Chapitre : Les nombres relatifs

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1 Chapitre : Les nombres relatifs I Somme de nombres Règle de simplification des signes : Lors de l addition ou la soustraction de nombres relatifs, on peut remplacer deux signes qui se suivent par un seul : - " + " si ces signes sont les mêmes - " " si ces signes sont différents Exemple : ( 4 ) ( + 3 ) = 4 3 ( 7 ) + ( 3 ) + ( + 9 ) = Vocabulaire : 4 + ( 3 ) + ( + 5 ) est la somme des termes 4 ; 3 ; est aussi la somme des termes 4 ; 3 ; 5. Attention : Un terme contient son signe. Exemple : La somme des termes 9 ; 6 ; + 3 ; 7 est Propriété des sommes (commutativité) : Dans une somme, l ordre des termes n a pas d importance. Exemples : = = = 2 10,5 17, ,5 + 2,56 = = 25 II Multiplication Règle de signe du produit : Pour trouver le signe du résultat d une multiplication de plusieurs nombres relatifs, il suffit de compter le nombre de " " : - si ce nombre est pair, le résultat est positif. - si ce nombre est impair, le résultat est négatif. Méthode pour multiplier des nombres relatifs : Calculons ( 5 ) ( + 6 ) ( 2 ) ( 10 ) 1 ) On trouve le signe du résultat grâce à la règle du signe du produit. Ici, il y a 3 signes " " (impaire) : le résultat est négatif 2 ) On trouve la partie numérique du résultat en effectuant la multiplication sans les signes. Ici : = 600 Donc ( 5 ) ( + 6 ) ( 2 ) ( 10 ) = 600 Exemple : ( 7 ) ( + 2 ) ( 5 ) 10 ( 1 ) ( 2 ) = : 5 signes donc négatif Cas particulier : 0 a = 0 a 0 = 0 1 a = a a 1= a ( 1) a = a : multiplie par 1 un nombre donne son opposé. Vocabulaire : ( 2) 3 ( 5) 6 est le produit des facteurs : 2 ; 3 ; 5 ; 6

2 III Division Règle de signe de la division : C est la même que celle de la multiplication. Conséquence : Règle des signes : Pour trouver le signe du résultat d un calcul qui ne contient QUE des multiplications et des divisions, on compte le nombre de signes " ". pair : positif Exemples : impair : négatif 8 4 = = = = = = = Remarque : On a : a b = a b = a b Exemple : IV Règles de calcul Règles de priorités de calcul : Pour effectuer un calcul, on calcule d abord : les parenthèses ensuite : les multiplications et les divisions enfin : les additions et les soustractions. Quand il y a plusieurs possibilités, on effectue la première dans l ordre de lecture Exemple : A = 2,5 4 ( 10 8,75 ) A = 2,5 4 1,25 A = 2,5 5 A = 2,5 Remarque : A est la somme des termes 2,5 et 4 ( 10 8,75 )

3 Exercice 1 : a ) En écrivant les opérations, calcule la somme des termes 7 ; 8 et 12. Même question avec la somme des termes : 9,4 ; 7,8 ; 2,2. b ) Décris ces calculs en employant les mots " somme " et " terme " : A = B = C = Exercice 2 : On pose A = x + y et B = x y. Calculer A et B lorsque : a) x = 1 et y = 2 b) x = 3 et y = 2 c) x = 2,2 et y = 3,3 d) x = 2,5 et y = 3,6 Activité 1 : a ) Complète la table de 3 suivante en commençant par la droite. ( 5) 3 ( 4) 3 ( 3) 3 ( 2) 3 ( 1) = = = = = = = = = = Complète : 2 ( 3 ) =.. +.=... Complète la table de 3 suivante en commençant par la droite. ( 5) ( 3) ( 4) ( 3) ( 3) ( 3) ( 2) ( 3) ( 1) ( 3) 0 ( 3) 1 ( 3) 2 ( 3) 3 ( 3) 4 ( 3) = = = = = = = = = = Complète cette règle : Le produit de deux nombres de signes : identiques est différents est b) Complète : ( + 3 ) ( + 4 ) = ( 3 ) ( + 4 ) = ( + 3 ) ( 4 ) = ( 3 ) ( 4 ) = Associe correctement : multiplier par un nombre positif change le signe multiplier par un nombre négatif ne change pas le signe Quel est le signe du résultat de : ( 5 ) ( 3 ) ( + 4 ) ( 7 ) ( + 3 ) ( 10 ) ( 12 )? Trouve une règle pour trouver le signe du résultat d une multiplication de nombres relatifs. Exercice 3 : Calculer A = 4 2 B = C = E est le produit des facteurs : 3 ; 9 ; 100 F est le produit des facteurs : D = 24 8 ( 7 ) 18 9 ; 4 ; 7 ; 56 7 Exercice 4 : Calcule A et B. A est la somme des termes : 4 3 ; ; 2 ( 3 ) 10 B est la somme des termes : 5 ; 4 (10 13) ; ; 7... EXERCICES POUR PREPARER LE CONTROLE (calculatrice interdite) Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes (donner les résultats en écriture décimale) A = ( 7 ) + ( 13 ) B = 8,6 + ( 10,6 ) C = 8,4 ( 13,2 ) D = 9,5 7 10,1 Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes a ) x + 9 = 13 b ) 12 + x = 14,5 c ) 42 = x + 98 d ) 7,5 + x + 6,7 = 9,3 Exercice 3 : Calculer les expressions suivantes A = ( 5 ) ( 13 ) B = 8,6 ( 10 ) C = 8,4 ( 100 ) D = 5,5 6 Exercice 4 : Calculer les expressions suivantes A = 7 3 ( 2) B = 3 ( 3) 5 ( 4) C = 7 ( 8) ( 2) 10 D = ( 0,01) 100 ( 5) 10 ( 2) ( 1) Exercice 5 : Calculer les expressions suivantes (donner les résultats en écriture décimale) 54 A = B = C = D = ( 4 ) Exercice 6 : Calculer les expressions suivantes A = ( 2 ) B = 3 ( 3 ) 5 ( 4 ) C = 7 8 ( ) D =15 ( )( 8 9 2)

4 RESULTATS DES EXERCICES POUR PREPARER LE CONTROLE (calculatrice interdite) Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes (donner les résultats en écriture décimale) A = 20 B = 2 C = 21,6 D = 7,6 Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes a ) x = 4 b ) x = 26,5 c ) x = 56 d ) x = 8,5 Exercice 3 : Calculer les expressions suivantes A = 65 B = 86 C = 840 D = 33 Exercice 4 : Calculer les expressions suivantes A = 42 B = 180 C = 1120 D = 100 Exercice 5 : Calculer les expressions suivantes (donner les résultats en écriture décimale) A = 6 B = 12 C = 75,84 D = 32 Exercice 6 : Calculer les expressions suivantes A = 13 B = 11 C = 63 D = 505

5 DEVOIR : addition de deux nombres relatifs Complète : signe du résultat : c est celui du nombre le plus grand. Calcul à faire : addition si les nombres ont le même signe et soustraction si ils sont de signe contraire. ( 2 ) + ( + 2 ) = ( 8 ) + ( 8 ) = ( 6 ) + ( 5 ) = ( + 17 ) + ( 12 ) = ( 6 ) + ( + 3 ) = ( + 9 ) + ( 6 ) = ( + 5 ) + ( 8 ) = ( + 12 ) + ( + 16 ) = ( 2 ) + ( + 6 ) = ( 3 ) + ( 5 ) = ( + 8 ) + ( 5 ) = ( 11 ) + ( + 15 ) = ( 6 ) + ( 7 ) = ( 2 ) + ( + 8 ) = ( 16 ) + ( 9 ) = ( + 3 ) + ( + 17 ) = ( + 5 ) + ( 7 ) = ( + 9 ) + ( 4 ) = ( 4 ) + ( + 9 ) = ( + 2 ) + ( 3 ) = ( 9 ) + ( 7 ) = ( + 8 ) + ( 9 ) = ( 14 ) + ( + 16 ) = ( + 4 ) + ( + 14 ) = ( + 7 ) + ( 5 ) = ( + 8 ) + ( + 6 ) = ( + 10 ) + ( 2 ) = ( 10 ) + ( 5 ) = ( 3 ) + ( 6 ) = ( 5 ) + ( + 7 ) = ( 3 ) + ( + 3 ) = ( + 8 ) + ( + 18 ) = ( 5 ) + ( + 8 ) = ( + 4 ) + ( + 6 ) = ( 12 ) + ( + 19 ) = ( 10 ) + ( 13 ) = ( 8 ) + ( + 8 ) = ( + 2 ) + ( + 4 ) = ( + 7 ) + ( + 13 ) = 7 + ( 12 ) = DEVOIR : somme de nombres relatifs Exercice 1 : Calcule en utilisant la règle suivante : «Le résultat est du signe du nombre qui a la plus grande partie numérique. Si les nombres ont le même signe, on fait une addition, sinon, on fait une soustraction.» Exemples : ( 4 ) + ( 8 ) = 12 car : " " car 8 est le nombre qui a la plus grande partie numérique ( 8 > 4 ) 12 car on fait = 12 ( 4 et 8 sont de même signe) ( 5 ) + ( + 9 ) = + 4 car : " + " car + 9 est le nombre qui a la plus grande partie numérique ( 9 > 5 ) 4 car on fait 9 5 = 4 ( 5 et + 9 sont de signe différent) A = ( 2 ) + ( + 5 ) B = ( + 0 ) + ( 7 ) C = ( 5 ) + ( + 7 ) D = ( 5 ) + ( 4 ) E = ( 6 ) + ( 9 ) F = (+ 10 ) + ( 6 ) G = ( + 1 ) + ( + 2 ) H = ( + 8 ) + ( + 5 ) I = ( 0 ) + ( + 8 ) J = ( 4 ) + ( 7 ) Exercice 2 : Calcule en soulignant si besoin en couleur les nombres que tu regroupes. Exemple : = = 5 A = 3 7 B = C = 12 8 D = E = F = G = 8,1 4,2 0,8 + 1,9 H = 14, , Exercice 3 : Ecris sans parenthèses puis calcule comme dans l exercice 1 en utilisant la règle suivante : " Dans une addition ou une soustraction de nombres relatifs, je peux remplacer : deux mêmes signes qui se suivent par un seul " + " deux signes différents qui se suivent par un seul " " Exemple : A = ( + 7 ) ( 9 ) + ( 12 ) + ( + 6 ) = = 1 3 = 4 B = ( 2 ) ( 2 ) + ( 4 ) C = ( + 3 ) ( 6 ) ( + 3 ) ( + 4 ) D = + ( + 5 ) + ( 6 ) ( + 7 ) E = (+14 ) ( 3 ) + ( 6 ) F = ( 4 ) ( 10 ) ( + 8 ) ( + 2 ) G = 3,8 ( 5,4 ) 6,2 ( + 8,4 ) Devoir : les équations Résous ces équations en additionnant ou soustrayant le (ou les) nombre(s) qu il faut comme dans les exemples. Exemples : 18 + x = 12 donc 18 + x + 18 = donc x = 6 x + 12 = 5 donc x = 5 12 donc x = 7 a ) 10 + x = 5 b ) 8,7 + x = 12 c ) x 8 = 15 d ) x + 7 = 23 e ) 45 = 50 + x f ) 22,5 = x + 17,5 g ) 7 + x + 12 = 8 h ) 17 + x = 6 i ) x 15 = 16

6 Devoir noté à faire à la maison Dans un jeu de guerre, deux clans s affrontent : le clan noir et le clan blanc. Chaque clan possède des armées qui ont toutes la même force, si bien que lorsque des armées blanches affrontent des armées noires, il ne reste plus après la bataille que les armées qu un des clans avait en plus des armées de l autre. Par exemple, si 5 armées noires affrontent 3 armées blanches, il ne reste plus à la fin que 2 armées noires. On note donc : 5 armées noires + 3 armées blanches = 2 armées noires a ) Recopie et donne les résultats des affrontements suivants : 10 armées noires + 5 armées blanches = 22 armées noires + 13 armées blanches = 42 armées blanches + 1 armées noires = D autre part, des armées d un même clan peuvent se retrouver. Par exemple, lorsque 4 armées noires retrouvent 3 armées noires, cela fait 7 armées noires. On note donc : 4 armées noires + 3 armées noires = 7 armées noires b ) Recopie et donne les résultats des regroupements suivants : 10 armées noires + 5 armées noires = 12 armées blanches + 13 armées blanches = 32 armées blanches armées blanches = On symbolise maintenant les armées blanches par le signe «+» et les armées noires par le signe. On notera donc + 17 ( ou plus simplement 17 ) pour dire 17 armées blanches et 20 pour dire 20 armées noires. L affrontement : «32 armées blanches + 11 armées noires = 21 armées blanches» se note donc aussi ( + 32 ) + ( 11 ) = + 21 ou plus simplement 32 + ( 11 ) = 21 c ) Recopie et calcule les rencontres suivantes : A = ( 7 ) + ( 6 ) B = ( + 9 ) + ( 16 ) C = ( 41,2 ) + ( + 61,1 ) D = 8 + ( 7 ) + 9