GPS et localisation par satellites

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1 GPS et localisation par satellites Thierry Dudok de Wit Licence de Chimie-Physique 1ère année 1 Aspects pratiques Organisation de ce cours 4 séances de cours-td groupe A : le cours du mardi 24/10 aura lieu le mardi 7/11 à 8h00 1 séance de TP avec récepteur GPS groupe A1 : mercredi 6/12 à 15h45 (pas d électricité) groupe A2 : lundi 4/12 à 13h00 (pas d électricité) groupe B3 : lundi 4/12 à 9h (à confirmer) groupe B4 : lundi 4/12 à 15h45 (pas d électricité) groupe C5 : jeudi 7/12 à 15h45 (pas d électricité) groupe C6 : mercredi 6/12 à 9h00 (pas d électricité) groupe D7 : vendredi 8/12 à 13h00 (pas d électricité) groupe D8 : jeudi 7/12 à 13h00 (pas d électricité) contrôle écrit final (date à confirmer)

2 Aspects pratiques Objectif comprendre la physique associée à la localisation par satellites (divers phénomènes de nature très différente) évaluer des ordres de grandeur! apprendre une liste de formules par coeur pour me contacter Thierry Dudok de Wit Laboratoire de Physique et Chimie de l Environnement (campus CNRS) courriel site web 4 Le GPS permet de réaliser un vieux rêve : se repérer exactement dans le temps et dans l espace

3 Coordonnées géographiques Les coordonnées géographiques d'un point M de la surface de la Terre sont" La longitude! : angle orienté entre le plan méridien origine et le plan méridien contenant le point M. Le méridien d origine est celui de Greenwich. La latitude " : angle orienté entre le plan de l'équateur et la normale à l'ellipsoïde passant par le point M. La hauteur h : distance algébrique entre le point M et l'ellipsoïde." Un peu d histoire La détermination de la position absolue sur le globe a de tout temps été une préoccupation majeure des navigateurs La quantité la plus facile à mesurer est la latitude Dès le XIII ème siècle, les navigateurs se sont servis d astrolabes pour se situer par rapport à l étoile polaire # étoile polaire

4 La latitude Problèmes étoile polaire l étoile polaire n est visible que dans l hémisphère nord (croix du sud) plus on se rapproche de l équateur, plus la mesure est délicate il faut le faire de nuit, avec un ciel dégagé... La longitude La longitude est une quantité plus difficile à estimer Au début, on pensa pouvoir la déduire du champ magnétique (XIV ème ) On réalisa ensuite qu elle pouvait s obtenir à partir de la hauteur du Soleil (d astres) sur l horizon, à condition de connaître l heure locale exacte développement d horloges précises (dès le XVII ème ) développement du sextant sextants chronomètre du XVIIè siècle

5 La précision Aujourd hui, avec ces outils, dans le meilleur des cas les erreurs de positionnement sont mesure de l angle : un écart de 1/60 sur l angle mesuré avec le sextant = 1 mile nautique (1852 m) en longitude mesure du temps : un écart de 1 minute sur le temps = 1 mile nautique (1852 m) en longitude ces erreurs finissent par s accumuler et peuvent donner une vision déformée du monde Le système LORAN C Le système LORAN C, initialement développé par les USA vers 1950, est constitué d un réseau d émetteurs radio synchronisés qui émettent des impulsions La mesure de l écart entre le temps d arrivée des impulsions permet de se localiser avec une précision < 400 m. Ce dispositif cessera de fonctionner en Europe en janvier 2006

6 Le système LORAN C 11 Principe de fonctionnement : la connaissance du retard entre le temps d arrivée des différents signaux définit des hyperboles L intersection de ces hyperboles définit la position du navire. Il faut au minimum 3 émetteurs pour cela. Le GPS Le GPS (Global Positioning System) est un système de positionnement par satellites conçu par et pour le département de la défense des Etats-Unis (DoD). il a été mis en service à partir de 1986 il est constitué de 24 satellites et utilise la triangulation pour se localiser Le GPS permet de déterminer en tout point du globe la position avec une précision < 5 m l heure exacte avec une précision < 1 #s

7 Positionnement : les utilisateurs revenus générés par la vente de récepteurs (2000) positionnement & suivi transport aérien transport maritime pêche & agriculture 13% 16% 5%2% 7% 35% défense logistique/transport loisirs agriculture/pêche positionnement navigation aérienne navigation maritime défense loisir s 22% logistique & transport Exemple : navigation maritime exemples d écrans

8 Exemple : tectonique des plaques le GPS permet de mesurer avec précision la dérive des plaques Exemple : agriculture La connaissance exacte des caractéristiques en tout lieu d une parcelle permet de mieux doser les engrais

9 Positionnement : le marché Le marché européen de navigation par satellite possède un fort potentiel produits : revenus liés à la vente d infrastructures (récepteurs, systèmes de navigation, composants,...) services : revenus liés à la vente de produits dérivés & services (cartes, gestion de trafic, téléphonie mobile,...) le GPS répond à un besoin, mais a aussi crée des besoins nouveaux Positionnement : le futur Il existe actuellement trois services mondiaux de positionnement par satellite GPS dispositif militaire américain opérationnel depuis 1980 graduellement amélioré GLONASS dispositif militaire russe n est plus entretenu GALILEO dispositif civil européen mise en service prévue en 2008, 100% opérationnel dès 2011 coût : 3 G$

10 Qu est-ce que le GPS? 19 La constellation GPS est constituée de 24 satellites NAVSTAR placés sur 6 orbites circulaires l altitude de ces satellites : km. Ils font ainsi un tour d orbite en 12 h. la position de chaque satellite est connue avec une précision < 1 m Satellites NAVSTAR 20 Quelques chiffres masse d un satellite : 1150 kg puissance consommée : 1140 W durée de vie : environ 10 ans coût d un satellite : env. 200 M$ coût annuel du système GPS (entretien, R&D) : 750 M$ Le choix des orbites répond à des raisons pratiques et à des impératifs stratégiques

11 Qu est-ce que le GPS? 21 Sur le sol, des stations des contrôle suivent en tout instant le mouvement des satellites, dont l orbite est périodiquement corrigée La station de commande se situe dans le Colorado Qu est-ce que le GPS? 22 Enfin, les utilisateurs captent avec des récepteurs les signaux émis par les satellites. Les récepteurs ne font que capter les signaux. Ils n émettent pas. C est le récepteur qui calcule la position à partir des données que fournissent les satellites.

12 Principe de fonctionnement 23 Fonctionnement du GPS Le GPS calcule la position par triangulation : le satellite émet une onde électromagnétique de vitesse connue le récepteur calcule le temps mis par cette onde pour l atteindre le récepteur sait alors qu il se trouve sur une sphère centrée sur le satellite distance = temps x vitesse 24

13 Fonctionnement du GPS 25 En recoupant les informations de 2 satellites, le lieu géométrique du récepteur devient un cercle Fonctionnement du GPS 26 Avec 3 satellites, l intersection se réduit à un (ou 2) points

14 Fonctionnement du GPS 27 Avec 3 satellites, l intersection se réduit à un (ou 2) points Fonctionnement du GPS Les signaux se propagent à la vitesse de la lumière distance = durée x m/s 1 #s de retard = 300 m de distance! il faut une précision de 1 ns pour atteindre une résolution de l ordre du mètre

15 Fonctionnement du GPS Le récepteur n a pas l heure exacte et ne connaît donc que l écart relatif par rapport aux 3 satellites! il faut un 4 e satellite pour figer la position exacte : 4 équations pour 4 inconnues : x 0, y 0, z 0, t 0 (+ plusieurs corrections) (x 0 x 1 ) 2 + (y 0 y 1 ) 2 + (z 0 z 1 ) 2 = c 2 (t 0 t 1 ) 2 (x 0 x 2 ) 2 + (y 0 y 2 ) 2 + (z 0 z 2 ) 2 = c 2 (t 0 t 2 ) 2 (x 0 x 3 ) 2 + (y 0 y 3 ) 2 + (z 0 z 3 ) 2 = c 2 (t 0 t 3 ) 2 (x 0 x 4 ) 2 + (y 0 y 4 ) 2 + (z 0 z 4 ) 2 = c 2 (t 0 t 4 ) 2 Fonctionnement du GPS Dans la pratique, le détecteur utilise entre 4 et 12 satellites pour calculer sa position. Plus il y en a, mieux sa position est contrainte! c est un problème d optimisation complexe Ecran de récepteur montrant que les satellites utilisés sont les n os 1, 4, 5 et 18. Le signal du satellite 15 est en cours de synchronisation.

16 Fonctionnement du GPS 31 Chaque satellite NAVSTAR possède plusieurs horloges atomiques, ce qui lui garantit une heure précise. Il émet sur deux fréquences : MHz et MHz Ce correspond à la gamme des microondes Chaque satellite émet trois types de données un almanach : permet de calculer sa position exacte un code C/A (code approximatif) : pour un calcul approximatif du retard un code P (précis) : pour un calcul plus précis du retard Fonctionnement du GPS

17 Fonctionnement du GPS 33 L almanach contient toutes les données sur le type de satellite son état de fonctionnement le calcul précis de son orbite (précision < 1 m) ******** Week 267 almanac for PRN-01 ******** ID: 01 Health: 000 Eccentricity: E-002 Time of Applicability(s): Orbital Inclination(rad): Rate of Right Ascen(r/s): E-008 SQRT(A) (m 1/2): Right Ascen at Week(rad): E+000 Argument of Perigee(rad): Mean Anom(rad): E+001 Af0(s): E-003 Af1(s/s): E-011 week: 267 Limites du GPS 34

18 Fonctionnement du GPS 35 Animation: impact de la géométrie des satellites sur la précision Animation: code pseudo-aléatoire Fonctionnement du GPS 36 Le GPS ne fonctionne qu en des lieux découverts. Endroits à éviter : l intérieur de bâtiments rues encaissées forêts avec feuillage dense vitre recouvertes d un dépôt métallisé

19 Le GPS peut être perturbé 37 Le GPS ne fonctionne pas toujours : il arrive parfois que les signaux soient trop perturbés lors de la traversée de l ionosphère Ionosphère = couche ionisée (ou plasma) qui entoure l atmosphère Origine solaire des perturbations 38 Le système Soleil-Terre est un système dynamique qui est en permanence soumis aux variations d activité solaire

20 Le Soleil vu en ultra-violet 39 L imagerie ultra-violette révèle mieux l activité solaire et les zones susceptibles de générer des éruptions Perturbation du GPS 40 Ces éruptions solaires vont perturber l ionosphère pendant quelques heures, pouvant interrompre totalement les communications radio

21 Scintillations 41 Les scintillations de l ionosphère peuvent fortement perturber la réception Données en temps réel :http://scintillations.cls.fr Peut-on améliorer la précision du GPS? 42

22 GPS différentiel 43 Principe du GPS différentiel: on mesure sa position par rapport à un récepteur fixe, dont la position est connue et permet d appliquer des corrections Ce service (payant) se développe à proximité des aéroports et des côtes Erreur sur la position 44 Il existe d autres types de corrections (WAAS en Amérique du Nord, EGNOS en Europe) Précision moyenne du GPS : type de mesure GPS (usage civil) GPS (usage militaire) GPS différentiel GPS différentiel avec post-traitement précision moyenne 3-8 m 1-3 m < 1 m quelques cm

23 Se localiser avec le GPS 45 Géodésie 46 Une fois que le récepteur a calculé sa position par rapport aux satellites, il reste à calculer sa position par rapport à la Terre Il reste à calculer la position absolue (latitude, longitude, altitude) dans le référentiel terrestre Pour cela il faut un modèle de la forme du globe : géodésie

24 Forme du géoïde 47 La Terre n est pas ronde = il faut une description de la forme du géoïde Cette allure est liée aux variations de gravité roches denses = gravité forte = creux roches peu denses = gravité moins forte = bosse Ces variations peuvent atteindre > 80 m (IPGP, Paris) Ellipsoïde et géoïde 48 La forme du géoïde est trop complexe pour être formulée mathématiquement. On l approxime donc par un ellipsoïde ellipsoïde global : approxime le globe entier. Exemple : WGS84 géoïde ellipsoïde local : approxime une région du globe. Exemple : Clarke 1880

25 Ellipsoïde et géoïde 49 Pour se positionner, il faut un datum constitué de : un ellipsoïde local (chaque pays a le sien) la position de cet ellipsoïde par rapport à l ellipsoïde de référence (WGS84) ellipsoïde local ellipsoïde global Projection Pour ensuite se repérer sur une carte géographique, il faut projeter une surface sphérique sur un plan... c est impossible Chaque pays possède sa propre référence géodésique, qui permet de passer du système WGS84 au système de cartographie local. Projection de Mercator Projection de Mercator oblique Projection Lambert (conique) utilisée en France

26 Mensurations Exemple : la France d après le relevés de Cassini (1720) et d après les des relevés récents Carte topographique 52 Les repères sur les cartes topographiques permettent enfin de se localiser avec précision Coordonnées (système de Lambert) Coordonnées classiques (degrés) Système de coordonnées UTM (le plus pratique car maillage kilométrique)

27 Orbitographie 53 Orbitographie 54 Grâce aux éphémérides de chaque satellite, la position peut être déterminée avec précision (1-10 m) des mois à l avance ******** Week 267 almanac for PRN-01 ******** ID: 01 Health: 000 Eccentricity: E-002 Time of Applicability(s): Orbital Inclination(rad): Rate of Right Ascen(r/s): E-008 SQRT(A) (m 1/2): Right Ascen at Week(rad): E+000 Argument of Perigee(rad): Mean Anom(rad): E+001 Af0(s): E-003 Af1(s/s): E-011 week: 267 Ephémérides du satellite NAVSTAR 01 Cela suppose que l on ait un excellent modèle pour décrire le mouvement des satellites

28 Orbites Le mouvement des satellites GPS obéit aux équations de Newton O Satellite et Terre s attirent avec la même force Orbites Le mouvement des satellites GPS répond aux équations de Newton O Les forces qui s exercent sur le satellite (sur la Terre) valent respectivement avec ( ) équations a priori difficiles à résoudre

29 Orbites Calculons F t + F s = 0 F t + F s = m t d 2 r t dt 2 + m s d 2 r s dt 2 = 0 Or le barycentre du système Terre-satellite vaut r B = m t r t + m s r s m t + m s On en conclut que le barycentre n est pas accéléré, puisque d 2 r B dt 2 = 0 L ensemble Terre-satellite subit donc un mouvement rectiligne uniforme! on peut dissocier le mouvement de l ensemble Terresatellite de celui du satellite autour de la Terre Orbites Au lieu d étudier cette trajectoire-ci On pourra se contenter d étudier celle-là (beaucoup plus simple) barycentre

30 Orbites Calculons F s F t F s F t = m s d 2 r s dt 2 m t d 2 r t dt 2 O on trouve µ d2 r dt 2 = GµM r 2 r r M = m t + m s masse totale µ = m tm s m t + m s masse réduite r = r s r t séparation Terre-satellite Orbites Dans notre cas, nous avons m s m t M m t, µ m s! On peut approximer l ensemble Terre-satellite par un satellite de masse m s qui tourne autour d une Terre immobile Terre et satellite tournent autour du barycentre Terre immobile autour de laquelle tourne le satellite le déplacement de la Terre causé par le satellite vaut environ

31 Orbites Une étude plus détaillée de l équation montre que le mouvement du satellite se situe dans un plan et conserve l énergie (pas de dissipation) les solutions sont des coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) Au début du XVII ème siècle, Johannes Kepler proposa une série de lois (empiriques) qui décrivent relativement bien les orbites des satellites il trouva ces lois sans connaître la solution analytique de l équation ces lois s avèrent être en bon accord avec les équations de Newton une loi générale est souvent plus utile qu une solution analytique détaillée Lois de Kepler Première loi de Kepler (loi des orbites) : l orbite du satellite est une ellipse dont un des foyers est occupé par la Terre. L orbite des satellites NAVSTAR sont en réalité des cercles. a a ellipse de demi-grand axe a cercle de rayon a

32 Quelques orbites courantes orbite polaire : bonne couverture de la Terre (satellites d imagerie terrestre) orbite Molnya : (satellites de télécommunication) orbite géostationnaire : reste toujours au-dessus du même lieu (satellites de télécommunication) chaque point = un satellite (vivant ou mort) en rotation autour de la terre Lois de Kepler Troisième loi de Kepler (loi des périodes): pour tous les satellites de la Terre, le rapport entre demi-grand axe et période orbitale est le même demi-grand axe (ellipse) ou rayon (cercle) période masse de la Terre a pour un cercle a = rayon Exemple station spatiale (altitude 390 km)! période de 1h30 satellite astra (altitude km)! période de 24h

33 Rayon d orbite vs période orbitale 65 Vitesse orbitale vs rayon d orbite 66

34 La mesure du temps 67 Mesure du temps La mesure précise du temps est un élément essentiel du positionnement par satellite! 10 ns d écart = 3 m d erreur! Ancienne définition de la seconde (avant 1968) : La seconde est égale à 1/86400 d un jour solaire moyen Définition actuelle de la seconde La seconde est la durée de périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins F=3 et F=4 de l'état fondamental 6S 1/2 de l'atome de césium 133.

35 Horloge atomique Le noyau du Cesium 133 ne peut pas avoir n importe quelle énergie! l énergie du noyau est quantifiée Le passage d un niveau d énergie à un autre s accompagne la libération ou de l absorption d un photon dont l énergie (la longueur d onde) est bien déterminée Mesure du temps Les horloges atomiques sont parmi les plus précises : elles se synchronisent sur la résonance d une transition atomique (Cesium ou Rubidium) Il en existe actuellement plusieurs dizaines dans le monde - elles sont synchronisées entre elles par des satellites GPS Leur précision relative : = 1 seconde d écart en ans Les futures horloges seront basées sur des fontaines d atomes froids (précision relative de ) et sur des résonateurs à fréquences optiques (précision relative de ).

36 Précision de la mesure 71 Toutes les horloges utilisent le principe de la résonance Circuit RLC C R i L largeur = 1 / facteur de qualité Q Bonne précision = facteur de qualité Q élevé Les meilleures horloges ont aujourd hui Q = Horloge atomique

37 Effet Doppler 73 Effet Doppler Effet Doppler-Fizeau : la fréquence d une onde n est pas la même suivant que l émetteur s approche ou s éloigne de l observateur la source s approche : la fréquence f semble plus élevée la source s éloigne : la fréquence f semble plus basse Si v est la vitesse de la source par rapport à l observateur (v>0 si la source s éloigne) et c la vitesse de l onde (c=330 m/s pour le son), alors f obs f source = c0 v c 0 + v

38 Effet Doppler Les applications de l effet Doppler-Fizeau sont nombreuses : mesure de la vitesse des véhicules sur la route mesure de la vitesse des étoiles par rapport à la Terre galaxie s approchant de la Terre galaxie immobile par rapport à la Terre galaxie s éloignant de la Terre Effets relativistes 76

39 La relativité Toute la physique classique repose sur le principe de relativité Les lois de la physique dans un référentiel inertiel (qui subit un mouvement rectiligne uniforme) restent les mêmes, quelle que soit la vitesse de ce référentiel Exemple : la tasse de café qui se renverse alors que vous êtes dans l avion produira le même effet, que l avion vole ou soit à l arrêt La relativité 78 Dès les années 1880, les découvertes en électrodynamique (équations de Maxwell) viennent tout bouleverser. La vitesse de la lumière dans le vide devrait être toujours la même, que le référentiel se déplace ou non

40 La relativité 79 Cette contradiction est résolue en 1905 par Albert Einstein (+ d autres), qui formule sa théorie de la relativité restreinte La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs Théorie de la relativité La vitesse de la lumière est donc la même pour tout observateur : il n y a plus de référentiel absolu! extrait de physics2000.com L expérimentateur qui mesure la vitesse de la lumière obtient toujours le même résultat

41 Théorie de la relativité Conséquences : 1) la vitesse de la lumière ne me dit rien sur la vitesse à laquelle je me déplace! 2) le temps n est plus absolu : il peut se dilater 3) les dimensions de l espace ne sont plus absolues : l espace peut se déformer Nous vivons dans un monde à 4 dimensions : x, y, z et t Exemple : le temps de vie des muons Les muons sont des particules élémentaires 200 plus lourdes que les électrons Les muons sont instables : ils se désintègrent spontanément en d autres particules. Leur demi-vie vaut 2.2 #s nombre de muons temps [#s] N(t) = N 0 e λt

42 Exemple : le temps de vie des muons 83 Les muons sont produits dans la haute atmosphère par des réactions nucléaires avec des particules extra-galactiques de très haute énergie Vitesse des muons = c0 = x 10 8 m/s Ces muons furent étudiés en 1930 par deux observatoires voisins, situés à 100 et à 1900 m d altitude! le temps mis par un muon pour parcourir cette distance est t = 1800 m m/s = 6.04 µs Exemple : le temps de vie des muons 84 On s attend à ce que sur 100 muons observés à 1900 m d altitude, il n en reste plus que 15 % à 100 m d altitude nombre de muons temps [#s] Or les observations montrèrent qu il en restait près de 80 %!

43 Les muons : explication 85 Du point de vue de l observateur terrestre Le muon se déplace à une vitesse proche de la lumière! le temps se dilate pour lui t muon = t obs 1 v2 /c 2 0 = 9.1 t obs Le temps de demi-vie du muon était de 2.2 #s il devient 2.2 #s x 9.1 = 20.1!s Il est donc normal que davantage de muons survivent au trajet. Les muons : explication 86 Du point de vue du muon Le muon voit la Terre s approcher de lui à vitesse élevée! l espace semble se contracter pour lui x muon = x obs 1 v 2 /c 2 0 = x obs 9.1 La distance à parcourir est de 1800 m elle devient 1800 m x 9.1 = 198 m Il est donc normal que davantage de muons survivent au trajet.

44 Relativité 87 Relativité : deux explications différentes pour une même réalité réalité Pour l observateur: le temps se dilate Pour les muons: l espace se contracte Théorie de la relativité = il n y a plus de temps absolu = il n y a plus de référentiel absolu Relativité et GPS La relativité joue un rôle important dans le positionnement GPS : Chaque satellite se déplace par rapport au sol à une vitesse de v = 3870 m/s = c 0 Pour un observateur terrestre, le temps à bord du satellite se dilate t obs t sat = = t 1 v2 /c 2 obs 0 Après 24h, cela équivaut à un décalage temporel de t sat t obs = 6.9 µs = 2070 m d erreur sur la position

45 Relativité et GPS 89 Mais par rapport à quel référentiel faut-il mesurer la vitesse du satellite NAVSTAR? Autres effets 90

46 La queue des comètes A quoi la double queue des comètes est-elle due? Hale-Bopp, Jamie Perry, April 1997 La queue des comètes La queue est due à la très faible pression exercée par : le rayonnement du Soleil le vent solaire Ces mêmes mécanismes exercent une pression sur les satellites Passage d une comète devant le Soleil (masqué par un disque)

47 La queue des comètes 93 Exemple : des comètes qui frôlent le Soleil (caché par un occulteur) La pression photonique Le rayonnement lumineux peut se décrire à la fois : comme des ondes électromagnétiques comme un flux de particules de masse nulle, les photons Chaque photon, même si sa masse est nulle, possède une quantité de mouvement et exerce donc une pression (très faible) Calcul de la pression photonique puissance incidente [W] photon pression [Pa] vitesse de la lumière [m/s]

48 La pression photonique Pour un satellite en orbite autour de la Terre, la puissance reçue par le Soleil vaut La surface d un satellite vaut env. 10 m 2 Environ 85% de ce rayonnement est réfléchi (réflexion spéculaire), le rendement est donc de La pression maximale vaut Ce qui équivaut à une force de Cette force est très faible, mais à long terme son impact peut devenir significatif Les voiles solaires La pression photonique est aujourd hui exploitée pour réaliser des voiles solaires Les futures missions interplanétaires seront équipées de voiles géantes (milliers de m 2 ), ce qui leur permettra d être emportées par le rayonnement solaire Pour avoir une force de 1 N, il faut une voile d environ 10 ha première voile solaire déployée dans l espace par une fusée japonaise (9 août 2004) projet américain

49 Gérer les erreurs du GPS 97 Calculer les erreurs Dans un système opérationnel comme le GPS il est essentiel de connaître sa position mais aussi l incertitude (ou erreur) sur la position Exemple : si le GPS n est toujours pas homologué pour l aviation civile, c est en partie parce que les erreurs de position ne sont pas toujours connues avec exactitude Un résultat du genre x = m n a aucun sens si on n a pas une idée de sa qualité! Or, le calcul de l incertitude est délicat car il fait intervenir de nombreux facteurs qu on ne maîtrise pas! l incertitude est toujours approximative (ordre de grandeur)

50 Quelle précision? De nombreux facteurs peuvent affecter la précision de la position. Cette dernière fluctue au cours du temps. Pour un récepteur à usage civil, et dans de bonnes conditions, l erreur est de l ordre de 5 m en position horizontale, et 10 m en vertical Dérive de la position au cours de 5h de mesures (position en mètres) lieu géométrique du récepteur Sources d erreur Les sources d erreur sont multiples. source d erreur ionosphère perturbée troposphère réflexions parasites horloge et précision des satellites bruit du récepteur erreur globale erreur typique 4 m 0.7 m 1.4 m 3.0 m 0.5 m ~ 5.5 m

51 Sources d erreur L erreur réelle dépasse souvent les 5 m dans 95% des cas, l erreur sur l altitude est < 50 m dans 95% des cas, l erreur sur la position horizontale est < 25 m Cela tient en partie au nombre et à la configuration des satellites vus par le récepteur (facteur géométrique ou GDOP) incertitude faible erreur géométrique erreur géométrique importante Propagation des erreurs Que signifie «"erreur = 5.5 m?!» On ne sait pas prédire les écarts par rapport à la position exacte. En revanche on sait qu elles restent regroupées autour d une valeur moyenne. La distribution (histogramme) des valeurs suit une loi bien reproductible. évolution de l erreur au cours du temps distribution (histogramme) des valeurs de l erreur

52 Propagation des erreurs Grâce à cette distribution, on peut déterminer la probabilité avec laquelle la position s écartera de la valeur exacte. En général, on approxime la distribution par une loi de Gauss (ou loi normale), où $ est l " erreur (écart-type) et la p(x) dx est la probabilité d être dans [x, x+dx] dans ce cas on sait qu en moyenne! 67% des mesures ont un écart < $! 95% des mesures ont un écart < 2 $! 99% des mesures ont un écart < 3 $ Réduire des erreurs Comment réduire l erreur de mesure? L erreur comprend généralement deux parties position mesurée par GPS position exacte erreur systématique elle est très difficile à corriger, et demande un bonne connaissance du phénomène erreur aléatoire son impact peut être réduit en moyennant les données

53 Réduire les erreurs L erreur due aux fluctuations aléatoires du signal peut être réduite en moyennant la position sur plusieurs observations (pendant laquelle les conditions de mesure ne doivent pas changer) Si on fait n mesures indépendantes de la position, alors si $ est l erreur sur une seule mesure x i l erreur sur la moyenne x = 1 n x i est σ x = σ x n n i=1 dans ce cas! en moyennant sur 4 mesures, on réduit l erreur de 2! en moyennant sur 10 mesures, on réduit l erreur de 3.2! en moyennant sur 100 mesures, on réduit l erreur de 10

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