Automates et circuits

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1 Arnaud Labourel Courriel : arnaud.labourel@lif.univ-mrs.fr Aix-marseille Université

2 But du cours Présentation du cours Définition de l informatique Informatique : science de l information et de son traitement de manière automatique. But : répondre à la question suivante Un traitement donné est-il "automatisable"? Existe-t-il une machine ou un programme qui permet de réaliser ce traitement? Pour répondre à cette question, on a besoin d outils qui seront le sujet du cours.

3 Programme Présentation du cours Définition de l informatique et codage d informations Rappels sur les ensembles, le dénombrement et les fonctions Relations Fonctions booléennes et circuits Circuits à mémoire et bascules Automates

4 Contenu Introduction Présentation du cours Définition de l informatique Volume horaire 10 cours (20h) 15 TD (30h) 5 TP (10h) Évaluation Un examen (E) Une note de TP (TP) Une note de contrôle continu (CC) Note finale NF = CC 0, 3 + TP 0, 2 + ET 0, 5

5 Sources Introduction Présentation du cours Définition de l informatique Transparents et feuilles de TD/TP fr&page=auto Livres Méthodes mathématiques pour l informatique, Jacques Vélu The new Turing Omnibus, A.K. Dewdey

6 Présentation du cours Définition de l informatique Information et codage Processeur = système automatique de traitement d information Information = éléments tels que texte, parole, image, mesure d une grandeur physique, nombre, etc... Information représentée sous une forme physique appropriée au traitement qu elle doit subir Première étape essentielle : codage de l information. Signaux (images, paroles, textes) codés in fine sous forme de 0 et de 1 (système binaire).

7 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Les systèmes de numération

8 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Les systèmes de numération Système conventionnel de comptage en base 10 incompatible avec la machine = Etude d autres systèmes de numération : utilisation de symboles appelés chiffres Le nombre de chiffres utilisés correspond à la base du système Système binaire : base 2 (symboles ou chiffres 0 et 1) Système Hexadécimal : Base 16 (symboles ou chiffres 0 à 9, et A B C D E F)

9 Principe d une base Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Base : le nombre qui définit le système de numération Base du système décimal = 10, base du système octal = 8, etc. Formule magique en base β i=0 i=n (b i β i ) = b n β n + + b 2 β 2 + b 1 β 1 + b 0 β 0 où : b i est le chiffre de la base de rang i β i est la puissance de la base β d exposant de rang i

10 Principe d une base i=0 i=n Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération (b i β i ) = b n β n + + b 2 β 2 + b 1 β 1 + b 0 β 0 Exemple en base β = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) rang i chiffre b i élément b i β i

11 Le système décimal Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Origine : le nombre de doigts 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Poids du chiffre = la puissance de 10 qu il multiplie Système de numération de position Les chiffres s écrivent de gauche à droite, par ordre décroissant des puissances de 10. La formule magique se précise, pour un nombre x composé de n chiffres i=0 (x) 10 = (b i 10 i ) = b n 10 n + + b b b 0 i=n

12 Le système octal Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Origine : pratique car c est une puissance de 2 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 On adapte la formule magique : i=0 (x) 8 = (b i 8 i ) = b n 8 n + + b b b 0 i=n Pour lever les ambiguités : (x) β pour préciser le système de numération (2011) 10 = = (3733) 8 Pour se détendre Pourquoi les informaticiens mélangent toujours Noël et Halloween? = Parce que DEC 25 = = OCT 31 = 31 8

13 Le système binaire Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Au centre de l informatique 2 chiffres : 0 et 1 (Vrai et Faux, ON et OFF, Oui et Non etc.) On adapte la formule magique : i=0 (x) 2 = (b i 2 i ) = b n 2 n + + b b b 0 i=n (2013) 10 = = ( ) 2

14 Le système binaire (cont d) Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Octets, bits et bytes Binary digits = Bits la plus petite unité Un octet = 8 bits (et en anglais : un byte) Un octet = la taille nécessaire pour coder en binaire une valeur parmi 256 ou une information pouvant avoir 256 états différents. (256 = 2 8 ) Préfixes binaires (kilo, mega...) Souvent utilisés lorsqu on a affaire à de grandes quantités d octets : puissances de 2 Ne pas confondre 15 Mbit et 15 Mo = 15 Mbytes...

15 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Préfixes binaires conventionnels Nom Symbole Puissance Déc Nombre unité 2 0 = un kilo k/k 2 10 = mille mega M 2 20 = million giga G 2 30 = milliard tera T 2 40 = billion peta P 2 50 = billiard exa E 2 60 = trillion

16 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Exemple de confusion dans les systèmes de mesure La délinquance des fabricants de disques dur Un disque dur de 1 To. Informatique : = 1To Fabricant de disque : To

17 Le système hexadécimal Pratique pour l adressage mémoire Exemple Unité de RAM, puissance de 2 16 chiffres : 0,1,2,...,9, A, B, C, D, E, F On adapte la formule magique : Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération i=0 (x) 16 = (b i 16 i ) = b n 16 n + + b b b 0 i=n (2013) 10 = = D 16 + D = (7DD) 16

18 Principe général Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Décomposition en puissances de On réalise autant de divisions par 10 que nécessaires, en gardant les restes, et on lit de droite à gauche = idem pour les autres bases

19 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Conversion décimal vers binaire Même principe : divisons par 2, gardons les restes sens de lecture (49) 10 = (110001) 2

20 Relation binaire / octal Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Examinons (103) 10 en bases 8 et 2

21 Relation binaire / octal Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Examinons (103) 10 en bases 8 et 2

22 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Relation binaire / puissances de 2 Equivalence : trois bits chiffre octal Conversion simplifiée ( ) 8 ( {}}{ 001 {}}{ 100 {}}{ 111 ) 2 ( ) 8 Autre exemple : ( {}}{ 010 {}}{ 000 {}}{ 101 {}}{ 100 ) 2 Même type de relation entre binaire / hexa ( A 5 0 F ) 16 ( {}}{ 1010 {}}{ 0101 {}}{ 0000 {}}{ 1111 ) 2

23 Relation octal / hexadecimal Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Astuce Il suffit de passer par le binaire : ( ) 8 De l octal au binaire : ( {}}{ 011 {}}{ 111 {}}{ 001 {}}{ 010 ) 2 Du binaire à l hexadécimal : ( 0111 }{{} 1100 }{{} 1010 }{{} ) 2 ( 7 C A ) 16

24 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Nombre de chiffres pour représenter un nombre Nombre de chiffres de x dans une base β Soit x = b n b n 1 b n 2 b 2 b 1 b 0 écrit dans la base β. Si b n 0, on note n + 1 = N β (x) le nombre de chiffres nécessaires pour exprimer x dans la base β. Estimons N β (x) Exemple : β = 2, combien de bits pour exprimer (45) 10?

25 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Nombre de chiffres pour représenter un nombre (cont d) Théorème N β (x) est le plus petit entier strictement supérieur à Log β (x) Exemple pour β = 2 et x = (1503) 10 ln(1503) = 7, 32 et ln(2) = 0, 693 Donc Log 2 (1503) = 7,32 0,693 = 10, 6 et N 2(1503) = 11 Donc il faut 11 bits pour représenter (1503) 10 en binaire. En effet, ce nombre s écrit, en base 2 :

26 Les bases Changement de base Propriétés des systèmes de numération Indifférence de la base β pour x grand Théorème Le rapport N β(x) N β (x) tend vers ln(β ) ln(β) quand x tend vers l infini Exemple Pour écrire un grand nombre en base 2, il faut environ 3, 32 fois plus de chiffres qu en base 10 car ln(10) ln(2) = 3, 32...

27 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation des nombres

28 De l infini au fini Représentation des entiers Représentation des réels Les nombres en mathématiques Une infinité d entiers naturels (N), une infinité de réels (R), et la précision des irrationnels Les nombres en informatique Représentation dans le système binaire Limites matérielles Quelle que soit la taille d une disque, il y aura toujours un entier qui ne pourra pas y être stocké. Soit une disque de 1To = 2 40 chiffres binaires : pas d entier > Représentation approchée des réels Pas de représentation numérique exacte de 2

29 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation binaire des données entières Les entiers non-signés Les entiers naturels (zéro et les positifs) Pas de gestion du signe : codage binaire pur Sur un octet, on représente les entiers de 0 à = 255 Sur deux octets, on représente les entiers de 0 à = 65535

30 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation binaire des données entières Les entiers signés Tous les entiers (dans la limite de capacité) Il faut un bit pour représenter le signe (positif ou négatif) et codage binaire de la valeur absolue Sur un octet, on représente les entiers de = 127 à = 127 Sur deux octets, on représente les entiers de = à = 255 = 32767

31 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation binaire des données entières Alternative : le complément à deux Toujours éventuellement un bit pour le signe, mais autre façon de coder la valeur absolue 1 On exprime la valeur absolue en base 2 2 Ensuite on compléments à deux si on code une valeur négative : Tous les bits sont inversés On ajoute une unité au résultat Une seule façon de coder 0 : ( ) Un négatif de plus!

32 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation binaire des données entières Exemple (sur 2 octets, un négatif de plus) 1 = ( ) 1 = ( ) 3 = ( ) 3 = ( ) = ( ) = ( ) = ( )

33 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation binaire des données entières Répartition des entiers dans le complément à deux positifs négatif Pourquoi utiliser cette représentation? Pour que l addition entre deux nombres soit correcte que leur suite de bits représente un entier signé ou non ( 1)

34 Représentation des entiers Représentation des réels Représentation des données réelles Une approximation Problématiques : 1 assurer la précision derrière la virgule 2 pouvoir représenter de grands nombres , Avant et après la virgule Solutions classiques Virgule fixe Virgule flottante

35 Virgule fixe Nombre fixe de chiffres après la virgule Représentation des entiers Représentation des réels Opérations plus simple processeurs moins chers Plus facile à coder dans la machine Deux parties Exemple La partie entière codée en binaire (complément à deux) La partie décimale : chaque bit correspond à l inverse d une puissance de 2 3, = }{{} }{{} 3 0, 625 =

36 Représentation des entiers Représentation des réels Capacité de représentation en virgule fixe Représentation rigide Petits nombres : gaspillage des chiffres à gauche de la virgule Peu de décimales : gaspillage à droite Plus simple à mettre en œuvre, pour des ordres de grandeur comparables Bornes Si n est le nombre de bits de la partie entière, et d est le nombre de bits de la partie fractionnaire Borne maximale : 2 n d Borne minimale : 2 n 1

37 Représentation des entiers Représentation des réels Partie décimale de 0, 347 en binaire 0, =0, 694 < 1= on pose 0: 0, 347 =0, 0 0, =1, 388 > 1= on pose 1: 0, 347 =0, 01 0, =0, 766 < 1= on pose 0: 0, 347 =0, 010 0, =1, 552 > 1= on pose 1: 0, 347 =0, , =1, 104 > 1= on pose 1: 0, 347 =0, , =0, 208 < 1= on pose 0: 0, 347 =0, , =0, 416 < 1= on pose 0: 0, 347 =0, , =0, 832 < 1= on pose 0: 0, 347 =0, , =1, 664 > 1= on pose 1: 0, 347 =0, , =1, 328 > 1= on pose 1: 0, 347 =0,

38 Virgule flottante Représentation des entiers Représentation des réels Solution la plus répandue Norme IEEE 75 : deux formats (32bits et 64bits) selon précision (simple et double) Ordinateurs actuels : implémentation matérielle de ce mode de représentation (dans le micro-processeur) Un triplet Le signe s La mantisse m L exposant e : x = smβ e 1540, = 1, = 0, , = 1,

39 Virgule flottante (cont d) Représentation des entiers Représentation des réels Remarques Mantisse de taille fixée On fait flotter la virgule en faisant varier e Base souvent 2 (Héxa chez anciennes machines, 10 chez certaines calculatrices) Précisions 1 m < 2 taille signe e m valeur Simple précision 32b s m2 e 127 Double précision 64b s m2 e 1023

40 Représentation des entiers Représentation des réels Exemple du nombre 6, En simple précision Binaire (valeur absolue) : 110, 101 Normalisation de la mantisse : 1, Occupation des 24 bits de mantisse 1, }{{} Décalage de l exposant (S.P. = 127) donc exposant = ( ) 10 = Signe = 1 car négatif

41 Introduction Codages Codage de l information dans un ordinateur

42 Introduction Codages De l information au bit Nombreuses étapes entre le phénomène réel et son codage dans la machine. Exemple de codage en plusieurs phases : En biologie : de l ADN à la protéine. En informatique : du son au fichier mp3

43 Exemple en biologie Introduction Codages

44 Exemple en multimédia Introduction Codages son CD audio fichier mp3 numériser un échantillon toutes les s valeurs entre et compression ajout de données (images, parôle, etc) son + images + parole

45 Introduction Codages Modéliser : représenter en plus simple Capacité de stockage Un ordinateur récent a de très grande capacité de stockage : DD = 2To, RAM = 4Go. Néanmoins il ne peut : enregistrer les informations qu en bits (0 ou 1). en enregistrer qu un nombre fini. Modéliser et approximer Se ramener au fini, mais rester fidèle : représenter la modélisation dans un monde fini Ne pas faire d erreur de calcul (ou les connaître)

46 Quatre type de codages Introduction Codages Il existe quatre type différents de codage qui sont utilisés couramment : Numérisation Codage de données discrètes Compression Correction/détection d erreurs Chiffrement

47 Introduction Codages Numérisation : discrétiser le réel Numériser consiste à coder une information réelle en série de bits. Exemple : photographie Un appareil photo numérique transforme une vue en un fichier binaire. La résolution (nombre de pixels) de l image est finie ainsi que la palette de couleurs.

48 Introduction Codages Le codage des données discrètes consiste à dénombrer et numéroter des données discrètes (nombre fini de possibilités). Cela revient à trouver une bijection entre l ensemble des objets codés et un intervalle d entiers. Exemple : code ASCII Chaque caractère est codé par un nombre entre 0 et 127 qui est représenté en binaire sur un octet. A a

49 Introduction Codages Compression : gagner de la place Compresser consiste à transformer une suite de bits en une suite plus courte codant la même information. Il existe deux type de compression : Sans perte (l information reste la même) Avec perte (une partie de l information est perdue) Exemple : flux vidéo Les vidéos sont très souvent compressées. On utilise le fait que les images qui se suivent dans le flux sont souvent similaires. Sans compression, les vidéos prendraient trop de place.

50 Introduction Codages Détection/correction d erreur Un code détecteur/correcteur utilise la redondance afin que l information ne soit pas perdu si quelques bits sont changés. Très utilisé car les supports physiques (disque dur, DVD) sont sujet aux erreurs. Exemple : triplement des bits On triple tous les bits d un mot afin de retrouver l information même si certains bits sont changés codage erreur décodage

51 Introduction Codages Chiffrement : sécuriser des données Le chiffrement est un procédé grâce auquel on souhaite rendre la compréhension d un document impossible sans la clé de chiffrement. Très utilisé sur internet pour transmettre des informations sensibles (mot de passe, numéro carte bleu) de manière sécurisée.

52 Introduction Codages Utilisation combinée des codages Exemple du Bluray Numérisation : la caméra produit un flux vidéo brut Compression : le flux est compressé afin qu il puisse tenir sur un Bluray (format MP4) Code correcteur : on rajoute des codes correcteurs/détecteurs afin que la lecture soit possible malgré des erreurs (impuretés sur le disque) Chiffrement : le flux entre le lecteur et la télévision est chiffré pour qu il ne puisse pas être accédé par un tiers (protocole HDCP)