I - Présentation A] Qu est-ce qu une fractale?

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1 I - Présentation A] Qu est-ce qu une fractale? Les fractales sont des figures géométriques de structure complexe dont la création ou la forme met en jeu des règles utilisant le fractionnement. Les fractales sont à la base d un nouveau système de géométrie permettant de représenter des objets très irréguliers tels que les reliefs montagneux, les amas galactiques ou les côtes rocheuses très découpées. Apparues au XIXème siècle, les fractales sont considérées comme des curiosités mathématiques jusqu au milieu du XXème siècle. Elles n acquièrent un statut à part entière que dans les années soixante-dix, grâce au mathématicien Benoît Mandelbrot qui en fait l objet d une nouvelle discipline mathématique : la géométrie fractale. Le terme «fractale» (du latin fractus, «brisé») a été d ailleurs inventé par Mandelbrot (voir biographie ci-dessous) pour désigner un type d objets dont l irrégularité les distingue des figures géométriques euclidiennes telles que la droite ou le cercle. En géométrie euclidienne, les figures ont une dimension entière : 0 pour un point, 1 pour une courbe, 2 pour une surface et 3 pour un volume. En revanche, la dimension d une fractale peut prendre des valeurs qui ne sont pas des nombres entiers : la dimension fractale constitue une généralisation de la notion de dimension utilisée en géométrie euclidienne.

2 B] Le créateur des fractales : Benoît Mandelbrot a- Biographie Benoît Mandelbrot, en dehors de l institut de Newton à Cambridge. Benoît Mandelbrot (1924-?), mathématicien français a développé la géométrie fractale en la considérant comme étant une branche à part des mathématiques. Né à Varsovie, Mandelbrot fit ses études en France et aux Etats-Unis et obtint son doctorat de mathématique à l université de Paris en Il enseigna l économie à l université Harvard, l ingénierie à Yale, la physiologie à la faculté de médecine et les mathématiques à Paris et à Genève. A partir de 1958, il travailla pour IBM au centre de recherche Thomas B. Watson à New York. La géométrie fractale se distingue par son approche plus abstraite de la dimension qu elle ne l est dans la géométrie traditionnelle. Elle trouve de plus en plus d applications dans différents domaines de la science et de la technologie. Les objets fractals (1975) a fait connaître ses travaux dans le monde entier. b- L ensemble de Mandelbrot Cet ensemble, découvert en 1981, est souvent considéré comme «la fractale la plus complexe» et représente à ce titre le symbole des fractales. Il a été découvert en tentant de résoudre le problème suivant :

3 Soit la suite Z n+1 =Z n 2 +c avec Z 0 =0 et c un nombre complexe quelconque. La question que Mandelbrot s est posé est la suivante : suivant la valeur de c, quel comportement la suite va-t-elle avoir? Va-t-elle converger, diverger ou être cyclique? L idée est de balayer à l aide d un ordinateur une région de l espace des complexes. Pour chaque pixel de l écran on associe une valeur de c et on calcule le comportement de la suite associée. Si un Z i possède un module supérieur à 2, c est que la suite va diverger. On dessine alors le pixel de la couleur i. Si au bout d un nombre d itérations maximum, le module de Z n est toujours inférieur à 2, on estime que la suite ne diverge pas et on affiche le pixel en noir. On obtient alors : Le centre en noir représente l espace où la suite converge. Les couleurs indiquent les courbes de niveau, c est-à-dire la vitesse de divergence de la fonction. A noter que l ensemble de Mandelbrot est la frontière entre l espace où la suite converge et l espace où elle diverge. Il n est pas visible par cet algorithme. En revanche, l algorithme dit des distances («distance bound estimator algorithm») donne une bonne idée de la nature de l ensemble, comme le montre les deux images suivantes (l ensemble de Mandelbrot est représenté en blanc) :

4 On remarque que l ensemble de Mandelbrot est très complexe. On a même l impression qu il recouvre une surface. De fait, sa dimension fractale est de 2. L ensemble est par endroit dense (au sens mathématique du terme) dans R 2. Si l ensemble de Mandelbrot n est pas auto similaire dans le sens où les formes rencontrées trahissent la zone de l agrandissement, on peut tout de même dire qu il est «formé d une multitude de copies de lui-même». En effet, en examinant les agrandissements successifs suivants, on s aperçoit que l on retrouve la même forme. Où que l on agrandisse, on retrouvera toujours au bout d un moment ou un autre la forme de départ.

5 Quelques zooms sur l ensemble de Mandelbrot : Fig.1 : Figure initiale Fig.2 : Zoom dans la partie supérieure de la fig.1 Fig.3 : Zoom dans la partie Supérieure de la fig.2 Fig.4 : Zoom dans la branche de gauche de la fig.3

6 II - L immensité de l univers des fractales A] Les objets fractals a- Définition Les objets fractals peuvent se définir comme des structures obtenues par l itération d un algorithme géométrique sur une figure. Pour construire des objets fractals, nous débutons avec un objet graphique quelconque (ligne, triangle, carré, cube, etc ). Par la suite, nous définissons une opération, ou une série d opérations, qui ajouteront un élément de complexité à l objet initial. Nous appliquons à l infini, les transformations choisies à l objet de départ.

7 b- Le triangle de Sierpinsky Timbre polonais à l effigie de Sierpinsky Biographie Né à Varsovie en 1882 Sierpinsky est un mathématicien polonais. Il reçut son doctorat en 1908 et devint professeur à l université de Lvov. Il consacre alors ses recherches à la théorie des nombres. Après la Première Guerre Mondiale, il obtient en 1919 un poste à l université de Varsovie où il y restera jusqu à sa mort (1969). Entre temps il aura écrit plus de 700 articles et 50 livres dont «La théorie des nombres irrationnels» (1910) et «La théorie des nombres» (1912). Construction Le triangle de Sierpinsky (appelé aussi «tamis de Sierpinsky») est obtenu en partant d un triangle équilatéral noir. On prend les milieux de chacun de ses côtés et on enlève le triangle équilatéral ainsi obtenu. On obtient alors trois nouveaux triangles équilatéraux. On recommence alors l opération précédente à chacun de ces nouveaux triangles, et ainsi de suite. On obtient alors neuf, vingtsept, quatre-vingt-un, nouveaux triangles. Le triangle de Sierpinsky est une figure sur laquelle on effectue un algorithme géométrique en enlevant les triangles renversés. Etape 1 Etape 2 Etape 3

8 c- Le flocon de Von Koch Biographie Niels Fabian Helge Von Koch est né le 25 janvier 1870 à Stockholm en Suède et mort le 11 mars 1924 dans cette même ville. La courbe qui porte son nom, est un célèbre exemple de courbe de longueur infinie, continue en tout point et dérivable en aucun point. Construction Pour tracer ce flocon, il faut : Tracer un triangle équilatéral. Remplacer le tiers central de chaque côté par un point dont la longueur de chaque côté est égale aussi au tiers du côté. Recommencer cette construction sur chaque côté des triangles ainsi formés.

9 B] Les fractales naturelles a- Définition Les choux-fleurs, les arbres, les nuages, les éclairs électriques, les montagnes, les poumons et les vaisseaux sanguins sont des fractales naturelles. Ces dernières sont tous les éléments et les phénomènes de la nature qui présentent des propriétés fractales. Cette catégorie regroupe donc les fractales qui se rapprochent le plus de notre quotidien. Le chou-fleur Prenons par exemple la fougère qui possède un caractère fractal évident. Cette dernière permet de démontrer que les fractales naturelles n ont pas une complexité infinie (ici, la complexité se termine aux plus petites feuilles des plus petites branches) et que la propriété d auto similitude, dans la nature, n existe qu avec une certaine approximation.

10 b- Cas particuliers On peut considérer ce coquillage comme étant une fractale naturelle mais aussi comme étant un objet fractal car ses motifs ressemblent étrangement à ceux du triangle de Sierpinsky. C] Les fractales déterministes a- Définition Les fractales déterministes regroupent certainement les plus complexes et les plus spectaculaires fractales : elles combinent la science des mathématiques et la beauté de l art. Les exemples les plus fondamentaux sont l ensemble de Mandelbrot (voir pages 3 et 4) et les ensembles de Julia (=sous-ensembles de l ensemble de Mandelbrot). Les ensembles de Julia Gaston Maurice Les fractales déterministes ne comprennent pas seulement les fractales obtenues par l itération d une équation en nombre complexe, mais aussi un autre sous catégorie appelée IFS.

11 b- Images de fractales IFS c- La complexité des fractales déterministes Pour les fractales déterministes le processus de formation est beaucoup plus compliqué que celui des objets fractals. Elles sont développées par l itération de polynômes en nombres complexes. Les ordinateurs sont indispensables à leur création. Il faut comprendre qu il est difficile de dessiner des fractales à la main car nous sommes dans l impossibilité de tracer tous les détails, à l infini, avec précision. Les ordinateurs sont nécessaire pour de tels opérations car ils nous permettent de visualiser et de créer des fractales impressionnantes. CONCLUSION D après ce que nous venons de voir nous pouvons conclure que la beauté et la forme des fractales présentent des ruptures et des continuités. En effet si nous faisons un zoom sur une quelconque partie d une fractale nous retrouvons toujours la même construction, la même forme mais si sa longueur croit indéfiniment sa surface, elle, est stabilisée à un moment donné (son aire est limité) la surface d une fractale peut se contenir dans un carré. Ainsi les fractales se distinguent des autres domaines scientifiques. Elles font en quelque sorte un pont entre deux inconciliables : l art (la beauté), un moyen d expression et de création fondé sur les émotions et l imaginaire, et la science, une discipline théorique, expérimentale et cohérente.

12 LEXIQUE A -Algorithme : -Converger : Ensemble des règles opératoires Se concentrer, se diriger Propres à un calcul. Vers un point commun. -Amas galactique : -Cyclique : Ensemble d étoiles jeunes situé relatif à un cycle, qui se au voisinage du plan galactique. Produit selon un cycle. -Auto similaire : Qui est toujours à peu prés D semblable (équivalent). -Dense : -Auto similitude : Qui est impénétrable, Même relation unissant deux compact et épais. Choses semblables ; caractère -Dérivable : de deux figures semblables. Qu on peut éloigner -Divergence : G Etat de ce qui diverge, de -Géométrie euclidienne : ce qui va en s écartant. Géométrie fondée par -Diverger : Euclide sur les propriétés Aller en s écartant de plus intuitives de l espace en plus (les côtés d un sensible. triangle diverge). C I -Itération : -Pixel : Action de faire une nouvelle Chaque point d une fois, action de faire deux fois image éléctronique. la même application. -Polynômes : Expressions algébriques constituées par des sommes algébriques de monômes (séparés par les signes + et -). Le binôme, le trinôme sont des polynômes. P

13 BIBLIOGRAPHIE Sites Internet (Liens valides en Avril 2003) (le site le plus clair) Liste de liens sur les fractales : Livres documentaires Universalités et fractales, Bernard Sapoval Collection Nouvelle Bibliothéque scientifique Edition : Flammarion Atlas des mathématiques, Fritz Reinhart et Heinrich Soeder Edition : le livre de poche, Page Dictionnaire des mathématiques, Alain Bouvier. Michel Edition : puf, George François le Lionnais, Page Les objets fractals, Benoît Mandelbrot Edition : Flammarion (Poche)