Constructions distribuées d arbres couvrants. Algorithmique répartie! M1 Université d Evry! Lélia Blin

Transcription

1 Constructions distribuées d arbres couvrants Algorithmique répartie! M1 Université d Evry! Lélia Blin "1

2 Arbre propriétés (rappel) Soit T=(V,E) un graphe à n sommets ces propriétés sont équivalentes! T est un arbre! T est connexe et sans cycle! T est connexe et admet n-1 arêtes! T est sans cycle et admet n-1 arêtes! T est connexe et si on supprime une arête quelconque, il ne l est plus! T est sans cycle et en ajoutant une arête on crée un cycle et 1 seul "2

3 Arbre remarques Un arbre n a pas toujours de racine! Feuille:! noeud qui a un seul voisin! Noeud interne:! noeud qui a plusieurs voisins "3

4 Arbre enraciné Un arbre enraciné est un arbre qui a une racine! La notion de feuille et de noeud interne reste la même! Parent:! r voisin sur l unique chemin entre le noeud est la racine! Enfant(s):! voisin(s) qui n est pas parent si il existe "4

5 Graphe partiel Soit G=(V,E) un graphe! V l ensemble des sommets! E l ensemble des arrêtes! Un graphe partiel G de G est un graphe qui a les mêmes sommets que G et dont l ensemble des arêtes est inclus dans G! G =(V,E ) avec E E "5

6 Arbre couvrant Soit G=(V,E) un graphe! Un arbre couvrant de G est! Un graphe partiel acyclique "6

7 Algorithme distribué uniformité Soit un réseau G(V,E)! V est l ensemble des processeurs de G! E est l ensemble des liens bidirectionnels de communication! Si l ensemble des processeurs ont le même algorithme! l algorithme distribué est dit uniforme! Si un ou plusieurs processeurs ont des algorithmes dédiés! L algorithme distribué est dit semi-uniforme "7

8 Algorithmes distribués semi-uniforme de construction d arbre couvrant "8

9 Arbre couvrant enraciné Soit un graphe G(V,E) quelconque! V est l ensemble des noeud de G! E est l ensemble des liens bidirectionnels de communication! Le réseau est asynchrone! On distingue un noeud r de V! r sera considéré comme la racine de l arbre couvrant! Chaque noeud i connait l ensemble de ces voisins N i! On veut construire un arbre couvrant enraciné en r! Algorithme semi-uniforme "9

10 Principe Chaque noeud est endormi! La racine r déclenche l algorithme! Chaque fois qu un noeud reçoit un message pour la première fois! Il se réveille! Il considère comme parent le voisin qui la réveillé "10

11 Pseudo code Initialisation de i parent i := nil; Réveil de la racine r enfants r := ; msgattendu r := N r ; Envoyé <Go> à N r "11

12 Pseudo code Lors de la reception de <Go> envoyé par j: si parent i = nil alors parent i := j ; enfants i := ; msgattendu i := N i -1 ; Envoyé <Go> à N i -j sinon msgattendu i := msgattendu i -1 si msgattendu i = 0 envoyé <Back> à parent i Lors de la reception de <Back> envoyé par j msgattendu i := msgattendu i -1 enfants i := enfants i {j} si msgattendu i = 0 envoyé <Back> à parent i "12

13 Exemple "13

14 Complexité Nombre de messages! 2 messages par lien! Graphe contenant le plus de liens:! graphe complet: n 2 liens! Total 2n 2! Ordre de grandeur: O(n 2 ) messages! Taille des messages! messages: Go et Back! Chaines de caractère! Ordre de grandeur: O(1) "14

15 Terminaison Terminaison locale:! Quand un noeud u envoie le message <Back>! Terminaison globale:! Quand la racine reçois le dernier message! msgattendu i = 0! rm: la racine n a pas de parent, elle n enverra pas de message <Back> "15

16 Question La relation parent-enfants est elle toujours la même?! Cette relation dépend de l asynchronisme du réseaux! Réseaux synchrone! Toujours le même arbre couvrant! Réseaux asynchrone! Arbres couvrants différents "16

17 Exemple synchrone "17

18 Arbre couvrant en largeur Soit un graphe G(V,E) quelconque! V est l ensemble des noeud de G! E est l ensemble des liens bidirectionnels de communication! Le réseau est asynchrone! On distingue un noeud r de V! r sera considéré comme la racine de l arbre couvrant! Chaque noeud i connait l ensemble de ces voisins N i! On veut construire un arbre en profondeur couvrant ayant comme racine r! Algorithme semi-uniforme "18

19 Principe Chaque noeud est endormi! La racine r déclenche l algorithme par l envoie d une distance! Un noeud choisit comme parent! celui qui a la plus petite distance à la racine "19

20 Pseudo code Initialisation de i parent i := nil; distance r := Réveil de la racine r distance r := 0 Envoyé <Go,0> à N r Lors de la reception de <Go,d> envoyé par j: si d+1< distance i alors parent i := j ; distance i := d+1 envoyé <Go,d+1> à N i- {j} "20

21 Exemple "21

22 Complexité Nombre de messages! O(n) messages par lien! Graphe contenant le plus de liens:! graphe complet: n 2 liens! Ordre de grandeur: O(n 3 ) messages! Taille des messages! messages: <Go,distance>! Distance la plus longue: chaîne -> n-1! Ordre de grandeur: O(log n) "22

23 Construction d un pire des cas pour le nombre de messages "23

24 Terminaison Terminaison locale:! non connue! Terminaison globale:! non connue "24

25 Question La relation parent-enfants est elle toujours la même?! Cette relation dépend de l asynchronisme du réseaux! Réseaux synchrone! Toujours le même arbre couvrant! Réseaux asynchrone! Arbres couvrants différents mes distance égales "25

26 Exemples "26

27 Question Comment construire un BFS ayant toujours la même relation parent enfants?!! Réponse: Rajouter l identifiant "27

28 Pseudo code Initialisation de i parent i := nil; distance r := Réveil de la racine r distance r := 0 Envoyé <Go,0> à N r Lors de la reception de <Go,d> envoyé par j: si (d+1<distance i )ou (d+1=distance i et parent i > j) alors parent i := j ; distance i := d+1 envoyé <Go,d+1> à N i- {j} "28

29 Exemple A C B D F G E H I K J "29

30 Complexité La complexité en nombre de message reste inchangée "30