Gestion de Projets Daniel DE WOLF

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1 UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D OPALE Master 1 Economie et Gestion de l Environnement et du Développement Durable Gestion de Projets Daniel DE WOLF Dunkerque, Janvier 2007

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3 Table des matières I Techniques de gestion de projets 7 1 Introduction Objectifs du cours Plan du cours Définition de la gestion de projets Définition du projet Définition des objectifs du projet Notion de tâches d un projet La définition de la gestion de projets Exercice L ordonnancement de projets Introduction Formulation du problème Représentation graphique du problème Graphe de la méthode du potentiel Représentation des autres types de contraintes Condition d existence d une solution Classement des activités par niveaux Calcul de l ordonnancement Ordonnancement au plus tôt Ordonnancement au plus tard Chemin critique et calcul des marges Notion de tâche critique

4 4 Table des matières Notion de marge libre et de marge indépendante d une tâche L ordonnancement par la méthode PERT Programmation effective du projet Présentation des résultats Prise en compte des contraintes disjonctives Cas de contraintes cumulatives Critère de minimisation de la durée d achèvement du projet Critère de lissage de charge des ressources utilisées Exercices Analyse du projet Définition du projet Structuration hiérarchisée du projet Les phases du projet Utilité del ingénierie concourante Gestion simultanée de plusieurs projets Définition technique des tâches et de leurs relations Les relations entre tâches Les caractéristiques de la tâche Le coût du projet Analyse des coûts sur la durée de vie d un produit Analyse économique du projet L appel à l actualisation Un exemple de choix de capacité Exercices Lesuivi du projet Introduction Le suivi de la programmation Le suivi des coûts Les données de références... 73

5 Table des matières Les données révisées à date t Les grandeurs à comparer Analyse de l écart de planning Analyse de l écart de coût Exercice Laprise en compte du risque Introduction L approche quantitative du risque Distribution statistique de la durée d une tâche L approche classique L approche simulatoire Limites de l approche quantitative du risque délai L analyse qualitative du risque Les risques internes encourus en phase d élaboration du projet Les risques externes encourus en phase d élaboration du projet Les risques relatifs àlaprévision d utilisation des ressources Les risques encourus en phase d exécution du projet La prise en compte du risque La diminution du risque en phase d élaboration Organisation de la réactivité Exercices A Formulaire pour la gestion de projets 105 A.1 Notion de marge libre et de marge totale A.2 Calcul d annuités A.3 Définition de l écart de planning A.4 Définition de l écart de coût A.5 Distribution de probabilité A.6 L approche classique du risque...110

6 6 Table des matières B Table de nombres au hasard 111 C Table de la loi normale centrée réduite 113

7 Partie I Techniques de gestion de projets 7

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9 Chapitre 1 Introduction 1.1 Objectifs du cours Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s agit, d une part, de donner aux étudiants les bases pour la formulation de problèmes de gestion de projets et, d autre part, d introduire les techniques de résolution de ces problèmes. On présentera les techniques d ordonnancement, d analyse de projets, de suivi de projets et de gestion du risque. Comme référence principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion de projets, [2]. Des études de cas illustrant les concepts vus au cours pourront être trouvées dans les les ouvrages suivants : Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, [1], Robert HOUDAYER, Evaluation financière des projets [4], Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques [6] J.R. MEREDITH et al, Project Management [7]. 1.2 Plan du cours Le cours est divisé encinq chapitres. Chapitre 1 : Introduction. Dans ce chapitre, nous donnerons une définition de la gestion de projets que l on rencontre aussi bien pour les problèmes de type série unitaire (construction d ouvrages d art,..) que pour le lancement de nouveaux produits (lancement d un nouveau modèle automobile 9

10 10 Chapitre 1. Introduction par exemple). On présentera les objectifs de respect de la qualité, de respect des délais et de respect des coûts. Onprésentera brièvement la direction de projet qui relève des décisions stratégiques (définition des objectifs, des ressources à mettre en œuvre et appréciation des risques) et le contrôle de projet qui, lui, relève des décisions tactiques (estimation préalable de la durée et des coûts des tâches, respect des délais et des coûts durant la réalisation du projet). Chapitre 2 : L ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous présenterons les deux principales techniques de planification de projets, à savoir la méthode du potentiel et la méthode PERT. Pour chacune de ces deux méthodes, nous verrons comment représenter le problème à l aide d un graphe, comment calculer les dates de début au plus tôt et au plus tard des tâches ainsi que la manière de calculer le chemin critique. Nous verrons également comment tenir compte de contraintes additionnelles telles que les contraintes disjonctives (un équipement à partager) ou de lissage de charge des ressources utilisées. Nous verrons également comment l analyse du chemin critique peut être utile pour réduire la durée du projet. Chapitre 3 : L analyse du projet. Lors de la définition du projet, il convient de donner une définition précise des phases du projet, une définition fine des tâches du projet et de leurs relations ainsi qu un calcul des coûts de réalisation des tâches du projet. Ons intéressera également dans ce chapitre à l élaboration du plan d investissement nécessaire à la réalisation du projet et à l analyse économique du projet. Chapitre 4 : Le suivi de projets. Dans ce chapitre, nous présenterons les deux principales techniques de contrôle d un projet, à savoir le suivi de la programmation (suivi de l exécution des tâches) et le suivi des coûts (contrôle budgétaire du projet). On analysera les écarts de planning et les écarts de coût et on présentera les indicateurs à mettre en œuvre àfindedétecter ces écarts. Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous présenterons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dans l approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique de la durée ou du coût de réalisation d une tâche. On peut alors faire des simulations. Dans l approche qualitative du risque, on présentera les différentes techniques de réduction des risques encourus aussi bien dans la phase de définition du projet (mauvaises prévisions) que dans la phase d exécution (rencontre d aléas externes).

11 Section 1.3. Définition de la gestion de projets Définition de la gestion de projets Définition du projet Comme l indique Giard [2], un projet est défini et mis en œuvre pour élaborer une réponse au besoin d un utilisateur, d un client et il implique un objectif et des actions à entreprendre avec des ressources données. Cette définition implique que l on mette en œuvre une organisation spécifique et temporaire durant la préparation et la réalisation du projet. A titre d exemples, on peut classer ce qui peut faire l objet d un projet sous les quatre rubriques suivantes : La production de type série unitaire qui se définit comme la mobilisation de toutes les ressources de l entreprise pour la réalisation d un projet de production sur une durée assez longue. Les exemples classiques sont la construction navale de très gros bateaux (type France ou Queen Mary II), les grands ouvrages de génie civil (tels que le Tunnel sous la manche). Les activités de gestion non répétitive correspondant à un enjeu technicoéconomique important pour l entreprise. Les exemples classiques sont le lancement d un nouveau produit, le changement de système informatique, un investissement important dans de nouveaux outils de production. Même dans les industries de production de masse,la gestion de projet est utilisée pour raccourcir de manière importante l intervalle de temps qui sépare la décision de créer un produit de sa production en série. Un exemple classique est le lancement d un nouveau modèle automobile. Enfin, programmes d aide aux pays en voie de développement sont souvent ordonnées et contrôlés avec les techniques d ordonnancement et de contrôle de projets qui seront présentées dans ce cours Définition des objectifs du projet Dans tout projet, on peut identifier trois catégories d objectif qui sont souvent antagonistes : Les objectifs de performance technique relatifs au respect des spécifications fonctionnelles et des caractéristiques techniques du produit. On se définit ainsi un niveau de qualité en ce qui concerne, par exemple le respect de tolérance, la fiabilité duproduit, la facilité d usage,...etc

12 12 Chapitre 1. Introduction Les objectifs de délai sont un composante très importante pour le client. Ainsi, il ne sert à rien de livrer un stade olympique 3 mois après la fin des jeux olympiques. D autre part, dans un marché concurrentiel, tel que celui des produits pharmaceutiques, être le premier à mettre sur le marché un nouveau vaccin ou un nouveau médicament peut représenter un effet de monopole et des gains substantiels pour le premier arrivé sur le marché. Les objectifs de coût sont primordiaux, notamment dans le cadre d un contrat à prix non révisables ou dans le cas d un projet interne. Ces trois catégories d objectif sont fortement liées. Par exemple, il est plus facile de respecter des objectifs techniques si le délai imparti est plus grand ou si les ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus onéreuses Notion de tâches d un projet Un projet est constitué d un ensemble de tâches ou encore d activités. Chaque tâche du projet : est identifiée par son rôle à jouer dans l exécution du projet, se caractérise par un début et une fin, consomme des ressources qui ont un coup d utilisation et sont disponibles en quantité limitée, est souvent reliée aux autres tâches du projet par des relations d antériorité qui impliquent qu une tâche ne peut débuter avant qu une autre ne soit préalablement terminée (bien qu un certain recouvrement des tâches soit possible dans certains cas comme nous le verrons). On résumera utilement (voir cas de l exercice à la section 1.4) la liste des tâches, de leurs ancêtres et de leur consommation de ressource par un tableau tel que celui présenté en La définition de la gestion de projets Le management de projet comporte deux fonctions bien différentes : La direction de projet qui s intéresse aux décisions stratégiques (décisions à long terme mettant en jeu l avenir de l entreprise).

13 Section 1.3. Définition de la gestion de projets 13 Tâche Durée Ancêtres Remarques coût (keuros) 1-Démolition 10 jours (1er jour) -2-Permis 3- Terrassement 4- Fondations 5.1- Gros-oeuvre Gros-oeuvre 2 6-Toitures 7.1 Placoplâtre 7.2 Electricité Electricité Peinture murs 7.5 Peinture sol 8-Démontage 9-Remontage Commande livraison Essais 11 - Inauguration Tableau 1.1: Descriptions des tâches du projet

14 14 Chapitre 1. Introduction la gestion de projet qui s intéresse aux décisions opérationnelles (décisions à court terme de gestion des équipements et du personnel). La direction de projet est assurée par un chef de projet assisté parfois d une équipe. La mission de cette direction de projet est quadruple : 1. fixer les objectifs du projet en terme de délais, de performances techniques (notamment le choix des solutions techniques), 2. définir les moyens à mettre en œuvre en ce qui concerne les ressources matérielles et humaines. Ce qui implique directement d attribuer un budget àlaréalisation du projet. 3. d apprécier les risques encourus et de mettre en œuvre des procédures de surveillance (par exemple, définir des indicateurs de tenue des délais et des coûts), 4. d animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs activités, en faisant des évaluations régulières qui conduisent parfois àréviser les objectifs du projet. La gestion de projet est assurée par un contrôleur de projet. Elle a pour objectif d apporter àladirection de projet les informations relatives à l avancement de l exécution du projet, au respect de ses objectifs et de ses coûts. Durant la phase de préparation, la gestion de projet permet une estimation rapide de la durée des tâches et des moyens à mobiliser et donc des coûts induits. Ceci permet de préparer l ordonnancement. Durant l exécution du projet, lagestion de projet vise la maîtrise des délais et des coûts en utilisant des tableaux de bord. Alafinduprojet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer des enseignements pour l avenir. Dans ce cours, nous allons présenter un certain nombre d outils qui relèvent de la gestion de projets : par exemple, les techniques d ordonnancement qui seront présentées au chapitre 2, les techniques de suivi budgétaire qui seront présentées au chapitre 4. Nous présenterons également un certain nombre de techniques relevant de la direction de projets : par exemple, l analyse économique du projet qui fera l objet du chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l objet du chapitre 5.

15 Section 1.4. Exercice Exercice 1.1. Cas de l entreprise BURBOX. La société BURBOX est une société spécialisée dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d édifier une nouvelle usine à la place d un entrepôt inutilisé afin de répondre à l accroissement de sa demande. Les tâches àexécuter sont les suivantes : 1) La démolition de l ancien entrepôt et l enlèvement des gravats par la société DUPOND a une durée estimée à10jours ouvrables. L opération est facturée euros le premier jour de l exécution de la tâche. Le permis de démolition est déjà accordé. 2) L obtention du permis de bâtir pour le nouveau bâtiment devrait prendre 25 jours. 3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent débuter avant que le permis ne soit accordé, sont prévus pour une durée de 5 jours. Le coût est de 180 euros par m 3 et on estime qu il y a m 3 à enlever. Le paiement est fait pour moitié audébut et pour moitié àlafindelatâche. 4) Les travaux de fondation du nouveau bâtiment durent 10 jours pour un coût prévu de euros. 5) Le gros œuvre est scindé endeux tranches : 5.1 La première tranche débutant après les fondations est prévue pour une durée de 18 jours et un coût prévisionnel de euros qu il est prévu de payer en trois fois (20 % au début, 40 % le 10ème jour et le solde àlafindugros œuvre 1); 5.2 La seconde tranche, qui peut débuter 5 jours avant la fin de la première tranche, doit durer 7 jours et a un coût prévu de euros (50 % au début, 50 % àlafin). 6) La toiture devrait pouvoir être faite en 10 jours au prix de euros et peut débuter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre. 7) La tâche de finition du bâtiment consiste en les cinq tâches suivantes : 7.1 La pose de panneaux industriels de plâtre par la société MARTIN pour une durée de 6 jours et un coût forfaitaire de euros; 7.2 La première phase d électrification du bâtiment consiste en l installation successive de 3 transformateurs. Elle est effectuée par la société LAMBERT pour euros (versement initial de euros, versement de euros àlaréception de chaque transformateur). L installation et la réception d un transformateur nécessite 5 jours (15 jours au total pour la tâche);

16 16 Chapitre 1. Introduction 7.3 La seconde phase d électrification est prise en charge par le personnel des services généraux de la société BURBOX qui comptent 5 agents. Le travail est estimé à 320 heures de travail (coût horaire de 150 euros). Les fournitures à acheter coûtent euros. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la première phase d électrification. Les travaux d électrification doivent être terminés avant la peinture. 7.4 Le travail de peinture des murs est estiméà 200 heures et est pris en charge par les services généraux de BURBOX. 7.5 Le travail de peinture du sol est estiméà 120 heures et doit aussi être pris en charge par les services généraux. Les deux phases de peinture peuvent être effectuées en parallèle avec un maximum de 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinture doivent être achevées avant l installation des machines. 8) Le démontage des anciennes machines dure 2 jours et sera effectué par les 5 employés des services généraux. On programmera cette tâche au plus tard avec une marge de 5 jours. 9) Le remontage des machines dure la même période et mobilise les mêmes ressources. Il faut que les travaux de peinture (mur et sol) soient finis. Le remontage est programmé auplus tard. 10) L acquisition de nouvelles machines pour un montant de euros (moitié àlacommande, moitié àlafindes essais) comporte les tâches suivantes : jour pour passer la commande; 10.2 la livraison dure 1 jour et est effectuée 21 jours après la commande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie jours d essai du matériel. 11) L inauguration des nouvelles installations à l issue du remontage et des essais dure 1 jour. On demande (a) de réfléchir àladurée des travaux confiés aux services centraux en : calculant la durée de la tâche 7.3; imaginant une organisation du travail de peinture (7.4 et 7.5) ayant pour objectif d immobiliser au minimum l équipe de 5 agents. (b) d établir un tableau récapitulatif des tâches avec leur désignation, la liste de leurs ancêtres, leur durée, leur coût et les observations quant à leur programmation. On complètera ainsi le tableau 2.7.

17 Chapitre 2 L ordonnancement de projets 2.1 Introduction Lors de tout projet de grande envergure (construction d un bateau, d un avion, d un bâtiment,...), un problème crucial qui se pose est celui du calendrier d exécution des tâches. Le problème est de déterminer dans quel ordre doivent s enchaîner les diverses tâches de manière à minimiser le temps total d exécution du projet. Prenons un exemple. Onveut construire un nouveau bâtiment de manière à pouvoir déménager au plus tôt. Certaines tâches ne peuvent s exécuter qu après que d autres soient terminées. Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondations sont terminées. D autres tâches peuvent s exécuter simultanément. Par exemple, les travaux d électricitéetdeplomberie peuvent être menés de pair. Les données sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple. No tâche durée (jours) préalables 1 terrassement 5-2 fondations colonnes porteuses charpente toiture couverture maçonnerie plomberie, électricité coulage dalle béton chauffage 4 8et6 10 plâtre 10 9et5 11 finitions 5 10 Tableau 2.1: Construction d un bâtiment On doit tenir compte, dans les problèmes d ordonnancement, de divers types 17

18 18 Chapitre 2. L ordonnancement de projets de contraintes. Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d une tâche dans le temps : une tâche ne peut commencer avant une telle date, ou après une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques). Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d antériorité entre les tâches : une telle tâche ne peut commencer avant la fin d une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n est pas fini). Les contraintes cumulatives imposent la prise en compte de la disponibilité de ressources non stockables, par exemple des heures de travail en personnel ou d équipement dont on peut disposer au cours d une période et qui sont perdues si elles ne sont pas utilisées durant cette période. Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tâches ne peuvent avoir lieu en même temps sans que l on puisse dire laquelle doit être effectuée avant l autre (par exemple, une même grue est utilisée sur deux chantiers). Le problème d ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appelé problème central d ordonnancement. Ils agit donc de déterminer le calendrier de début de chacune des tâches de manière à terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles. Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa résolution, ce problème utilise la notion de graphe. On peut, en effet, représenter le problème sur un graphe et, ensuite, résoudre le problème graphiquement. De plus, la présentation du résultat de calcul (l ordonnancement des tâches) sera beaucoup plus claire sur ce graphique que sur un tableau de chiffres. Il existe deux méthodes de résolution pour ce problème, àsavoir : la méthode du potentiel développée en France dans les années 60 et qui associe à chaque tâche un nœud du réseau, tandis que les relations d antériorité sont représentées par des arcs entre les tâches (voir figure 2.1); la méthode PERT développée parallèlement aux Etats Unis d Amérique et qui, elle, associe chaque tâche à un arc du réseau, et chaque relation d antériorité àunnœud (voir figure 2.2). Algorithmiquement, les deux méthodes de résolution sont équivalentes, mais la méthode du potentiel permet d écrire le graphe de réseau de manière systématique (sans ajouter d arc fictif).

19 Section 2.2. Formulation du problème 19 tâche i i d i i avant j tâche j j Figure 2.1: Graphe de la méthode des potentiels. i avant j i, d i j, d j tâche i tâche j 2.2 Formulation du problème Figure 2.2: Graphe de la méthode PERT. Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tâches àexécuter, indicées i =1,...n. Utilisons également la notation d i pour désigner la durée d exécution de la tâche i (qui est ici une donnée). Les variables du problème sont les suivantes : t i note le temps de début d exécution de la tâche i,ett f note le temps de fin de chantier. L objectif est de minimiser le temps de réalisation du chantier : min z = t f t 0 où t 0 note la date de début de chntier que l on fixe à t 0 =0. Les contraintes du problème sont de trois types : Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tâche i ne peut commencer avant le début de chantier : t i t 0, i =1, 2,...n (2.1) Les contraintes de succession temporelle expriment que la tâche j ne peut débuter avant que toute tâche i préalable à j ne soit finie : t i + d i t j, tâche i antérieure àlatâche j (2.2) Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tâche i doit être finie avant la fin de chantier : t i + d i t f, i =1, 2,...n (2.3) Remarquez que vu la présence des contraintes de succession temporelle (2.2), il suffit d écrire (2.1) pour toute tâche n ayant pas de prédécesseur et (2.3) pout toute tâche n ayant pas de successeur.

20 20 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.3 Représentation graphique du problème Graphe de la méthode du potentiel On associe donc au problème central d ordonnancement un graphe dont les sommets représentent les diverses tâches du problème d ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond àladate de début de chantier et un nœud f = n +1 qui correspond à la fin de chantier. Les arcs du réseau représentent les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante t i + d i t j On peut construire systématiquement le graphe associé auproblème d ordonnancement de la manière suivante (voir figure 2.3) : Figure 2.3: graphe associé On relie d abord toutes les tâches sans préalable (la tâche 1 dans le cas de l exemple) au nœud 0, début de chantier par un arc de longueur nulle. Remarquez qu il s agit de la représentation des contraintes (2.1). 2. Ensuite, on prend une tâche déjà dans le graphe et on examine si elle précède d autres. Par exemple, la tâche 1 doit précéder la tâche 2. Ondoit donc avoir t 1 + d 1 t 2. On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueur d 1.Onfait de même pour représenter toutes les contraintes de type (2.2). 3. Pour les seules tâches sans successeur, on les relie au nœud fin de chantier, avec un arc de longueur égale àladurée de la tâche. Ici, seule la tâche finition est dans ce cas. Il s agit ici de représenter les contraintes du type (2.3). Lors de la construction du graphe d un problème réel qui peut comporter plus d une centaine de tâches, une méthode plus systématique de construction du graphe doit être utilisée, méthode faisant appel au classement des activités par niveaux (voir section 2.4).

21 Section 2.3. Représentation graphique du problème Représentation des autres types de contraintes Disons un mot de la représentation des trois autres types de contraintes : 1. Supposons d abord que la tâche 3 ne puisse commencer avant 10 : t 3 10 t 3 t Ceci se représente en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10 (voir figure 2.4). 2. Ensuite, supposons que la tâche 5 doive être commencée avant 40 : t 5 40 t 0 t Ceci se représente en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de longueur Enfin, supposons que la tâche 9 doive commencer au plus tard 5 jours après le début de la tâche 8 : t 9 t 8 +5 t 8 t 9 5. Ceci se représente en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de longueur Figure 2.4: Trois autres types de contraintes. -5

22 22 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Condition d existence d une solution Avant de voir l algorithme qui permet de résoudre le problème d ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce problème est réalisable. En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et être incompatibles entres elles. Supposons que nous ayons la situation suivante. La tâche 1, qui dure d 1 jours, doit être terminée avant que la tâche 2 ne commence. La tâche 2, qui dure d 2 jours, doit être terminée avant que la tâche 3 ne commence. La tâche 3, qui dure d 3 jours, doit être terminée avant que la tâche 1 ne commence. tâche durée préalable 1 d d d 3 2 Il est clair qu un tel problème va conduire à une impossibilité. 2 d 1 d 2 1 d 3 3 Figure 2.5: Circuit de longueur positive. Cette situation est représentée à la figure 2.5. On voit ici que le graphe contient un circuit (cycle avec tous les arcs dans le même sens) dont la somme des longueurs des arcs est positive. Écrivons les contraintes correspondantes : t 1 + d 1 t 2 t 2 + d 2 t 3 t 3 + d 3 t 1 En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante : On peut montrer le résultat suivant. d 1 + d 2 + d 3 0 Lemme 2.1 Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associé ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive.

23 Section 2.4. Classement des activités par niveaux 23 Remarquez qu un cycle avec une somme des longueurs négative ne pose pas de problème. Par exemple, àlafigure 2.4, la tâche 8 de longueur 3 doit être finie avant que ne commence la tâche 9 et la tâche 9 doit commencer endéans les 5 jours de début de la tâche 8 : t 8 +3 t 9 t 9 5 t 8 Ceci se représente, comme vu ci-dessus, par une flèche de 8 vers 9 de longueur 3 et une flèche retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de problème, la somme des longueurs étant négative. 2.4 Classement des activités par niveaux Le niveau d une tâche correspond au plus grand nombre de tâches rencontrées sur un même itinéraire depuis le début du projet, plus un. Pour déterminer le niveau des tâches, on procède comme suit. On place au premier niveau les tâches qui n ont aucun ancêtre et on raye ces tâches de la liste des tâches. On continue comme suit : Étape 1 : on raye, dans la colonne des ancêtres, les tâches qui viennent d être affectées au dernier niveau analysé; Étape 2 : les tâches du nouveau niveau sont les tâches non rayées de la colonne des tâches qui n ont plus d ancêtre; après affectation au nouveau niveau, ces tâches sont rayées dans la colonne des tâches; Étape 3 : s il reste des tâches non rayées dans la colonne des tâches, on repart à l étape 1. Sinon le processus est terminé. Par ailleurs, cette étape permet de détecter des antériorités redondantes parce que ne portant pas sur des ancêtres immédiats. Cette étape permet également de mettre en évidence des incohérences du type A a pour ancêtre B, B a pour ancêtre C, lequel a pour ancêtre A. L application de la méthode à l exemple introductif est illustrée aux tableaux 2.2, 2.3 et 2.4. On peut alors construire le graphe de la méthode des potentiels en visualisant chaque niveau par une bande verticale et en plaçant, dans chaque niveau, les tâches de ce niveau, puis en visualisant les contraintes d antériorité par des flèches dont l origine est à gauche et l extrémité à droite. Le début et la fin sont représentés par des traits verticaux. On fait partir du trait vertical DEBUT des flèches qui aboutissent aux tâches de niveau 1 et des tâches sans descendant

24 24 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Itération 1 Étape 1 Étape 2 Ancêtres Tâche Niveau ,6 9 9, Ancêtres Tâche Niveau ,6 9 9, Itération 2 Étape 1 Étape 2 Ancêtres Tâche 1 2 Ancêtres Tâche ,6 9 8,6 9 9,5 10 9, Itération 3 Étape 1 Étape 2 Ancêtres Tâche ,6 9 9, Ancêtres Tâche ,6 9 9, Tableau 2.2: Classement des tâches par niveaux

25 Section 2.4. Classement des activités par niveaux 25 Itération 4 Étape 1 Étape 2 p i i ,6 9 9, p i i ,6 9 9, Itération 5 Étape 1 Étape 2 p i i , 6 9 9, p i i , , Itération 6 Étape 1 Étape 2 p i i , , p i i , , Tableau 2.3: Classement des tâches par niveaux (suite)

26 26 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Niveaux Début Fin 8 9 Figure 2.6: Classement par niveaux. Itération 7 Étape 1 p i i , , Étape 2 p i i , , Tableau 2.4: Classement des tâches par niveaux (fin)

27 Section 2.5. Calcul de l ordonnancement 27 (qu elles appartiennent au dernier niveau ou non) partent des flèches vers le trait de FIN. On obtient le schéma de la figure 2.6. Outre la facilité detracé dugraphe de la méthode du potentiel, la méthode de classement par niveaux permet de repérer des relations d antériorité inutiles. En effet, supposons (voir figure 2.7) la situation suivante : la tâche A précède les tâches B et C et la tâche B précède C. Comme on peut le voir sur le graphique, la relation A précède C est inutile et peut être omise sur le graphique. B d A d B A C d A Figure 2.7: Relation d antériorité inutile. 2.5 Calcul de l ordonnancement Ordonnancement au plus tôt Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l ordonnancement au plus tôt. L ordonnancement au plus tôt détermine les dates de début au plus tôt des différentes tâches, notées t i,enpartant du nœud de début de chantier. Illustrons les choses sur l exemple. La tâche 1 peut commencer au plus tôt en 0 puisqu elle est reliée au au nœud 0, début de chantier, par un arc de longueur nulle. La tâche 2 peut commencer dès la fin de la tâche 1, c est-à-dire t 2 = t 1 + d 1 =5 et ainsi de suite, on marque t 3 =9, t 4 =11, t 5 =13,... Lorsqu un sommet (comme le sommet 9) a plus d un prédécesseur (8 et 6), on détermine la date au plus tôt par un maximum : t 9 = max {t 6 + d 6,t 8 + d 8 } =16. Il faut, en effet, que les deux tâches précédentes soient finies avant de pouvoir débuter la tâche 9. On arrive ainsi àdéterminer la durée totale minimum qui est ici de 35 jours (voir figure 2.8 où letemps de début au plus tôt est indiqué audessus des nœuds).

28 28 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Figure 2.8: Ordonnancement au plus tôt Ordonnancement au plus tard Certaines tâches sont telles que si on retarde leur date de début, cela aura des répercussions sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la date de début de la tâche 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de chantier. De même, si on retarde la tâche 10 (plâtre), cela va retarder la date de début de la tâche 11 (finition) qui elle-même retarde la date de fin de chantier. Par contre, si on retarde le début de la tâche 5 (couverture), cela n aura pas de répercussion, car ce n est pas à partir de ce nœud que son successeur (10) a été marqué mais bien à partir du nœud 9. On voit donc que l on peut retarder la date de début de la tâche 5 sans conséquence sur la date de fin de chantier jusqu à un certain point. En effet, t 5 =13, t 10 =20,etd 5 =3. Autrement dit, la date de début de la tâche 5 peut être retardée jusqu à lavaleur : t 10 d 5 =20 3=17 sans retarder la date de début de la tâche 10. Ondit que 17 est la date de début au plus tard de la tâche 5. C est-à-dire que la tâche 5 peut être commencée à cette date au plus tard sans allonger la durée totale minimale des travaux. On notera une date de début au plus tard par t i.onpeut calculer l ordonnancement au plus tard de la manière suivante (voir figure 2.9). Partant du nœud fin, pour lequel la date de début au plus tard coïncide avec la date de début au plus tôt t 12 = t 12 =35, on retranche àladate au plus tard la durée de la dernière tâche. On détermine ainsi la date de fin au plus tard de la tâche 11 : t 11 = t 12 d 11 =35 5=30. On marque ensuite à rebours les nœuds 10, 5,...

29 Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges Figure 2.9: Ordonnancement au plus tard Lorsqu un nœud a plusieurs successeurs, on ne peut marquer ce sommet que si tous ses successeurs directs sont marqués. Prenons, à titre d illustration, le cas du nœud 3. Dans ce cas, il faut prendre le minimum : t 3 = min{t 4 d 3, t 6 d 3 } = min{15 2, 11 2} =9, sans quoi on retarderait la date de fin de chantier. 2.6 Chemin critique et calcul des marges Notion de tâche critique On voit directement que l on a deux sortes de tâches. Les tâches critiques sont celles qui servent à marquer de proche en proche le sommet n +1à partir du sommet 0. Elles forment ce que l on appelle le chemin critique qui donne l ensemble des tâches à surveiller en premier si l on veut respecter le délai minimum de réalisation du projet. Le chemin critique, illustré enhachuré àlafigure 2.9, peut être déterminé delamanière suivante. Partant du nœud n +1,onneretient, en partant à rebours, que les sommets correspondant à des tâches critiques jusqu a joindre le nœud 1. Il s agit, dans l exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0. Notez qu il peut y avoir plusieurs chemins critiques. Pour toutes les autres tâches, c est-à-dire les tâches non critiques, onpeut déterminer la marge d une tâche comme la différence entre son temps de début au plus tard et au plus tôt : m i = t i t i (2.4)

30 30 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Figure 2.10: Calcul des marges et donc la marge m i est strictement positive pour les tâches non critiques tandis qu elle est nulle pour les tâches critiques. i m i Notion de marge libre et de marge indépendante d une tâche Nous venons de définir la notion de marge totale d une tâche comme la différence entre sa date de début au plus tard et sa date de début au plus tôt : m i = t i t i Remarquons cependant que la marge réellement disponible dépendra de la programmation effective des prédécesseurs de la tâche. Prenons l exemple de la tâche 5 qui a une marge de 4. Si son prédécesseur direct, la tâche 4 est programmée au plus tard, c est-à-dire en 15, la date de début au plus tôt de la tâche 5 devient 17 et donc la tâche 5 voit sa marge s annuler. Dès qu on utilise la marge de la tâche 4, elle réduit donc celle de 5. Par contre si on utilise la marge de la tâche 5 en la programmant au plus tard (en 17) cela ne réduit pas la marge des autres tâches du projet. On peut donc utiliser librement cette marge de 4 unités de la tâche 5 Définition 2.1 On définit la marge libre comme la partie de la marge totale que l on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs. Si l on considère que les ancêtres et les descendants de la tâche sont programmés au plus tôt,ondéfinit ainsi la marge libre comme la différence entre :

31 Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 31 La date de début au plus tôt du descendant (ou la plus précoce de ces dates si la tâche a plusieurs descendants); la date de fin au plus tôt de la tâche. L application à notre exemple donne les marges libres suivantes : i marge totale début au tôt du descendant fin au plus tôt de la tâche =13 =16 =12 =15 marge libre L utilisation de la marge libre d une tâche non critique n affecte pas la marge totale des tâches non critiques dont elle est l ancêtre. Iln en n est cependant pas de même pour les tâches non critiques dont elle est le descendant direct et indirect. Si on programme d abord la tâche 5 en l affectant au plus tôt, c est-à-dire en 13, la date de début au plus tard de 4 devient 11 et la tâche 4 n a plus de marge. On définit ainsi un second concept. Définition 2.2 On définit la marge indépendante comme la partie de la marge que l on peut utiliser sans affecter la marge des prédécesseurs et des successeurs. Si l on considère que les ancêtres de la tâche sont programmés au plus tard (et non au plus tôt) et ses descendants au plus tôt,ondéfinit la marge indépendante comme la différence 1 entre : la date de début au plus tôt du descendant (ou la plus précoce de ces dates si la tâche a plusieurs descendants); la date de fin au plus tard de son ancêtre (ou la plus tardive de ces dates, si la tâche a plusieurs ancêtres) augmentée de la durée de la tâche. L application à notre exemple donne les marges indépendantes suivantes : i marge totale début au plus tôt du descendant fin + tard de l ancêtre + durée de la tâche (9 + 2) +2 =13 (15 + 2) +3 =20 (5 + 4) +3 =12 (10 + 3) +3 =16 marge indépendante Il est à remarquer que si le résultat obtenu est négatif, la marge indépendante est considérée comme nulle, une marge ne pouvant jamais être négative.

32 32 Chapitre 2. L ordonnancement de projets La marge indépendante de la tâche 5 est de 0 alors que sa marge libre est de 4. Cette marge indépendante est moins utilisée que la marge libre, dans la mesure où la programmation des tâches s effectue souvent par ordre croissant de niveau. 2.7 L ordonnancement par la méthode PERT La méthode PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s est développée, parallèlement àlaméthode du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour la planification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de la méthode du potentiel par le fait que les tâches ne sont plus associées aux nœuds mais bien aux arcs du réseau. L algorithme de résolution est très semblable à celui de la méthode du potentiel. La différence majeure réside donc dans la construction du graphe : le graphe de la méthode PERT est souvent plus difficile à construire que celui de la méthode du potentiel car on peut être amené à introduire des arcs fictifs qui ne correspondent à aucune tâche. Dans la méthode PERT, chaque tâche est donc associée àunarc du graphe. La longueur de l arc correspondant àladurée de la tâche en question. Les sommets sont utilisés pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si la tâche j doit suivre la tâche i, l extrémité terminale de l arc représentant la tâche i coïncidera avec l extrémité initiale de l arc représentant la tâche j. Ceci permet de tracer le graphe pour l exemple déjà considéré pour la méthode du potentiel. Ceci est fait àlafigure 2.11 où l on a noté, àcôté dechaque arc, d une part, le numéro correspondant àlatâche, d autre part, la durée de la tâche. 4, 2 1, 5 2, 4 3, 2 7, 3 8, 3 6, 5 5, 3 9, 4 10,10 11, 5 Figure 2.11: Graphe associé pour la méthode PERT. Si, sur cet exemple, le graphe de la méthode du potentiel et celui de la méthode PERT sont très proches, il n en va pas toujours de même. La construction du graphe PERT pose divers problèmes qui amènent à ajouter des arcs fictifs qui ne correspondent à aucune tâche.

33 Section 2.7. L ordonnancement par la méthode PERT 33 Illustrons ceci sur un exemple. En effet, supposons que la tâche 1 précède les tâches 2 et 3 et que la tâche 4 précède la tâche 3. tâche prédécesseur , 4 4 On pourrait tracer le graphe de la figure Mais ce graphe introduit une cont Figure 2.12: Introduction d un contrainte. rainte supplémentaire qui dit que la tâche 4 doit précéder la tâche 2. Pour résoudre la difficulté, il faut à nouveau ajouter un arc fictif de longueur nulle entre l extrémité de la tâche 1 et le début de la tâche 3. Ceci est illustréàlafigure Figure 2.13: Arc fictif. L ordonnancement se calcule ainsi. D abord, on détermine les dates de début au plus tôt des nœuds, que nous noterons t i. Ceci est fait par marquage des nœuds à partir de l origine comme dans la méthode du potentiel. On additionne au temps du nœud précédent le temps de la tâche. En cas de plusieurs prédécesseurs, on prend le maximum. Remarquez que ces dates aux plus tard aux nœuds ne correspondent pas toujours aux dates au plus tard des tâches situées après le nœud. Ainsi la date au plus tard 9 est la date au plus tard de la tâche 3 mais pas de la tâche 7, pourtant les

34 34 Chapitre 2. L ordonnancement de projets deux tâches sont situées à droite du même nœud. Pour contourner cette difficulté de la méthode PERT, il convient de procéder en deux temps. D abord, on détermine les dates au plus tard des nœuds, notées t i, par marquage à partir de la fin, en soustrayant au temps du nœud suivant le temps de la tâche. En cas de plusieurs successeurs, on prend le minimum. Ensuite, on calcule la marge de la tâche (i, j) entre les nœuds i et j comme : m ij = t j (t i + d ij ) Autrement dit, la marge est calculée comme la différence entre la date de fin au plus tard de la tâche et la date de fin au plus tôt de la tâche. On obtient alors les dates au plus tard des tâches en additionnant àladate au plus tôt du nœud de départ, la marge de la tâche. Les résultats sont indiqués au tableau ci-dessous. Tâche Date au plus tôt Marge Date au plus tard Un chemin critique peut alors se construire à partir du nœud de fin en ne retenant que les arcs critiques. L application à l exemple donne l ordonnancement illustré àlafigure , , , 3 0 1, 5 5 2, , ,10 11, , 3 9, , Figure 2.14: Ordonnancement par la méthode PERT. 2.8 Programmation effective du projet L existence de tâches non critiques implique qu il existe de multiples solutions donnant le même temps total minimum de réalisation du projet. La programmation

35 Section 2.8. Programmation effective du projet 35 définitive du projet s effectuera en fonction des deux principes de prudence et d économie : Le principe de prudence incite à programmer au plus tôt les tâches non critiques pour que la programmation conduise à des marges totales les plus grandes possibles pour absorber d éventuels aléas dans l exécution des tâches. Ce principe conduit parfois à qualifié detâches subcritiques les tâches de marge totale faible par rapport aux aléas susceptibles de se produire. Nous verrons au chapitre 5 comment on peut affiner ce principe en calculant, pour chaque tâche, la probabilité d être critique. Ce qui peut conduire àdéfinir comme subscritique une tâche qui a au moins 90 % de chances d être critique. Le principe d économie incite à programmer au plus tard les tâches non critiques. En effet, l exécution des tâches nécessite l acquisition de certaines ressources. Ainsi, si on engage des ressources humaines qui seront conservées à l issue de l exécution de la tâche, la programmation au plus tôt génère des dépenses inutiles; si on achète des ressources matérielles, ilpeut y avoir un coût d opportunité liéàunachat précoce (intérêts bancaires, par exemple). La préoccupation d économie incitera donc aussi à programmer au plus tard les tâches non critiques. Les points de vue de prudence et d économie sont donc largement antinomiques et le gestionnaire du projet devra arbitrer entre ces deux principes. Souvent le principe d économie prévaut pour une tâche non critique. Dans la pratique, on a intérêt à mutualiser les risques et donc à chercher à partir d estimation de durées plutôt optimistes puis à: mettre un tampon entre la date de fin des tâches sans descendant et la date de fin du projet. Ce tampon correspondant à la mutualisation des risques sur les tâches du chemin critique, à considérer chaque chemin non critique en mettant un tampon entre le dernier descendant non critique du chemin et son propre descendant qui est une tâche critique, ce tampon correspondant à la mutualisation du risque du chemin non critique.

36 36 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.9 Présentation des résultats Le graphe de la méthode des potentiels est l instrument privilégié pour le calcul le d ordonnancement des tâches. Une fois l ordonnancement décidé, il vaut mieux transmettre les décisions prises sous forme d un graphique de Gantt. Ledia- gramme de Gantt est l outil classiquement utilisé engestion de production pour visualiser l utilisation des machines. On met horizontalement la ligne du temps et à chaque machine correspond une ligne horizontale. Les différentes tâches effectuées sur la machine sont représentées par un segment de longueur proportionnelle àladurée de la tâche, le passage d une machine à l autre étant visualisé par une flèche (voir figure 2.15 où5tâches sont programmées dans l ordre 5, 1, 3, 4et2en passant successivement sur les machines A et B). machine A Z machine B Z Temps Figure 2.15: Diagramme de Gantt-Ressources (atelier) En gestion de projets, le diagramme de Gantt est également caractérisé par une ligne horizontale pour le temps mais chaque ligne horizontale correspond cette fois à une tâche. Les flèches correspondent cette fois à des relations d antériorité. On obtient le diagramme à barres de la figure Prise en compte des contraintes disjonctives Venons-en maintenant au troisième type de contraintes générales : les contraintes disjonctives. Onveut pouvoir indiquer que deux tâches ne peuvent avoir lieu en même temps sans que l on puisse dire, à priori, laquelle doit être effectuée avant l autre. C est le cas lorsque l on partage une même ressource entre plusieurs chantiers. Par exemple, une même grue. Considérons les tâches i et j, dont on note t i et t j, leurs dates respectives de début d exécution. On peut écrire la relation d exclusion sous la forme : soit { ti + d i t j si i est réalisée avant j t j + d j t i si j est réalisée avant i (2.5)

37 Section Prise en compte des contraintes disjonctives Temps Figure 2.16: Diagramme de Gantt-Tâches (projet) Si on n a qu une seule contrainte disjonctive, on peut évidemment résoudre deux problèmes d ordonnancement : un où l on impose que i soit réalisée avant j, l autre où l on impose que j soit réalisée avant i. Ensuite, on prend le temps d exécution le plus court. Mais cette méthode d énumération explicite de toutes les possibilités devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctives croît. On peut alors le résoudre le problème grâce au recours àlaprogrammation en nombres entiers. En effet, pour chaque disjonction entre les tâches i et j,onintroduit la variable binaire x ij qui vaut 1 si la tache i est réalisée avant la tâche j et 0 si latâche j est réalisée avant la tâche i. Onvaalors remplacer (2.5) par les contraintes suivantes { ti + d i t j + M(1 x ij ) (2.6) t j + d j t i + Mx ij avec M une borne supérieure sur la date de fin des travaux. Vérifions que ce système avec la contrainte supplémentaire que x ij est binaire (0/1) exprime exactement la disjonction. Considérons d abord le cas x ij =1.Le système (2.6) devient { ti + d i t j t j + d j t i + M La première inéquation exprime bien que la tâche i doit être finie avant que ne débute la tâche j. Laseconde est toujours vérifiée, vu la définition de M. Considérons maintenant le cas x ij =0.Lesystème (2.6) devient { ti + d i t j + M t j + d j t i

38 38 Chapitre 2. L ordonnancement de projets La première inéquation toujours vérifiée, vu la définition de M. La seconde exprime bien que la tâche j doit être finie avant que ne débute la tâche i Cas de contraintes cumulatives L introduction de contraintes cumulatives (et disjonctives) est à peu près inévitable dans la résolution de problèmes réels de gestion de projets. On doit alors définir le critère que l on veut privilégier. Il en existe deux : le critère de la minimisation de la durée d achèvement du projet et le critère de lissage de charge des ressources Critère de minimisation de la durée d achèvement du projet Si on cherche à minimiser la date d achèvement du projet tout en respectant les contraintes d antériorité etles contraintes cumulatives, on parle alors de problème de nivellement. La résolution de tels problèmes est généralement faite au moyen d heuristiques. D un logiciel à l autre, la manière de gérer la consommation d une ressource peut être différente. Illustrons ceci sur l exemple introductif. Supposons que la société nedispose que de 4 ouvriers pour effectuer le gros œuvre, c est à dire les tâches 6 (durée 5 jours) et 8 (durée 3 jours) qui requièrent respectivement la présence de 3 ouvriers pour 6 et de 2 ouvriers pour 8. Rappelons que la tâche 6 est critique et est programmée actuellement de 11 à15tandis que la tâche 8 n est pas critique et sa programmation au plus tôt va de 12 en 15. Examinons brièvement les solutions possibles : 1. La première solution consiste à relaxer la contrainte en mobilisant ponctuellement des ressources supplémentaires en main d œuvre. Ce cas est illustré àlafigure Le projet reste effectué en35jours. 2. La deuxième solution consiste à programmer prioritairement les tâches critiques en considérant que le nombre d ouvriers est fixé. Dans ce cas, la tâche non critique 8 est programmée aux jours 16 à 18, elle devient critique et le projet prend 3 jours de retard. Ce cas est illustré àlafigure La troisième solution consiste à partager de manière fixe les ressources entre les tâches, par exemple en affectant 3 ouvriers àlatâche 6 (75 % de la ressource) et un ouvrier àlatâche 8 (25 % de la ressource), ces valeurs étant choisies par l utilisateur du logiciel. La programmation reste celle du premier cas, mais la tâche 8 ne bénéficiant que d un seul ouvrier prendra 6 jours àlaplace de 3. Dans ce cas, la tâche non critique 8 est programmée du

39 Section Cas de contraintes cumulatives 39 Ouvriers Jours Figure 2.17: Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource Ouvriers Jours Figure 2.18: Solution 2 : prioritéàlatâche critique 12 au 17ème jour, elle devient critique et le projet prend 2 jours de retard. Ce cas est illustré àlafigure La quatrième solution consiste à considérer la quantité de travail par tâche. Par exemple, pour la tâche 8, il faut 6 jours-ouvriers de travail. On affecte en priorité les ressources àlatâche critique et on regarde ce qui reste pour la tâche non critique. Durant les jours 12 à 15, on dispose d un ouvrier, ensuite, durant le jour 16, on utilise 2 ouvriers. Dans ce cas, la tâche non critique 8 est programmée du 12 au 16ème jour, elle devient critique et le projet prend 1 jour de retard. Ce cas est illustréàlafigure Cet exemple n est pas exhaustif mais est illustratif des techniques possibles pour résoudre les conflits. Il attire aussi l attention sur le fait que si les logiciels annoncent qu ils permettent de gérer les ressources, on peut dans la pratique aboutir à des solutions très différentes en fonction de l heuristique choisie dans le logiciel.

40 40 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Ouvriers Jours Figure 2.19: Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. Ouvriers Jours Figure 2.20: Solution 4 : définir une tâche par sa quantité totale de travail Critère de lissage de charge des ressources utilisées Un ordonnancement de projet respectant les contraintes cumulatives et une durée minimale donnée n est généralement pas unique. D autres ordonnancements aboutissant àlamême durée minimale peuvent être trouvés. Le lissage est un processus de recherche d un ordonnancement conduisant à une utilisation la plus régulière possible des ressources. On cherche ainsi à araser certains pics de consommation de la ressource. Ce qui permet de diminuer le niveau de la ressource utilisée. Diverses heuristiques ont été conçues pour ce faire. Nous verrons un exercice d application (voir exercice 2.5) où l on veut rester dans la limite de cinq ouvriers durant tous le chantier sauf dans une période maximum de quatre jours où l on autorise un dépassement (en engageant des travailleurs intérimaires durant cette courte période). On déterminera une solution respectant ces contraintes cumulatives de manière heuristique en jouant sur les marges des tâches non critiques. Ainsi en ne programmant pas systématiquement les tâches non critiques au plus tôt, on peut agir sur le niveau d utilisation de la ressource sans augmenter la durée minimale du projet.

41 Section Exercices Exercices 2.1. Équipement d un ensemble minier. L équipement d un ensemble minier comporte les tâches suivantes dont la durée est exprimée en trimestres. No tâche durée préalables 1 Commande d une piste 6-2 Construction d un port provisoire 3-3 Commande de matériel portuaire 2-4 Pose d une voie ferrée Construction d une cité administrative Construction du port définitif Construction de l installation minière 4 1 et 4 8 Equipement portuaire définitif 3 3 et 6 (a) Construire le graphe relatif àlaméthode du potentiel. (b) Calculer les dates de début au plus tôt, les dates de début au plus tard. Déterminer le chemin critique. (c) Comment modifier le graphe si, on veut que la tâche 7 ne commence pas avant 8 trimestres? Recalculez les dates de début au plus tôt, les dates de début au plus tard. (d) Comment modifier le graphe si on veut en plus que la tâche 8 ne commence pas après 4 trimestres? Dites si le problème reste soluble Construction d un bâtiment. Considérons les différentes tâches à effectuer pour construire un bâtiment. Elles sont reprises ci-dessous. No tâche durée préalables 1 fondations 6-2 murs plomberie intérieure électricité toit plomberie extérieure menuiserie 8 3 et 4 8 sols peinture intérieure finitions intérieures 6 8 et 9 11 peinture extérieure finitions extérieures 2 11

42 42 Chapitre 2. L ordonnancement de projets (a) Tracez le graphe relatif àlaméthode du potentiel. (b) Calculez les dates de début au plus tôt, les marges et déterminez le(s) chemin(s) critique(s). (c) Les tâches 9 (peinture intérieure) et 11 (peinture extérieure) doivent être disjointes car effectuées par les mêmes ouvriers. Comment résoudre cette disjonction? La date de fin des travaux est-elle affectée? 2.3. La méthode PERT. Une entreprise décide de commercialiser un nouveau produit. La planification de ce lancement fait apparaître les tâches reprises au tableau 2.5 avec leur durée (en semaines) et leurs préalables. (a) Tracer le graphe correspondant àlaméthode PERT. (b) Calculez les dates de début au plus tôt, au plus tard, les marges et le chemin critique. (c) L entreprise voudrait réduire la durée totale d exécution des travaux. Pour cela, il est possible de réduire la durée des tâches 5 et 11 de une ou deux semaines au prix d un coût supplémentaire de EURO par semaine de réduction pour la tâche 5 et de EURO par semaine pour la tâche 11. De combien peut-on réduire la durée totale des travaux et à quel coût? No tâche durée préalables 1 Sélection des équipements 1-2 Choix de la méthode de production Procédures de contrôle de qualité Choix des matières premières Réception des équipements Commande des matières premières Réception des matières premières Essais de production 2 5,3 et 7 9 Première fourniture aux magasins 6 8 et Conception du conditionnement Production du conditionnement Réunion des vendeurs Formation des vendeurs 1 12 Tableau 2.5: Lancement d un nouveau produit

43 Section Exercices Construction d un hangar. Le maître d ouvrage d une construction vient de faire l inventaire, auprès des artisans, des tâches qui conduisent à la réalisation d un hangar. Elle sont reprises dans le tableau ci-dessous avec la liste de leurs préalables. Tâche Durée Nécessite la fin de A 4 C,G,L B 4 - C 5 B,H D 4 B E 16 B,G,L F 7 A,D G 2 D H 3 B I 3 J J 3 G,L K 3 A,F,I L 2 B,C,H On vous demande de concevoir la planification du projet de construction du hangar, l objectif étant de construire le hangar le plus vite possible. Pour cela, on vous demande de réaliser les opérations suivantes : (a) Classer les tâches par niveaux. (b) Utiliser le classement des tâches par niveaux pour construire le graphe de la méthode des potentiels représentant la réalisation de cet ouvrage. (c) Sur ce graphe, de déterminer les dates de débuts au plus tôt et au plus tard des différentes tâches. (d) Calculer, pour chaque tâche, la marges totale, la marge libre et la marge indépendante. (e) Donner le chemin critique.

44 44 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.5. Cas de contraintes cumulatives. On veut exécuter 7 tâches soumises aux contraintes de succession indiquées dans le tableau ci-dessous. No préalables durée Main d oeuvre et , 5et6 1 2 (a) Calculer les dates de début au plus tôt et au plus tard et déterminer le chemin critique par la méthode des potentiels. (b) Présenter les résultats précédents en traçant un diagramme à barres. Tracer aussi la courbe de charge donnant l évolution de la demande en main d oeuvre en fonction du temps. L effectif permanent de 5 ouvriers est-il suffisant? (c) On envisage l embauche de travailleurs temporaires. Comment limiter à4semaines l embauche de la main d oeuvre supplémentaire sans allonger la durée totale d exécution des travaux? (d) Si on renonce à embaucher des travailleurs temporaires, de combien faut-il allonger la durée des travaux pour respecter la contrainte de main d oeuvre? (e) On reprend le problème de la première question. En plus des contraintes initiales, on veut que la tâche 7 ne commence pas après 8 semaines. Comment modifier le graphe pour tenir compte de cette contrainte? Que pensez-vous de cette nouvelle exigeance? 2.6. Construction d une maison. Une société de promotion immobilière souhaite réaliser au plus vite la construction d une maison individuelle. Les préalables et les durées des différentes tâches, évaluées en semaines, sont repris au tableau 2.6. (a) Construire le graphe de la méthode PERT correspondant àceproblème. (b) Déterminer, sur le graphe de la question a), le temps minimum (en semaines) nécessaire àlaréalisation de la maison.

45 Section Exercices 45 Code Tâche Antériorité Durée 1 Excavation Fondations Murs porteurs Couverture Plomberie extérieure Electricité Lambris extérieur Peinture extérieure 5,7 9 9 Plomberie intérieure Plâtre 9, Revêtement de sol Peinture intérieure Finitions extérieures Finitions intérieures 11,12 6 Tableau 2.6: Construction d une maison (c) Calculer, pour chaque tâche, la date de début au plus tôt, la marge et la date de début au plus tard. (d) Déterminer le (ou les) chemins critique(s) pour ce problème. (e) La direction de l entreprise, inquiète du délai de réalisation de la maison, voudrait réduire celui-ci de 2 semaines. Onpeut agir sur les tâches reprises au tableau 2.7. Tâche Réduction de durée possible Surcoût par semaine 4 1ou2semaines ou2semaines ou2semaines ou2semaines 400 Tableau 2.7: Réduction de la durée des tâches Que proposez-vous comme actions afin de réduire la durée du projet de deux semaines àcoût minimum?

46 46 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.7. Construction d une piscine. Une société areçu la maîtrise de la construction d une piscine olympique sur un campus universitaire. Les durées des différentes tâches, évaluées en jours sont reprises au tableau 2.8. Les travaux débutent le premier avril. On suppose que chaque mois comporte 20 jours ouvrables. Code Tâche Antériorité Durée A Excavation - 5 B Fondations A 2 C Pose canalisations B 4 D Essai en pression C,G 8 E Étanchéité D 9 F Mise en place de la station d épuration A 6 G Mise en place du chauffage F 5 H Raccordement électricité G 4 I Sonorisation sous-marine H 5 J Dallage E,I 6 K Construction vestiaires J 8 L Construction du solarium J 2 M Mise en eau K, L 3 Tableau 2.8: Construction d une piscine. (a) L inauguration peut-elle avoir lieu comme prévu le 15 juin? (b) Au cours de la pose des canalisations, on apprend que par suite d incidents techniques, cette opération durera 6 jours de plus que prévu. Sans recommencer le diagramme, déterminez si cela influencera le délai final. (c) La direction du campus, inquiète quant au respect des délais, propose de se passer de la sonorisation sous-marine. Qu en pensez-vous?

47 Chapitre 3 Analyse du projet L analyse du projet porte sur la définition du projet et se traduit concrètement par une liste de tâches avec leurs contraintes (antériorité, disjonctives, cumulatives). 3.1 Définition du projet La démarche souvent utilisée pour des projets de grande envergure consiste à analyser le projet de manière hiérarchique. Souvent, on définit également, que ce soit pour des raisons techniques ou contractuelles des phases au projet. Nous verrons ensuite l analyse du contenu précis des tâches et de leur relations d antériorité. Remarquez que ce travail de définition du projet peut représenter la moitié dutemps de travail des gestionnaires du projet Structuration hiérarchisée du projet L analyse d un projet de type non répétitif d une certaine envergure conduit à adopter une approche hiérarchique de définition des tâches àexécuter. On va progressivement décomposer les tâches en des sous-tâches pour atteindre un plus grand niveau de détail. Le résultat de cette analyse est un organigramme technique tel que celui illustré àlafigure 3.1. Le principe est le suivant. A un niveau de détail k, ondispose de n k tâches. Pour passer au niveau de détail inférieur k +1,onexamine chaque tâche qui peut être décomposée en un ensemble de sous-tâches dont la réunion redonne la tâche du niveau supérieur. Ceci conduit àunaccroissement du nombre de tâches avec le niveau, autrement dit : n k+1 >n k Remarquez qu à ce niveau, on ne donne aucune information sur les relations d antériorité entre tâches. Ainsi dans l organigramme de la figure 3.1, les flèches 47

48 48 Chapitre 3. Analyse du projet Niveau 1 Tâche 1 Tâche 2 Tâche 3 Niveau 2 Tâche1.1 Tâche 1.2 Tâche 2.1 Tâche 2.2 Tâche 3.1 Tâche 3.2 Niveau 3 Tâche1.1.1 Tâche Tâche Tâche1.1.2 Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3 Tâche3.1.1 Tâche3.2.1 Tâche3.2.2 Tâche3.2.3 Figure 3.1: Organigramme technique : top-down. représentent des relations d inclusion et non des relations d antériorité. Le nombre de niveaux peut aller jusqu à 6dans les très gros projets. Généralement, on attribue un nom pour désigner les tâches d un même niveau. Ainsi : le niveau 1 correspond au programme, le niveau 2 correspond au projet, le niveau 3 correspond àlatâche, le niveau 4 correspond àlasous-tâche, le niveau 5 correspond au lot de travaux, le niveau 6 correspond au travail élémentaire. Quelques règles de bonne pratique sont à retenir dans l établissement de cet organigramme technique : Les tâches du dernier niveau ne doivent pas être trop nombreuses : on se limite généralement à une centaine pour un projet. Le cabinet Arthur D. Little a ainsi pu montrer pour les programmes de la Défense aux États-Unis que l excès de détail est un facteur accroissant le risque d échec. Les tâches ne doivent pas être d importance trop inégale que ce soit en terme du durée ou de consommation de ressources. Les tâches doivent être suffisamment homogènes pour les traiter comme un centre de coût différent : ainsi il doit y avoir unicité deresponsabilité.

49 Section 3.1. Définition du projet 49 La technique que nous venons de présenter est appelée, pour une raison évidente, démarche descendante (ou top-down). On peut imaginer la démarche inverse d agrégations successives qui est qualifiée de démarche ascendante (ou bottomup). Cette démarche est illustrée par le second organigramme (voir figure 3.2) où l on est parti des mêmes tâches de niveau 3 mais où les regroupements de niveau 2etdeniveau 1 sont différents. Niveau 1 Tâche 1 Tâche 2 Niveau 2 Tâche1.1 Tâche 2.1 Tâche 2.2 Tâche 2.3 Niveau 3 Tâche1.1.1 Tâche Tâche Tâche1.1.2 Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3 Tâche3.1.1 Tâche3.2.1 Tâche3.2.2 Tâche3.2.3 Figure 3.2: Organigramme technique : bottom-up. On peut imaginer que dans la première organisation (voir figure 3.1), on a privilégié ladimension technique tandis que dans la deuxième organisation (voir figure 3.2), on a privilégié ladimension organisationnelle (par exemple, la tâche 1 correspond àunsous-traitant, la tâche 2 au maître d œuvre. Les tâches du projet, définies pour un niveau donné, se caractérisent par des relations d antériorité qui conduisent àungraphe Potentiel-Tâches pour ce niveau. Il y aura donc autant de graphes que de niveaux retenus par l organigramme technique. On illustre àlafigure 3.3 l effet de zoom que l on a en passant d un niveau au niveau supérieur et montre que la transformation des relations d antériorité peut s avérer fort complexe en passant d un niveau à l autre. Remarquez que si l approche hiérarchique (ou désagrégative) des projets complexes est préconisée pour des raisons d efficacité, du point de vue de l ordonnancement il n y a pas équivalence entre les différents niveau. En effet, on peut montrer que si dans la définition du projet considéré comme un ensemble de sousprojets, on a une mauvaise définition des recouvrements possibles, l approche hiérarchisée conduit à un allongement de la durée d exécution du projet. La difficultéréside évidemment dans le fait qu une bonne définition des recouvrements possibles nécessite de repartir de la définition détaillée (le niveau le plus bas que l on cherche justement àéviter).

50 50 Chapitre 3. Analyse du projet Niveau 1 Tâche 1 Tâche 2 Tâche 3 Niveau 2 Tâche1.1 Tâche 1.2 Tâche 3.1 Tâche 3.2 Tâche 2.1 Niveau 3 Tâche1.1.1 Tâche1.1.2 Tâche1.2.1 Tâche1.2.2 Tâche1.2.3 Tâche Tâche3.1.1 Tâche3.2.1 Tâche3.2.2 Tâche3.2.3 Figure 3.3: Trois graphes potentiels-tâches correspondant aux 3 niveaux. l approche hiérarchique conduit à rendre inutilement critiques certaines tâches. Pour éviter cet effet pervers, il faut également repartir de l analyse du niveau de détail le plus fin Les phases du projet Les phases du projet correspondent à des groupes homogènes de tâches s achevant par un jalon où la bonne fin d un ensemble de tâches est attestée. Nous allons définir les principales phases concernant : les cas de fabrication d un équipement ou d un ouvrage, le cas de la fabrication en série, Nous dirons ensuite un mot de l ingénierie concourante dont le but est de lutter contre les effets néfastes de la division du projet en phases ainsi que des problèmes spécifiques liés àlagestion simultanée de plusieurs projets. Dans le cas de la fabrication d un équipement ou d un ouvrage,ondistingue généralement les phases suivantes : L avant-projet est une étude sommaire de l ouvrage envisagé permettant d en définir les principales caractéristiques. Son but est de pouvoir prendre la décision de poursuivre ou abandonner le projet. La seconde phase est la réponse à l appel d offre consiste àélaborer de manière détaillée l offre que l entreprise va faire. Les moyens consacrés à cette phase sont limités vu les risques généralement importants de ne pas obtenir le contrat.

51 Section 3.1. Définition du projet 51 En cas de succès, on passe alors àlaphase de lancement du projet où l organisation est définie. On passe alors àl étape suivi du projet afin de vérifier que l on respecte bien les objectifs de délai et de coût. Enfin vient la phase de fin des travaux qui passe généralement par trois réceptions : L étape d acceptation mécanique constatant la fin des travaux à l exception de certaines finitions. On procède alors à la mise en route, phase durant laquelle on procède aux essais des fluides (air, eau,...) qui précède l étape de déclaration de l ouvrage en ordre de marche. La réception provisoire est un acte légal matérialisé par un procès verbal constatant de manière contradictoire avec le client que l ouvrage peut être accepté par le client car répondant aux obligations contractuelles du maître d ouvrage. Débute alors le délai de garantie. La réception définitive a lieu au bout du délai de garantie et dégage définitivement la responsabilité dufournisseur. Dans le cas de la fabrication en série, on distingue généralement les phases suivantes : La construction d un prototype qui est un produit techniquement identique au produit en série mais réalisé seulement en quelques exemplaires avec des ressources (machines, opérateurs) différentes de celles qui seront utilisées pour le produit en série. L objectif est de tester si les fonctionnalités du produit répondent bien à l utilisation envisagée. Ceci permet de remédier à certaines imperfections du produit constatées à cette étape. La présérie est un produit identique à celui qui sera produit en série, réalisé en quelques unités mais cette fois-ci à l aide de ressources identiques à celles qui seront utilisées en série. Le but est cette fois-ci de tester le processus de production. Cequi peut amener à modifier le produit ou le processus de production si certains problèmes de fabrication sont constatés à cette étape. Vient alors la phase d industrialisation du produit qui consiste à lancer la production en série. Elle est suivie par la phase production proprement dite qui consiste produire le produit àunhaut niveau.

52 52 Chapitre 3. Analyse du projet Utilité del ingénierie concourante Le but de l ingénierie concourante a pour but de lutter contre les effets nuisibles du découpage en phases du projet. En effet, le découpage en phases conduit à associer à chaque phase un ensemble de tâches n appartenant qu à une seule phase. Ceci a pour effet de rendre autonomes les tâches appartenant à différentes phases et peut conduire à: des travaux additionnels liés àunmanque de coordination technique, des durées d exécution inutilement longues. Pour remédier à cela, on utilise les techniques d ingénierie concourante qui consiste à une intégration systématique des activités de conception des produits et de conception de leurs gammes de fabrication et de maintenance durant leur durée de vie. Ceci a pour effet, non seulement d améliorer la qualité des produits mais aussi de diminuer leur délai et leur coût. Dans l approche séquentielle classique (voir figure 3.4), les phases d analyse des besoins, de définition du produit, de définition du processus de fabrication et de fabrication du prototype se succèdent. La solution optimale d une phase devient une contrainte pour la phase suivante, ce qui conduit le plus souvent à une solution globalement sous-optimale. Analyse des besoins Définition du produit Définition du processus de fabrication Fabrication du prototype Figure 3.4: Approche séquentielle classique. Dans la réalité, on a tout intérêt à accepter un recouvrement important de ces phases pour avoir une rétroaction permanente de la phase aval pour discuter des répercutions sur la phase aval des décisions prises par la phase amont. Ce processus s appelle overlapping problem solving et est illustré par la figure Gestion simultanée de plusieurs projets Dans la pratique, souvent les entreprises ont àgérer simultanément plusieurs gros projets, par exemple, la construction simultanée de plusieurs navires dans un chantier naval. Le partage de certains équipements techniques conduit à une certaine interdépendance des projets. Trois approches sont utiles dans la pratique pour résoudre les conflits ainsi générés :

53 Section 3.2. Définition technique des tâches et de leurs relations 53 Analyse des besoins Définition du produit Définition du processus de fabrication Figure 3.5: Overlapping problem solving. Fabrication du prototype La première approche consiste à classer les projets et à programmer chaque projet dans cet ordre en tenant compte des ressources résiduelles laissées par les projets antérieurement programmés. C est ce qui se passe dans la plupart des entreprises. Lors de l arrivée de nouveaux projets, on considère que les ressources affectées aux projets déjà en cours ne peuvent pas être remises en cause. La deuxième approche consiste périodiquement, lors de l introduction d un nouveau projet, à procéder à une réallocation des ressources entre les projets. On analysera ainsi l intérêt de transférer des ressources d un projet à l autre. La troisième approche consiste à considérer le problème d ordonnancement comme un problème global dont on cherche une solution tenant compte des contraintes cumulatives. Il faut cependant veiller à ne pas remettre en cause sans cesse l allocation des ressources car cette instabilité peut perturber le fonctionnement des projets. 3.2 Définition technique des tâches et de leurs relations Afin de procéder à l ordonnancement vu au chapitre 2, il convient de donner une description précise de chaque tâche et d identifier les relations entre tâches.

54 54 Chapitre 3. Analyse du projet Les relations entre tâches Nous avons vu au chapitre 2, que trois catégories de relation entre tâches peuvent être rencontrées : 1. les contraintes d antériorité qui disent qu une tâche ne peut commencer avant la fin d une autre. Ces contraintes sont cependant à nuancer dans le cas d un recouvrement partiel possible entre tâches, 2. les contraintes de localisation temporelle qui disent qu une tâche ne peut commencer avant une date donnée ou ne peut débuter après une date donnée. Ces contraintes se compliquent s il s agit d interdire l exécution de la tâche durant une période donnée, 3. les contraintes disjonctives qui disent que deux tâches ne peuvent être exécutées en même temps car faisant appel àlamême ressource, 4. les contraintes cumulatives qui tiennent compte du partage d une ressource entre plusieurs tâches. Nous allons maintenant dire un mot des contraintes gênantes non prises en compte dans les logiciels : La relation ou. Jusqu à présent, dans le cas de plusieurs ancêtres (par exemple A et B sont ancêtres de C), nous avons indiqué qu il fallait que tous les ancêtres soient finis avant de débuter la tâche suivante (C ne peut commencer que si A et B sont finies). Il arrive parfois qu il suffise que A ou B soit terminée pour commencer C (si par exemple, C est une tâche de contrôle qui peut commencer dès qu une des deux tâches est finie). La solution simple à appliquer dans ce cas est de dire que le descendant peut commencer au plus tôt après la date maximum des deux suivantes : la date la plus tardive des dates de fin au plus tôt des ancêtres avec lesquels le descendant est lié par une relation et (comme avant); la date la plus précoce de fin au plus tôt des ancêtres avec lesquels le descendant est lié par une relation ou. Le problème se complique fortement si l on passe d une contrainte du type achèvement préalable d un ancêtre à achèvement préalable de k ancêtres parmi une liste de n ancêtres avec bien sûr k<n. Il est à remarquer que la prise en compte de relations du type ou n étant pas prise en compte par les logiciels d ordonnancement, cela oblige à certaines acrobaties : il faut faire appel àunrecouvrement correctement calculé pour les tâches à neutraliser.

55 Section 3.2. Définition technique des tâches et de leurs relations 55 Le problème des gammes alternatives est celui qui résulte du choix possibles entre deux méthodes de production, ce qui conduit à faire un ou exclusif non pas entre deux tâches mais entre deux groupes de tâches, ce qui conduit à considérer deux chemins alternatifs dans le graphe comme le montre la figure 3.6 où l on a le choix pour passer de l activitéaà l activité A B C D E F Figure 3.6: Gammes alternatives. Fà passer par les activités B et D, soit par les activités C et E, le choix final s effectuant sur base de la minimisation de la durée du projet. A nouveau les logiciels ne permettent pas de tenir compte d une telle contrainte et il convient de construire deux graphes reprenant séparément les deux alternatives en conservant celle de temps minimum. Les contraintes de temporisation maximale entre deux tâches indiquent que la tâche qui suit ne peut commencer après un certain temps maximum après la fin de l ancêtre. C est le cas, par exemple, si on doit lisser une dalle de béton avant qu elle ne soit complètement sèche. Ce type de contrainte, facile à intégrer dans le calcul de l ordonnancement au plus tôt ou au plus tard, n est également pas pris en compte dans les logiciels. Terminons en disant un mot des formulations alternatives des contraintes de recouvrement. Le chevauchement ou recouvrement entre deux tâches i et j telles que i est l ancêtre de j consiste à pouvoir débuter j avant que i ne soit achevée. Ce cas se rencontre lorsque l analyse plus fine de la tâche i conduit àun des des cas de figures suivants : La tâche i est composée de tâches élémentaires différentes, les dernières n étant pas requises pour que j puisse débuter. La tâche i et la tâche j sont composées de tâches élémentaires exécutées à la suite les unes des autres qui ont été regroupées en deux tâches dans la logique de procéder par lot. La relation d antériorité n a vraiment de sens qu entre une tâche élémentaire de i et une tâche élémentaire de j et, bien sûr, le regroupement en deux lots à pour effet d augmenter artificiellement le temps du projet.

56 56 Chapitre 3. Analyse du projet Vincent GIARD [2] remarque qu il existe quatre possibilités de définir une relation d antériorité entre deux tâches et donc autant de façon de définir le recouvrement. Nous reprenons ci-dessous uniquement la relation initiale qui est une relation entre le début de l ancêtre et le début du descendant. Ce cas est illustré àlafigure 3.7 oùlatâche i de durée 7 jours précède la tâche j de durée 5 jours. Il y a un recouvrement possible de 3 jours. Le paramètre d donne le décalage positif temps i j d = +4 Figure 3.7: Recouvrement : formulation 3. entre la date de début de l ancêtre et celle de début du successeur : td i +4 td j Ce paramètre se calcule comme la durée de la tâche préalable moins la durée du recouvrement possible. Pratiquement, on peut utiliser une des deux méthodes suivantes pour tenir compte d un recouvrement : Soit on découpe la tâche préalable i en deux sous-tâches i 1 et i 2.Lapremière correspondra àlapartie non commune des deux tâches, soit 7-3 = 4 jours, tandis que la seconde correspondra à la partie commune des deux tâches soit 3 jours. On indiquera les relations d antériorité :i 1 avant i 2 et avant j. Soit, on indique la relation début-début rappelée ci-dessous : td i +4 td j Dans ce cas, il ne faut pas oublier de terminer la tâche i avant la fin du projet Les caractéristiques de la tâche Chaque tâche est identifiée par le rôle qu elle a à jouer dans la bonne fin du projet,la non exécution de la tâche compromettant soit la fin du projet soit d atteindre certains objectifs (de qualité, par exemple). Elle est caractérisée par : un début et une fin bien identifiée, le fait qu elle consomme des ressources disponibles en quantité limitée.

57 Section 3.2. Définition technique des tâches et de leurs relations 57 Disons un mot des hypothèses restrictives du modèle classique. Dans le modèle classique vu au chapitre 2, que ce soit pour la méthode du potentiel ou la méthode PERT, on suppose que la durée de la tâche, définie comme l intervalle de temps séparant son début d exécution de sa fin d exécution, comme invariante. Nous avons déjà indiqué plus haut que cette hypothèse n est pas toujours vérifiée. Si le temps total de réalisation du projet est trop long, on peut raccourcir la durée de certaines tâches critiques, moyennant un surcoût. Le nouveau problème posé est de trouver la combinaison d actions à entreprendre pour atteindre au moindre coût,ladiminution voulue de la durée du projet. On se trouve alors face àunproblème à deux niveaux : un problème élémentaire supposant les durées des tâches connues et cherchant l ordonnancement qui minimise la durée d exécution du projet. un problème paramétrique qui compare économiquement (le critère étant la minimisation des coûts) les solutions des problèmes élémentaires correspondant à chaque jeu de durées de manière à choisir la meilleure combinaison de durées (voir exercice 3.1). Dans le modèle classique, la durée d une tâche et le niveau d utilisation des ressources sont constants. Ce interdit donc de considérer les cas suivants : le cas de la césure d une tâche, c est-à-dire le fait de pouvoir interrompre et reprendre plus tard l exécution d une tâche, le cas de l étirement d une tâche, c est-à-dire le fait de pouvoir allonger la durée d une tâche. En effet, dans la plupart des cas, ce qui est important pour exécuter une tâche ce n est pas sa durée mais c est le travail àexécuter. La durée dépendra alors de la quantité deressource mise en œuvre (ainsi une tâche demandant 15 journées de travail pourra être exécutée en 15 jours avec un ouvrier ou en 5 jours avec trois ouvriers). l utilisation des ressources est constante dans le modèle classique ce qui exclut, par exemple, d utiliser un ouvrier durant cinq jours puis deux ouvriers durant les cinq jours suivants. Enfin, dans le modèle classique, on considère que la durée des tâches est certaine. Le rejet de cette hypothèse conduit à remplacer la durée certaine des tâches par une durée aléatoire des tâches. Nous reviendrons àce problème dans le chapitre 5 consacréàlagestion du risque.

58 58 Chapitre 3. Analyse du projet 3.3 Le coût du projet Tout projet génère des dépenses ainsi que, pour certains d entre eux, des recettes. Pour des projets internes comme le lancement d un nouveau produit, il importe de faire l analyse de ces flux de trésorerie sur une période assez longue, de préférence sur une période allant de la conception du produit à son retrait du marché. Ceci va nous amener à considérer la durée de vie des produits Analyse des coûts sur la durée de vie d un produit En marketing, on considère classiquement une courbe de cycle de vie d un produit comme une courbe donnant en fonction du temps l évolution des ventes du produit. On distingue généralement quatre phases : le lancement du produit la phase de croissance rapide, la maturité duproduit, le déclin du produit. Nous allons maintenant voir les conséquences financières de la notion de cycle de vie du produit. Les coûts du cycle de vie d un produit correspondent à l ensemble des charges que devra supporter l entreprise sur la durée de vie du produit : les coûts de recherche et développement liés au développement du nouveau produit, les coûts d acquisition de ressources de production telle que l achat des machines, la formation du personnel,...etc les coûts de production liés àlafabrication du produit les coûts du service après-vente comme la gestion du stock de pièces détachés, l assistance, la documentation technique,... les coûts de retrait du produit comme la purge des stocks. Il y aura un arbitrage à faire entre ces différents coûts. Eneffet, une diminution des coûts de recherche et développement peut se traduire, par exemple, par un accroissement des coûts de production ou des coûts d après-vente.

59 Section 3.3. Le coût du projet 59 Il est important de faire la distinction entre les coûts engagés et les coûts décaissés. Comme l illustre la figure 3.8, avant même la phase de production plus de 80 % des coûts du cycle de vie sont engagés contre seulement 20 % des coûts décaissés. C est donc essentiellement au cours de la phase de recherche et développement que des gains substantiels de coûts peuvent être dégagés. 100 % Cumul des coûts engagés Cumul des coûts décaissés Recherche et Industrialisation Production temps développement Figure 3.8: Cycle des coûts engagés et décaissés. Il convient donc de passer d une logique purement comptable de contrôle des coûts décaissés à une logique de conception àcoût objectif, c est à dire à demander aux ingénieurs des bureaux d étude de définir des produits et des processus de fabrication sur base non seulement des spécifications fonctionnelles du produit mais aussi en ayant en vue les futurs coûts de production du produit. Comme on peut le remarquer àlafigure 3.9, les flux nets de trésorerie seront négatifs durant la phase de développement et d industrialisation du produit pour devenir largement positifs lors de la phase de production. C est le décalage classique entre le coût d investissement les bénéfices futurs attendus de l investissement. flux de trésorerie Recherche Industrialisation Développement Production temps Figure 3.9: Flux nets de trésorerie

60 60 Chapitre 3. Analyse du projet 3.4 Analyse économique du projet Le dossier d investissement s accompagne d une étude économique chiffrée décrivant les conséquences économiques du projet sous la forme d un échéancier des valeurs allant jusqu à lafindel horizon économique retenu. Cette étude est souvent qualifiée de bilan économique. La comparaison de plusieurs projets d investissement conduit à considérer un indicateur synthétique. A cet égard, il est important d introduire un facteur d actualisation pour ramener à une même période (généralement la période initiale) l ensembles des flux de trésorerie : on définit ainsi la VAN pour valeur actualisée nette L appel à l actualisation Chacun des encaissements (correspondant à des flux de trésorerie positifs) ou des décaissements (correspondant à des flux de trésorerie négatifs) sont datés. L actualisation permet de ramener toutes ces valeurs à une même date afin de pouvoir les comparer. On peut plus facilement expliquer le principe de l actualisation en considérant l opération symétrique, àsavoir la capitalisation. Lorsque la durée d un placement excède un an, il est d usage que l intérêt soit payé périodiquement (généralement, une fois l an) et non en une seule fois. On peut alors replacer les intérêts durant la durée restante du prêt. Illustrons les choses par l exemple d une somme initiale x 0 =1.000 placée àuntaux d intérêt de 5 % l an. Après un an, la somme, capital et intérêts s élève à: x 1 = , = Après deux ans, la somme s élève, capital et intérêts compris à: x 2 = (1 + 0, 05) = (1+0, 05) (1 + 0, 05) En général, si les intérêts sont versés annuellement, une somme initiale de x 0 placée durant un an àuntaux d intérêt i rapporte ix 0. La somme disponible au bout d un an est donc : x 1 = x 0 + ix 0 =(1+i)x 0

61 Section 3.4. Analyse économique du projet 61 Au bout de la deuxième année, la somme capitalisée avec les intérêts de la deuxième année est de : x 2 = x 1 + ix 1 =(1+i)x 1 =(1+i) 2 x 0 En utilisant le même raisonnement, il est facile d établir la relation entre la somme initiale x 0 et la somme capitalisée au bout de t années : x t = x 0 (1 + i) t (3.1) Lorsque les intérêts sont aussitôt et intégralement replacés, on parle de placement à intérêts composés. On appelle la valeur future x t la valeur acquise. L opération qui consiste à calculer x t à partir du capital initial x 0 s appelle la capitalisation, tandis que le coefficient (1 + i) t est appelé coefficient de capitalisation. Il est à remarquer que si l on dispose de la somme initiale, de la somme capitalisée et du nombre de périodes, on peut calculer l intérêt par période en résolvant (3.1) par rapport à i. Onobtient : i = ( xn x 0 ) 1 n 1 (3.2) A titre d illustration, la figure 3.10 présente la capitalisation d un investissement de 100 au bout de 2 ans au taux annuel de 10 % logique de capitalisation = -(-100) x (1,1) temps -100 i = 10 % Figure 3.10: Logique de capitalisation Symétriquement, si l on connaît la valeur future x t et que l on veut déterminer à quel capital initial elle correspond, on parle alors d actualisation. Et donc l actualisation de x t donne le capital au temps t =0de : x 0 = x t (1 + i) t (3.3)

62 62 Chapitre 3. Analyse du projet Le coefficient (1 + i) t qui, multipliéàlavaleur future x t, permet de retrouver la valeur actuelle x 0 est appelé coefficient d actualisation. On remarquera que le coefficient d actualisation est exactement l inverse du coefficient de capitalisation. Remarquez que, en actualisation, on ne parle pas de taux d intérêt i mais plutôt de taux d actualisation α. A titre d illustration, la figure 3.11 présente l actualisation d une somme future de 121 au bout de 2 ans au taux d actualisation 10 % l an. logique d actualisation temps i = 10 % -100 = -121/(1,1) -2 Figure 3.11: Logique d actualisation On dispose donc de x 2 = 121 et on cherche x 0.Onsuppose donc un taux de 10 % l an. On peut calculer successivement : x 1 = 121 1, 1 = 110 x 0 = x 1 1, 1 = 110 1, 1 = 100 On peut encore remarquer que : x 0 = x 1 1, 1 = x 2 1, 1 1 1, 1 = x 2 1, 1 2 justifiant la formule (3.3) ci-dessus Un exemple de choix de capacité Nous allons illustrer l utilité de la VAN sur un exemple de choix d une capacité sur l exemple tiré de Mac Clain [5] d une boulangerie industrielle qui fournit les

63 Section 3.4. Analyse économique du projet 63 supermarchés de sa région et qui s attend à une croissance de la demande. Les données numériques sont les suivantes : 1. Modélisation de la demande : il y a incertitude sur la demande future du produit. Si le succès du produit est important, une capacité supplémentaire de unités par semaine sera nécessaire pour un profit de $ par semaine hors frais d amortissement du capital. Si le succès du produit est mitigé, une capacité de unités par semaine sera suffisante et la compagnie fera un profit de $ par semaine. La demande est connue au bout d un an. On suppose que les bénéfices sont comptabilisés en fin d année. Une année comporte 52 semaines d ouverture du magasin. 2. Données de coût d investissement. Une capacité de 2000 unités par semaine peut être construite pour $. Une capacité de 5000 unités par semaine peut être construite pour 1,5 millions de $. Une capacité de2000 peut être étendue à une capacité de pour 1 million de $. Les surcapacités sont sans valeur. 3. La durée de vie des équipements est de 20 ans. 4. Le facteur d actualisation, nécessaire car les profits sont répartis dans le futur, est de 25 % l an. 5. La probabilité de succès du lancement du produit est estimée à 20% sur base d expériences d introduction d autres produits. Les différents choix possibles peuvent être utilement illustrés sur un arbre de décision tel que celui de la figure Un carré représente une décision. Un cercle représente un état du monde. Définition 3.1 On appelle valeur nette présente, lasomme actualisée des profits futurs moins l investissement initial. Considérons la construction initiale de en cas de demande forte. Ce cas est illustré àlafigure La VAN se calcule donc comme suit : VAN = 20 t=1 ( ) t ( ) , 25 ( ) 20 t 1 = ( ) , 25 t=1

64 64 Chapitre 3. Analyse du projet haute demande Investiss. 1,500,000 Profit. 40,000 construire 5000 construire 2000 haute demande faible demande 1,500,000 16,000 rester à ,000 16, ,000 16,000 +1,000,000+24,000 ne rien construire faible demande 800,000 16, Figure 3.12: Arbre de décision FN t t Figure 3.13: Construction de en cas de demande forte.

65 Section 3.4. Analyse économique du projet 65 On peut démonter la formule suivante pour le calcul d annuités : n ( ) 1 t [ ] 1 (1 + i) n = 1+i i t=1 Appliquons ceci à notre exemple : 20 t=1 ( ) t 1 = 1, 25 D oùlavaleur nette au bout d un an de : [ ] 1 (1, 25) 20 =3, , 25 (3.4) VAN = , = Considérons maintenant la construction initiale de en cas de demande faible. LaVAN se calcule comme suit : ( ) 20 t 1 VAN = ( ) = , 25 t=1 Considérons maintenant la construction de 2000 en cas de demande haute et sans investissement supplémentaire. LaVAN se calcule comme suit : ( ) 20 t 1 VAN = ( ) = , 25 t=1 Considérons la construction initiale de augmentée de 3 000, en cas de demande forte. L investissement initial de rapporte $ durant 20 ans et l investissement de début de 2ème année rapporte un supplément de profit de durant 19 ans. Ce cas est illustré àlafigure La VAN au temps 1 de l investissement supplémentaire se calcule comme suit : VAN 1 = ( ) 19 t=1 ( ) t , 25 Appliquons la formule (3.4) àlasomme des facteurs d actualisation : 19 t=1 ( ) t 1 = 1, 25 [ ] 1 (1, 25) 19 =3, 942 0, 25 On obtient donc une valeur nette au bout d un an de l investissement supplémentaire : VAN 1 = , =

66 66 Chapitre 3. Analyse du projet FN t t Figure 3.14: Construction de (+3000) en cas de demande forte. On en conclut que l on a intérêt àfaire l investissement puisque la Valeur Actualisée Nette est positive : on aura un return positif de l investissement. Pour obtenir la VANdececas, il faut ajouter la VAN de l investissement initial de qui rapporte durant 20 ans : VAN 0 = , 25 + ( ) t=1 = = , 25 ( ) t , 25 Enfin, le cas d une demande faible avec un investissement initial de est identique au cas de la construction intiale de et d une demande forte lorsque l on reste à2000. Il a déjà été calculé plus haut. Les résultats dans les différents cas sont résumés au tableau 3.1. On peut alors calculer les profits espérés dans chacun des trois cas : Construire : E(VAN)=0, , = $. Construire : E(VAN)=0, , = $. Ne rien construire : E(VAN)=0 En conclusion,il vaut mieux construire une petite capacité etétendre après un an si nécessaire. Remarquons que le résultat dépend crucialement de la probabilité de succès du produit (voir exercice ci-dessous).

67 Section 3.5. Exercices Exercices Décision demande VAN construire forte construire faible construire forte construire faible construire 0 forte 0 construire 0 faible 0 Tableau 3.1: Calcul de la VAN 3.1. Lancement d un nouveau produit. Une société met à l étude le lancement d un nouveau produit. Ce lancement nécessite la réalisation de 10 tâches repérées par les lettres A à J,et dont les caractéristiques sont données à la table 3.2. tâche durée ancêtre(s) observations A 7 C,F Recouvrement possible avec C de 3 semaines B 3 D,H,G C 6 J Ne peut commencer avant le début de la 14ème semaine. D 3 - E 2 D F 5 JetI G 4 - H 5 - I 7 GetH J 4 EetB Tableau 3.2: Lancement d un nouveau produit (a) Établir le graphique de la méthode du potentiel. (b) Vérifier sur le graphique que le problème est soluble (expliquer succinctement pourquoi).

68 68 Chapitre 3. Analyse du projet (c) Calculer les dates de début au plus tôt, au plus tard, les marges. (d) Donner tous les chemins critiques. tâche C F B I coût EURO EURO EURO EURO Tableau 3.3: Réduction possible de la durée (e) Le directeur commercial souhaite raccourcir la durée d exécution du projet d une semaine. Les tâches sur lesquelles il est possible d agir ainsi que le coût correspondant à leur diminution de durée d une semaine sont donnés àlatable 3.3. Que suggérez-vous? 3.2. Capitalisation à intérêt composé. On place une somme initialement disponible de euros àuntaux annuel de 9 % pour une période de 12 ans. Les intérêts sont réinvestis dans le capital. (a) Calculer le capital disponible au bout de 12 années. (b) Représenter graphiquement l opération de capitalisation. (c) Si l on verse les intérêts mensuellement, quel devrait être le taux mensuel pour obtenir 9 % au bout d un an? 3.3. Calcul des Flux Nets de Trésorerie Actualisés. Calculer la VAN d un investissement dont l échéancier est le suivant : (investissement, et donc décaissement) réaliséàladate 0, et de de flux net de trésorerie (=bénéfice après impôt + amortissement) disponible à la fin de l année 1, +900 àlafindel année 2, et àlafindel année 3, le taux d actualisation étant de 5 % Choix d une capacité. Pour les données d investissement de la section mais avec une probabilité desuccès du produit de 50 %, (a) recalculer les espérances de valeurs actualisées nettes des deux investissements possibles; (b) expliquer pourquoi la décision optimale change; (c) déterminer la probabilité pour laquelle la décision optimale change Ouverture d un restaurant. Un indépendant envisage d ouvrir un restaurant dans le centre de Bruxelles. Il doit décider s il ouvre un restaurant

69 Section 3.5. Exercices 69 de 250 personnes (coût de l investissement : 500 milliers d euros), de 500 personnes (coût de l investissement : 1000 milliers d euros), En cas de succès (demande forte) le restaurant de 500 couverts est pleinement utilisé etrapporte un bénéfice annuel de 200 (milliers d euros). En cas de demande faible, une capacité de250 couverts est suffisante et rapporte un bénéfice annuel de 100 (milliers d euros). Le succès est connu au bout de la première année. Les bénéfices annuels sont comptabilisés en fin d année. Au bout d un an, si l installation initiale comporte 500 couverts, l indépendant peut réduire la capacité enrevendant une partie des installations pour 200 milliers d euros. si l installation initiale comporte 250 couverts, l indépendant peut a- grandir son restaurant à 500 couverts avec un coût additionnel de 700 milliers d euros. L indépendant compte exploiter le restaurant pendant 20 ans. On néglige la valeur des installations au bout de 20 ans. Le facteur d actualisation est de 10% l an. (a) On demande de dessiner l arbre de décision relatif àceproblème. (b) On demande de compléter le tableau suivant : Cas Décision Demande VAN(Keuros) 1 Restaurant 500 couverts Forte 2 Restaurant couverts Faible 3 Restaurant 250 couverts Faible 4 Restaurant couverts Forte Donner le détail de vos calculs dans chacun des cas. (c) Sachant que la probabilité desuccès (demande forte) a été estimée à 55% sur base d une étude marketing, on demande de calculer la VPN espérée si la première décision consiste à ouvrir un restaurant de 500 couverts la VPN espérée si la première décision consiste à ouvrir un restaurant de 250 couverts

70 70 Chapitre 3. Analyse du projet (d) Etant donné les résultats ci-dessus, quelle décision initiale d investissement prendra l investisseur?

71 Chapitre 4 Le suivi du projet 4.1 Introduction Au chapitre 1, nous avions introduit les trois catégories possibles d objectif en gestion de projets. En cours d exécution du projet, il convient de suivre chacun de ces objectifs. Il faut donc procéder au : suivi des délais, suivi budgétaire, suivi de la qualité. Nous allons nous concentrer dans ce chapitre sur les deux premiers points. Pour un bon suivi des projets, la collecte des informations est un élément crucial. Leur collecte à intervalles réguliers (dépendant de la longueur du projet) permet de détecter des dérives et d entamer des actions correctrices. Deux éléments importants sont donc à considérer : la rapidité d obtention de l information, la qualité de l information obtenue. Une information trop tardive peut amener des actions correctrices plus coûteuses et une information erronée peut amener à prendre de mauvaises décisions. 4.2 Le suivi de la programmation Les logiciels commerciaux permettent tous un suivi détaillé de l exécution des tâches. A cette fin, l assistant du contrôleur de projet saisi de manière informatique 71

72 72 Chapitre 4. Le suivi du projet la date de début réel et la date de fin observée de chaque tâche. En cas d écart par rapport au prévisionnel (retard ou avance dans le début ou la fin d une tâche), le logiciel recalcule automatiquement l ordonnancement des tâches non exécutées. Nous avions vu au chapitre 2, la manière de présenter les résultats de l ordonnancement sous forme d un diagramme de Gantt (voir section 2.9) où chaque ligne horizontale correspond à une tâche. Le même graphique peut être utilisé pour le suivi du projet. Comme on peut le voir àlafigure 4.1, pour chaque tâche on reprend dans sa ligne, le prévisionnel et le réalisé enutilisant par exemple des couleurs différentes. Les différences apparaissent alors facilement. Tâche 1 Tâche 2 Tâche 3 Tâche 4 Tâche 5 Tâche 6 Tâche 7 Tâche 8 Tâche 9 Tâche 10 Tâche Temps prévu réalisé Figure 4.1: Le suivi d exécution des tâches Si le suivi détaillé des tâches permet de détecter les retards et de prendre les actions correctrices (par exemple, en augmentant les moyens consacrés à une tâche), la masse d informations empêche parfois un diagnostic global. A cet égard, l approche hiérarchique ou désagrégative du projet (voir chapitre 3) n est pas très utile car déclarer une macro tâche non achevée peut refléter le fait qu une seule tâche la composant n est pas achevée ou bien encore qu aucune des tâches la composant n est achevée. En conséquence de quoi, seules les macrotâches ne comprenant que toutes des tâches achevées ou toutes des tâches non entamées peuvent être utilisées avec profit dans le suivi de l avancement du projet. La solution pour un contrôle global de l exécution du projet est de sommer des données appartenant à des tâches différentes. A cet égard, un bon indicateur est la valorisation des ressources consommées par un ensemble de tâches que l on comparera avec la valeur de référence pour voir si globalement le projet a pris du retard ou non.

73 Section 4.3. Le suivi des coûts Le suivi des coûts Le suivi des coûts implique que lors de l analyse du projet, on ait fait une évaluation des coûts des tâches. On peut alors sur base de la constatation des ressources consommées et du coût unitaire de ces ressources, procéder à l évaluation des coûts encourus Les données de références Classiquement en contrôle de gestion, onpart des données de références pour analyser ce qui a été exécuté. Ainsi, on définit le budget initial comme celui défini àladate de lancement du projet que nous noterons τ d.onajoute en général aux charges initialement prévues pour l exécution des tâches, une provision pour faire face aux imprévus. Il s agit d une assurance groupée qui est plus efficace qu un saupoudrage des moyens à chacune des tâches (car généralement les reliquats ne sont pas restitués àlafin d exécution d une tâche). Définition 4.1 On appelle budget à date le budget initialement prévu du projet. En plus de ce budget initial, on définit un échéancier de la consommation de ce budget (voir figure 4.2). Comme une tâche met un certain temps à être réalisée, il se pose le problème de savoir comment répartir dans le temps la consommation de moyens financiers par la tâche. Ondistingue trois solutions possibles : la répartition uniforme du coût de la tache durant toute sa durée d exécution, la répartition de la dépense durant son exécution au prorata de la consommation des ressources (si la consommation des ressources n est pas constante durant l exécution de la tâche, cela donnera un résultat différent), l imputation de la moitiéducoût au début d exécution de la tâche et du solde àlafin. La dernière solution conduit évidemment à une courbe plus heurtée Les données révisées à date t Considérons maintenant une date ultérieure t comprise entre les dates de début du projet et la date de fin prévue initialement du projet : τ d t τ f,d

74 74 Chapitre 4. Le suivi du projet Coût prévisionnel réestimé en date t Budget à date Ecart sur budget Prévision de consommation de budget à date, définie à la date τ d Retard final prévu en t τ d τ f,d τ f,t Date de début du projet Date initialement prévue de fin tdate courante Date de fin prévue en t Figure 4.2: Le suivi des coûts

75 Section 4.3. Le suivi des coûts 75 A cette date, un certain nombre d événements se sont produits conduisant à réviser officiellement certains objectifs de délai et de coûts. Ainsi, on va modifier : la date finale du projet est révisée de τ f,d,ladate initialement prévue, en τ f,t qui est maintenant l objectif de délai considéré comme réaliste (voir figure 4.2 où est indiqué leretard prévisionnel à date t); le coût prévisionnel réestimé à date t est généralement plus élevé que le budget à date car tenant compte des nouveaux éléments apparus depuis la dernière révision du budget (voir figure 4.2 où est indiqué l écart final prévisionnel à date t sur le budget); l échéancier des consommations prévisionnelles du budget est révisé Les grandeurs à comparer Aladate t, uncertain nombre de tâches ont été effectuées en totalité oupartiellement. Ce qui se traduit par un coût encouru illustréàlafigure 4.3. Définition 4.2 Le coût encouru est définit comme le coût réel du travail effectué ou CRTE àladate t. Si l on avait travailléenconformitéaveclebudget à date, les travaux qui auraient dûêtre réalisés àladate t auraient dépensé lebudget encouru. Définition 4.3 On appelle budget encouru à la date t le coût budgété du travail prévu pour cette date ou encore CBTP. La différence entre le budget encouru (ce qui est prévu) et le coût encouru (le coût réalisé) a une double origine : un effet quantité dû aux écarts de planning :letravail effectué est en avance ou en retard par rapport aux prévisions; un effet prix :lavaleur des facteurs consommés est différente de la valeur prévue à cause : d une différence de quantité de facteurs utilisés (amélioration ou plus généralement dégradation de la productivité); d une différence de prix unitaires (prix unitaires supérieurs ou inférieurs à ceux des prévisions).

76 76 Chapitre 4. Le suivi du projet Pour mettre en évidence les différents effets, l idée est de comparer ce qui est prévu (budget encouru) et ce qui est réalisé (coût encouru) à une troisième grandeur la valeur théorique des travaux exécutés qui doit être : comparable au coût encouru, parce qu adoptant la même hypothèse d avancement de planning (mêmes tâches achevées ou en cours); comparable au budget encouru, parce qu adoptant la même hypothèse de valeurs des ressources consommées (pas de dérive de coût des tâches). Définition 4.4 Le coût budgétédutravail effectué (ou CBTE) s obtient tout simplement en valorisant les tâches effectuées aux coûts prévus dans le budget à date. Ces différents valeurs sont illustrées à la figure 4.3 où le cas décrit est particulièrement défavorable puisque : le budget encouru (ou coût budgété du travail prévu) est supérieur à la valeur budgétaire du réalisé; le budget encouru est inférieur au coût encouru (ou coût réel du travail effectué). Ce coût budgété dutravail réalisé est comparé aubudget encouru pour déterminer l écart de planning et au coût encouru pour déterminer l écart de coût Analyse de l écart de planning On compare donc ici le coût budgété du travail réalisé et le budget encouru, c està-dire le coût budgété dutravail initialement prévu. Ils sont valorisés au même coût d utilisation des ressources. La différence des ces deux valeurs correspond donc uniquement à une différence de planning. Ainsi, on définit l écart de planning comme la différence entre le coût budgété du travail réalisé et le budget encouru : Ecart de planning = CBTE - CBTP L analyse de cet écart conduit à dire que : Si le coût budgété du travail effectué est supérieur au budget encouru (écart positif), les réalisations du projet sont en avance par rapport aux prévisions; si le coût budgété du travail effectué est inférieur au budget encouru (écart négatif), les réalisations du projet sont en retard par rapport aux prévisions.

77 Section 4.3. Le suivi des coûts 77 Coût prévisionnel réestimé en date t Ecart final prévisionnel à la date t ou écart sur budget Budget à date Coût Réel du Travail Effectué ou Coût encouru Coût Budgété du Travail Prévu ou Budget encouru Coût Budgété du Travail Effectué ou valeur budgétaire du réalisé Estimation du coût prévisionnel définie à la date t Prévision de consommation de budget à date, définie à la date Prévision de consommation de budget à date, définie à la date t τ d Retard constaté à la date t Retard final prévu en t τ d θ t τ f,d τ f,t Date de début du projet Date courante Date initialement prévue de fin Date de fin prévue en t Figure 4.3: Les écarts de coût

78 78 Chapitre 4. Le suivi du projet On peut définir l écart de planning relatif comme l écart de planning divisé par le budget encouru : Ecart de planning relatif = CBTE - CBTP CBTP Une autre approche possible pour l écart de planning consiste à déterminer sur la courbe prévisionnelle du budget encouru, la date θ qui est celle à laquelle on avait prévu d atteindre la consommation budgétaire correspondant à la valeur du coût budgété dutravail effectué àladate t. L analyse est également simple : une différence (t θ) positive correspond àunretard dans le planning, une différence (t θ)négative correspond à une avance dans le planning Analyse de l écart de coût On compare donc ici le coût budgété dutravail effectué et le coût encouru, c està-dire le coût réel du travail effectué. Ils ont donc en commun la même hypothèse d avancement des travaux. La différence des ces deux valeurs correspond donc uniquement à une différence de coût (entre le coût réel et le coût prévu). Ainsi, on définit l écart de coût comme la différence entre le coût budgété dutravail réalisé et le coût encouru : Ecart de coût = CBTE - CRTE Cette différence qui a donc pour origine uniquement des variations de coût de réalisation des tâches peut s expliquer par : des variations de consommations de ressources utilisés; des variations de coût unitaire de ces ressources. L analyse de cet écart conduit à dire que : si le coût budgété dutravail effectué est inférieur au coût encouru (écart de coût négatif), les réalisations du projet ont coûté plus cher que prévu; on est en présence d un risque de dépassement budgétaire si l on ne peut pas compenser par des économies ultérieures; si le coût budgété du travail effectué est supérieur au coût encouru (écart de coût positif), les réalisations du projet ont coûté moins cher que prévu; on a donc plus de chance de tenir l enveloppe budgétaire initiale.

79 Section 4.4. Exercice Exercice 4.1. Cas de l entreprise BURBOX. La société BURBOX est une société spécialisée dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d édifier une nouvelle usine à la place d un entrepôt inutilisé afin de répondre à l accroissement de sa demande. Le projet doit début le lundi 15 juin Les tâches àexécuter sont les suivantes : 1) La démolition de l ancien entrepôt et l enlèvement des gravats par la société DUPOND a une durée estimée à10jours ouvrables. L opération est facturée euros le premier jour de l exécution de la tâche. Le permis de démolition est déjà accordé. 2) L obtention du permis de bâtir pour le nouveau bâtiment devrait prendre 25 jours. 3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent débuter avant que le permis ne soit accordé, sont prévus pour une durée de 5 jours. Le coût est de 180 euros par m 3 et on estime qu il y a m 3 à enlever. Le paiement est fait pour moitié audébut et pour moitié àlafindelatâche. 4) Les travaux de fondation du nouveau bâtiment durent 10 jours pour un coût prévu de euros. 5) Le gros œuvre est scindé endeux tranches : 5.1 La première tranche débutant après les fondations est prévue pour une durée de 18 jours et un coût prévisionnel de euros qu il est prévu de payer en trois fois (20 % au début, 40 % le 10ème jour et le solde àlafindugros œuvre 1); 5.2 La seconde tranche, qui peut débuter 5 jours avant la fin de la première tranche, doit durer 7 jours et a un coût prévu de euros (50 % au début, 50 % àlafin). 6) La toiture devrait pouvoir être faite en 10 jours au prix de euros et peut débuter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre. 7) La tâche de finition du bâtiment consiste en les cinq tâches suivantes : 7.1 La pose de panneaux industriels de plâtre par la société MARTIN pour une durée de 6 jours et un coût forfaitaire de euros; 7.2 La première phase d électrification du bâtiment consiste en l installation successive de 3 transformateurs. Elle est effectuée par la société LAMBERT pour euros (versement initial de euros, versement de euros àlaréception de

80 80 Chapitre 4. Le suivi du projet chaque transformateur). L installation et la réception d un transformateur nécessite 5 jours (15 jours au total pour la tâche); 7.3 La seconde phase d électrification est prise en charge par le personnel des services généraux de la société BURBOX qui comptent 5 agents. Le travail est estimé à 320 heures de travail (coût horaire de 150 euros). Les fournitures à acheter coûtent euros. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la première phase d électrification. Les travaux d électrification doivent être terminés avant la peinture. 7.4 Le travail de peinture des murs est estiméà 200 heures et est pris en charge par les services généraux de BURBOX. 7.5 Le travail de peinture du sol est estiméà 120 heures et doit aussi être pris en charge par les services généraux. Les deux phases de peinture peuvent être effectuées en parallèle avec un maximum de 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinture doivent être achevées avant l installation des machines. 8) Le démontage des anciennes machines dure 2 jours et sera effectué par les 5 employés des services généraux. On programmera cette tâche au plus tard avec une marge de 5 jours. 9) Le remontage des machines dure la même période et mobilise les mêmes ressources. Il faut que les travaux de peinture (mur et sol) soient finis. Le remontage est programmé auplus tard. 10) L acquisition de nouvelles machines pour un montant de euros (moitié àlacommande, moitié àlafindes essais) comporte les tâches suivantes : jour pour passer la commande; 10.2 la livraison dure 1 jour et est effectuée 21 jours après la commande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie jours d essai du matériel. 11) L inauguration des nouvelles installations à l issue du remontage et des essais dure 1 jour. La consommation du budget est allouée à une tâche (sauf indication contraire de l énoncé) au début d exécution de la tâche. Le budget tient compte de la provision de euros pour imprévus. Cette provision est à imputer àlafinduprojet. On demande : (a) Réfléchir àladurée des travaux confiés aux services centraux en :

81 Section 4.4. Exercice 81 calculant la durée de la tâche 7.3; imaginant une organisation du travail de peinture (7.4 et 7.5) ayant pour objectif d immobiliser au minimum l équipe de 5 agents. (b) D établir un tableau récapitulatif des tâches avec leur désignation, la liste de leurs ancêtres, leur durée, leur coût et les observations quant à leur programmation. (c) D établir le tableau de décomposition par niveaux. (d) De construire le graphe du potentiel, d y calculer les dates au plus tôt, plus tard et les marges totales. (e) D indiquer la date d inauguration au plus tôt. (f) De proposer une programmation effective répondant (sauf indication contraire de l énoncé) au principe de prudence, en tenant compte du fait que la semaine comporte 5 jours de travail et que les 14 juillet, premier et 11 novembre sont fériés (voir tableau 4.1). (g) D établir l évolution de la consommation prévisionnelle du budget du projet. (h) Le projet a commencé conformément aux prévisions. Au premier septembre, les informations disponibles sur le bon déroulement du projet sont les suivantes : la tâche de démolition a étéeffectuée en 11 jours du 15 au 29 juin; les formalités administratives ont pu être bouclées en 20 jours du 15 juin au 10 juillet; le terrassement a porté sur m 3 et a été effectué du13au17 juillet; les fondations ont coûté euros et ont été exécutées du 20 juillet au 7 août (15 jours): suite àunretard d exécution, le deuxième acompte du gros œuvre aété versé le26août, ces 2 jours de retard ne peuvent être rattrapés et se répercutent sur le début de la seconde tranche du gros œuvre et celle de la toiture. Sachant que la seconde tranche de gros œuvre débute le premier septembre, il vous est demandé d établir la consommation budgétaire effective à cette date (ou le coût encouru). (i) Pour éliminer l incidence des écarts de planning et évaluer correctement la dérive de coût du projet, calculer la consommation budgétaire théorique si les coûts avaient été ceux initialement prévus (valeur budgétaire du réalisé). En déduire la dérive de coût au premier septembre.

82 82 Chapitre 4. Le suivi du projet N Lundi N Mardi N Mercredi N Jeudi N Vendredi 1 15-juin 2 16-juin 3 17-juin 4 18-juin 5 19-juin 6 22-juin 7 23-juin 8 24-juin 9 25-juin juin juin juin 13 1-juil 14 2-juil 15 3-juil 16 6-juil 17 7-juil 18 8-juil 19 9-juil juil juil - 14-juil juil juil juil juil juil juil juil juil juil juil juil juil juil 35 3-aoû 36 4-aoû 37 5-aoû 38 6-aoû 39 7-aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû aoû 56 1-sep 57 2-sep 58 3-sep 59 4-sep 60 7-sep 61 8-sep 62 9-sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep sep 78 1-oct 79 2-oct 80 5-oct 81 6-oct 82 7-oct 83 8-oct 84 9-oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct oct nov nov nov nov nov nov nov - 11-nov nov nov nov nov nov nov nov nov nov nov nov nov Tableau 4.1: Calendrier

83 Chapitre 5 La prise en compte du risque 5.1 Introduction On définit le risque comme étant la possibilité que le projet ne s exécute pas conformément aux prévisions de date d achèvement, de coût ou de qualité, ces écarts par rapport aux prévisions étant considérés comme inacceptables. Le traitement des risques est liéà chaque catégorique d objectif : L analyse du risque de dépassement du coût du projet s effectue en cours d exécution du projet en utilisant les techniques de contrôles de gestion présentées au chapitre 4. Mais cette analyse du risque peut également être faite lors de la phase de définition du projet. Nous verrons deux types d approches pour l analyse de ce risque : l approche quantitative du risque et l approche qualitative du risque. L analyse du risque de non respect des délais est classiquement abordée en cours d exécution du projet en utilisant les techniques de suivi de planning présentées au chapitre 4. Nous compléterons ces méthodes par une approche quantitative du risque. L analyse du risque de non respect des performances relève des sciences de l ingénieur et ne sera pas considérée ici. Nous verrons deux familles d approches utilisées pour maîtriser les risques : l approche quantitative, qui repose sur une vision stochastique du problème, vise à quantifier la dispersion de la réalisation des objectifs de coût et de durée, l approche qualitative, qui repose sur l intuition et la connaissance de l entreprise, vise à permettre des diagnostics rapides au moyen de listes de contrôle. 83

84 84 Chapitre 5. La prise en compte du risque 5.2 L approche quantitative du risque Les deux risques fondamentaux auxquels il faut faire face dans la gestion d un projet sont : le risque de ne pas tenir les délais, le risque de dépassement budgétaire Distribution statistique de la durée d une tâche Dans l approche quantitative classique du risque délai, onremplace la durée d exécution des tâches par une variable aléatoire. Le responsable de l exécution d une tâche est bien sûr incapable de donner la loi de probabilité de cette variable ainsi que la valeur de ses paramètres. Il existe deux méthodes pour obtenir cette distribution : Dans l approche empirique, on pose au responsable de l exécution de la tâche, des questions du type : Quelle est la probabilité pour que la tâche mette plus de x jours? en prenant des valeurs croissantes de x. Onobtient alors directement une fonction de répartition de la durée d exécution de la tâche. Dans l approche théorique, on privilégie une distribution statistique donnée. Le cas le plus simple est celui de la distribution uniforme. Trois autres distributions statistiques sont souvent utilisées : la distribution Bêta, la distribution normale et la distribution triangulaire. Ceci n évite évidemment pas l écueil de devoir recueillir auprès des opérationnels les paramètres de la distribution par un jeu de questions simples. La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la valeur minimale A et la valeur maximale B sont équiprobables. Si l on note X la variable aléatoire, il est facile de voir (voir figure 5.1) que : sa fonction de densité deprobabilité f(x) est donnée par (cas continu) : f(x) = 1 (5.1) B A sa fonction de répartition F (X <x) est donnée par (cas continu) : F (X <x)= x A B A avec bien sûr F (X <A)=0 (5.2)

85 Section 5.2. L approche quantitative du risque 85 Fonction de densite de probabilite B 1 A f(x) A B x Fonction de repartition 1 F(X <x) 0 A B x Figure 5.1: Distribution uniforme de probabilité

86 86 Chapitre 5. La prise en compte du risque La distribution Bêta (voir figure 5.2) est une distribution unimodale qui : a une fonction de répartition telle que F (X <A)=0et F (X >B)=1, a une fonction de densité deprobabilité donnée par : f(x) = (x A) α (B x) γ 1 (B A) α+γ+1 t α (1 t) γ dt 0 (5.3) a une espérance mathématique E(X) donnée par : α +1 E(X) =A +(B A) α + γ +2 (5.4) a une variance V (X) donnée par : et a un mode M 0 donné par : V (X) = (B A)2 (α + 1)(γ +1) (α + γ + 3)(α + γ +2) 2 (5.5) M 0 = Aγ + Bα α + γ (5.6) f(x) A M 0 B x Figure 5.2: Distribution Bêta de probabilité La connaissance de A, B, α et γ spécifie totalement la loi. S il est facile d identifier A et B, il est impossible de recueillir directement auprès des opérationnels les valeurs de α et γ. On peut remarquer que la connaissance de A, B, E(X) et M 0 spécifie également totalement la loi. En effet, les relations permettant de calculer E(X) et M 0 définissent un système de deux équations en deux inconnues (α et γ).

87 Section 5.2. L approche quantitative du risque 87 Cependant, il est difficile pour un praticien d identifier la différence entre le mode et la moyenne. La distribution Normale (voir figure 5.3) est une distribution unimodale qui : a une fonction de densité deprobabilité donnée par : f(x) = 1 ( x µ σ 2π σ e ) 2 /2 (5.7) a une fonction de répartition donnant P (X <x α ) donnée par : P (X <x α )= 1 ( σ xα x µ ) 2 e σ /2 dx = α (5.8) 2π f(x) N(,σ) α x α x Figure 5.3: Distribution normale de probabilité Le problème de cette distribution est qu elle porte sur une variable continue pouvant aller de moins l infini à plus l infini. Sil on restreint le domaine de X aux seules valeurs positives, on obtient une distribution tronquée de la loi normale : P (X <x α )= e 0 1 ( x µ σ ) 2 /2 dx xα 0 ( x µ ) 2 e σ /2 dx = α (5.9) La difficulté est ici l estimation des paramètres µ et σ de la distribution à partir d un échantillon d observations. La distribution triangulaire (voir figure 5.4) constitue une alternative àla loi Bêta. En effet, elle ne nécessite que de connaître les trois paramètres A, B et M 0, autrement dit les deux valeurs extrêmes et le mode de la distribution. Cette distribution est d un grand intérêt pratique vu la facilité decollecte de ses paramètres. Elle a :

88 88 Chapitre 5. La prise en compte du risque une fonction de densité deprobabilité donnée par : f(x) = 2(x A) (M 0 A)(B A) 2(B x) (B M 0 )(B A) si A x M 0 si M 0 x B une fonction de répartition donnant P (X <x) donnée par : P (X <x)= 1 (x A) 2 (M 0 A)(B A) (B x) 2 (B M 0 )(B A) une espérance mathématique E(X) donnée par : une variance V (X) donnée par : E(X) = A + M 0 + B 3 si A x M 0 si M 0 x B V (X) = A(A M 0)+B(B A)+M 0 (M 0 B) 18 f(x) Densite deprobabilite B 2 A A M 0 B Valeur minimum Mode Valeur maximum x Figure 5.4: Distribution triangulaire de probabilité

89 Section 5.2. L approche quantitative du risque L approche classique L approche classique est basée sur les principes suivants : la durée t de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire de distribution Bêta. Les paramètres de la distribution Bêta sont calculés moyennant une hypothèse de calcul assez forte 1 à partir des trois paramètres A, B et M 0.Ilsuffit donc de poser les trois questions suivantes : Quelle est la durée minimum de réalisation de la tâche? Quelle est la durée maximale de réalisation de la tâche? Quelle est la durée la plus probable? pour obtenir respectivement les paramètres A, B et M 0 qui permettent de calculer la moyenne et la variance, à partir des formules suivantes : E(t) = A + B +4M 0 6 (5.10) ( ) B A 2 V (t) = (5.11) 6 on détermine le chemin critique du projet en se plaçant dans l univers certain en mettant la durée de chaque tâche égale àsamoyenne donnée par la formule (5.10). On détermine ainsi un ou plusieurs chemins critiques. On se place en univers incertain et on fait l hypothèse que la durée du projet est la somme des durées des tâches du chemin critique,ce qui bien sûr est une forte hypothèse simplificatrice. On utilise le théorème central limite pour approximer la loi de distribution de probabilité d exécution du projet. Ainsi, l espérance et la variance de la durée du projet se calculent comme la somme des espérances et des variances des tâches du chemin critique : ( n E ( n V ) X i i=1 ) X i i=1 = = n E(X i ) i=1 n V (X i ) i=1 La connaissance de la loi de la durée du projet permet alors de calculer des intervalles de confiance sur la durée du projet. 1 On suppose que α =2+ 2 et que γ =2 2

90 90 Chapitre 5. La prise en compte du risque Illustrons ces principes sur un exemple numérique. Le tableau 5.1, fournit, pour les 10 tâches critiques du projet, les valeurs extrêmes et le mode qui permettent de calculer la moyenne et la variance de la durée de chaque tâche critique par les formules (5.10) et (5.11). Tâche (i) A i M 0i B i E(X i ) V (X i ) / ,83 9/ ,83 25/ ,5 49/ ,33 16/ ,83 25/ ,83 9/ ,83 25/ ,33 36/ ,17 49/36 Σ ,5 7,19 Tableau 5.1: Méthode classique On en déduit que la distribution de probabilité deladurée minimale d exécution du projet est une loi normale de paramètres connus : N (49, 5; 7, 19) = N (49, 5; 2, 68) On peut donc en déduire des intervalles de confiance sur la durée du projet. Par exemple, si l on veut déterminer un intervalle à 95%sur la durée du projet,on peut utiliser la symétrie de la courbe de la normale (voir figure 5.5). On cherche donc les valeurs extrêmes de l intervalle [x 1,x 2 ] tel que la probabilité que la durée soit entre ces deux bornes est 95 % : P [x 1 X x 2 ]=95% Vu la symétrie de la courbe de la Normale, cela signifie qu il y aura 2,5 % à chaque extrémité dugraphe (voir figure 5.5). Il suffit de déterminer x 2 et x 1 sera calculé par symétrie par rapport à µ = 49,5. L annexe C fournit, pour la loi normale centrée réduite, Z N(0, 1),laprobabilité P (Z >z). Oncherche donc x 2 tel que : P (X >x 2 )=2, 5%

91 Section 5.2. L approche quantitative du risque 91 f(x) N(,σ) 2,5 % 95 % 2,5 % x 1 49,5 x 2 x Figure 5.5: Intervalle à95%sur la durée du projet Pour faire la lecture dans la table, il faut centrer et réduire des deux côtés de l inégalité ci-dessus. On obtient : [ X µ P > x ] 2 49, 5 =2, 5% σ 2, 68 Dans la table de la loi Normale N (0, 1), onlitque : P (Z >1, 96) =2, 5% On en déduit que Autrement dit que : x 2 49, 5 2, 68 =1, 96 x 2 =1, 96 2, , 5=54, 75. On détermine x 1 comme étant le point symétrique de x 2 par rapport àlamoyenne µ = 49,5 : x 1 =49, 5 (x 2 49, 5) = 44, 25 On en déduit finalement l intervalle suivant. P (44, 25 <X<54, 75) = 95% Il est à remarquer cependant que l utilisation du théorème central limite suppose d avoir au moins une trentaine de tâches dans le chemin critique. Hors dans notre exemple, on dispose à peine de 10 tâches. On est àlalimite des conditions d utilisation du théorème! D autre part, la méthode privilégie un chemin critique. En situation aléatoire, d autre chemins peuvent devenir critiques dans certains cas. Pour l analyse des effets combinés de ces chemins critiques et sous critiques, il vaut mieux recourir à l approche simulatoire.

92 92 Chapitre 5. La prise en compte du risque L approche simulatoire Le principe de l approche simulatoire est de faire une simulation sur base d un scénario privilégié pour chacune des tâches. En utilisant la méthode de Monte- Carlo, onpeut générer différents scénarios pour les tâches du projet. Ce qui permet de calculer, par exemple, la probabilité d une tâche d être critique. Nous introduisons d abord la méthode de Monte-Carlo. Supposons que l on s intéresse àlagrandeur X (qui ici représente la durée d une tâche). Il faut d abord identifier la fonction de répartition de la variable X. Ceci est fait, par exemple, en posant une série de questions du type : Quelle est la probabilité que la variable X prenne une valeur inférieure à x? Le tableau 5.2 présente les résultats obtenus à cette série de questions. x P (X <x) % % % % % % % Tableau 5.2: Méthode de Monte-Carlo On peut alors construire la fonction de répartition par interpolation linéaire comme c est fait àlafigure 5.6. On obtient la table 5.3. Par ailleurs, il faut disposer d un générateur de nombres aléatoires. Le tableau 5.4 reprend un extrait d une table de nombres générés au hasard. Cette table permet de simuler des valeurs équiprobables de probabilités cumulées. Il suffit de considérer les séquences de 2 chiffres consécutifs dans cette table comme fait au tableau 5.5. On obtient ainsi autant de valeurs équiprobables de probabilités cumulées : 43 %, 64 %, 58 %, 92 %, 32 %, 0 %, 38 %, 41 %, 8 %, 58 %. Au moyen de la table 5.3, on peut retrouver les valeurs correspondantes de X. Onobtient ainsi des valeurs équiprobables de X reprises au tableau 5.6. C est là leprincipe de la méthode de Monte-Carlo. Une fois connues les distributions de probabilités des durées des tâches, on utilise la méthode de Monte-Carlo pour obtenir par simulation des durées des différentes tâches. On procède alors àungrand nombre de simulations qui

93 Section 5.2. L approche quantitative du risque 93 F i x i F i x i F i x i F i x i Tableau 5.3: Construction de la fonction de répartition Tableau 5.4: Table de nombres au hasard (extraits)

94 94 Chapitre 5. La prise en compte du risque F i (%) 100 % 80 % 70 % 60 % 40 % 20 % x i Figure 5.6: Construction de la fonction de répartition Tableau 5.5: Table de nombres au hasard (sélectionnés par 2) i F i x i 1 43 % % % % % % % % % % 4760 Tableau 5.6: Méthode de Monte-Carlo : générations de x i

95 Section 5.2. L approche quantitative du risque 95 permettent de tirer des enseignements impossibles à obtenir de manière analytique. La méthode repose donc sur les principes suivants : On suppose connue la fonction de répartition P (X i <x i ) de la durée X i de la tâche i du projet qui comporte n tâches. On procède à K jeux de simulations (voir tableau 5.7) du problème d ordonnancement. On note x i,k la durée de la tâche i dans la simulation numéro k. Tâche jeu de simulation % critique i k... K 1 x 1,1 x 1,2 x 1,k x 1,K m 1 /K 2 x 2,1 x 2,2 x 2,k x 1,K m 2 /K. i x i,1 x i,2 x i,k x i,k m i /K. n x n,1 x n,2 x n,k x n,k m n /K Durée du projet D 1 D 2 D k D K Tableau 5.7: Méthode de Monte-Carlo : ordonnancements La simulation d une durée x i,k d une tâche i pour le jeu de données k s obtient par l utilisation d un nombre généréaléatoirement. Ce nombre à deux chiffres correspond à une probabilité exprimée en % d une valeur de la fonction de répartition de la durée de la tâche. La table de la fonction de répartition de la durée de la tâche i permet de passer de la valeur tirée aléatoirement de la probabilité cumulée à la valeur de la durée, notée x i,k. Pour chaque jeu de données k,onrésout le problème d ordonnancement en univers certain. On obtient la durée minimale d exécution du projet notée D k pour le jeu de données numéro k. Onrepère également les tâches critiques pour le jeu de données.

96 96 Chapitre 5. La prise en compte du risque l analyse statistique des K jeux de données permet d obtenir les trois informations suivantes : 1. pour le projet : une estimation de l espérance mathématique de la durée d exécution du projet. Il suffit de faire la moyenne des D k, 2. pour chaque tâche : une estimation de la probabilité que cette tâche soit critique. Il suffit, en effet, dans chaque ligne, de compter de nombre de fois que la tâche a été critique, soit m i et la fréquence m i /K est un indicateur de la probabilité que la tâche soit critique. Cet indicateur porte le nom d indice de criticité delatâche. Giard [2] présente un exemple de simulation portant sur jeux de données pour l exemple introductif du chapitre 2 en retenant comme mode la durée de l univers certain et en utilisant des distributions triangulaires. De ces simulations plusieurs enseignements peuvent être tirés : Certaines tâches qui étaient critiques dans l univers certain n ont plus qu une chance sur deux d être critique en univers aléatoire. A l inverse, certains tâches non critiques dans l univers certain ont une chance sur 5 d être critique en univers aléatoire. Ceci traduit l apparition de nouveaux chemins critiques en univers aléatoire. La durée d achèvement moyenne du projet est supérieure : elle est de 37 jours contre 35 jours dans le cas certain. En effet, on peut montrer en général que l apparition de nouveaux chemins critiques se traduit par une augmentation de l espérance du temps d exécution du projet Limites de l approche quantitative du risque délai L approche quantitative, que ce soit sous la forme classique ou via des simulations de Monte-Carlo, présente des limites : En focalisant l attention sur l objectif de délai,on pourrait perdre de vue les autres objectifs que sont le respect des coûts et le respect des performances. Du point de vue de l action, l absence d analyse causale fait que le gestionnaire ne dispose d aucun guide d action. L avantage principal de la méthode de simulation est de d affiner la notion de tâche critique.

97 Section 5.3. L analyse qualitative du risque L analyse qualitative du risque Les limites de l approche quantitative soulignée ci-dessus conduise à une approche plus qualitative dont le but est de comprendre les causes possibles de dérapage des délais Les risques internes encourus en phase d élaboration du projet Ces risques peuvent être classés en quatre catégories : Les imprécisions des tâches : lors de l étude préliminaire du projet, la liste des tâches, leur durées associées, la consommation de ressources peuvent être définies avec une relative imprécision. Ces imprécisions peuvent avoir plusieurs causes : un manque de temps dans la phase préliminaire pour recherche l information; une méconnaissance du travail précis àexécuter liée à une absence d expérience antérieure; l existence de plusieurs scénarios techniques possibles entre lesquels on hésite à trancher; des imprécisions quant aux objectifs du projet. Les incohérences du cahier des charges du projet : dans le cahier de charges, on spécifie les objectifs principaux et les moyens qui seront alloués au projet. Rien ne garantit la cohérence entre les objectifs et les moyens. Ces incohérences peuvent avoir plusieurs causes : le budget affecté auprojet est insuffisant; la date d achèvement du projet est intenable; les ambitions en matière de qualité duproduit sont trop ambitieuses; les performances des ressources utilisées ont été surestimées. Les risques techniques et d industrialisation : les risques techniques peuvent être définis comme la possibilité de ne pas pouvoir fabriquer le produit en utilisant une certaine technologie tandis que les risques d industrialisation sont définis comme le risque ne pas pouvoir passer du prototype àla série sans modification importante des ressources disponibles. Ces risques techniques et d industrialisation peuvent avoir plusieurs causes :

98 98 Chapitre 5. La prise en compte du risque la sous-estimation de la complexité duproduit, enparticulier pour un produit innovant, peut conduire à une sous-estimation des difficultés qui seront rencontrées dans sa mise en fabrication, le choix d un nouveau procédé peut demander de mobiliser d avantage de ressources; l apparition d un nouveau procédé defabrication en cours de projet peut conduire à l abandon de la solution technique initialement retenue; la combinaison de plusieurs solutions éprouvées peut conduire à des problèmes imprévisibles (la fabrication d un prototype automobile au moyen de composants connus peut conduire à problèmes de bruit découverts au moment du prototype). Les manques de maîtrise du suivi des projets : la détection tardive de dérives (que ce soit de coût ou de délai) entraînent des actions correctrices prises dans l urgence. Ces manques de maîtrise ont plusieurs causes : l absence de procédures formelles de détection des dérives; un manque de mise à jour des informations transmises par les opérationnels àladirection de projet; une absence de procédure de résolution en cas de conflits entre les différents services impliqués dans le projet; les impasses sur la validation technique du produit qui transfèrent les risques sur le produit final Les risques externes encourus en phase d élaboration du projet Lors du lancement d un nouveau produit, il importe d anticiper la demande du nouveau produit. Il y a deux catégories de risques majeurs : L obsolescence commerciale : la demande du produit n est pas en conformité avec les attentes. Cette obsolescence commerciale a plusieurs causes possibles : une erreur d appréciation des attentes du marché: les caractéristiques retenues pour le produit n intéressent pas le client au prix retenu (échec du téléphone satellitaire au prix demandé); une erreur d appréciation sur les volumes demandés : peut conduire à des invendus ou à des ruptures de stock (l exemple d Apple qui vend toujours mieux ses hauts de gammes alors que la firme produit en masse ses bas de gamme);

99 Section 5.3. L analyse qualitative du risque 99 l introduction par la concurrence de produits plus attractifs (l introduction du GSM a éliminé dumarché les autres téléphones portables); la modification rapide de certains facteurs considérés comme stables : par exemple, le régime politique, le cours des matières premières. les risques réglementaires : les normes que doivent respecter les produits peuvent changer. Ces risques sont liés le plus souvent soit : à une date incertaine de mise en œuvre d un nouveau règlement dans un pays débouché: par exemple, une nouvelle réglementation en matière d émission de gaz polluants dont la date est incertaine; àlaméconnaissance du contenu exact du nouveau règlement : par exemple, quel sera le niveau de bruit accepté pour les avions de nuit. La solution est évidemment de retenir la solution qui répond aux normes les plus strictes mais elle risque d être la plus coûteuse Les risques relatifs àlaprévision d utilisation des ressources Il y a deux grandes catégories de risques liés à la prévision d utilisation des ressources requises par le projet : Les risques relatifs à la définition des ressources requises : les ressources nécessaires ont été mal définies. Les causes possibles de ces imprécisions dans la définition des ressources requises sont multiples. En ce qui concerne le personnel, unchangement de l environnement réglementaire peut modifier la disponibilité dupersonnel (par exemple, l introduction de la loi sur les 35 heures). En ce qui concerne les équipements, unchangement de normes de sécurité (impliquant le remplacement d outils vétustes) ou de normes en matière d impacts sur l environnement (par exemple, une diminution des normes de rejet atmosphérique de dioxine). Dans le cahier de charge, il peut y avoir une méconnaissance des ressources précises, qu elles soient humaines ou matérielles qui seront à mobiliser pour exécuter le projet. Il peut y avoir incohérence entre les ressources choisies : par exemple, l introduction d une nouvelle machine à commande numérique nécessite le recyclage de l opérateur.

100 100 Chapitre 5. La prise en compte du risque Les risques relatifs à la disponibilité des ressources requises : souvent lors de l ordonnancement initial du projet on fait l hypothèse de capacité infinie pour les ressources. C est évidemment prendre le risque de se trouver face à des goulets d étranglement en matière de disponibilité des facteurs. Les causes possibles de la mauvaise définition du potentiel des ressources sont : une méconnaissance de la performance de nouveaux équipements; une sous-estimation de la durée de l apprentissage de nouveaux équipements; une mauvaise coordination entre l utilisation de ressources sur plusieurs projets. Il importe que les conflits entre projets sur l utilisation des ressources disponibles soit gérés à un niveau hiérarchique élevé. Il est à remarquer que même si des procédures de réservation des ressources sont mises en œuvre, un retard sur un projet peut libérer en retard la ressource pour un autre projet Les risques encourus en phase d exécution du projet En cours d exécution du projet, des événements imprévus peuvent compromettre les objectifs du projet. Les risques encourus en phase d exécution du projet sont de trois ordres : Les risques liés à une détection tardive du problème : pour pouvoir faire un diagnostic, il faut, d une part, disposer des bonnes informations et, d autre part, les traiter à temps. Les causes principales de détection tardive d un problème sont liés à: En ce qui concerne l information externe, une attitude passive vis-à-vis de la collecte d information (il faut être pro-actif, c est-à-dire chercher les signes avant coureurs, par exemple d un changement du marché plutôt que d attendre et de constater l effondrement du marché); en ce qui concerne l information interne, elle peut être disponible mais rarement sous sa bonne forme et au bon endroit; en ce qui concerne le traitement de l information : l absence d indicateurs calculés automatiquement peut faire qu une information, même disponible, n est pas traitée en temps utile; en ce qui concerne le traitement de l information : à l inverse, une absence de filtrage de l information peut conduire à une inondation d informations qui a le même effet que de ne pas transmettre l information.

101 Section 5.4. La prise en compte du risque 101 Les risques liés àundiagnostic erroné : il peut y avoir une erreur de diagnostic liée à une mauvaise interprétation des faits. Eneffet, plusieurs causes peuvent avoir le même effet et la cause retenue n est pas la bonne; on peut s attacher à une cause apparente sans chercher la cause profonde; l hypothèse de relation causale peut être tout simplement erronée. Les risques de réponse inappropriées : même si le diagnostic formulé est correct, la réponse apportée peut être inappropriée. A cet égard, comme source de réponses inappropriées, on peut citer : le report de la faute sur autrui qui est souvent une réponse d un service prestataire (c est pas moi, c est lui); la logique de temporisation qui privilégie la solution de court terme en repoussant la solution du problème profond à plus tard; la création de nouvelles règles qui visent àprévenir le problème rencontré mais asphyxie le système (par exemple, par un excès de procédures de contrôle). 5.4 La prise en compte du risque Nous allons, pour terminer, donner quelques stratégies possibles pour la diminution des risques encourus, que ce soit en phase d élaboration ou en phase d exécution du projet La diminution du risque en phase d élaboration Fondamentalement, durant la phase d élaboration du projet deux stratégies de limitation du risque peuvent être considérées : L amélioration du niveau de l information : il s agit ici d améliorer le nombre, la qualité et la pertinence des informations relatives aux tâches. Cette amélioration peut prendre plusieurs formes : découpage de tâches en des tâches plus élémentaires; consultation àunniveau hiérarchique plus bas; comptes-rendus écrits des réunions de travail.

102 102 Chapitre 5. La prise en compte du risque L externalisation des risques : on peut vouloir transférer des risques chez un fournisseur ou un sous-traitant. Ainsi l exécution de certaines tâches peut être confiées à des tiers sur base d un cahier de charges précis. Il faut évidemment que le sous-traitant respecte les clauses du contrat sinon le risque n est pas traité mais simplement déplacé Organisation de la réactivité En phase d exécution du projet, lorsque des dérives sont constatées, trois stratégies visant àréagir àlanouvelle situation peuvent être mises en œuvre : La réactivité par révision des objectifs : on peut réagir aux imprévus en réajustant les objectifs afin que les nouveaux objectifs restent réalistes et acceptés de tous. Parmi les mesures de réaction aux dérives constatées, on peut citer les suivantes : retarder les dates butoirs de certains jalons du projet, ce qui va le plus souvent se traduire par une nouvelle date de fin du projet; diminuer le niveau de qualité requis par rapport au niveau prévu initialement dans le cahier de charges, dans la mesure évidemment oùce niveau reste acceptable pour le client; réviser àlahausse le coût du projet. Mais la réactivité par révision des objectifs est souvent un constat d échec. La réactivité par révision des tâches : il s agit ici de modifier la liste des tâches, leurs liens ou leur contenu. Les solutions envisageables sont : le chevauchement de plusieurs tâches critiques (mais ceci suppose que la tâche aval puisse débuter plus tôt, par exemple, grâce à des moyens additionnels); la suppression de certaines tâches jugées accessoires (par exemple un contrôle intermédiaire); la modification du contenu d une tâche (par exemple, l abandon d un nouveau procédé auprofit d une technologie mieux maîtrisée). La mobilisation momentanée de ressources additionnelles pour respecter les délais. On distingue : l appel à des ressources internes : heures supplémentaires, travail un jour férié, appel àdupersonnel d autres services; l appel à des ressources externes : intérim, sous-traitance.

103 Section 5.5. Exercices Exercices 5.1. Approche classique du risque. Considérons l exemple introductif mais avec une durée de chaque tâche du projet considérée comme aléatoire de distribution Bêta. Ladurée minimum A i,laplus probable M 0i et maximum B i sont reprises au tableau 5.8 avec les préalables de chaque tâche. No tâche A i M 0i B i préalables 1 terrassement fondations colonnes porteuses charpente toiture couverture maçonnerie plomberie, électricité coulage dalle béton chauffage et6 10 plâtre et5 11 finitions Tableau 5.8: Construction d un bâtiment : durée aléatoire des tâches. (a) Sur base des formules de l approche classique, calculez la moyenne et la variance de chaque tâche. (b) Faire un ordonnancement basé sur les durées moyennes des tâches. (c) En déduire la durée moyenne du projet ainsi que la variance de la durée du projet. (d) En déduire un intervalle de confiance à95%sur la durée du projet Approche simulatoire du risque. On considère le même exemple mais avec cette fois-ci des distributions uniformes entre A et B (voir table 5.9). (a) Donner la formule de calcul des valeurs des probabilités cumulées des durées des tâches du projet. (b) En déduire la formule permettant de déduire la durée (x) enfonction de la probabilité cumulée (P (X <x)). (c) En utilisant la table de nombres aléatoires, faire 4 simulations successives pour les durées des tâches. (d) En déduire la durée moyenne du projet. (e) En déduire la criticité des tâches.

104 104 Chapitre 5. La prise en compte du risque No tâche A i B i préalables 1 terrassement fondations colonnes porteuses charpente toiture couverture maçonnerie plomberie, électricité coulage dalle béton chauffage 2 6 8et6 10 plâtre et5 11 finitions Tableau 5.9: Construction d un bâtiment : distribution uniforme.

105 Annexe A Formulaire pour la gestion de projets A.1 Notion de marge libre et de marge totale Définition A.1 On définit la marge libre comme la partie de la marge totale que l on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs. Si l on considère que les ancêtres et les descendants de la tâche sont programmés au plus tôt,ondéfinit ainsi la marge libre comme la différence entre : La date de début au plus tôt du descendant (ou la plus précoce de ces dates si la tâche a plusieurs descendants); la date de fin au plus tôt de la tâche. Définition A.2 On définit la marge indépendante comme la partie de la marge que l on peut utiliser sans affecter la marge des prédécesseurs et des successeurs. Si l on considère que les ancêtres de la tâche sont programmés au plus tard et ses descendants au plus tôt,lamarge indépendante est la différence entre : la date de début au plus tôt du descendant (ou la plus précoce de ces dates si la tâche a plusieurs descendants); la date de fin au plus tard de son ancêtre (ou la plus tardive de ces dates, si la tâche a plusieurs ancêtres) augmentée de la durée de la tâche. A.2 Calcul d annuités n t=1 ( ) 1 t = 1+i avec n = nombre d années, i = taux d actualisation annuel. [ ] 1 (1 + i) n 105 i

106 106 Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets A.3 Définition de l écart de planning Définition A.3 On définit l écart de planning comme la différence entre le coût budgété du travail réalisé et le budget encouru, c est-à-dire le coût budgété du travail initialement prévu : Ecart de planning = CBTR - CBTP L analyse de cet écart conduit à dire que : Si le coût budgété du travail réalisé est supérieur au budget encouru (écart positif), les réalisations du projet sont en avance par rapport aux prévisions; si le coût budgété du travail réalisé est inférieur au budget encouru (écart négatif), les réalisations du projet sont en retard par rapport aux prévisions. Définition A.4 On définit l écart de planning relatif comme l écart de planning divisé par le budget encouru : Ecart de planning relatif = CBTR - CBTP CBTP A.4 Définition de l écart de coût Définition A.5 On définit l écart de coût comme la différence entre le coût budgété du travail réalisé etlecoût encouru, c est-à-dire le coût réel du travail effectué : Ecart de coût = CBTR - CRTP L analyse de cet écart conduit à dire que : si le coût budgété du travail réalisé est inférieur au coût encouru (écart de coût négatif), les réalisations du projet ont coûté plus cher que prévu; on est en présence d un risque de dépassement budgétaire si l on ne peut pas compenser par des économies ultérieures; si le coût budgété du travail réalisé est supérieur au coût encouru (écart de coût positif), les réalisations du projet ont coûté moins cher que prévu; on a donc plus de chance de tenir l enveloppe budgétaire initiale.

107 Section A.5. Distribution de probabilité 107 A.5 Distribution de probabilité (voir figure A.1) La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la Fonction de densite de probabilite B 1 A f(x) A B x Fonction de repartition 1 F(X <x) 0 A B x Figure A.1: Distribution uniforme de probabilité valeur minimale A et la valeur maximale B sont équiprobables. sa fonction de densité deprobabilité f(x) est donnée par : f(x) = 1 B A (A.1) sa fonction de répartition F (X <x) est donnée par : avec F (X <A)=0 F (X <x)= x A B A (A.2)

108 108 Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets f(x) A M 0 B x Figure A.2: Distribution Bêta de probabilité La distribution Bêta (voir figure A.2) est une distribution unimodale qui : a une fonction de répartition t. q. F (X <A)=0et F (X >B)=1, a une fonction de densité deprobabilité donnée par : f(x) = (x A) α (B x) γ 1 (B A) α+γ+1 t α (1 t) γ dt 0 (A.3) a une espérance mathématique E(X) donnée par : α +1 E(X) =A +(B A) α + γ +2 (A.4) a une variance V (X) donnée par : et a un mode M 0 donné par : V (X) = (B A)2 (α + 1)(γ +1) (α + γ + 3)(α + γ +2) 2 (A.5) M 0 = Aγ + Bα α + γ (A.6) La distribution Normale (voir figure A.3) est une distribution unimodale qui : a une fonction de densité deprobabilité donnée par : f(x) = 1 ( x µ σ 2π σ e ) 2 /2 (A.7)

109 Section A.5. Distribution de probabilité 109 f(x) N(,σ) α x α x Figure A.3: Distribution normale de probabilité a une fonction de répartition donnant P (X <x α ) donnée par : P (X <x α )= 1 ( σ xα x µ ) 2 e σ /2 dx = α (A.8) 2π La distribution triangulaire (voir figure A.4) ne nécessite que de connaître les trois paramètres A, B et M 0, autrement dit les deux valeurs extrêmes et le mode de la distribution. Cette distribution a : une fonction de densité deprobabilité donnée par : 2(x A) si A x M (M 0 A)(B A) 0 f(x) = 2(B x) si M (B M 0 )(B A) 0 x B une fonction de répartition donnant P (X <x) donnée par : P (X <x)= 1 (x A) 2 (M 0 A)(B A) (B x) 2 (B M 0 )(B A) une espérance mathématique E(X) donnée par : E(X) = A + M 0 + B 3 une variance V (X) donnée par : si A x M 0 si M 0 x B V (X) = A(A M 0)+B(B A)+M 0 (M 0 B) 18

110 110 Annexe A. Formulaire pour la gestion de projets f(x) Densite deprobabilite B 2 A A M 0 B Valeur minimum Mode Valeur maximum x Figure A.4: Distribution triangulaire de probabilité A.6 L approche classique du risque la durée t de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire de distribution Bêta. Les paramètres de la distribution Bêta sont calculés moyennant une hypothèse de calcul assez forte (on suppose que α =2+ 2 et que γ =2 2)à partir des trois paramètres A, B et M 0.Ilsuffit donc de poser les trois questions suivantes : Quelle est la durée minimum de réalisation de la tâche? Quelle est la durée maximale de réalisation de la tâche? Quelle est la durée la plus probable? pour obtenir respectivement les paramètres A, B et M 0. Ces trois paramètres permettent de calculer la moyenne et la variance, à partir des formules suivantes : E(t) = A + B +4M 0 6 (A.9) ( ) B A 2 V (t) = (A.10) 6

111 Annexe B Table de nombres au hasard 111

112 112 Annexe B. Table de nombres au hasard Tableau B.1: Table de nombres au hasard

113 Annexe C Table de la loi normale centrée réduite 113

114 114 Annexe C. Table de la loi normale centrée réduite P z i 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 z j Donne la probabilité P (Z >z i + z j )

115 Bibliographie [1] Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR, Paris, [2] Vincent GIARD, Gestion de Projets, Economica, Paris, [3] GIARD Vincent, Gestion de la production et des flux,3ème Edition, Economica, Paris, [4] Robert HOUDAYER, Evaluation financière des projets, Economica, Paris, [5] J.O. MAC CLAIN, L.J. THOMAS et J.B. MAZZOLA, Operations Management: Production of Goods and Services, Prentice Hall, [6] Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques, AFNOR, Paris, [7] J.R. MEREDITH, et S.J. MANTEL, Project Management, John Wiley,