = n.cp.(t3 - T2) car détente isobare, or n = d'où Q 23 = Cp.(T3 - T2) 29 ( ) 38 kj A 3 A 4 est adiabatique d'où P3 γ = P4 γ P4 = P(3/4) γ or 4 = et P3 = P2 d'où P4 = P(3/) γ (4,7.0-3 / ) 3,0 5 Pa P4 = R.T4 pour une mole, d'où T4 = P4/R or 4 = d'où T4 = P/R 3, /8,32 3 K Q 4 = n.cv.(t - T4) car la transformation est isochore. Or Cv = Cp/γ et n = d'où Q 4 = Cp(T - T4)/γ 29 (330-3)/,4-6 kj attention au signe -. page 3/3

4 Wcycle = ΔUcycle - Qcycle or on a toujours ΔUcycle = 0, d'où Wcycle = -Qcycle = -(Q 2 + Q 23 + Q 34 + Q 4 ), or Q 2 = 0 et Q 34 = 0 car ces transformations sont adiabatiques, d'où Wcycle = -(Q 23 + Q 4 ) -( ) = -22 kj Wcycle est bien négatif, comme prévu. c. Wcycle η = 20 3 / % (note : Q 23 = chaleur absorbée de la source chaude) Q 23 Exercice Le cycle est réversible : il n'est donc pas ditherme puisque ce n'est pas un cycle de Carnot. C est une compression isochore. P A. A = n.r.t A n = P A. A /(R.T A ) /(8,3 300) 0,4 mole P. P. = γ 5,4 3 P A ( A / ) = 0 (/2) 38.0 Pa γ = P A. γ A car A est adiabatique P = n.r.t T = P. /(n.r) /(0,4 8,3) 227 K P C. C = n.r.t C or C = et TC = T A (car CA est une isotherme) d'où P C = n.r.t A / 0,4 8,3 300 / Pa Q C + W C = ΔU C ( er principe de la thermo) et on sait que ΔU C = n.cv.(t C - T ) comme W C = 0 (transfo isochore) on en déduit que Q C = n.cv.(t C - T ) et puisque Cv = Cp/γ et TC = T A on en déduit que Q C = n.cp/γ (T C - T ) 0,4 29/,4 ( ) 604 J 5. c. ΔU CA = 0 car ΔU CA = n.cv.(t A - T C ) = 0 car T A = T C ( puisque AC est une isotherme) Wcycle + Qcycle = ΔUcycle = 0 quel que soit le cycle d'où Wcycle = -Qcycle W A + W C + W CA = - Q A - Q C - Q CA W A = - Q A - Q C - Q CA - W C - W CA or Q A = 0 (A est adiabatique) et W C = 0 (C étant isochore) d'où W A = - Q C - Q CA - W CA d'autre part Q CA + W CA = ΔU CA ( er principe) = 0, (voir question précédente), d'où W A = - Q C - (Q CA + W CA ) = - Q C - ΔU CA W A = - Q C -604 J Le signe - indique que la transformation A (et non le cycle) est motrice : il y a "rejet" de travail à l'extérieur. Il faut remarquer cependant que le cycle est, quant à lui, résistant (parcouru dans le sens trigonométrique). Exercice 5. page 4/3

5 TS Maintenance. L'état final du gaz est l'état 3 P 3. 3 = n.r.t 3 n = P 3. 3 /(R.T 3 ) / [8,32 ( )] 7 moles P. = n.r.t = n.r.t / P 7 8,32 ( ) / litres -2 est une transformation isotherme T 2 = T K 2-3 est une transformation isochore 2 = 3 20 litres on en déduit P 2 = n.r.t 2 / 2 (car gaz parfait) P2 7 8, / Pa ( 9 bar) On peut représenter les transformations dans le plan P() : P P3 P2 3 2 P Ici il y a un travail de transvasement de l'air dans la bouteille grâce au travail de la pompe : en plus du travail de transvasement, la pompe effectue un travail qui comprime l'air : le travail total Wt est réalisé en Δt min par la pompe. On a alors P = Wt/Δt le travail de la pompe Wt correspond à la surface hachurée (voir cours n 3). On a Wt = (P3 2) + W 2 - P Wt = (P3 2) + n.r.t ln(p2/p) - P 2 (P2) + n.r.t ln(p2/p) - P d'où P = Δt ( ) + 7 8, ln(870 /0 ) (0 80 ) 60 malheureusement "limite" du programme! 690 W Je trouve que cette question est Exercice 6. P P C P A D A C C A page 5/3

6 Remarque : le cycle ici est modifié par rapport à celui donné sur le document - réponse (qui est malheureusement faux). En outre le cycle ne peut pas être réversible car il entre en contact avec 2 sources de chaleur seulement, ce qui ne peut pas assurer la réversibilité des transformations isobares. P A. A = n.r.t A or n = mole d'où A = R.T A /P A 8, / L P. γ = P A. γ /γ /,4 A = A.(P A /P ) 25.0 (0 /2,0 ) 4 L P. = R.T T = P. /R 2, / 8, K de même T D = P D. D /R = P A. D /R, reste à calculer D 5 On sait que T C = 340 K et que P C = P 2,0 Pa, puisque PC. C = R.T C on en déduit que C = R.T C /P 3 L γ et puisque P D. D = P C. γ C on en déduit que D = C.(P C /P D ) /γ D = R.T C /P (P/P A ) /γ T D = P A.[R.T C /P (P/P A ) /γ /γ /,4 ]/R T D = P A T C /P (P /P A) / 2,0 (2,0 /0 ) 27 K Rq : on a alors D = R.T D /P D 22 L > C, cela prouve que la figure a donnant l'allure du cycle est fausse. Q chaleur échangée lors de la transformation C Q = Cp.(T C -T ) puisque la transformation est isobare et que n = mole. D'où Q 29, ( ) J : la chaleur est rejetée à la source chaude. de même Q2 = Cp.(T A -T D ) 29, (298-27) 786 J : la chaleur est absorbée de la source froide. er principe Wcycle + Qcycle = ΔUcycle = 0 Wcycle = - Qcycle = - (Q A + Q C + Q CD + Q DA ) or Q A = 0 et Q CD = 0 (transfo adiabatiques), d'où Wcycle = - (Q C + Q DA ) Wcycle = - Q - Q J : la pompe à chaleur nécessite un apport de travail Q ε 059/274 3,9 or pour un cycle réversible ditherme (sources de chaleur de températures T A et Wcycle T C ) on a ε max = T C /(T C T A ) = 340/( ) 8, : le cycle n'est donc pas réversible, quoi qu'en dise l'énoncé, une fois de plus. Le choix de cette définition vient du fait que l'efficacité est une sorte de rendement, c'est - à - dire un rapport énergie restituée, l'énergie restituée au local à chauffer étant Q et l'énergie dépensée étant l'énergie fournie à énergie dépensée la pompe pour effectuer le travail Wcycle, on obtient bien ε Q Wcycle page 6/3

7 Exercice 7. P Le cycle est forcément décrit dans le sens trigonométrique car il s'agit d'une pompe à chaleur (le cycle est donc résistant : il nécessite un apport de travail pour se réaliser). La réversibilité du cycle implique qu'il n'est pas ditherme, et donc que le circuit de chauffage et les effluents industriels ne constituent pas des sources de chaleur, ce dont je doute en pratique : leur température est certainement relativement constante, égale à T (source chaude) et T 3 (source froide), ce qui implique que le cycle est ditherme et donc qu'il n'est certainement pas réversible P. γ = Cte pour une adiabatique P /γ. = Cte () or P. = nrt (2) pour un gaz parfait, d'où, en faisant le γ γ γ γ rapport () / (2) on obtient P.T = Cte pour une adiabatique, d'où P γ.t = P γ.t2 et donc 30 (0 5 /0 5 ) (-,4)/,4 378 K Cette question était relativement difficile pour des TS. 2 P2 T2 = T P γ γ Q 2 = 0 et Q 34 = 0 car ces transformations sont adiabatiques. Q 23 = m.c p.(t 3 -T 2 ) car la transformation 2-3 est isobare, de même Q 4 = m.c p.(t -T 4 ) on trouve Q ( ) -48 kj et Q (30-27) 39 kj Sur tout cycle ΔUcycle = 0 car la température finale est toujours égale à la température initiale pour un cycle. er principe : Wcycle + Qcycle = ΔUcycle Wcycle + Qcycle = Wcycle = -Qcycle d'où Wcycle = -(Q 23 + Q 4 ) -( ) 9 kj : travail absorbé (cycle résistant, ce qui est normal!). 6. e = Q 23 Wcycle / ,3 remarque : pour une pompe à chaleur ditherme fonctionnant entre les sources T et T 3 on a on e max = T 3 /(T 3 -T ) = 330/(330 30) 6,5 obtenu pour un cycle réversible preuve que le cycle n'est pas réversible ici. page 7/3

8 Exercice 8. Remarque : P C = 62 bar : je ne connais pas de moteur qui subisse une telle pression (la technologie actuelle des voitures le permet-elle? avis à ceux qui m'écriront ) P P C P P D P A A P A. A = R.T A pour une mole, d'où A = R.T A / P A 8, / L = A/a = 3,5 L A est adiabatique, d'où P A. γ A = P. P. = R.T T = P. / γ P = R ,5.0-3 / 8, K γ 5,4 5 P A.( A / ) Pa Q A = 0 et Q CD = 0 car A et CD sont adiabatiques. Q C = Cv.(T C - T ) et QDA = Cv(T A - T D ) car ces transformations sont isochores. On a de plus Cv = Cp/γ d'où : Q C = Cp/γ (T C - T ) et QDA = Cp/γ (T A - T D ) on trouve Q C = 29/,4 ( ) 4 kj et Q DA 29/,4 (300-20) -9 kj er principe W + Q = 0 sur un cycle W = -Q W = -(Q C + Q DA ) -( ) -22 kj signe - le cycle est bien moteur η= 0, Exercice 9. Q eau = M.c.ΔT ( ) 293 MJ P = Q eau /Δt /3600 8,5 kw page 8/3

9 La chaudière doit restituer Q eau joules par heure à l'eau, il faut donc que la chaudière absorbe Qeau/0,80 366,6 MJ par heure provenant du fuel. Il faut donc brûler (en heure) une masse de fuel m = 366,6.0 6 /4,0 7 8,7 kg La consommation horaire de fuel est donc de 8,7 kg. pour transformer m kg de vapeur d'eau de chaudière en eau liquide il faut retirer la chaleur Q = m L c attention au signe de L c : cette chaleur sera rejetée, elle sera donc négative! (l'énoncé appelle cette chaleur "chaleur absorbée" et impose implicitement la convention de signe). La chaleur à enlever pour abaisser la température de l'eau de chaudière de 00 C à 85 C vaut Q 2 = m.c.(θ 2 ' - θ ') Cette chaleur n'est pas absorbée, mais rejetée par l'eau de la chaudière : Q 2 est < 0 car θ 2 ' < θ ' 5. Q système = 0 (adiabatique) Q eau + Q + Q 2 = 0 Q eau est la chaleur récupérée par l'eau de distribution provenant de m kg d'eau de la chaudière. Il faut donc que Q + Q 2 = -Qeau m L c + m.c.(θ 2 ' - θ ') = -Qeau kg. 2257, ( ) Q m = Lc + c.( θ θ ) eau ' ' 2 6. T.M.T. [Ca2+] + [Mg2+] en mole d'ions par litres T.M.T., ,5.0-3 = 0-3 moles d'ions par litre. en équivalents par litres : T.M.T équivalents par litres en F on a TMT = / F Cette eau est dure (TMT > 0 F) une eau trop dure bouche les canalisations (par dépôt de calcaire). Exercice est adiabatique T. γ- = T 2. 2 γ- T 2 = T. 2 γ 300 4,4-862 K page 9/3

10 T3 est la température la plus élevée car les isothermes sont toutes des hyperboles placées les unes au dessus des autres quand T augmente : page 0/3

11 Correction des exercices du cours n 7 de thermodynamique. Mise à jour du 2/02/07 P T3 > T2 3 T4 < T3 4 T2 On a vu que T2 > T On a aussi T3 > T2 puisque les états 2 et 3 correspondent à la même pression. On sait de plus que la transformation 3-4 est adiabatique, donc de pente plus élevée qu'une isotherme : T4 est donc forcément sur une isotherme située en dessous de l'isotherme T3 : d'où T3 > T4 Q 2 = 0 car -2 est adiabatique Q 23 = n.cp.(t 3 -T 2 ) car 2-3 est isobare pour n = mole on a Q 23 = γ.cv.(t 3 - T 2 ),4 20,8 ( ) 4 kj Q 34 = 0 car 3-4 est adiabatique Q 4 = Cv.(T - T 4 ) car 4- est isochore Q 4 20,8 ( ) -5 kj ΔUcycle = 0 pour tout cycle er principe : W + Q = ΔUcycle = 0 W = -Q W = - (Q 23 + Q 4 ) -( ) -8,6 kj : le travail est négatif, preuve qu'il s'agit bien d'un cycle moteur! 5. η travail fourni chaleur absorbée η = W Q 8,6.03 /0 3 0, En une heure le moteur consomme L il y a un dégagement de chaleur Q 23 = kj par heure. Comme le rendement est de η 0,45 le travail fourni par heure est de W = η Q 23 = 0, kj. Sa puissance est alors P = W/Δt = / W (soit environ 7 chevaux). Exercice n = m/m 2250/2 8,6 moles P. = n.r.t = n.r.t /P 8,6 8, /, L page /3

12 -2 est adiabatique P 2. γ 2 = P. γ P 2 =. γ 5,2 3, ,5 L P2 8,5.0 gaz parfait P 2. 2 = n.r.t 2 T 2 = P 2. 2 / (n.r) 8, ,5.0-3 / (8,6 8,32) 349 K c. d. Dans le condenseur la pression du gaz ne varie pas (ce n'est ni un détendeur, ni un compresseur) la transformation 2-3 est isobare, d'où Q a = n.cp.(t3 - T2) 8,6 49,9 (30-349) -36,3 kj Ici il y a liquéfaction, donc rejet de chaleur Q b = -m.l -2, kj Attention : l'unité de L impose l'unité de m qui doit être exprimée en kg! Q 23 = Q a + Q b -36, kj Le signe négatif de Q 23 indique que le fréon perd de la chaleur, ce qui est normal puisqu'il est refroidi par le ventilateur. C'est l'air qui récupère cette chaleur. Pour abaisser de ΔT la température de m kg d'eau, il faut lui retirer la chaleur m C eau ΔT, cette chaleur doit être fournie en min à l'évaporateur qui nécessite Q kj, il faut donc, en une minute, apporter une masse Q4 m = C. ΔT /(480 5),5 kg (soit,5 L) en min, soit un débit max D max =,5 L/min eau Exercice Les transformations s'effectuent à pression constante sous l'action d'un asservissement. P. = R.T pour une mole, d'où = R.T/P 8,3 298 / 6,0 5 4 L I = U/Ro 20/ ma Q = P Δt Q = R.I² Δt 00 ( )² (9 60) 260 J, toute la chaleur dissipée par la résistance en 9 min sert à échauffer l'enceinte. transformation à pression constante Q = n.cp.δt, pour une mole n = Cp = Q / (T2 - T) 260 / ( ) 29 J.mol -.K - P2 = R.T2 pour une mole 2 = R.T2/P 8, / 6,0 5 5 L page 2/3

13 2 W = P.d or P = Cte W = P. d W = -P(2 - ) W -6,0 5 ( ) J W < 0 le gaz a fourni du travail à l'extérieur, il est donc moteur. 2 er principe ΔU = W + Q J gaz parfait pour n = mole on a ΔU = Cv.ΔT Cv = ΔU/(T2 - T) 533/( ) 20,4 J.mol -.K - Remarque : Cp/Cv = 29/20,4,40 γ, ce qui est un résultat connu pour l'air. page 3/3