Chapitre n 6 : Electrostatique, Electrocinétique. La charge électrique : répulsion et attraction. Quantification

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1 OS 5 ème 1 Chapitre n 6 : Electrostatique, Electrocinétique ainsi produite, on peut utiliser des boules en mousse, légères et capables de garder la charge. La figure représente deux de ces boules suspendues à faible distance l une de l autre. Lorsqu on touche l une des boules avec la tige et l autre avec la fourrure, elles s attirent mutuellement. Mais lorsqu on touche les boules avec le même objet, la tige ou la fourrure, elles se repoussent. Toute la biologie, la chimie et une bonne partie de la physique sont régies par l interaction de charges électriques. L histoire de l électricité commence avec l ambre dans l antiquité (résine fossile de conifère comme le pin). Les Grecs avaient remarqué que lorsque l ambre est frotté avec un tissu de laine ou de la fourrure, il attire des corps légers (morceau de bois, cheveux, ). Il est également capable de dévier un filet d eau. Platon, philosophe grec réputé (IV e siècle av. JC), mentionna «les merveilles concernant l attraction de l ambre». Le mot grec qui signifie ambre est elektron. La quantité d électricité acquise par un corps frotté fut appelée charge. Nous sommes amenés à penser qu il y a une nouvelle force appelée force électrique et la cause responsable de la force est la charge électrique. Presque tous les phénomènes physiques que nous observons, comme la lumière, les réactions chimiques, les propriétés de la matière ou la transmission des signaux par les fibres nerveuses, sont de nature électrique. En fait, la force gravitationnelle est, parmi les forces observées dans la vie courante, la seule qui ne soit pas de nature électrique. La conception et le fonctionnement des postes de radio ou de télévision, des moteurs, des ordinateurs ou des machines à rayons X reposent sur l interaction entre des charges électriques. La charge est une propriété de la matière qui lui fait produire et subir des effets électriques et magnétiques. L étude des effets électriques créés par des charges au repos est ce que l on appelle l électrostatique. Le mouvement des charges fait surgir des effets magnétiques combinés aux effets électriques. Les effets étant reliés, on parle d électromagnétisme pour décrire l ensemble des interactions. Lorsqu on frotte une tige d ébonite avec de la fourrure, la tige et la fourrure se chargent. Pour étudier la charge La charge électrique : répulsion et attraction charges identiques se repoussent et charges différentes s attirent. Il existe donc types de charges : positives et négatives. Quantification Selon notre conception actuelle, un objet neutre possède le même nombre de charges positives et négatives. La matière est composée d atomes (de rayon r m), chaque atome étant formé d un noyau (de rayon m) contenant des protons chargés positivement et des neutrons électriquement neutres. Des électrons de charges négatives forment la structure extérieure de l atome. Un atome neutre possède un même nombre de protons et d électrons. Un ion est un atome ou une molécule qui a perdu ou gagné un ou plusieurs électrons. Notons que le frottement fait passer des électrons ou des ions d un corps à l autre, ce qui fait apparaître une charge nette positive sur l un des corps et une charge nette négative sur l autre. Tous les corps macroscopiques, y compris nous-mêmes, contiennent des nombres énormes de charges individuelles minuscules, mais globalement, ils sont

2 OS 5 ème généralement neutres. Les corps macroscopiques ne subissent généralement pas de forces électriques entre eux, tandis qu ils subissent toujours des forces gravitationnelles. La charge est une propriété de la plupart des particules subatomiques qui constituent la matière de l Univers. L unité de la charge est le coulomb [C]. Il correspond à une très grande quantité de charge : en général, la charge qui apparaît sur un corps lorsqu on le frotte est de l ordre de 10-8 C, alors que la foudre peut faire passer jusqu à 0 C entre un nuage et la terre. Lorsqu on charge un corps par frottement, la proportion des atomes de la surface qui perdent ou gagnent un électron n est que d un sur La charge électrique n existe qu en quantités discrètes ; on dit qu elle est quantifiée. Le quantum de charge e, ou brique élémentaire de la charge électrique, fut mesurée pour la première fois en 1909 par Millikan ( ) (c.f laboratoire «expérience de Millikan»). On appelle charge élémentaire q e la charge portée par l électron (p.157 F&T): Charge de l électron : q e - = - e = -1, [C] L électron est chargé négativement ; il repousse les électrons et attire les protons. Ceux-ci sont chargés positivement et leur charge vaut : Charge du proton :q P = + e = +1, Bien que la masse du proton soit environ 1836 fois plus grande que celle de l électron, leurs charges sont équivalentes au signe près. [C] Si un objet contient la même quantité de charge positive et négative, ces distributions de charge attirent ou repoussent une charge externe avec forces opposées ; l objet n exerce donc aucune force sur une charge externe. Il se comporte comme s il n avait aucune charge : on dit qu il est électriquement neutre. Cette propriété nous permet de concevoir une algèbre des charges électriques : 10 charges positives + 10 charges négatives placées au même endroit s ajoutent et produisent le même effet qu une charge nulle. Toute charge électrique q est un multiple entier de cette charge fondamentale : q = 0, ± e, ± e, ± 3e, La théorie contemporaine considère que la plupart des particules subatomiques sont constituées de plusieurs variétés d entités plus fondamentales appelées quarks (p.183 et 184 F&T). Il en existe 6 sortes (up, down, charm, strange, truth et beauty). Ceux-ci sont réputés avoir des charges de ± e/3 et ± e/3. On croit cependant que les quarks ne peuvent pas exister isolément ainsi l unité de la charge observée dans la quasi totalité des cas est e.

3 OS 5 ème 3 Conservation de la charge électrique La charge totale (somme algébrique des charges positives et négatives) dans un système isolé reste constante. Ainsi, nous pourrions dire que la charge totale de l Univers est constante. Cette charge totale de l Univers est peut-être nulle, pour des raisons de symétrie, mais personne ne peut l affirmer avec certitude. C est le doute cartésien! Retenons cette découverte importante : de même que l énergie, la charge n est ni créée ni détruite, elle est transmise d un corps à l autre. Prenons l exemple d une réaction chimique : Na + + Cl - NaCl (+e) + (-e) = (0) L atome de sodium Na a perdu un électron pour devenir un ion positif Na +, alors que l atome de chlore Cl a gagné un électron pour devenir un ion négatif Cl -. Durant la réaction, les ions se combinent pour former la molécule neutre de chlorure de sodium NaCl. Considérons à présent l exemple d une désintégration radioactive β - (p.186 F&T) : _ + v e + (0) n p + e - (0) = (+e) + (-e) Dans ce cas, un neutron de charge nulle subit une désintégration spontanée pour donner un proton, un électron et une particule neutre appelée antineutrino. La somme des charges des produits de la désintégration est égale à la charge du neutron, c est-à-dire à zéro. Isolants et conducteurs La plupart des substances peuvent être classées en groupes. Celles, comme les métaux ou les solutions ioniques, qui laissent les charges circuler librement sont appelés conducteurs. Celles qui ne laissent pas circuler les charges, comme le bois, le caoutchouc, le coton, la soie ou le verre, sont des isolants. Ils font intervenir des atomes comme le carbone, l hydrogène, l oxygène ou l azote qui possèdent un environnement électronique beaucoup plus stable. Les électrons restent fortement liés aux atomes. Un troisième groupe de matériaux, que l on appelle semi-conducteurs, comprend le silicium, le germanium et le carbone. Lorsqu ils sont très purs, les semiconducteurs se comportent comme des isolants ; mais en leur ajoutant certaines impuretés (atomes de phosphore, de gallium, de bore, d arsenic), on arrive à modifier leur pouvoir conducteur. Citons le silicium et le germanium qui sont couramment utilisés dans les circuits électroniques. Dans un corps non-conducteur, les charges ont une mobilité très limitée. Lorsqu un isolant (plastique, verre, cheveux, cuir, ) reçoit une charge, il retient cette charge et la confine dans la zone où elle a été déposée. Par contre, un conducteur (argent, cuivre, fer, aluminium, or, ) permet à la charge déposée en un point sur ce corps ou à l intérieur de se déplacer librement et de se répartir très rapidement sur l ensemble du conducteur (10-1 s pour le cuivre) car comme les charges de même signe se repoussent, la charge se distribue en totalité sur la surface de l objet. Précisons le fait que lorsqu une sphère conductrice portant une charge de -15. e entre en contact avec une sphère conductrice de taille identique portant une charge de +5. e, la charge totale se divise également entre les sphères : après la séparation, chaque sphère porte une charge de 5. e distribuée sur sa surface. Comme autre exemple, citons le corps humain qui est un bon conducteur en raison des ions qui se trouvent dans le sang et dans les autres liquides du corps (Ex : expérience de Van de Graaff). A l échelle atomique, on peut expliquer la différence entre conducteurs et isolants en observant ce que deviennent les électrons de valence les plus éloignés du noyau, c est-à-dire les moins liés. Dans un isolant comme le chlorure de sodium (NaCl), l électron de valence de l atome de sodium (Na) est pris par l atome de chlore (Cl). Les ions Na + et Cl - forment des liaisons «ioniques» dans lesquelles tous les électrons sont liés à des sites atomiques donnés. Par contre, dans un conducteur métallique, un électron par atome environ est libre de se déplacer dans l ensemble du matériau. Un métal est essentiellement constitué d ions positifs immobiles, disposés en général selon un arrangement à trois dimensions appelé réseau, et entourés d une foule d électrons libres. La conduction électrique du métal est liée au mouvement des électrons libres, qui se comportent un peu comme les particules d un gaz dans un récipient fermé (gaz de «fermions»). Dans une solution électrolytique où les molécules sont dissociées en ions de charges opposées, ou dans un gaz ionisé, toutes les charges, positives et négatives, sont en

4 OS 5 ème 4 mouvement. Précisons que dans une atmosphère sèche, les ions sont en nombre suffisant pour décharger un objet en quelques minutes. D autre part, la charge effective qu un conducteur porte se répartit toujours sur sa surface extérieure. Les charges ont tendance à se concentrer aux endroits pointus d un conducteur (ex : extrémité d un paratonnerre). C est l effet de pointe. Pour terminer ce paragraphe, parlons de le Terre. Globalement, notre planète est électriquement neutre. Toutefois, des phénomènes atmosphériques complexes sont responsables d une séparation des charges entre la surface et la haute atmosphère. La surface de la Terre possède un excès d électrons correspondant à une charge d environ - 500'000 C compensée par un déficit d électrons de +500'000 C dans la haute atmosphère. La charge de -500'000 C répartie sur la surface de la Terre correspond à une densité de charge d environ - 1nC par m. Chaque seconde, sur l ensemble de la surface de notre planète, une charge de C s élève vers la haute atmosphère. A ce rythme, la surface devrait se décharger en 5 minutes ; toutefois, la foudre la recharge constamment. Un éclair dure quelques dixièmes de milliseconde et transporte environ -10 C. Sur l ensemble de la surface terrestre, il se produit environ 10 millions d éclairs par jour, ce qui correspond à environ 150 éclairs par seconde. Loi de Coulomb (1785) Le physicien Isaac Newton a découvert que le module des forces gravitationnelles qu exercent deux particules l une sur l autre est proportionnel au produit de leurs masses et inversement proportionnel au carré de la distance r qui les sépare. En analysant les conséquences de la loi de la gravitation, on a réalisé que la diminution de la force gravitationnelle selon 1/r implique que le champ gravitationnel résultant est nul partout à l intérieur d une coquille homogène (vue en coupe). = 0 g Un demi-siècle après la mort de Newton, certains physiciens comme Benjamin Franklin, ont remarqué qu un petit objet chargé placé à l intérieur d un contenant creux chargé ne subit aucune force électrique résultante. Cela semblait indiquer que la force électrique diminuait, elle aussi, comme le carré de la distance. Pour déterminer la force électrique, Coulomb se servit d une balance de torsion dans laquelle un dispositif en forme d haltère constitué d une petite sphère métallique chargée et d un contrepoids est suspendu par un fil de soie. Lorsqu on approchait de la sphère suspendue une autre sphère chargée, l angle de torsion observé permettait de déduire la force exercée entre les sphères. Coulomb trouva que la force qui s exerce entre des charges immobiles q et Q est inversement proportionnelle au carré de la distance r qui les sépare, autrement dit, F 1/r. D autre part, si la distance est constante, la force est proportionnelle au produit des charges, autrement dit, F qq. L expérience montre donc que charges de même signe se repoussent et que charges de signes opposés s attirent. Tenant compte de ces résultats, la loi de Coulomb exprime la force électrique s exerçant entre charges ponctuelles : où F Q1 Q k r = r r F = force électrique [N] Q 1, Q = charges exprimées en Coulomb [C]

5 OS 5 ème 5 r = vecteur qui relie les charges et dont l origine coïncide avec l une des charges [m] r est le vecteur unité dans la direction du vecteur distance r r 1 k = = m N 4πε o C C ε 0 = permittivité électrique du vide = 8, m N Cette force agit donc le long de la droite qui joint les charges. Elle est dite radiale. Cette force électrique est mise en évidence par exemple par l électroscope. Ainsi, charges de + 1 C distante de 1 m se repoussent avec une force de F = N. Remarques : 1.- La loi de Coulomb ne s applique directement qu à des charges ponctuelles ou à des particules et également dans le cas de corps chargés de forme quelconque et situés à grande distance l un de l autre par rapport à leur dimension..- On a pu montrer que la loi de Coulomb fonctionne encore à des distances de l ordre de m. L interaction de Coulomb étant l interaction fondamentale entre des charges électriques, elle est la base de l électromagnétisme. 3.- La figure suivante représente l interaction d une charge q 1 avec d autres charges. Les forces électriques obéissent au principe de superposition. Ainsi, pour trouver la force électrique totale agissant sur q 1, nous calculons d abord l une après l autre les forces exercées par chacune des autres charges. Si l on désigne par F la force exercée sur A par B, la force totale AB F 1 exercée sur q 1 est égale à la somme vectorielle : F 1 = F1 + F F1 N Exercice Calcule le rapport de la force électrique et de la force de gravitation s exerçant entre un électron (masse m e et charge q e ) et un proton (masse m p et charge q p ). Le champ électrique E Tout comme la loi de la gravitation de Newton, la loi de Coulomb fait intervenir la notion d action à distance : elle fait état d une interaction entre des particules, mais n explique pas le mécanisme par lequel la force se transmet d une particule à l autre. Selon la théorie moderne, une particule chargée n a pas besoin de milieu intermédiaire pour interagir avec une autre charge. La description moderne de l interaction entre des particules chargées s appuie sur la notion de champ. Nous avons déjà pu mettre en évidence en physique des champs tels que le champ de gravitation sur Terre. Ce champ est noté g (accélération terrestre) et vaut (selon la ème loi de Newton F = ma ) :

6 OS 5 ème 6 F g = m Le rapport de la force de pesanteur (ou poids) sur la masse du corps étudié. Il s agit d un champ vectoriel car la direction de F dépend de la position de la masse sur Terre. Nous allons procéder pareillement pour la définition du champ électrique : une charge Q va exercer une force électrique sur une particule test de charge q. Le champ électrique créé par la charge Q est alors défini, comme pour le champ de gravitation, par le rapport de la force électrique s exerçant sur q divisé par la charge test q. On note E le champ électrique. Définition : Le champ électrique en un point de l espace est le quotient de la force électrique qui s exerce sur une particule test, chargée et ponctuelle, placée en ce point, par la charge q de cette particule : E = F [N/C] q Interprétation : le champ électrique est créé par la charge Q et la charge test q réagit au champ dans lequel elle se trouve. Cette charge nous permet de «voir» si le champ existe bien. Le champ E joue le rôle d intermédiaire entre les particules chargées. Donc, si l on connaît la force exercée sur la charge électrique test q, en un point P donné, exercée par une distribution de charges, alors on trouve immédiatement la valeur du champ électrique en ce point en divisant la force F par la charge test q. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle Q a comme grandeur (norme) à une distance r de cette charge Q, selon la loi de Coulomb, 1 qq. F 4πε 0 r 1 Q Q E (r) = = = = k. q q 4πε 0 r r Remarques : 1.- Le champ électrique E dépend uniquement de la source du champ, c est-à-dire de Q. Le champ est radial et sa norme est proportionnelle à l inverse du carré de la distance. Puisque le champ est dans le même sens que la force qui agit sur une charge test positive, on en déduit le principe suivant : Le champ en un point donné est dirigé vers la charge Q si la charge est négative, et il est diamétralement opposé à Q si Q est positive. Si la charge test q est positive, la force agissant sur elle est de même sens que le vecteur champ ; si la charge q est négative, la force agissant sur elle est de sens opposé au vecteur champ. La loi de Coulomb permet de décrire la force d interaction entre particules chargées si leurs positions et leurs charges sont connues. Au lieu de dire que la particule n 1 exerce une force sur la particule n, il est plus judicieux de dire que la particule n 1 crée un champ électrique en tout point de son environnement. Si maintenant, la particule n s approche, elle va subir le champ électrique créé par la charge n 1. La force que cette charge d épreuve subit est le produit de sa charge électrique par le champ électrique de la charge n 1 au point où elle se trouve..- Le principe de superposition qui s applique aux forces s applique également au champ électrique. = E 1 + E + E total

7 OS 5 ème 7 où E 1 est le champ créé par la charge Q 1 Exemple n 1 : Champ à l intérieur d un conducteur chargé La force exercée sur une charge test, placée à l intérieur d une sphère creuse uniformément chargée, est nulle. Le champ électrique est donc nul à l intérieur. Une application de ce phénomène est la cage de Faraday. Exemple n : Champ électrique uniforme Un champ électrique uniforme est un champ qui en tout point a la même direction, le même sens et la même intensité. Cette situation se présente, par exemple, entre plaques conductrices uniformément chargées, et de charges opposées. Le champ électrique est orienté perpendiculairement aux plaques, de la plaque positive vers la plaque négative. Son intensité dépend de la densité surfacique de charge des plaques notée σ (sigma). Pour une plaque de charge Q 1 et de surface S, sa densité surfacique de charge vaut par définition : où Q σ = 1 S Q 1 = charge totale de la plaque positive en [C] S = surface d une plaque en [m ] Nous pouvons démontrer que l intensité du champ électrique E entre les plaques est constante et vaut : σ E = ε 0 Lignes de champ Définition : une ligne de champ est une ligne qui est en tout point tangente au vecteur champ. Les lignes de champ permettent de représenter la structure invisible d un champ électrique. Les lignes de champ fournissent aussi une indication sur l intensité du champ : dans les régions où les lignes sont serrées, le champ est intense. Lignes de champ entre charges ponctuelles opposées Ces charges vont exercer une force résultante sur une charge test : cette résultante est la somme des forces exercées séparément par la charge positive et la charge négative. Le champ dû aux charges est donc la somme du champ causé par la première charge et du champ causé par la ème charge : Pour tracer les lignes de champ entre les charges, il faut en principe déterminer les vecteurs champ en tout point, puis faire passer des lignes qui sont tangentes à ces vecteurs. Quelques remarques s imposent : 1) Dans le voisinage de chaque charge, l influence de l autre est négligeable. ) Les lignes de champ ont comme origine la charge positive et comme extrémité la charge négative. 3) Si on place une charge test à grande distance de ces charges, elle ne «verra» que charges superposées dont la résultante est nulle. Cette particule test ne subit donc pas de force, ce qui veut dire que toutes les lignes produites par la charge positive ont comme extrémité la charge négative.

8 OS 5 ème 8 Tension électrique et accélérateurs de particules Considérons un champ électrique E quelconque et soit un chemin d 1 point A à un point B. La tension U AB, désignée en volt [V] est définie par : N U AB = E i Δr i i= 1 [V] = [N/C]. [m] = [J/C] Propriétés : 1.- U AB + U BC = U AC.- U AB = -U BA 3.- U AB = 0 si E r (par propriété du produit scalaire) r (petits déplacements). Découpons ce chemin en N tronçons Δ i Désignons par E, E,..., E les vecteurs champ électrique aux endroits 1 N des petits déplacements. Si Δ r i est suffisamment petit, on peut admettre E constant sur chaque tronçon Δ r i. i Tension dans un champ électrostatique Soit E un champ uniforme (même norme, même direction et même sens). La tension est-elle indépendante du chemin parcouru entre A et B dans ce cas? N U AB = i= 1 E i Δr i N = E i= 1 Δ r i = E d Ce résultat est le même pour n importe quel chemin considéré de A à B. Exemple : Soit plaques parallèles de grandes dimensions par rapport à la distance D entre les plaques. Elles ont une densité superficielle de charge σ opposée et constante. Comme E est uniforme, U AB ne dépend pas du chemin d : U AB = E d σ = E. d. cosθ = E D = D ε 0

9 OS 5 ème 9 On peut donc définir une tension entre plaques électriques indépendamment de la position des points A et B sur chacune des plaques, d où le théorème : Dans tout champ électrostatique (c est-à-dire lorsque le champ est produit par des charges immobiles), la tension est indépendante des chemins. Travail effectué par le champ électrique E Une charge test q plongée dans un champ électrique E va subir une force : F = qe Le long d un chemin de A et B, cette force va produire un travail défini par : W ( F) = F d = q E d = q U AB Ainsi, le travail effectué par le champ électrique sur une charge q lors d un déplacement donné est le produit de la charge par la tension U AB relative au chemin parcouru. En utilisant le théorème de la variation d énergie cinétique, nous pouvons finalement écrire : W ( F) = q U AB = Ecin() Ecin(1) Un champ électrique E va donc exercer une force sur une particule chargée. Celle-ci va être accélérée ce qui aura pour conséquence d augmenter sa vitesse et donc son énergie cinétique. Le premier accélérateur de particules a été inventé par Thomson, le tube de Crookes ce qui lui a permis de découvrir l électron en La tension joue un rôle clé dans les accélérateurs de particules MAIS comme les énergies liées aux particules sont minuscules en raison de leur faible masse (pour exemple, la masse de l électron vaut m e = 9, kg), il nous faut introduire une nouvelle unité d énergie : l électron-volt [ev]. Il s agit de l énergie finale d un électron obtenue lorsque l on soumet cet électron à une tension de 1 volt. La conversion d ev en Joule s obtient de la façon suivante (p.160 F&T). 1[eV] = 1 électron. 1[V] = 1, [C]. 1[V] = 1, [J] Au CERN, les unités dérivées également utilisées sont : 1 [kev] = 1000 [ev] ; 1[MeV] = [ev] ; 1[GeV] = [ev] ; 1[TeV] = [ev]. Exercice : Un électron a une énergie cinétique initiale de 1 [MeV]. Il est accéléré par une tension de [V] (3 [MV]). a.- Calculer son énergie cinétique finale en [ev] et en [J] b.- Déterminer également sa vitesse finale et comparer la vitesse obtenue à celle de la vitesse de la lumière dans le vide. Que faut-il en conclure? Propriétés : 1.- La différence de potentiel entre points A et B est égale à la tension entre ces points : V A V B = U AB [V] Ex : Batterie de voiture : 1 [V] ; Electricité domestique : 0 [V] alternatif ; ligne à très haute tension (THT) : 1'000'000 [V].- Si l on suit une ligne de champ électrique dans son propre sens, on rencontre des potentiels décroissants.illustration : Palais de la découverte, aurore boréale,

10 OS 5 ème 10 Série électrostatique 1.- Calcule la charge que l on ferait apparaître sur une boule de fer de 00 g, si on enlevait 1 électron par atome..- charges égales, situées à 1m l une de l autre, se repoussent avec une force de 1N. Que valent ces charges? 3.- Trouve la force électrique résultante exercée sur la charge q 1 par les autres charges de la figure suivante. On donne q 1 = - 5 µc, q = - 8 µc, q 3 = + 15 µ C et q 4 = -16 µc 4.- Une charge ponctuelle q 1 = -9 µc se trouve en x = 0 et q = 4 µc se trouve en x = 1m. En quel point, autre que l infini, la force électrique résultante exercée sur une charge q 3 est-elle nulle? 5.- Quelle est l accélération subie par 1 électron qui se trouve à 5 cm d une sphère métallique ayant un rayon de 10 cm et possédant une charge de 10-5 C. b) Quelle est la force qui serait exercée par cette boule sur une boule semblable située sur la Lune? (Distance Terre-Lune = 384'000 km). 8.- Détermine la vitesse et le temps de révolution d un électron autour d un proton en admettant que les lois de la mécanique classique soient valables à cette échelle. On supposera que la trajectoire est un cercle de rayon r = m. 9.- Le tube à rayons cathodiques est utilisé dans les téléviseurs, les écrans d ordinateurs et certains appareils électroniques comme l oscilloscope. Un mince filament chauffé émet des électrons qu on fait passer par des ouvertures percées dans disques, de manière à obtenir un faisceau. Leur vitesse initiale est v i 0. Ils se déplacent entre plaques de longueur l qui produisent un champ électrique E = Ej. Après avoir quitté la région comprise entre les plaques, ils se dirigent en ligne droite vers un écran recouvert d une substance fluorescente, du ZnS par exemple. Un petit éclair lumineux est produit chaque fois qu un électron frappe l écran. Déterminer : a) la position verticale y F de l électron à sa sortie des plaques b) à quel angle θ il émerge des plaques c) sa position verticale finale sur l écran, qui se trouve à une distance L de l extrémité des plaques. 6.- plaques égales, séparées par une distance petite relativement aux dimensions des plaques, sont chargées uniformément (densité superficielle de charge σ et - σ ). Elles sont disposées horizontalement. Quelle valeur doit avoir la densité superficielle de charge σ pour qu un électron placé entre les plaques soit en équilibre? 7.- Une boule de cuivre a un diamètre de 10 cm. On suppose qu on lui arrache 1 électron par atome. a) Quelle est l intensité du champ électrique au voisinage de la boule?

11 OS 5 ème 11 Le théorème de Gauss Le théorème établit une relation entre le flux électrique ψ à travers une surface fermée S et la charge nette Q enf qu elle renferme. Il permet de calculer le champ électrique E(r) produit par certaines distributions symétriques de charges électriques (sphériques, cylindriques ou planes). Partant de l analogie entre les lignes de champ qui traversent une surface et les lignes de courant d un fluide qui s écoule à travers une surface, Gauss définit la grandeur appelée flux électrique. Définition : Le flux du champ électrique E, noté ψ, à travers une surface S est donné par : où ψ = E d s ds représente le vecteur surface orienté perpendiculairement au plan de la surface infinitésimale E ds représente le produit scalaire entre le vecteur champ électrique et le vecteur surface. Loi de Gauss ψ = Q enf ε 0 Remarque : 1.- La notion de proportionnalité par rapport à la charge enfermée provient de la superposition des champs dus à chaque charge : Q 1 à E 1 à dψ 1 = Q à E à dψ = E = E 1 + E Or Donc E1 ds E ds dψ = 1 Par exemple, en doublant les charges, on double le flux. E ds = ( E ds = dψ + dψ 1 + E ).- S il n y a pas de charges à l intérieur de la surface fermée, il en résulte que le flux est nul. 3.- Le flux à travers la surface fermée ne dépend pas de la position de la charge à l intérieur de la surface. En effet, la dépendance en r de la surface se simplifie avec la dépendance en 1/r du champ E. 4.- Le champ qui intervient dans la loi est le champ total créé par toutes les charges, et pas seulement par celles qui sont à l intérieur de la surface de Gauss. Si E = 0 la charge à l intérieur est nulle, cela ne veut pas forcément dire que sur la surface de Gauss. Le champ peut être créé par des charges extérieures à la surface. Développement de la loi de Gauss : Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la somme algébrique des charges électriques situées à l intérieur de cette surface :

12 OS 5 ème 1 Application de la loi de Gauss Le théorème de Gauss peut servir à évaluer E produit par certaines distributions de charge très symétriques en un point P situé à une distance r de la distribution de charge. La marche-à-suivre pour la résolution de problème : 1.- Tracer une surface fermée la plus symétrique possible passant par le point P et entourant la distribution de charge..- Déterminer le flux du champ électrique E à travers la surface fermée. 3.- Déterminer la charge enfermée 4.- Appliquer la loi de Gauss pour déterminer E(r). Remarques (démonstration au suivant) : Les propriétés suivantes caractérisent le champ électrique associé à un conducteur homogène en état d équilibre électrostatique. E = 0 a.- en tout point à l intérieur d un conducteur b.- toute charge est située sur la surface du conducteur c.- E est perpendiculaire à la surface d un conducteur chargé (à proximité de la surface). Application de la loi de Gauss à la gravitation Cherchons la valeur du champ de gravitation créé par une sphère homogène de masse M et de rayon R. Comme le champ de gravitation g(r) présente la même structure que le champ électrique, on peut remplacer la densité de charge par la masse volumique, la charge Q par la masse M et la constante (1/4πε 0 ) par la constante de gravitation universelle G. On obtient le résultat suivant en faisant l hypothèse d une masse volumique constante : g(r) = g(r) = GM r GM 3 R r et et r > R r < R L application de la loi de Gauss au champ de gravitation donne le même résultat que le calcul intégral Le potentiel électrique V p Définition : Dans un champ électrique E où les tensions sont indépendantes des chemins, le potentiel d un point P, noté Vp, est la tension entre ce point et un point de référence O. V p := U PO Le potentiel est donc une fonction de l espace ; il est capital que les tensions ne dépendent pas des chemins entre O et P. En effet, si elles dépendaient des chemins, on aurait autant de valeurs pour U PO que de chemins choisis. Le point de référence est un point qu on choisit de manière arbitraire (on a l habitude de la placer où le champ est nul ; seule exception notable à cette règle : le champ uniforme où le point de référence est quelconque). Il est bien clair que lorsqu on a choisi ce point de référence, on le considère fixe pour tous les points de l espace. Propriété : Propriété : La différence de potentiel entre points est égale à la tension entre ces points. Le potentiel est défini à une constante près Ces théorèmes montrent bien que, puisque le potentiel est défini à une constante près, c est la différence de potentiel qui est importante : cette différence sera toujours la même entre points fixes, quel que soit le point de référence choisi. Propriété : Si l on suit une ligne de champ dans son propre sens, on rencontre des potentiels décroissants.

13 OS 5 ème 13 Propriété : L énergie potentielle d une particule chargée se trouvant dans un champ électrostatique est égale au produit de la charge de la particule par le potentiel du point où elle se trouve. La notion de potentiel électrique est étroitement liée à la notion d énergie potentielle. Rappelons également qu en mécanique, l énergie potentielle ne pouvait être définie que pour des forces conservatives. La force gravitationnelle donnée par la loi de Newton F G = est conservative. De même, la force électrique F el = kqq/r est aussi conservative. Cela nous permet de définir une énergie potentielle électrique analogue à l énergie potentielle gravitationnelle et d appliquer la loi de conservation de l énergie aux problèmes d électricité. GMm / r Propriété : Le potentiel électrique d un point P placé à une distance r d une charge ponctuelle Q est donné, en plaçant le point de référence à l infini, par : Q 1 V P ( r) = [J/C] 4 πε r 0 Le potentiel représente l énergie potentielle par unité de charge. Il est souvent plus facile d analyser une situation physique à partir du potentiel, qui est un scalaire, qu à partir du champ électrique, qui est un vecteur. Surfaces équipotentielles Définition : une surface équipotentielle est une surface dont tous les points sont au même potentiel Propriété : les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

14 OS 5 ème 14 Propriété : En électrostatique, le champ à l intérieur d un conducteur est nul. Les charges s il y en a, sont réparties à la surface du conducteur. La surface d un conducteur est une surface équipotentielle. Comme conséquence de ces propriétés, on peut dire : 1.- d une part que les lignes de champ quittant la surface d un conducteur, sont perpendiculaires à la surface ;.- d autre part, les lignes de champ ayant comme origine la surface du conducteur ne peuvent avoir comme extrémité la surface du même conducteur. Si c était le cas, cela impliquerait que l origine de la ligne de champ n est pas au même potentiel que l extrémité de la ligne de champ, donc que la surface du conducteur ne soit plus une surface équipotentielle. 3.- et finalement que le champ dans la cavité d un conducteur creux est nul. On sait que le champ est nul à l intérieur du conducteur. Considérons une surface fermée passant à l intérieur du conducteur. Le flux à travers cette surface est nul. Donc à l intérieur de la surface fermée, il n y a pas de charge ou alors une somme de charges nulle. Supposons donc qu il y ait, sur la surface limitant la cavité, d une part des charges négatives et d autre part des charges positives. Cela voudrait dire que les lignes de champ auraient comme origine et extrémité la surface du conducteur, ce qui est impossible. Il n y a pas de charges à l intérieur de la surface fermée et le champ est identiquement nul. Le principe du blindage repose sur cette absence de champ. A l intérieur d une boîte métallique, on protège ainsi les appareils des champs extérieurs, même si la boîte est très chargée (cage de Faraday). Applications : accélérateur Van De Graaff, précipitateur électrostatique, microscope à effet de champ. L effet de pointe

15 OS 5 ème 15 Condensateurs et diélectriques Définition : un condensateur est l ensemble formé de conducteurs séparés par un milieu isolant dans le but d accumuler de la charge électrique Rappelons que dans le cas d un condensateur plan ( plaques conductrices situées à une distance d l une de l autre), le champ électrique E est donné par l expression suivante : où E = σ ε 0 σ = densité surfacique de charge [C/m ] Ce résultat est établi en appliquant le théorème de Gauss. Les condensateurs jouent un rôle essentiel dans les circuits de synchronisation électronique, dans les flashs électroniques pour appareil photographique, les accélérateurs de particules, les claviers d ordinateurs Les expériences réalisées dans le cadre de la fusion thermonucléaire (ITER) demandent des niveaux de puissance instantanée extrêmement élevés, supérieurs à la capacité de production de toutes les centrales électriques d un pays comme les Etats-Unis. Par conséquent pour éviter la surcharge des lignes de transport d électricité dans une région, on charge d énormes batteries de condensateurs que l on décharge ensuite rapidement lorsqu on en a besoin. Le milieu entre les conducteurs peut être un isolant quelconque. Les conducteurs du condensateur sont appelés armatures. Les formes de ces armatures ont souvent une des configurations géométriques simples (plane, sphérique ou cylindrique). On peut donner aux armatures des charges de même grandeur mais de signes opposés en les reliant à une pile, un dispositif comprenant des bornes entre lesquelles subsiste une différence de potentiel constante. La pile fait passer la charge d une armature à l autre. En fait, lorsqu on branche une pile aux bornes d un condensateur, des réactions chimiques dans la pile agissent comme une pompe qui transfère certains électrons d une des armatures du condensateur à l autre. L armature qui reçoit les électrons acquiert une charge négative Q. Sur l armature qui perd des électrons, il y a excès de protons et par conséquent une charge + Q. Dans les schémas des circuits électriques, on utilise le symbole - - pour représenter le condensateur et le symbole pour la pile, la barre plus courte désignant la borne négative. Le potentiel de l armature est le même que celui de la borne à laquelle est reliée puisqu il n y a pas de différence de potentiel dans un conducteur (en état d équilibre électrostatique). Par conséquent, la différence de potentiel ΔV entre les armatures est la même que la différence de potentiel entre les bornes de la pile. Lorsque la pile est déconnectée, les charges restent sur les plaques où elles sont maintenues par leur attraction mutuelle. Propriété : La quantité de charge Q emmagasinée sur chaque armature d un condensateur est directement proportionnelle à la différence de potentiel ΔV entre les plaques où Q = C ΔV = C U C = capacité du condensateur [F] (farad du nom du physicien Michael Faraday ( )) U = tension entre les armatures [V]

16 OS 5 ème 16 La capacité d un condensateur est une mesure de la charge et de l énergie électrique qu il est capable d emmagasiner (d où le nom de capacité!). Mentionnons que la charge totale d un condensateur est toujours nulle. On démontre en exercice les valeurs des capacités des condensateurs suivants : S d C = ε pour un condensateur plan de section S et dont la C = C = 4 0 R R distance entre les plaques est d 1 πε pour un condensateur sphérique dont les rayons des 0 R1 R 0 h ln( R / R ) 1 sphères sont R 1 et R (R > R 1 ). πε pour un condensateur cylindrique de longueur h et dont les rayons des cylindres sont R 1 et R (h >> R > R 1 ) Il est intéressant de constater que la capacité d un condensateur ne dépend que de sa géométrie. En effet, pour une différence de potentiel donnée, une armature plus grande peut emmagasiner une plus grande quantité de charges. Un exemple numérique simple montre en outre que un farad correspond à une gigantesque capacité : considérons une condensateur cylindrique de 3 cm de long, avec R 1 = 5 mm et R = 6mm. L application numérique fournit une capacité de F! (on parle de picofarads et on écrit 9 pf). Notons que l on retrouve la capacité du condensateur plan lorsque les sphères, respectivement les cylindres, sont très proches l une de l autre (R R 1 ). C est le résultat intuitif attendu, car dans ce cas on peut négliger la courbure des sphères ou des cylindres. Examinons le cas où les armatures sont très proches l une de l autre (d << dimension de l armature). Que se passe-t-il si l on rapproche les armatures? La capacité C va augmenter. Envisageons alors possibilités : Si la tension U reste constante, la charge Q va augmenter d après Q = CU ce qui nous permet de charger le condensateur. Pour maintenir la tension constante, nous relions les armatures du condensateur à une source de tension. Groupements de condensateurs en série et en parallèle Un condensateur est caractérisé par sa capacité C et par la différence de potentiel qu il est possible de lui appliquer sans endommager l isolant entre les armatures. Si l on ne dispose pas de condensateurs ayant la capacité requise, on peut relier entre eux plusieurs condensateurs pour former différentes associations. Un condensateur est dit équivalent à un groupement de condensateurs si ce condensateur, chargé sous la même tension, emmagasine la même charge électrique. Condensateurs en parallèle ou plusieurs condensateurs sont reliés en parallèle lorsque les armatures positives sont reliées entre elles et lorsque les armatures négatives sont reliées entre elles. Soit condensateurs ayant des charges respectives Q 1 et Q et des capacités respectives C 1 et C montés en parallèle avec une pile. Les potentiels des bornes de gauche doivent être les mêmes à l état d équilibre électrostatique parce que les bornes sont reliées par des fils conducteurs dans lesquels le champ est nul. Il en va de même pour les bornes de droite. Par conséquent, les différences de potentiel entre les bornes des éléments sont les mêmes, c est-à-dire ΔV = ΔV 1 = ΔV. Le condensateur équivalent a une charge Q qui est la somme des charges Q 1 et Q : Q = Q 1 + Q = (C 1 + C ) ΔV ce qui donne : C = C 1 + C où C désigne la capacité équivalente

17 OS 5 ème 17 En généralisant le résultat à n condensateurs en parallèle, nous avons : C = C 1 + C + + C n On peut faire le lien entre ce résultat et l expression de la capacité C d un condensateur plan (C = ε 0 S d ) : si l on place plusieurs condensateurs plans identiques en parallèle, on peut imaginer qu ils ne forment qu un seul condensateur dont l aire des armatures est la somme des aires individuelles. La capacité de l ensemble est alors proportionnelle à l aire totale des armatures. Condensateurs en série condensateurs sont en série lorsque l armature positive (ou négative) de l un est relié à l armature négative (ou positive) de l autre. 1 1 = C C C C n Dans une association en série, la capacité équivalente est toujours inférieure à celle du condensateur qui a la plus petite capacité. Condensateur avec diélectrique Jusqu à présent, les armatures des condensateurs étaient séparées par du vide. Que se passe-t-il si l on intercale un isolant (huile, papier, plastique) autre que le vide entre les armatures? Nous donnons le nom de diélectrique à l isolant en question. L observation nous montre que la capacité augmente. Essayons de comprendre. expériences simples permettent d illustrer les effets d un diélectrique sur la capacité d un condensateur. a.- En l absence de pile La figure ci-dessus représente un condensateur de charge Q 0 et dont la différence Lorsqu on relie les armatures extrêmes de condensateurs en série à une source de tension U, une charge +Q, respectivement Q, vient occuper l armature directement reliée à la borne positive, respectivement à la borne négative. Les armatures reliées entre elles ont alors une charge Q et +Q (il est nécessaire que la somme de ces charges soit nulle puisque ces armatures sont isolées du circuit). Ainsi la charge du condensateur équivalent est égale à la charge d un seul des condensateurs. La tension entre les bornes du groupement est la somme des tensions à travers le premier condensateur et à travers le ème condensateur. donc U = U 1 + U Q C = Q C + Q 1 C On en déduit la capacité équivalente C : = + C C C 1 Le résultat se généralise sans difficulté L inverse de la capacité équivalente d un groupement de condensateurs en série est égal à la somme des inverses des capacités de chacun des n condensateurs. de potentiel entre les armatures est ΔV 0. La capacité initiale du condensateur lorsqu on fait le vide entre les armatures est C 0 = Q 0 / ΔV 0. Lorsqu on introduit un diélectrique de manière à remplir complètement l espace entre les armatures, on observe que la différence de potentiel entre les armatures diminue d un facteur ε r, appelé constante diélectrique : ΔV D = ΔV 0 ε r D après la relation ΔV = E. d, d étant la distance entre les armatures, on constate que le module du champ électrique est divisé par le même facteur :

18 OS 5 ème 18 E D = E 0 ε r Comme la charge sur chaque armature ne change pas (elle ne peut aller nulle part), la capacité en présence du diélectrique est C = Q 0 / ΔV D = ε r C Interprétation microscopique Sous l effet d un champ électrique, les atomes de l isolant vont légèrement se déformer : le centre de gravité des charges positives ne coïncide plus avec celui des charges négatives. Ce phénomène est appelé polarisation. Pour être plus précis, certains diélectriques possèdent des molécules polaires : leurs électrons et leurs protons sont distribués de manière asymétrique ce qui fait qu elles ont un côté légèrement positif et un côté légèrement négatif. En l absence de champ électrique externe, les molécules sont distribuées de manière aléatoire et ne génèrent pas de champ électrique résultant. (D autres diélectriques possèdent des molécules qui ne sont pas polaires, mais qui le deviennent en présence d un champ électrique externe). Il apparaît des charges à la surface de l isolant, négatives du côté de l armature positive du condensateur et réciproquement. Le champ électrique E va donc diminuer et de même pour la tension U (U = E. d) qui va passer à une valeur inférieure U. En fait, le champ résultant E dans le diélectrique est toujours orienté dans le même sens que le champ externe en l absence de diélectrique, mais son module est réduit d un facteur ε r. On a donc, comme la charge électrique Q du condensateur ne change pas (on suppose que le condensateur, une fois chargé, n est pas branché dans un circuit), : Q Q < U U ' Le terme de gauche est la capacité C (sans diélectrique) alors que le terme de droite est la nouvelle capacité C : C < C Relation que l on peut écrire sous la forme suivante : C = ε r C où ε r = constante diélectrique relative (sa valeur est supérieure à 1). b.- Avec pile Pour le circuit représenté dans la figure ci-dessus, les conditions initiales sont les mêmes que celles du circuit présenté au point a, cependant une pile va maintenir la différence de potentiel ΔV 0 entre les armatures. Lorsqu on introduit le diélectrique dans l espace entre les armatures, on observe que la charge sur les armatures augmente d un facteur ε r pour devenir Q D = ε r Q 0. Utilisant la relation C = Q D / ΔV 0, on trouve à nouveau C = ε r C Ci-dessous, le tableau indique également la rigidité diélectrique du matériau, qui correspond à la valeur maximale du champ électrique qu il peut supporter avant de perdre ses propriétés isolantes. Si l on charge trop un condensateur, le champ électrique dans le condensateur est tel que la charge se met à circuler à travers le diélectrique : dans certaines situations (comme cela se produit dans l air), il peut se former des étincelles qui peuvent endommager le condensateur de manière irréversible. Energie du champ électrique L énergie emmagasinée dans un condensateur est égale au travail fourni, par exemple par une pile, pour le charger. Supposons qu à un instant donné, la quantité de charge sur chaque armature soit q et que la différence de potentiel entre les armatures soit ΔV = q/c.

19 OS 5 ème 19 Pour charger le condensateur, la pile va déplacer des électrons d une armature à l autre. Déplacer le premier électron ne nécessite pratiquement aucun travail. Toutefois, au fur et à mesure que le condensateur se charge, les électrons que l on déplace sont de plus en plus attirés par la plaque d origine et de plus en plus repoussés par la plaque de destination : plus le condensateur est chargé, plus la différence de potentiel entre les plaques est grande et plus le travail qu il faut fournir pour déplacer chaque électron supplémentaire est grand. L énergie est alors donnée par l expression : E = W = 1 CΔ V Exemple : Une fois chargé, un condensateur peut redonner l énergie qu il a accumulée en un temps très court, générant par le fait même une très grande puissance. Dans le flash électronique d un appareil photo, on retrouve un condensateur d environ 100 µf : celui-ci est chargé par les piles et accumule une énergie de quelques joules. Lorsqu on prend la photo, le condensateur se décharge en quelques millièmes de seconde, ce qui permet au flash d émettre une puissance lumineuse qui se mesure en milliers de watt. Dans de nombreux appareils électroniques, des condensateurs demeurent chargés même lorsque l appareil n est pas relié à une prise de courant. Lorsqu on répare de tels appareils, il faut s assurer de décharger les condensateurs afin d éviter les mauvaises surprises! Densité d énergie du champ électrique La densité d énergie d un condensateur plan est donnée par : 1 w E = ε 0E [J/m 3 ] On remarque que les caractéristiques du condensateur n interviennent pas directement. On peut conclure que l énergie est emmagasinée dans le champ électrique. L énergie potentielle d un système de charges est liée au changement subi par le champ électrique. Par exemple, lorsque l on charge un condensateur, un travail est effectué pour créer le champ entre les armatures. Lorsqu on approche l une de l autre charges ponctuelles positives, un travail est effectué pour modifier le champ électrique dans la région environnante. Lorsqu on libère les charges, elles s éloignent l une de l autre. L augmentation d énergie cinétique des particules est le résultat d une perte d énergie du champ. Jusqu au XX ème siècle, on pensait que le champ électrique était une forme quelconque de tension ou de déformation de l éther. Nous savons actuellement que l éther n existe pas (expérience de Michelson et Morley) et que les champs électriques peuvent exister dans le vide, très loin des charges sources. En ce sens, ils ont une existence intrinsèque. L énergie que nous recevons du Soleil sous forme de lumière est transportée par des champs électriques et magnétiques. Comme nous le verrons plus tard, non seulement le champ est une réserve d énergie, mais il peut également transporter de la quantité de mouvement.

20 OS 5 ème 0 Courant, résistance et puissance Cette partie a été traitée au cours de 4 ème année. Reprécisons toutefois quelques résultats essentiels. 5.- La densité de courant (moyenne) est définie comme le courant par unité de surface (ou de section) : 1.- Le courant électrique est la quantité de charge qui traverse la section d un conducteur par unité de temps..- Le sens conventionnel du courant I est celui du mouvement des charges positives (donc opposé au mouvement des électrons) 3.- Le courant circule du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé. 4.- Le courant dans un conducteur de section S est donné par l expression suivante : où I = qnvs [A] n = nombre d électrons par unité de volume q = charge d un électron v = vitesse moyenne de dérive des électrons Remarque : Il existe une analogie entre le vent et le courant électrique. Les molécules d air ont des vitesses thermiques aléatoires dont la valeur moyenne est un peu plus grande que la vitesse du son, soit environ 330 m/s. Une différence de pression entre régions provoque un flux net de molécules dans une direction. La vitesse du vent, disons à peu près 10 m/s, est très inférieure aux vitesses aléatoires des molécules. De la même façon, les électrons de conduction dans un fil conducteur ont des vitesses thermiques aléatoires pouvant aller jusqu à 10 6 m/s. Lorsqu on applique une différence de potentiel, ils acquièrent une vitesse de dérive très faible ( 10-4 m/s) qui se superpose au mouvement thermique aléatoire. j = I S [A/m ] Alors que le courant est un scalaire, la densité de courant est une grandeur vectorielle parallèle à la vitesse de dérive, mais dont le sens est fixé par la direction du courant. j = nqv On note que le courant est un scalaire défini à l échelle macroscopique ; il est défini en fonction de la charge traversant une surface (dq/dt). La densité de courant j est un vecteur exprimé en fonction de grandeurs microscopiques et peut varier d un point à l autre. Si la densité de courant n est pas uniforme, le courant traversant une surface est donné par I = j ds. Ainsi, de façon générale, on peut dire que I est le flux de j au travers de la section S du fil (c.f schéma cicontre). 6.- La résistance d un conducteur dépend de la résistivité du matériau, de sa longueur et de sa section où R = l ρ S ρ = résistivité [Ωm] (l inverse de la résistivité étant la conductivité σ) l = longueur du conducteur [m] S = section du conducteur [m ] Nous obtenons alors la relation suivante :

21 OS 5 ème 1 j σe = (forme microscopique de la loi d ohm) 7.- D après la loi d ohm, la différence de potentiel entre les bornes d un dispositif et directement proportionnelle au courant qui le traverse R = U / I = ΔV / I Loi d ohm (186) Plus la résistance d un conducteur est grande, plus le courant sera petit pour une même tension appliquée. La résistance d un conducteur est donc une mesure de l opposition qu offre le conducteur au passage du courant. La loi d ohm affirme que le courant circulant à l intérieur d un dispositif est toujours directement proportionnel à la différence de potentiel (tension) appliquée à ce même dispositif. Ainsi, un dispositif conducteur obéit à la loi d ohm lorsque la résistance du dispositif est indépendante de la grandeur et de la polarité relatives à la différence de potentiel appliquée. La microélectronique, et par conséquent, une partie importante de la technologie actuelle dépendent presque exclusivement de dispositifs qui n obéissent pas à loi d ohm. Votre calculatrice en contient par exemple un grand nombre. Donnons une explication. Ci-dessous, l exemple d une diode utilisée durant les laboratoires. résistances placées en série peuvent servir à diviser une différence de potentiel fixe, comme celle crée par une pile, en différences plus petites dont on a besoin pour d autres éléments comme des transistors par exemple. On peut obtenir une différence de potentiel variable de sortie au moyen d un contact qui glisse sur un fil (rhéostat résistance variable). Un tel dispositif est utilisé pour faire varier le volume sur un récepteur radio par exemple. Notons que la résistivité d un matériau dépend de sa température. La résistivité ρ d un métal à la température R s exprime en fonction de la résistivité ρ 0 à une température T 0 : où ρ = ρ0[ 1+ α( T T0 )] α = coefficient thermique de résistivité [K -1 ] n.b : le carbone a une résistivité pratiquement constante sur une grande plage de température. C est pourquoi on l utilise dans la confection de résistance. Interprétation microscopique : Les électrons entrent en collision avec les ions positifs du réseau cristallin. Ces ions vibrent autour de leurs positions d équilibre. Au fur et à mesure que la température s élève, l amplitude de ses vibrations augmente et gêne de plus en plus l écoulement des électrons. Les autres facteurs sont les inévitables impuretés et les défauts de structure dans le réseau cristallin. Les contributions aux collisions des impuretés et des défauts dans le cristal sont essentiellement indépendantes de la température. C est pourquoi la résistivité des métaux courant n est pas nulle, même à T = 0 K. Deux autres types de matériaux méritent d être mentionnés ici. La résistivité des semi-conducteurs purs, comme le silicium, le germanium, le gallium et le carbone, diminue lorsque la température augmente. Ce phénomène est lié à l augmentation du nombre d électrons qui deviennent libres et participent à la conduction. Une caractéristique encore plus intéressante des semi-conducteurs est que l on peut agir sur leur résistivité en ajoutant certaines impuretés au matériau pur. C est cette propriété qui est utilisée dans la fabrication des transistors et des circuits intégrés. Dans certains matériaux, appelés supraconducteurs, la résistivité devient nulle en dessous d une température critique T c. Lorsqu un courant est établi dans un

22 OS 5 ème supraconducteur, il persiste indéfiniment à condition que la basse température soit maintenue. 8.- La puissance électrique L effet Joule Lorsqu un courant passe à travers une résistance R, la puissance électrique est donnée par l expression suivante : P = U.I = R I = U [J/s] = [W] R Remarque : La puissance s exprime en J/s ou en W. L unité d énergie est le joule qui est une trop petite quantité. Généralement, l unité employée par les producteurs d électricité est le kwh. Définition : le kilowattheure correspond à l énergie utilisée pendant une heure par un appareil consommant 1000 J/s, ce qui équivaut à 3, J. 9.- Les résistances en série et en parallèle La résistance équivalente, notée R éq, se détermine de la façon suivante pour N résistances : a.- en série : R éq = R 1 + R + + R N b.- en parallèle : R éq = (1/R 1 + 1/R + + 1/R N ) -1 La démonstration a été déjà été établie au cours de 4 ème année. Théorie microscopique de la conduction Les applications de l effet Joule sont notamment : 1.- Les corps de chauffe électriques.- Le fusible 3.- Les lampes à incandescence (filament chauffé) 4.- Les pertes d énergie dans tous les conducteurs et comme conséquence pratique, l utilisation de la haute tension pour le transport de l énergie électrique

23 OS 5 ème 3 Les circuits à courant continu La force électromotrice Considérons le mouvement d une particule chargée positivement le long d un circuit fermé composé d une pile, d une résistance R et de fils. Supposons également que le potentiel de la borne négative soit nul. Lorsque la particule arrive à la borne négative, l action chimique augmente son énergie potentielle électrique et la transporte à la borne positive. L énergie de la particule ne varie pas pendant son trajet dans le fil (si l on suppose qu il a une résistance nulle). Lorsqu elle traverse la résistance, la particule subit de nombreuses collisions avec les ions du réseau et se déplace avec une faible vitesse de dérive. L énergie potentielle électrique de la particule est convertie en énergie thermique dans la résistance (effet joule). Enfin, la charge quitte la résistance avec une énergie potentielle nulle. Une pile doit fournir un travail pour séparer les charges positives et négatives et pour les placer sur les bornes en surmontant la répulsion des charges qui s y trouvent déjà. Une pile est un exemple de source de force électromotrice, notée f.é.m. Du point de vue de la particule chargée, c est l énergie potentielle électrostatique qui diminue dans le sens du déplacement. Il faut donc que, quelque part dans le circuit, un générateur électrique restitue l énergie perdue par la charge lorsqu elle accomplit un tour complet. Définition : la f.é.m d un dispositif (pile, générateur, ) correspond au travail par unité de charge accompli pour faire circuler celle-ci dans un circuit fermé ou la puissance fournie par unité d intensité. ε = W né = q P I [V] L indice «né» signifie que le travail est effectué par un agent non électrostatique. C est en transformant en énergie électrique une énergie d une autre nature qu un générateur peut faire circuler un courant dans un circuit. Cette source d énergie peut être de nature : - chimique s il s agit d une pile ou d une batterie d accumulateurs - mécanique dans le cas de la triboélectricité, de la piézo-électricité (découvert en 1880 par les frères Curie ; apparition de charges à la surface de certains cristaux isolants très anisotropes lorsqu ils sont soumis à des contraintes mécaniques ; inversement, quand ces substances sont soumises à un champ électrique, elles sont susceptibles de se déformer. Le meilleur exemple est le quartz piézo-électrique utilisé en horlogerie, ou la dynamo (dans ce dernier cas, on crée un courant alternatif). - électromagnétique si on a affaire à une cellule photovoltaïque -thermique quand le générateur est un thermocouple (on a alors conversion d énergie interne U en énergie électrique). Ex : une batterie de 1 V effectue un travail de 1 J à transporter un 1 C de charge à travers le circuit. La production d un courant Volta expliquait le fonctionnement de la pile voltaïque par une différence de potentiel créée par le contact de métaux. La solution saline ou acide (appelée électrolyte) servait uniquement de conducteur. Fonctionnement d une cellule plomb-acide Pb + SO4 PbSO4 + Une électrode de plomb (Pb) et une électrode d oxyde de plomb (PbO ) sont immergées dans une solution aqueuse d acide sulfurique (H SO 4 ) qui se dissocie en ions hydrogène positifs (H + ) et en ions sulfate négatifs SO 4. Lorsqu on relie les bornes par un fil, les réactions suivantes ont lieu. Sur l électrode de Pb, e Les électrons libérés dans cette réaction quittent la borne de plomb et pénètrent dans le fil. Sur l électrode de PbO, autres électrons quittent le fil pour pénétrer dans la borne et la réaction suivante a lieu : + PbO + 4 H + SO4 + e PbSO4 + HO On remarque que, pour chaque électron quittant l électrode de Pb, un autre arrive sur l électrode de PbO : le fil lui-même n acquiert aucune charge nette. Le sulfate de plomb (PbSO 4 ) se dépose sur les électrodes et l acide est consommé. Il y a transfert continu d électrons de l électrode de Pb, qui agit comme borne négative, à l électrode de PbO, qui agit comme borne positive. Le résultat : un courant qui circule dans le fil extérieur. Une différence de potentiel constante de V est maintenue entre les électrodes. Une batterie d automobile contient 6 cellules en série, qui donne une différence de potentiel de 1 V.

24 OS 5 ème 4 Au fur et à mesure qu on utilise la batterie, la concentration en acide de la solution diminue, faisant chuter sa densité. On procède à la recharge en reliant la batterie à une f.é.m plus puissante. A chacune des électrodes se produisent alors les réactions chimiques inverses qui éliminent le PbSO 4 et remettent l acide en solution. Une fois la pile complètement rechargée, il est important de la couper de la f.é.m extérieure. Si on poursuit le processus alors que les électrodes ont retrouvé leur composition d origine, l énergie de la f.é.m sert alors à briser les molécules d eau de la solution en leur constituants (H et O), qui forment un mélange particulièrement explosif (pile é hydrogène). La différence de potentiel aux bornes d une pile réelle Une source réelle de f.é.m possède une résistance interne : on appelle une source une pile réelle. Lorsque le courant circule, il se produit une chute de potentiel aux bornes de la résistance interne. Essayons de déterminer la différence de potentiel entre les bornes d une pile dans laquelle circule un courant. pile réelle s écrit donc : Dans la figure, la pile réelle est considérée comme une source idéale de f.é.m. ε en série avec une résistance r. Lorsque la charge se déplace dans la pile depuis la borne négative jusqu à la borne positive, la source de f.é.m modifie le potentiel d une quantité égale à +ε. Durant la traversée de la résistance interne, le potentiel de la charge unitaire décroît de ri. La différence de potentiel entre les bornes de la d.- Les récepteurs électriques sont les appareils qui, recevant de l énergie électrique, la transforment partiellement en une autre forme d énergie réversible (chimique par électrolyse ou mécanique par un moteur). Les caractéristiques d un récepteur sont la force contre-électromotrice (f.c.é.m) et la résistance interne. Définition : La f.c.é.m d un récepteur εr est le travail transformé en énergie autre que la chaleur par unité de charge traversant le récepteur (il s agit donc d une tension) : εr = W él q [V] Soit un circuit contenant un générateur qui fournit du travail électrique à un récepteur, par exemple un moteur M. M Le travail fourni au récepteur vaut : ΔV = V b V a = ε - ri Remarques : a.- Si I = 0 ou r = 0, ΔV = ε (on peut mesurer la f.é.m d une source à partir de la différence de potentiel aux bornes du circuit ouvert) b.- Comme la résistance interne d une pile augmente avec l âge de la pile, la différence de potentiel aux bornes diminue pour une valeur donnée du courant de sortie. c.- Soit un générateur de f.é.m ε, débitant un courant d intensité i dans une résistance R aux bornes de laquelle la tension est ΔU. Le travail électrique fourni au circuit par le générateur pendant un temps Δt vaut :

25 OS 5 ème 5 Les instruments de mesure L ohmmètre Il possède une pile interne et il envoie du courant dans le circuit qu il mesure. Si on veut mesurer la valeur d une résistance (ou d une combinaison de résistances), il faut brancher cette résistance à l ohmmètre alors qu elle n est pas branchée au reste du circuit ; sinon la pile du circuit interférera avec la pile de l ohmmètre, et les résultats seront faussés. Les lois de Kirchhoff L analyse des circuits électriques est simplifiées grâce à l utilisation des lois qui furent énoncées par Kirchhoff : la loi des nœuds et la loi des mailles. Loi des nœuds La somme algébrique (compte tenu du sens des courants) est nulle au niveau d un nœud. ΣI = 0 Le voltmètre Il mesure la différence de potentiel entre les points du circuit où on place les sondes ( électrodes provenant de l appareil). Il se place toujours en parallèle avec la résistance. Lorsqu on utilise un appareil de mesure, on ne veut pas que la présence de l appareil modifie de manière appréciable ce que l on veut mesurer. Puisque le voltmètre est placé à l extérieur du circuit, il faut limiter au maximum la fraction du courant qui va être déviée à travers le voltmètre. Ainsi, il faut que la résistance interne du voltmètre soit très grande. L ampèremètre Pour mesurer le courant en un point du circuit, il faut placer l ampèremètre dans le circuit à l endroit qui nous intéresse afin que tout le courant que l on veut mesurer traverse l ampèremètre. L ampèremètre se branche donc en série dans le circuit. Pour limiter les effets de sa présence sur ce que l on veut mesurer, il faut que la résistance interne de l ampèremètre soit très petite. Loi des mailles Le long d une maille, la somme des tensions est nulle. ΣU = 0 La ème loi nous indique qu en faisant un tour complet, on doit se retrouver au même potentiel. Cette loi découle de la conservation de l énergie : l énergie potentielle fournie à une charge par la source de f.é.m (générateur) est perdue dans les résistances. Pour l application de ces lois, faisons les remarques suivantes : a.- Les sens des courants peuvent être attribués de manière arbitraire s ils ne sont pas connus. Les résultats numériques, positifs ou négatifs, vous indiqueront si le sens était juste ou faux. b.- On donnera un sens de parcours à chaque maille. Lorsqu on traverse alors une résistance et que le sens de parcours correspond à celui du courant, on rencontre des potentiels décroissants et inversement. Quand on traverse une source de tension dans le sens de la borne négative à la borne positive, on rencontre un potentiel croissant et inversement.

26 OS 5 ème 6 c.- On choisira autant d équations que d inconnues, chaque équation étant une loi de Kirchhoff sur un nœud (N-1 équations si N nœuds) ou sur une maille. La difficulté réside donc dans un choix d équations indépendantes l une de l autre. Les circuits RC Les circuits dont nous avons parlé jusqu à présent étaient des circuits parcourus par des courants constants. Lorsqu on inclut un condensateur dans un circuit, le courant varie en fonction du temps pendant la charge ou la décharge du condensateur. Si l on relie directement aux bornes d une pile idéale (sans résistance interne), le condensateur se charge instantanément. Mais alors comment est-ce que la charge du condensateur et le courant varient en fonction du temps dans un circuit comprenant une résistance? A. La décharge d un condensateur B. La charge d un condensateur La variation de la charge du condensateur en fonction du temps est égale à : Q = 0 Q e t RC et la variation du courant en fonction du temps est donnée par : I = I e 0 t RC La variation de la charge du condensateur en fonction du temps est égale à : Q= Q (1 0 e t RC ) et la variation du courant en fonction du temps est donnée par : I = I e 0 t RC

27 OS 5 ème 7

28 OS 5 ème 8 Série d exercices Electrostatique 1.- Soit un champ électrique uniforme entre plaques parallèles horizontales. Une goutte d huile chargée négativement s immobilise entre les plaques lorsque la tension entre les plaques est de 500V. Sachant que la distance entre les plaques est de 1 cm et que le rayon de la goutte est de 1, m : 1.- Représente les forces et le champ électrique s exerçant sur la goutte d huile.- Calcule le champ électrique s exerçant sur la goutte d huile 3.- Calcule la charge portée par la goutte d huile 4.- Combien y a-t-il de charges élémentaires (c est-à-dire d électrons) portées par la goutte? Masse volumique de l huile ρ = 870 kg/m 3.- Calcule la valeur du champ électrique E en un point P placé à une distance r d une plaque infinie de surface S et de densité de superficielle de charge σ [C/m ]. On suppose que σ est positif. 3.- Réitère le calcul pour plaques infinies, parallèles et uniformément chargées (σ pour une des plaques et -σ pour la ème ). 4.- Une sphère creuse de rayon R porte une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Trouve le champ en un point P a) à l extérieur b) à l intérieur c) représente la fonction E(r) d) représente graphiquement le potentiel électrique en fonction de la distance r à partir du centre de la sphère avec Q = - 4nC et r = 0 cm. Condensateurs 5.- On considère plaques planes parallèles situées à 15 cm l une de l autre portant des densités surfaciques de charge de ±, C/m. On suppose que chaque plaque est un carré qui mesure 3 m de côté. On désire déterminer a) la charge du condensateur ainsi formé b) la différence de potentiel entre les plaques c) la capacité du condensateur 6.- a) Un condensateur sphérique est composé de sphères conductrices concentriques. La sphère intérieure, de rayon R 1, porte une charge Q positive. La charge sur la sphère creuse extérieure de rayon R est Q. Détermine sa capacité. b) Une coquille conductrice sphérique dont le rayon interne est de 0 cm et le rayon externe est de 30 cm porte une charge de -9 nc. Au centre de la coquille se trouve une sphère conductrice de 10 cm de rayon qui porte une charge de 4 nc. On désire tracer le graphique du potentiel électrique en fonction de r. 7.- Un condensateur cylindrique est composé d une conducteur central de rayon a (de densité linéique de charge λ [C/m]) entouré d un cylindre conducteur creux de rayon b. Les câbles coaxiaux utilisés pour le transport des signaux de télévision ont cette géométrie. En général, la gaine extérieure conductrice est mise à la Terre et protège le signal intérieur contre les perturbations électriques. Trouve la capacité d une longueur L en supposant que l espace entre les armatures est rempli d air. 8.- Utilise l équation de la densité d énergie pour déterminer l énergie potentielle d une sphère métallique de rayon R portant la charge Q positive. 9.- Tous les condensateurs de la figure sont identiques, avec C = 1 µf. Quelle est leur capacité équivalente? 10.- condensateurs de capacité C 1 = µf et C = 4 µf sont reliés en série avec une pile de 18 V. On enlève la pile et on relie entre elles les armatures de même signe. Trouve la charge et la différence de potentiel finales pour chaque condensateur.

29 OS 5 ème On considère l association de condensateurs représentée dans la figure suivante. Détermine l énergie emmagasinée dans : a) le condensateur de 5 µf b) le condensateur de 4 µf 1.- Au laboratoire, vous disposez de 4 plaques de verre de 0 cm x 0 cm x 1cm et de papier d aluminium. Vous voulez construire un condensateur qui possède la plus grande capacité possible, expliquez comment vous allez procéder et calculez la capacité du condensateur Un condensateur plan est rempli à moitié d une couche de diélectrique de constante ε 1 alors que l autre moitié contient une couche de constante ε. Quelle est la capacité résultante? Exprime votre réponse en fonction de ε 1, ε, et C 0, la capacité du condensateur en l absence de diélectrique. Groupements de résistances 17.- Dans la figure, toutes les résistances valent 3 Ω. Calcule la résistance équivalente entre les points a) A et B b) A et D Lorsqu une source réelle de f.é.m fournit de la puissance à une résistance externe, une certaine quantité de puissance est également dissipée dans la résistance interne, On relie une résistance externe R à une source f.é.m dont la résistance interne est r. Pour quelle valeur de R la puissance fournie à cette dernière est-elle maximale? Lois de Kirchhoff 19.- Dans le circuit, ε 1 = 17 V, ε = 6 V, R 1 = 1 Ω, R = 4Ω, R 3 = 3 Ω. Trouve les courants dans chacune des résistances 14.- Un condensateur plan possède des armatures carrées de 5 cm de côté séparées par 1 mm d air. Calculez l énergie maximale qu il peut emmagasiner, sachant que l air devient conducteur lorsque le module du champ électrique excède N/C. Force électromotrice 15.- On branche une pile réelle à une résistance externe R. Lorsque R = 1Ω, la différence de potentiel aux bornes de la pile et de 6V. Lorsque R = Ω, la différence de potentiel égale 8V. Trouve la valeur de la f.é.m et de la résistance interne de la pile 16.- Soit une pile réelle dont la f.é.m est de 10 V et la résistance interne 1 Ω. Lorsqu elle est reliée à une résistance externe R, la puissance dissipée dans R est P. Trouve R, la valeur de la résistance externe si, lorsqu elle augmente de 50%, la puissance dissipée a) augmente de 5% b) diminue de 5% 0.- Dans la figure ci-dessous, l ampèremètre mesure A et le voltmètre donne V. Utilise ces informations pour trouver la valeur de la résistance inconnue R ainsi que les courants I 1 et I. Circuits RC 1.- Dans le circuit, ε = 00 V, R = 00'000 Ω, et C = 50 µf. Trouve : a.- le temps que met la charge pour monter jusqu à 90% de sa valeur finale. b.- L énergie emmagasinée dans le condensateur à t = RC c.- La puissance dissipée dans R à t = RC d.- Le travail total fourni par la pile lorsque le condensateur est totalement chargé (t = ) e.- L énergie finale emmagasinée dans le condensateur f.- La perte totale d énergie dans la résistance

30 OS 5 ème 30.- Le circuit de la figure comprend un condensateur. a.- Quel est le courant dans chaque résistance lorsque le régime permanent s est établi b.- Quelle est la charge du condensateur? Exercices supplémentaires : 1.- A l aide d une pile, on charge un condensateur plan et on le déconnecte de la pile. Lorsqu on double la distance entre les armatures, dites ce qui arrive : a) à la charge du condensateur b) au module du champ électrique entre les plaques c) à la différence de potentiel entre les plaques d) à la capacité dans le condensateur e) à l énergie électrique emmagasinée dans le condensateur f) Doit-on effectuer un travail positif ou négatif pour éloigner les armatures l une de l autre.- A l aide d une pile, on charge un condensateur plan, et on le laisse branché à la pile. Lorsqu on double la distance entre les armatures, dites ce qui arrive par rapport à l exercice précédent. 3.- Par beau temps, près de la surface de la Terre, le module du champ électrique est de 150 V/m. Quelle est la densité d énergie emmagasinée dans le champ électrique? 4.- Il y a de l air entre les armatures d un condensateur plan chargé. Lorsqu on remplit l espace entre les armatures d un diélectrique dont la constante diélectrique est de, dites ce qui arrive : a) au module du champ électrique entre les armatures b) à la densité d énergie électrique c) à l énergie emmagasinée dans le condensateur 5.- Dans un défibrillateur utilisé pour stimuler le cœur en cas de malaise cardiaque, l énergie est emmagasinée dans un condensateur de 10 µf. a) A quelle différence de potentiel doit-il être chargé pour contenir les 00 J d énergie nécessaires à son fonctionnement? b) Si la décharge qu il produit dure ms, quelle est sa puissance?