Chapitre 1. Introduction

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1 Chapitre 1 Introduction En programmation : on definit des programmes En programmation fonctionnelle : programmes = fonctions Question 1 : qu est ce qu un programme fonctionnel? Calcule un résultat en fonction de ses entrées. = pas de modification physiques de ces entrées = pas d effets de bord (modification de variables globales, affichage...) = Sur les mêmes entrées produit toujours les mêmes sorties = composition de fonctions plutôt que séquence. En math : on définit des fonctions Question 2 : programme fonctionnel = fonction mathématique? 1

2 2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.1 Qu est ce qu une fonction en mathématique? Intuitivement, une fonction f d un ensemble E vers un ensemble F est un procédé pour associer à chaque élément de E un unique élément f(x) de F. Une correspondance C de E vers F est un ensemble de couples (x, y) où x E et y F. (un sous ensemble du produit cartésien). On dit que E est l ensemble de départ et F est l ensemble d arrivée L ensemble dom(c) = {x E; y F (x, y) C} est le domaine de définition de C et L ensemble Im(C) = {y F ; x E (x, y) C} est l image de C Une correspondance de E vers F est un fonction (partielle) si tout élément de E a au plus une image dans F. Une fonction de E vers F est un fonction totale (application) si son domaine est E tout entier. (i.e) tout element de E a une image Notation : On note une fonction comme suit f : E F x e

3 1.1. QU EST CE QU UNE FONCTION EN MATHÉMATIQUE? 3 Exercice : Voici des correspondances de N vers N. Parmi elles lesquelles sont des fonctions, fonctions totales. Donner les premiers couples du graphe (ou faire les dessins). id = {(x, x); x N} F 1 = {(x, y); x N y N y = 2 x} F 2 = {(x, y); x N y N z(x = z y)} F 3 = {((x, y), z); x, y, z N x = y + z)} F 4 = {(x, y); x N y N y est le plus petit multiple de x x}

4 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.2 Fonctions mathématiques et programmes fonctionnels Certaines définitions mathématiques de fonctions ressemblent à des programmes fonctionnels : F 1 let F1 x = 2*x ; ; D autres non : ne sont pas calculatoires : F 3, F 4. Disent quelle est la solution, pas comment on la calcule. Math = déclaratif. Programme=algorithmique. Prog fonctionnel = un moyen de calculer la sortie à partir des entrées. Notion de calcul est absente de la notion de fonction math. Signature des fonctions typage des programmes. ex F 1 : N N. Parmi les programmes fonctionnels suivants : lesquels ressemblent à des fonctions? let succ x = x+1;; let f x = if x<= 10 then x+1 else if x >= 10 then x+2 else x+3 ;; let g x = match x with 0 -> 1 n -> 2;; let h x = match x with 0 -> 1 1 -> 2;;

5 1.2. FONCTIONS MATHÉMATIQUES ET PROGRAMMES FONCTIONNELS 5 succ : pas de problème : fonction totale de N N. f = {((0, 1)...(10, 11), (11, 13)...(23, 25)...} Mais c est vrai par les règles de calcul du if : le cas x=10 est partagé entre le then et le else. Au niveau math : ambiguités. Au niveau prog : pas d ambiguité a condition de connaitre les règles de calcul. : g : même problème. Le filtre n inclut le cas 0, mais les règles de calcul du match nous permettent de lever l ambiguité. Au niveau math : pas une fonction : (0,1) et (0,2) h : problème inverse : il manque des cas. Le programme terminera en erreur à l exécution. Pas de sens en math. A la rigueur : on peut considérer que erreur à l execution = pas défini. Fonction partielle de N vers N. Dom={0, 1}.

6 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Conclusion :Un programme fonctionnel : a un type (ensemble de départ et d arrivée) lève des exceptions (domaine de définition des fonctions partielles) peut mener à des erreurs d exécution (???) donne un moyen effectif de calculer les images, lorsque l exécution est normale. Un programme fonctionnel : qui ne produit aucune erreur à l exécution et ne déclenche pas d exception, définit une fonction totale sur son type. Pour savoir quelle fonction est définie, il faut connaitre les règles de calcul du langage. qui ne produit aucune erreur et lève des exceptions définit une fonction partielle sur son type. domaine = les valeurs où aucune exception n est levée. Pour montrer qu un programme fonctionnel f de type E F définit une fonction (totale), il faut montrer x E, y F f(x) y L unicité de y est donnée par le modèle d exécution.

7 1.3. LA RÉCURSION la récursion Travail sur des programmes récursifs exercice Tracer l exécution des programmes suivants sur des exemples bien choisis et dire lesquels définissent des fonctions. Quel nouveau phénomène apparait avec les définitions récursives? Essayer de définir les critères permettant d affirmer qu une définition récursive définit une fonction totale. let rec fact0 n= n* fact1 (n-1);; let rec fact1 n= if n=0 then 1 else n* fact1 (n-1);; let rec fact2 n= if n<=0 then 1 else n* fact2 (n-1);; let rec estpair1 n = match n with 0 -> true n -> estpair1(n -2);; let rec estpair2 n = if n<0 then raise (Failure Pas defini ) else match n with 0 -> true n -> estpair1(n -2);;

8 8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION let rec estpair3 n = match n with 0 -> true 1 -> false n -> estpair2(n -2);; let rec estpair4 n = if n<0 then raise (Failure Pas defini ) match n with 0 -> true 1 -> false n -> estpair2(n -2);; else Exécution de fact0 fact0(1) 1* fact0(0) 1*0*fact0(-1)... Problème de terminaison. Sur n importe quel entier, la fonction se rappelle elle même un nombre infini de fois. Une fonction définie récursivement doit comporter au moins un cas non récursif (= cas d arrêt). Ce qui n est pas le cas ici. Ce programme boucle quelquesoit son entrée. ne définit pas une fonction (ou alors ).

9 1.3. LA RÉCURSION 9 Exécution de fact1 fact1(3) 3* fact1(2) 3*2*fact1(1) 3*2*1*fact1 (0) = 3*2*1*1 = 6 Pas de problème. La fonction se rappelle elle même, mais ce phénomène ne se produit qu un nombre fini de fois, car on finit toujours par tomber sur l appel fact1(0) qui n est pas récursif. fact1(-2) -2* fact1(-3) -2*-3*fact1(-4)... Problème de terminaison du calcul. Sur les entiers négatifs, la fonction se rappelle elle même un nombre infini de fois, car la suite des appels ne vient pas buter sur fact(0). toutes les suites de calcul possibles doivent venir buter sur le cas d arrêt. fact1 ne définit pas une fonction totale, mais une fonction partielle de domaine N. Exécution de fact2 Sur les entiers négatifs ou nuls, la fonction rend 1. Sur les entiers positifs, la fonction se rappelle elle même jusqu a tomber sur le cas d arrêt. fact2 est une fonction totale de Z N.

10 10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Exécution de estpair1 Boucle sur les entiers négatifs, termine sur les entiers positifs pairs, boucle sur les entiers positifs impairs car en descendant de 2 en 2 la fonction finit par se rappeler sur 1 puis sur -1 etc... Là encore, le cas d arrêt n est pas atteint. Exécution de estpair2 Lance une exception sur les entiers négatifs et les entiers positifs impairs. Fait ce qu il faut sur les entiers pairs. Exécution de estpair3 Termine sur les entiers positifs, boucle sur les négatifs. Exécution de estpair4 Termine sur les entiers positifs et négatifs.

11 1.3. LA RÉCURSION 11 Nouveauté avec les programmes récursifs : le problème de la terminaison. Sans récursion, les programmes peuvent produire des erreurs à l exécution s ils oublient des cas. Avec la récursion, ils peuvent ne jamais s arréter. Critère pour définir récursivement une fonction totale Il faut, comme pour toutes fonctions, que tous les cas de l ensemble de départ soient prévus dans la définition. En plus, il faut que sur toutes les entrées, le calcul termine. Ceci est possible si 1. Il y a au moins un cas non récursif. 2. Tous les cas récursifs viennent converger vers un cas d arrêt.

12 12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION definition récursive et mathématiques En math, on définit des fonctions recursivement, comme en programmation. fact(0) = 1 fact(n) = n fact(n 1) si n > 0 : c est un ensemble d égalités (équations). On ne parle pas de terminaison mais on doit montrer que ces équations définissent bien une fonction (même chose) : pour tout entier n, il existe un unique entier m tel que fact(n)=m Comment montrer cela? par un raisonnement par récurrence Nous verrons dans ce cours que raisonnement par récurrence et définition de fonctions de façon recursive sont intimement liés.

13 Chapitre 2 Ordres bien fondés et Induction 2.1 Lien entre définition récursive et structure de l ensemble de départ Programme t on récursivement sur n importe quel type de données (ensemble de départ)? Le cas de N Les exemples précédents : int int mais en fait le comportement qui nous interesse : N N. Pareil pour tous les exemples vus en cours de Ocaml. Autres types de données : listes, arbres,.... Pourquoi est ce facile de définir des fonctions récursives sur N? Parce que c est facile de trouver un cas de base : 0 Parce que 0 est le plus petit élément de N. On peut ordonner les éléments de N : < Il y a un élément 0 qui est plus petit que tout le monde. Définition récursive : appel recursif f(x) f(t) avec t < x Cas de base parmi les éléments les plus petits de N (0, 1... ). 13

14 14 CHAPITRE 2. ORDRES BIEN FONDÉS ET INDUCTION Le cas de Z Comment procéder pour définir des fonctions récursivement sur Z? Exercice : Définir récursivement la fonction pair sur Z avec estpair(-6) true. let rec estpair n = match n with 0 -> true; 1 -> false; n -> if n<0 then estpair(n+2) else estpair(n-2);; Il y a une relation d ordre sur Z : < Mais dans la définition, on ne fait pas que des appels récursifs sur des éléments < : Pair(n) -> pair(n+2) si n négatif. On a raison car si on le faisait : ne termine pas (cf estpair3) < sur Z est une relation d ordre, Mais qui n a pas de plus petit élément. Ce n est pas un ordre bien fondé > 2 > 1 > 0 > 1 > 2 >... < ne peut pas être utilisé pour faire decroître les appels récursifs. Mais : estpair utilise une autre relation d ordre : inf = (x, y) = true ssi x, y positifs et x <= y. ou x, y négatifs et x >= y ou x positif et y négatif

15 2.1. LIEN ENTRE DÉFINITION RÉCURSIVE ET STRUCTURE DE L ENSEMBLE DE DÉPART15 On a bien inf(n 2, n) si n positif. inf(n + 2, n) si n négatif. inf(0, n) pour tout n. Définition récursive : appel recursif f(x) f(t) avec inf(t, x) Cas de base parmi les éléments les plus petits de Z (0, 1, 1... ). L ordre usuel < sur Z n a pas de plus petit élément et ne peut donc pas être utilisé pour définir des fonctions récursives. Pour procéder récursivement sur Z, il faut trouver un ordre avec plus petit élément (exemple inf=) et respecter cet ordre dans les appels récursifs Le cas de R Procéder récursivement sur R? Impossible car... 0,, 1, 2, 3... Pas d ordre bien fondé possible.

16 16 CHAPITRE 2. ORDRES BIEN FONDÉS ET INDUCTION Généralisation Dès qu on a une relation d ordre avec plus petits éléments sur l ensemble de départ de la fonction qu on veut définir, on peut procéder de façon récursive : Chaque appel récursif doit décroître pour cet ordre. Les cas d arrêt seront proches et contiendront les plus petits éléments pour l ordre. Ces notions sont encore floues. On va maintenant les définir précisemment. En particulier être une relation d ordre avec plus petits éléments s appelle une relation d ordre bien fondée. Nous allons définir ces notions, puis fonder sur elles la possibilité de définir des fonctions par récurrence et de raisonner par récurrence (en fait par induction). Nous aurons ainsi le cadre général dans lequel vient s inscrire notre pratique intuitive de la définition de programmes récursifs. 2.2 Qu est ce qu une relation d ordre? Une relation d ordre large est une relation reflexive antisymétrique et transitive. Une relation d ordre stricte est une relation irrreflexive antisymétrique et transitive. Soit E un ensemble et R une relation de E vers E : R est reflexive ssi pour tout x dans E on a R(x,x) R est irreflexive ssi pour tout x dans E on a R(x,x) R est transitive ssi pour tout x,y,z dans E, dès que R(x,y) et R(y,z), on a aussi R(x,z) R est antisymétrique ssi pour tout x,y dans E, dès que R(x,y) et R(y,x), on a aussi x=y

17 2.3. QU EST CE QU UN BON ORDRE? 17 On note en général les relations d ordre large et les relations d ordre strict <. Passer d un ordre strict à un ordre large et réciproquement : x < y equivalent à x y et x y x y equivalent à x < y ou x = y Une relation d ordre est totale si tous les éléments sont deux à deux comparables. Sinon elle est partielle. 2.3 Qu est ce qu un bon ordre? Une relation d ordre sur un ensemble E est bien fondée s il n y a pas de suites strictement decroissante d éléments de E. Un ensemble muni d une relation d ordre (E, ) est bien fondé si est bien fondée sur E. un bon ordre est un ordre total bien fondé. La propriété importante : Un ensemble ordonné E est bien fondé ssi tout sous ensemble non vide de E admet un plus petit élément. Cela signifie en particulier que E à au moins un plus petit élément.si de plus, E est un bon ordre (total), il en a exactement un.

18 18 CHAPITRE 2. ORDRES BIEN FONDÉS ET INDUCTION 2.4 correction des définitions récursives Soit E un ensemble et un bon ordre sur E et a le plus petit élément de E. Soit F un ensemble quelconque. Pour définir une fonction f : E F il suffit de donner une définition qui donne 1. le cas pour a : qui doit etre non récursif. 2. autant d autres cas n incluant pas a que l on veut. Ces cas peuvent comporter des appels récursifs : f(n)=... f(m)... Ils doivent tous vérifier : m n.