Nombres et calculs. du bleu (bleu 3), du rouge (rouge) et du vert (vert 4)

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1 C O U R S S i x i è m e Nombres et calculs 1Nombres décimaux...2 1Écrire des nombres décimaux...3 2Décomposer un nombre décimal...4 3Repérer et placer des décimaux sur une demie-droite graduée...5 4Ordonner des décimaux...6 2Calcul mental et instrumenté...7 1Multiplier et diviser par 10, par 100 ou par Découvrir des stratégies de calcul mental...9 3Choisir les bonnes opérations pour résoudre un problème Calcul posé:addition, soustraction et multiplication Additionner et soustraire Multiplier Découvrir la priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction Calcul posé:division Effectuer une division euclidienne Utiliser des critères de divisibilité Effectuer une division décimale Fraction Effectuer un partage Découvrir les fractions en tant que nombre Repérer des fractions égales Prendre une fraction d'une quantité. Calculer un pourcentage Proportionnalité Découvrir le sens de la proportionnalité Utiliser le passage à l'unité Calculer et utiliser un coefficient de proportionnalité Représentation de données Lire et interpréter un tableau ou un diagramme Représenter des données...31 Utilisation prioritaire : du bleu (bleu 3), du rouge (rouge) et du vert (vert 4) 1/31

2 1 NOMBRES DÉCIMAUX 2/31

3 1 Écrire des nombres décimaux Pour écrire les nombres, on utilise 10 symboles que nous appelons «chiffres» :1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0. C est le système décimal. Nos 10 doigts en sont certainement à l origine. Les chiffres que nous appelons arabe ont pour origine les Indes. Le moine français Gerbert d Aurillac (pape Sylvestre II) les amène en Europe. Le «0» qui vient aussi de l Inde est resté longtemps ignoré ; ils l appelaient «0» = «sûnya» = vide. Al Kashi (1380 ; 1430), astronome à Samarkand (Asie), est à l origine des nombres décimaux (nombres à virgule). 1.1) Définition 5 6, est un nombre décimal. partie entière partie décimale Son écriture en fraction décimale est ) Propriété La position d'un chiffre dans un nombre est importante : PARTIE ENTIÈRE centaines Dizaines de mille de mille PARTIE DÉCIMALE unités centaines dizaines de mille unités, 3 dixièmes 6 centièmes millièmes dixmillièmes centmillièmes millionénièmes 9 1.3) Exemple Dans le nombre décimal 56,074 : 5 est le chiffre des dizaines 0 est le chiffre des dixièmes 1.4) Remarques Les zéros inutiles : 00 56, à gauche de la partie entière à droite de la partie décimale Règle d'écriture : , On laisse un espace tous les 3 chiffres et partant de la virgule 3/31

4 2 Décomposer un nombre décimal : écriture des nombres en lettre Milliards, millions, milliers sont des noms communs qui s accordent. Par contre, mille est invariable. Exemples : trois mille ; deux milliards. Suivi d un nombre, cent ou vingt sont invariables (sinon, ils s accordent). Exemples : deux cent vingt-quatre ; quatre cents ; trois cent mille. Exemples : quatre-vingts ; quatre-vingt-cinq. Pour tout nombre entier de deux chiffres s écrivant avec au moins deux mots, on doit séparer les mots par un trait d union (sauf pour les cas comme vingt et un, trente et un, quarante et un... ). Exemples : dix-sept, vingt et un, vingt-deux, quatre-vingt-dix-huit. 2.1) Propriétés Un nombre décimal peut avoir plusieurs décompositions ou écritures. 189, 237 = ( 1 *100 ) + ( 8 *10 ) + ( 9 *1 ) + ( 2 *0,1 ) + ( 3 *0,01 ) + ( 7 *0,001 ) 189, 237 = ( 1 *100 ) + ( 8 *10 ) + ( 9 *1 ) + ( 2 * )+(3* )+(7* ) , 237 = 1 centaine, 8 dizaines, 9 unités, 2 dixièmes, 3 centièmes et 7 millièmes 189, 237 = 189 unités et 237 millièmes 189, 237 = (fraction décimale) , 237 = , 237 = cent-quatre-vingt-neuf virgule deux-cent-trente-sept 4/31

5 3 Repérer et placer des décimaux sur une demiedroite graduée 3.1) Méthode Pour graduer une demi-droite, il faut choisir un point d'origine qui correspond au nombre zéro et une unité que l'on reporte régulièrement. Origine O unité 0 I 1 x ) Propriété Pour graduer au dixième une demi-droite, on partage l'unité en 10 segments égaux. O x ) Définition Sur une demi-droite graduée, un point peut se repérer par un nombre appelé «abscisse du point» O I 0 1 A B x 4,5 5 Le point A a pour abscisse 3, on note A(3) et celle de B est 4,5 on note B(4,5). 5/31

6 4 Ordonner des décimaux Quelques grands nombres : Million ( ) Milliard ( ) Billion ( ) Billiard (1 suivi de 15 zéros) Trillion (1 suivi de 18 zéros) Quatrillion (1 suivi de 24 z) Quintillion (1 suivi de 30 zéros) Sextillion (1 suivi de 36 zéros) Septillion (1suivi de 42 z) Nombre d'avogadro ~6 suivi de 23 zéros ; nombre d'atomes de Carbone dans 12 g de C. Googol (1 suivi de 100 zéros) Googolplex (1 suivi de Googol zéros) XXe E. Kasner USA 4.1) Définition Comparer deux nombres, c est dire si un nombre est plus petit, plus grand ou égale à un autre nombre. On utilise les symboles : < «est plus petit que» ou «est inférieur à» > «est plus grand que» ou «est supérieur à» = «est égale à» 4.2) Ranger dans l'ordre croissant On écrit les nombres du plus petit au plus grand. Énoncé : ranger dans l'ordre croissant 12,5 ; 4 et 7 Solution : 4 < 7 < 12,5 4.3) Ranger dans l'ordre décroissant On écrit les nombres du plus grand au plus petit. Énoncé : ranger dans l'ordre décroissant 12,5 ; 4 et 7 Solution : 12,5 > 7 > 4 4.4) Intercaler un nombre Il faut trouver un nombre plus grand qu'un nombre et plus petit qu'un autre. Énoncé : Intercaler un nombre entre 2 et 3 Solution : 2 < 2,3 < 3 4.5) Encadrer un nombre Il faut trouver deux nombres : l'un plus petit et l'autre plus grand que le nombre de départ. Énoncé : Encadrer 5,78 entre deux nombres entiers consécutifs. Solution : 5 < 5,78 < 6 6/31

7 2 CALCUL MENTAL ET INSTRUMENTÉ 7/31

8 1 Multiplier et diviser par 10, par 100 ou par *10 *100 * ) Règles Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000, on déplace la virgule de un, deux ou trois rangs vers la droite en complétant par des zéros si nécessaire. (On grandit le nombre) Pour diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000, on déplace la virgule de un, deux ou trois rangs vers la gauche en complétant par des zéros si nécessaire. (On diminue le nombre) Exemples : 32, 1 x 10 = 321, 27, 657 x 100 = 2 765, 7 182, 4 x = : 10 = 21 6,3 : 100 = 0, : 1000 = 0, 312 (321, = 321) (Ne pas oublier que 182,4 = 182,400) 8/31

9 2 Découvrir des stratégies de calcul mental 2.1) Effectuer un calcul mental de différentes façons Énoncé :Calculer Solutions: Le même résultat peut être trouvé de différentes façons Stratégie Stratégie Stratégie ) Six stratégies de calcul mental Pour ajouter un un nombre entier se terminant par 9 : on ajoute la dizaine supérieur puis on retranche 1. exemple : = = = 444 Pour soustraire un nombre entier se terminant par 9 : on retranche la dizaine supérieur puis on ajoute 1. exemple : 32 : 5 = 32 * 2 : 10 = 64 : 10 = 6,4 4,1 * 5 = 4,1 * 10 : 2 = 41 : 2 = 20,5 Pour multiplier un nb par 25, on le * par 100 puis on le : par 4. exemple : : 5 * 2 : 10 Pour multiplier un nb par 5, on le multiplie par 10 puis on le divise par 2. * 5 *10 : 2 exemple : = = = 113 Pour diviser un nombre par 5, on multiplie par 2 puis on divise par 10. exemple : * 25 = 36 * 100 : 4 = 3600 : 4 = 900 Pour multiplier un nombre par 0,1, on le divise par 10. exemple : *25 *100: 4 * 0,1 : 100 9,58 * 0,1 = 9,58 : 10 = 0,958 9/31

10 3 Choisir les bonnes opérations pour résoudre un problème 3.1) Méthode Énoncé M. Fetard organise la fête des voisins. Pour le repas, il achète 6,8 kg de fraises à 4,15 le kilogramme. Combien va-t-il payer? Solution Quand on n'arrive pas à trouver directement la bonne opération pour résoudre ce problème, on peut utiliser l'une des ces trois stratégies. Stratégie 1 On remplace les données par des nombres plus simples. C'est comme si M. Fetard achetait 2 kg de fraises, à 3 le kg. Avec ces nouveaux nombres, on ferait : 2 * 3 (une multiplication) Donc la bonne opération est une multiplication : 6,8 * 4,15 Stratégie 2 On fait un schéma : 1 kg 1 kg 4,15 4,15 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 4,15 4,15 4,15 4,15 0,8 kg 4,15 pour 1 kg On compte 4,15 autant de fois qu'il y a de kg de fraises, donc (6 * 4,15) + (0,8*4,15) donc 6,8 * 4,15 Stratégie 3 On reconnaît une situation de passage à l'unité : On paie 4,15 pour 1 kg de fraises. On utilise donc une multiplication 6,8 * 4,15 Conclusion On trouve le même résultat par les trois stratégies : 6,8 * 4,15 = 28,22 M. Fetard va donc payer 28,22 pour les fraises. 10/31

11 3 CALCUL POSÉ:ADDITION, SOUSTRACTION ET MULTIPLICATION 11/31

12 1 Additionner et soustraire Calculs : Vient du latin «Calculus» : caillou La légende raconte qu'un berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons. 1.1) Définitions Le résultat d une addition s appelle une somme. terme + terme = somme Le résultat d une soustraction s appelle une différence. terme terme = différence Les nombres utilisés s appellent des termes. 1.2) méthode : poser une addition Poser l'addition suivante : 897, ,376 Quand on pose une addition, on commence par écrire la virgule sous la virgule, le chiffre des unités sous le chiffres des unités, etc. On complète par un 0 On commence par le rang de droite , , a 0 plus 6 est égal à 6. b 9 plus 7 égal 16, on écrit le 6 et on pose une retenue. c (1+5) plus 3 égal , g f e d c b a d écrire la virgule. e 7 plus 8 égale à 15, on écrit le 5 et on pose une retenue. F (1+9) plus 2 est égal à 12, on écrit le 2 et on pose une retenue g (1+8) plus 1 est égale 10, on écrit 10 12/31

13 1.3) méthode: poser une soustraction Poser la soustraction suivante : 897,59 128,376 Quand on pose une soustraction, on commence par écrire la virgule sous la virgule, , , le chiffre des unités sous le chiffres des unités, etc , g f e d c b a On complète par un 0, On commence par le rang de droite a 0 moins 6 est impossible, on effectue 10 moins 6 et on pose une retenue. 10 moins 6 égal 4. b 9 moins (7 + 1) égal 1. c 5 moins 3 égal 2. d écrire la virgule. e 7-8 est impossible, on effectue 17-8 et on pose une retenue est égal à 9. f 9 moins (2 + 1) est égal à 6. g 8 moins 1 est égal à ) Vérification Lorsqu on veut vérifier rapidement que le résultat d un calcul est plausible, on remplace chaque nombre par son ordre de grandeur. On remplace les termes à calculer par des nombres proches et «plus simples». 897, donc et et 128, , , ,59 128, ) Astuce Dans une addition, on peut changer l'ordre des termes, mais pas dans une soustraction. 13/31

14 2 Multiplier 2.1) Définition Dans une multiplication : Les facteurs sont les nombres que l on multiplie. facteur * facteur = produit Le produit est le résultat de la multiplication. 2.2) Méthode : poser une multiplication Pour effectuer à la main la multiplication de deux nombres décimaux : On pose la multiplication avec les virgules mais on l effectue sans tenir compte des virgules. On place la virgule du résultat: On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs. 1,4 2 au total x 3,2 3 chiffres après la virgule , résultat avec 3 chiffre après la virgule On met autant de chiffres après la virgule dans le résultat. 2.3) Astuce Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut : changer l ordre des facteurs grouper les facteurs comme on veut. 2.4) Remarque Le produit de deux facteurs peut être inférieur à l'un des facteurs. exemple : 4 * 0,9 = 3,6 14/31

15 3 Découvrir la priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction Les premières écritures des formules mathématiques furent rhétoriques, c'est-à-dire sous forme de phrase. Le modèle est le texte mathématique «les éléments d'euclide» en 300 av. J.-C. Dans celui-ci, l'ordre des opérations est explicite. Il n'y a pas confusion possible entre les deux phrases suivantes : Ajoute à 4, le produit de 5 par 6. Ajoute 4 et 5 puis multiplie le résultat par Ainsi l'expression que Descartes écrit sous la forme sera traduite par Leibniz, favorable à l'écriture linéaire, (4 +(5 :6)) : (7+(8 :9)) ) Règles Dans un calcul où s enchaînent plusieurs opérations, on doit suivre les règles de priorité suivantes. On commence par effectuer dans l'ordre : 1. tous les calculs entre parenthèses 2. puis les multiplications 3. enfin les additions et les soustractions de la gauche vers la droite 15/31

16 4 CALCUL POSÉ:DIVISION 16/31

17 1 Effectuer une division euclidienne un sac de 17 billes pour construire 4 pyramides de 4 billes et il reste une bille 1.1) Définitions Effectuer la division euclidienne de 42 par 8, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, qui vérifient : 42 dividende = 8 * 5 diviseur + 2 avec le reste qui doit être inférieur au diviseur. quotient reste 2 1.2) Remarques Quand on effectue la division euclidienne de 42 par 6, il reste 0. On dit alors que : 42 est divisible par 6 42 est un multiple de 6 ou que 6 est un diviseur de /31

18 2 Utiliser des critères de divisibilité Pour savoir si un nombre est divisible par 7, on peut utiliser l algorithme et le schéma suivant. On commence par le chiffre le plus à gauche, en partant de la case 0. Algorithme : on se déplace sur le cercle du nombre de cases correspondant au chiffre on emprunte alors la flèche bleue on recommence alors le processus en passant au rang inférieur. Le nombre est divisible par 7 si et seulement si la case d'arrivée est la case 0. Exemple avec 91, on part de la case 0, on avance de 9 cases, on arrive sur la case 2, on suit la flèche bleue, on arrive sur la case six, on avance de 1 et on tombe sur la case est donc un multiple de ) Propriétés Un nombre entier est divisible par 2 s'il est pair donc s'il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par ) Remarques Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés nombres impairs. Un entier divisible par 4 est divisible par 2. Un entier divisible par 9 est divisible par 3. 18/31

19 3 Effectuer une division décimale on ne divise pas par zéro! 3.1) Définitions Effectuer la division décimale d'un dividende par un diviseur (différent de 0), c'est chercher le quotient tel que dividende = quotient * diviseur. Méthode 1 :Diviser quand le quotient est un nombre décimal Énoncé : Effectuer la division décimale de 65,4 par 8 6 5, Quand on arrive à la partie décimale du dividende, on met une virgule au quotient. 8 8, On peut écrire 65,4 : 8 = 8,175 Ou 65,4 = 8 * 8, Le reste est égal à 0.On s'arrête Méthode 2 :Diviser quand le quotient n'est pas un nombre décimal Énoncé : Effectuer la division décimale de 52,6 par 3 5 2, , Le reste est deux fois le même. La division ne s'arrêtera pas On donne alors une valeur approchée du quotient, par exemple 17,53. On peut écrire ,6 : 3 17, /31

20 5 FRACTION 20/31

21 1 Effectuer un partage 1.1) Définitions Une fraction permet de rendre compte : d'une situation de partage. La surface coloriée représente 1 de la surface du disque. 3 d'une proportion. 2 de chiens. 13 Cette images contient 1.2) Méthode : placer un point d'abscisse fractionnaire sur une demidroite graduée Énoncé : placer la point A ( 11 ) sur une demi-droite graduée. 6 Solution : On découpe chaque segment-unité en 6 parties de même longueur. On compte 11 parties à partir de 0 puis on place le point A. O I 0 1 A x /31

22 2 Découvrir les fractions en tant que nombre Le signe : a été introduit en 1698 par l allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existé. A la fois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines. 2.1) Définitions a est une écriture fractionnaire du quotient de la division du nombre a par le nombre b b (avec b 0 ). 2.2) Exemples 9 : 5 = 9 5 Ce quotient a une écriture décimale, c'est 1,8. On peut alors écrire 11 : 3 = 9 = 1, Ce quotient n'a pas d'écriture décimale. On peut en donner une valeur approchée : 3,67 On peut alors écrire 11 3, /31

23 3 Repérer des fractions égales En musique, un temps est un intervalle de temps prédéfini. Voici la valeur en temps de chacune des notes : Note Nom Ronde Blanche Noire Croche Double croche Triple croche /2 1/4 1/8 Valeur en temps Parfois, les notes dont la valeur est inférieure à un temps sont parfois liées entrent-elles pour former un bloc de la valeur d'un temps. 3.1) Propriétés Pour obtenir une fraction égale à une fraction choisie, on peut : multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre (non nul). diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre (non nul). 3.2) Exemples = = : 4 2 = = On dit que l'on a simplifié la fraction : /31

24 4 Prendre une fraction d'une quantité. Calculer un pourcentage. Les fractions trouvent leurs origines en Égypte avec les fractions de numérateur 1. D'après le mythe, Horus, aurait perdu un œil dans le combat mené contre son oncle Seth. Au cours du combat, Seth lui arracha l'œil gauche, le découpa en six morceaux et jeta les morceaux dans le Nil. Thot repêcha tous les morceaux sauf un qu'il remplaça, rendant ainsi à Horus son intégrité physique. œil Oudjat 4.1) Propriété Prendre une fraction d'une grandeur, c'est multiplier la grandeur par la fraction. 4.2) Prendre une fraction d'une grandeur Énoncé : Nils a mangé les trois quarts d'un cake de 250 g. Quelle masse cela représente-t-il? Solution : Nils a mangé effectue l'opération 3 4 de 250g, pour connaître la masse de cake mangé, on = (3 250) : 4 = 187, = (250 : 4) 3 = 187, = (3 : 4) 250 = 187,5 On choisit un des trois calculs. (le plus simple) 4 Nils a mangé 187,5g de cake. 4.3) Propriété Calculer p % d'une grandeur, c'est la multiplier par p ) Calculer un pourcentage d'une grandeur Énoncé : Calculer 46 % de 250. Solution : On effectue le calcul = : 100 = /31

25 6 PROPORTIONNALITÉ 25/31

26 1 Découvrir le sens de la proportionnalité Les ombres des objets sont d'autant plus grandes que les objets sont grands. «l'ombre de ma canne est exactement égale à sa hauteur ; il doit en être de même pour votre pyramide. Faites mesurer son ombre vous aurez sa hauteur!» Thalès de Milet (environ av J.-C. ) 1.1) Règle On reconnaît une situation de proportionnalité si les valeurs d'une grandeur s'obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs d une autre grandeur par un même nombre. 1.2) Exemples Si 1kg de pommes coûte 1,60 alors 3 kg coûtent 3 fois plus, c'est à dire 4,80. C'est donc une situation de proportionnalité. A 11 ans, Pierre mesure 1,40m. A 22 ans, il mesurera pas le double de 1,40m. Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité. On peut passer des mesures du girafon aux mesures de la girafe en multipliant par 2. On peut passer des mesures de la girafe aux mesures du girafon en divisant par 2. 26/31

27 2 Utiliser le passage à l'unité Spaghetti Graines apéritif pistaches 1,63 /kg 12,45 /kg 38 /kg flocon d'avoine piments secs 9 /kg 49 /kg 2.1) Règle Pour résoudre un problème dans lequel intervient la proportionnalité, on peut d'abord calculer pour une unité. 2.2) Méthode Énoncé Le prix d'un tissu est proportionnel à la longueur achetée. Nils achète un tissu rayé pour couvrir ses chaises longues, il paie 47,80 pour 4 mètre de tissu. Combien aurait-il payé pour 5 mètres de tissu? Solution 4 mètres de tissu coûtent 47,80 :4 :4 1 mètre de tissu coûte ( 11,90 r e t o u r à l ' u n i t é ) *5 *5 5 mètre de tissu coûte 59,75 Il aurait payé 58,75 pour 5m de tissu. 27/31

28 3 Calculer et utiliser un coefficient de proportionnalité 3.1) Règle Pour résoudre un problème dans lequel intervient la proportionnalité, on peut calculer un coefficient de proportionnalité,c'est-à-dire le nombre qui permet de passer d'une grandeur à une autre. 3.2) Méthode Énoncé Lewis H a gagné une course de F1. Il a parcouru 306,8 km et effectué 52 tours de circuit. Il s'est arrêté pour faire le plein au bout de 38 tours. Quelle distance avait-il parcourue à ce moment-là? Solution Utilisation d'un tableau : Nombre de tours effectués * 5,9 Distance parcourue (en km) 306,8? Pour trouver ce coefficient de proportionnalité, on effectue 306,8 : 52 = 5,9, c'est aussi la longueur d'un tour de ce circuit. Ensuite, on calcul la longueur des 38 tours parcourus jusqu'au plein : 38 * 5,9 = 224,2. Au bout de 38 tours Lewis H a déjà parcouru 224,2 km. 28/31

29 7 REPRÉSENTATION DE DONNÉES 29/31

30 1 Lire et interpréter un tableau ou un diagramme 1.1) Règle Pour lire une information correspondant à une case, dans un tableau à double entrée, on croise les informations données à la fois par la ligne et la colonne correspondant. 1.2) Exemple Étude de la composition d'une équipe de sport. Age 12 ans 13 ans 14 ans Total Garçons Filles Total Pour représenter les données d'un tableau comme le précédent, on peut utiliser : un diagramme en bâtons. un diagramme circulaire. La hauteur d'un bâton indique le nombre de garçons de 12, 13 ou 14 ans ans 13 ans 14 ans Nombre de garçons ans 13 ans 14 ans 30/31

31 2 Représenter des données 2.1) Exemple Le tableau suivant indique le nombre de kilomètres parcourus par un étudiant livreur de pizzas du vendredi au dimanche. Jour Vendredi Nb de km 50 Samedi Dimanche Total Pour représenter les données du tableau précédent, on peut utiliser : Diagramme en bâtons la longueur des bâtons est proportionnelle aux effectifs 80 Diagramme cartésien On place les points correspondant à chaque colonne Vendredi Samedi Dimanche Diagramme circulaire Nb de km Nb de km la mesure des angles est proportionnelle aux effectifs Vendredi Samedi Dimanche 10 0 Vendredi Samedi Dimanche Nb de km 31/31