IRREGULARITES GÉOPHYSIQUES DE LA LA ROTATION TERRESTRE. de 2 jours à 100 ans

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1 Observatoire de Paris / SYRTE IRREGULARITES GÉOPHYSIQUES DE LA LA ROTATION TERRESTRE de 2 jours à 100 ans Christian BIZOUARD, astronome-adjoint COURS MASTER

2 Table des matières Introduction 4 1 Systèmes de référence spatio-temporel Dénition de la rotation de la Terre Système de référence terrestre Système de référence céleste (SRC) Système de référence temporel Description de la rotation terrestre La rotation terrestre est irrégulière Principales uctuations de la rotation terrestre Principe de la paramétrisation de la rotation terrestre et de sa mesure Evolution des techniques Relations cinématiques Fondement théorique : équations de Liouville linéarisées Cadre newtonien de la rotation terrestre Equations de Liouville Equations dynamiques d'euler et Liouville Linéarisation Terre biaxiale Symétrisation équatoriale des équations de Liouville linéarisées Solution générale du mouvement du pôle pour un modèle de Terre rigide Mouvements céleste et terrestre du CIP Insusance de la formulation présente Eet de la non rigidité Déformation centrifuge Potentiel centrifuge Figure moyenne de la Terre Eet de la non-rigidité sur les moments d'inertie Inuence de la non-rigidité sur le mouvement du pôle Inuence de la non-rigidité sur la longueur du jour Dissipation

3 5 Excitations géophysiques et leurs eets Introduction Excitation hydro-atmosphérique Perspective historique Termes matière et mouvement des fonctions de moment cinétiques uides Nature du couplage entre une couche uide et la Terre solide Formalisation de l'eet des couches uides Eet sur le pôle Eet sur la vitesse de rotation ou la longeur du jour Excitation atmosphérique Inuence des variations de pression atmosphérique Inuence des vents Excitation océanique Modèle d'océan statique barométrique (IB) Modèle d'océan dynamique Ordre de grandeur du terme zonal du moment cinétique océanique Séries d'excitation océanique Annexes 63 A Décomposition du géopotentiel en harmonique sphérique - liens avec les moments d'inertie 65 A.1 Formulaire A.2 Démonstration abrégée A.3 Liens avec les moments d'inertie de la Terre B Forme de la Terre 73 B.1 Développement en harmonique sphérique du rayon de la Terre B.2 Eet d'une rotation innitésimale sur le développement en harmonique sphérique d'un sphéroïde de révolution B.3 Expression de la matrice d'inertie, diagonale dans Gx y z, dans Gxyz C Constantes usuelles 76 Bibliographie 78 3

4 Introduction Encore à la n du XIX e siècle, il était peu pensable que l'on mesurerait un jour l'impact de processus géophysiques globaux, comme ceux de l'atmosphère et des océans, sur la rotation terrestre. Cette science était l'apanage des astronomes. A la précision des relevés de la position des étoiles, soit 0,1", la seule irrégularité alors reconnue était la précession-nutation de l'axe de rotation par rapport au repère des étoiles. Si la précession - ce basculement angulaire générant en ans un cône axé sur les pôles de l'écliptique à 23 26' - avait été découverte dès l'antiquité (vers -200 avant J.C. par le grec Hipparque), la nutation - cette composition de vaguelettes périodiques d'une amplitude inférieure à 20" et venant se superposer à la précession - n'apparut qu'avec la mise au point des instruments optiques : prévue par Newton dans ses Principia Mathematica, Bradley en dévoila la composante principale en 18,6 ans en La précession-nutation, vue sous l'angle de la nouvelle mécanique de Newton, était un phénomène induit par l'action des forces de marées luni-solaire sur le bourrelet équatorial de la Terre. Bien que l'amplitude du phénomène soit associée à l'aplatissement terrestre, la cause est astronomique. Laplace avait bien évalué l'inuence de l'atmosphère sur la vitesse de rotation; mais l'ordre de grandeur du phénomène était hors d'atteinte pour les observations de l'époque. La brèche géophysique dans la rotation terrestre sera faite là où on l'attendait le moins. Vers 1750 Euler avait mis en évidence que le pôle de rotation pouvait se mouvoir librement par rapport à la croûte terrestre avec une période de 303 jours en raison de l'aplatissement aux pôles. Pendant plus de 150 ans, malgré les eorts des observateurs, il demeure voilé jusqu'à ce que Chandler en 1891[1] découvre un mouvement se déroulant non pas sur 303 jours mais 427 jours environ. Un mois après la publication de Chandler, Newcomb montra comment la non-rigidité de la Terre peut allonger la période d'euler de 130 jours et l'amener ainsi à 427 jours 1. Son analyse lui permit d'en déduire que la Terre solide possède une élasticité comparable à celle de l'acier. Dès lors la rotation terrestre devenait un moyen de connaître les propriétés physiques de notre globe lui-même. Dans le même temps on démontrait l'existence d'une oscillation complémentaire, à la période annuelle et d'une amplitude moitié moindre. A l'instar de Newcomb [7] ou Chandler, on soupçonna aussitôt que sa cause se trouvait dans les transports de masse atmosphérique et océanique, induits par l'alternance des saisons. 1d'après Newcomb l'élasticité de la partie solide de la Terre cause les trois-quarts de l'allongement (90 jours), le quart restant (30 jours) étant du à la nature uide des océans. 4

5 A la même époque Hough, Shoudsky et Henri Poincaré théorisaient l'eet d'un noyau uide, encore hypothétique, sur la rotation d'une Terre. En supposant le uide incompressible, homogène, non visqueux et contenu dans une cavité ellipsoïdale, Hough (1895) [3] et Shoudsky [11] conclurent indépendamment à l'existence d'une seconde oscillation libre du pôle de rotation, quasi-diurne et rétrograde, donnant lieu dans l'espace à une nutation dont la période est inversement proportionnelle à l'aplatissement du noyau uide. Poincaré (1910) [5] démontra comment les termes de la nutation résonnent à cette période et en conséquence dièrent de ceux d'une Terre rigide. Tout au long du XX e siècle les progrès considérables furent accomplis dans la mesure des variations météorologiques, océanographiques, hydrologiques, le stockage et le traitement des données avec le développement fulgurant de l'informatique, et la mesure de la rotation terrestre; ils permirent de conrmer amplement les hypothèses évoquées cidessus. Le mouvement du pôle est bel et bien excité par l'atmosphère, dans une moindre partie par les océans et les variations hydrologiques, quoique cette dernière inuence soit encore mal cernée. La nutation libre à 430 jours et la résonance correspondante des termes de la nutation furent mesurées avec l'avènement de la radio interférométrie à très longue base (Very Long Baseline Interferometry, VLBI) dans les années Contrairement à la direction de l'axe de rotation, les variations de la vitesse de rotation ne sont pas ampliées par la présence du bourrelet équatorial. Sur une centaine d'année, l'oscillation équatoriale du vecteur instantané de rotation atteint un millionième de sa norme, alors que la perturbation axiale reste inférieure à un cent millionième. Aussi la uctuation de la vitesse de rotation ne fut-elle décelée que vers 1930, quarante ans après la découverte du mouvement du pôle, grâce à la mise au point des horloges à quartz. Ainsi l'observation des irrégularités de la rotation terrestre présente non seulement un intérêt astronomique - à savoir positionner précisément le sol et nos télescopes par rapport aux étoiles -, mais revêt une dimension géophysique : c'est le moyen de déterminer les propriétés globales de la Terre : structure interne, rhéologie, etc... Ce cours est une initiation aux arcannes des variations géophysiques de la rotation terrestre. Après avoir donné la dénition des systèmes de référence dénissant la rotation terrestre (chapitre I), la description de ses principales variations (chapitre II), nous exposons le cadre théorique général à savoir les équations linéarisées d'euler-liouville, (chapitre III), permettant de découpler les diérentes causes des variations de la rotation de la Terre, et en conséquence de les traiter séparément. Néanmoins, compte tenu du faible volume horaire, il nous est impossible de traiter l'ensemble des phénomènes géophysiques et nous limitons notre exposé aux variations se déroulant entre quelques jours et quelques années : pour cela il est susant de traiter i) l'inuence de l'élasticité de la partie solide de la Terre (chapitre IV) ii) les défauts d'élasticité introduisant un amortissement (chapitre IV) iii) l'impact des océans et de l'atmosphère (chapitre V). Mais nous faisons l'impasse sur l'inuence du noyau uide essentiellement eective aux périodes voisines du jour dans le repère terrestre. Les autres excitations reconnues (hydrologique, cryogénique) et jouant un rôle plus mineur ne sont pas traitées. 5

6 Chapitre 1 Systèmes de référence spatio-temporel 1.1 Dénition de la rotation de la Terre La rotation de la Terre est dénie comme la rotation de la croûte terrestre ou lithosphère 1 par rapport aux étoiles. Les observations astrométriques et géodésiques révèlent que la croûte se déforme, et que les étoiles sont loin de constituer des balises inamovibles. Une rotation ne pouvant être considérée qu'entre deux systèmes d'axes rigides, la mesure précise de la rotation terrestre nécessite la dénition et la construction préalable de deux systèmes de coordonnées cartésiennes, un système de référence terrestre et un système de référence céleste. Ce point est fondamental puisque notre connaissance de la rotation terrestre est d'autant plus ne que les références célestes et terrestres sont précises. Par exemple, si les points géodésiques du référentiel céleste sont connus seulement à 0,1" près, l'eet de la non rigidité de la Terre sur la nutation de l'axe de rotation demeurera voilé. La mesure de la rotation terrestre nécessite aussi une référence de temps plus stable que celle donnée par le cycle diurne. Toutes ces raisons nous amènent à consacrer ce chapitre introductif aux systèmes de référence spatio-temporels. 1.2 Système de référence terrestre Le système de référence terrestre, abrégé par SRT, est un système d'axes (Gxyz) participant à la rotation de la croûte terrestre et dans lequel le moment cinétique relatif de celle-ci est nul. Relativement à ce système, dit de Tisserand, le champ des déplacements de la lithosphère est irrotationnel, car s'il contenait une rotation son moment cinétique relatif serait non-nul; autrement dit, il ne contient que des déformations pures. Cependant, un tel système est déni à une rotation constante près. Pour le dénir précisément, il sut de stipuler la position du pôle nord géographique à un moment donné et le méridien origine. C'est ce que l'on a fait en faisant coïncider le pôle nord géographique avec la position moyenne du pôle de rotation de 1900 à 1905 par rapport à quelques stations d'observation chargées de déterminer les variations de latitude astronomique. Quant au méridien origine, c'était celui qui, issu du pôle nord, intersectait l'observatoire de Greenwich. Depuis, le pôle de rotation a dérivé de plusieurs mètres par rapport au pôle nord, 1du grec lithos, pierre; plus précisément la lithosphère est la partie minérale de la croûte, c'est-à-dire cette dernière à l'exception de tous ses éléments liquides ou gazeux. 6

7 et dans la réalisation actuelle du SRT le méridien origine passe à une centaine de mètre du point géodésique de Greenwich. L'axe des pôles géographiques Gz est voisin de l'axe de gure, qui est l'axe de symétrie de l'ellipsoïde terrestre de référence. Cet ellipsoïde est une gure idéalisée d'une Terre constituée de couches homogènes en équilibre sous l'action de la pesanteur et des forces de pression. Pour de longues échelles de temps, plus grandes que les périodes de convection dans le manteau il est concevable que les déformations régionales s'estompent de sorte que la Terre prenne la forme d'une de cet ellipsoïde de référence. L'axe de gure représente alors l'axe d'inertie moyen de la Terre. Par rapport à la croûte terrestre l'axe de gure dérive vers le Groenland à la vitesse de 0.4"/siècle, en raison de redistribution de masse à long terme, comme la remontée des sols nordiques (Scandinavie-Russie) sous l'eet de la fonte des glaces arctiques de la dernière glaciation (rebond post-glacière). La réalisation pratique du SRT, le Repère Terrestre (RT) consiste à choisir un certain nombre de points géodésiques (là où se trouvent les instruments d'observations) et à en préciser les coordonnées cartésiennes. Jusque dans les années 1960, on s'accommodait de points ancrés au sol avec des coordonnées invariables. En eet les mouvements tectoniques de quelques cm par an, et les mouvements de marée n'étaient pas visibles par l'astrométrie optique (exception faite des variations de la verticale). Mais, avec une précision centimétrique puis sub-centimétrique les techniques d'astro-géodésie spatiales ont rendu cette approximation caduque, nous contraignant à désolidariser le repère terrestre des points géodésiques. Les points initiaux, correspondant à l'emplacement de telle ou telle autre antenne de réception, sont aranchis de leur déplacement de marée solide (40 cm), ce qui donne un réseau de points immatériels (appelés abusivement Station Coordinates) épousant les mouvements tectoniques. En pratique les coordonnées de ces points sont constituées par une position initiale à une époque donnée t 0 et un déplacement fonction linéaire du temps. Par abus de langage on confond ces points avec le repère terrestre alors qu'ils ne font que préciser implicitement la direction des axes du RT à un instant donné. Dans la mesure où l'observation permet d'aner le modèle de déplacement tectonique, cela conduit à redénir régulièrement le repère terrestre en imposant que d'une réalisation à l'autre il n'y ait aucune rotation d'ensemble (ce qu'on appelle la condition de non-rotation). La réalisation et la maintenance du RT de référence international, à savoir l'international Terrestrial Reference Frame (ITRF) est aujourd'hui dévolue par l'iers à un laboratoire de l'institut Géographique National 2, le laboratoire de recherche en Géodésie (LAREG). Comme on ne détermine guère plus que les mouvements en surface, il est dicile de chirer le moment cinétique résiduel de la lithosphère dans l'itrf, et donc de savoir si celui-ci épouse vraiment la condition de Tisserand. En réalité, si les coordonnées des points du RT sont déterminées à l'échelle de la semaine ou du mois, elles mettent en évidence des déplacements supplémentaires, essentiellement saisonniers, de l'ordre du cm, et l'on voit la déformation du sol par la charge hydro-atmosphérique. L'origine G de l'itrf est dénie implicitement par rapport aux coordonnées cartésiennes des stations; il n'y a pas de raison qu'elle coïncide avec le centre des masses dont la position uctue au gré des transports de matière qui se font dans la Terre ou à sa surface. Seule l'orbitographie des satellites, par l'intermédiaire des coecients de Stokes de degré 1, permet de situer le 2devenu le 1 janvier 2012 l'institut national de l'information géographique et forestière, suite à sa fusion avec l'oce National des Eaux et Forêts 7

8 centre des masses à un centimètre au plus de l'origine de l'itrf Système de référence céleste (SRC) Le référentiel céleste est le fondement même de l'astronomie : c'est à la fois un moyen pour relever et coordonner les positions des astres, et un cadre pour en théoriser les mouvements. C'est aussi, en quelque sorte, le but, car n'est-t-il de question plus brûlante que de celle de notre place ou nos marques dans l'univers? Sans nul doute, la quête de la référence céleste absolue fut l'une des motivations principales de l'astronomie et de la physique jusqu'au XX e siècle, avant que la majorité des esprits n'adopte la conception d'un cosmos sans lieu privilégié ou principe copernicien. Dès l'antiquité se posa la question du référentiel auquel on devait rapporter les mouvements des planètes. Longtemps mise sous le boisseau par le géocentrisme aristotélicien, elle réapparaîtra au XVI e siècle, et se cristallisera dans les querelles passionnées du XVII e siècle qui opposèrent héliocentristes et géocentristes. Système de référence céleste cinématique. La manière la plus naturelle est de prendre comme référence les étoiles : les directions relatives de signaux électromagnétiques visibles ou non forment un maillage permettant le repérage pour les astres les avoisinant. Jusqu'au XVII e siècle on considérait communément que les étoiles étaient arrimées à une sphère, la sphère des (étoiles) xes, sphère éthérée dont le centre était la terre. Avec des mesures pratiquées à l'oeil nu les étoiles gardaient les mêmes positions relatives quelque soit la position de l'observateur, et cela rendait évident qu'elles étaient placées sur une seule et même sphère très éloignée au regard des dimensions de la Terre. Sur un plan métaphysique la sphère des xes constituait la référence absolue répondant à l'idéal harmonieux de la philosophie grecque et au christocentrisme de la foi chrétienne. La vision héliocentrique naissante du XVI e siècle n'avait pas ébranlé ce cosmos sphérique. Ce qui t Copernic, c'est essentiellement de chasser la Terre de son centre pour y placer le Soleil. La plupart des astronomes de cette époque s'accommodaient de la dichotomie traditionnelle entre le monde terrestre et le monde céleste qui commençait avec l'orbe de la Lune 4. Mais avec la découverte des tâches solaires, de la luminosité variable de certains astres, etc...les corps célestes perdaient leur statut d'incorruptibilité, et peu à peu on abandonna l'idée qu'ils fussent constitués d'une autre matière que celle de la Terre. Dans le même ordre d'idée la découverte des montagnes lunaires, de la nature elliptique des orbites planétaires révélait un monde céleste où sphère, cercle et mouvement circulaire uniforme - gages de perfection -, n'était plus exclusifs 5. La sphère des xes était donc ébranlée. Le coup de grâce lui fut asséné avec la reconnaissance du mouvement propre des étoiles au XVIII e siècle. Cependant les relevés des 3Swenson S., Chambers D., and Wahr J. (2008), Estimating geocenter variations from a combination of GRACE and ocean model output, J. Geophys. Res. 113, B08410, doi : /2007JB Si les quatre éléments - terre, eau, air et feu -, rendaient changeant et corruptible le monde terrestre, l'éther conférait au monde céleste perfection et incorruptibilité et l'on ne pouvait y rencontrer que les gures parfaites du cercle et de la sphère. 5Cette antique obsession a certainement du vrai dans l'analyse du mouvement du pôle, qui consiste à le décomposer en une somme de mouvements circulaires uniformes. En exhibant un mode libre circulaire, la théorie dynamique impose cette pratique. 8

9 positions des étoiles se faisaient toujours plus précis. Au cours du XVII e siècle, l'introduction des instruments optiques révolutionnait l'astrométrie, puisque la résolution angulaire, exclusivement visuelle jusqu'à cette époque, passait de 2" à moins de 1". On escomptait percer certaines énigmes comme celle de la distance des étoiles. Ainsi, au fur et à mesure que la référence des étoiles xes perdait son caractère absolu, son intérêt pratique croissait. Pour mesurer le mouvement des planètes, chercher les parallaxes, déceler les variations de la rotation terrestre, il fallait des catalogues d'étoiles donnant leur déclinaison et leur ascension droite toujours plus fournis, toujours plus précis. Le mouvement propre en soi n'est pas un obstacle fondamental pourvu qu'il soit connu. La connaissance des coordonnées sphériques des astres à une époque donnée, et de leur mouvement propre le cas échéant, est susant pour fournir un maillage de référence à la date d'observation. Vers 1740 Bradley découvrit un curieux mouvement annuel qui aectait systématiquement les étoiles, l'aberration, et dont on pouvait rendre compte par la composition de la vitesse de la lumière avec la vitesse orbitale de la Terre. En 1830 Bessel mettait en évidence la première parallaxe annuelle. Il apparaissait donc que dans le système géocentrique les étoiles sont aectées par des mouvements parallactiques accompagnant l'orbite annuelle dans le référentiel héliocentrique. Celui-ci n'était plus le cadre adéquat pour coordonner les étoiles. Il devenait évident que les positions de référence des étoiles devaient être données à une certaine époque dans un système héliocentrique où parallaxe et aberration annuelles s'évanouissent et ou les étoiles ne présentent que leurs mouvements propres. Au moment de l'observation faite au sol, l'ensemble de ces perturbations (aberration, parallaxe, mouvement propre) et la réfraction atmosphérique sont calculées ou estimées pour déterminer la direction apparente des astres. Au début du XIX e siècle, alors qu'on a abandonné toute illusion quant à la nature absolue du repère des étoiles, on met en évidence la nature ondulatoire de la lumière, et par la même, tout au moins le croit-on, l'existence de son milieu de propagation, l'éther luminifère. Cette substance invisible et hypothétique est un nouvel avatar du repère absolu. Comme la lumière s'y propage avec une vitesse uniforme, sa vélocité est changée par rapport à tout objet s'y mouvant, en premier lieu la Terre. L'un des problèmes de la physique devient donc la détection du mouvement de la Terre dans l'éther. On réalisera de nombreuses expériences optiques pour déceler le fameux vent d'éther qui devrait balayer la surface terrestre. La plus fameuse est l'expérience de Michelson et Morley (1887). Mais aucune d'entre elle ne démontrera de façon concluante un eet du mouvement orbital ou de la vitesse cosmique de la Terre. L'éther, dans la théorie uniée de Maxwell, devient le substrat de l'ensemble des phénomènes électromagnétiques et électrodynamiques. En particulier, la naissance d'un champ magnétique est conditionnée par le mouvement des charges électriques par rapport à l'éther. Mais l'expérience de Trouton et Noble (1903) ébranla cette certitude. La parenthèse de l'éther s'est refermée avec la théorie de la Relativité restreinte d'après laquelle la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiel et le champ magnétique ne dépend que de la vitesse de la charge par rapport à l'observateur. Le système de référence céleste international. Ainsi, les étoiles restaient le meilleur référentiel céleste. En les aranchissant de leur aberration annuelle et, si nécessaire, de leur parallaxe annuelle et de leur mouvement propre, on obtient, pour une époque donnée, 9

10 un réseau de points ctifs absolument immobiles entre eux. L'élimination de l'aberration et de la parallaxe revient à placer le centre du système céleste au barycentre des masses du système solaire, et à former le BCRS (Barycentric Celestial Reference System). Comme pour le système terrestre, le choix du pôle ou de l'équateur est conventionnel (le 1er janvier 2000 le pôle du BCRS concorde avec le pôle de rotation dépouillé du modèle de nutation). Pour l'étude de la rotation terrestre, on préfère le système céleste géocentrique (Geocentric Celestial Reference System ou GCRS), dont les axes gardent les mêmes directions que ceux du repère barycentrique, mais dont le centre se confond avec celui des masses de la Terre. Depuis le XVIII e siècle, on n'a cessé d'aner des catalogues d'étoiles et de leurs positions réduites; le dernier fut celui réalisé grâce aux relevés du satellite Hipparcos vers Entretemps, à partir de 1970, la technique de la radio interférométrie à très longue base (VLBI), a mis un terme au règne sans partage des étoiles : alors que leur pointé optique est restreint par la turbulence atmosphérique, la radio interférométrie évite un tel écueil et les radio sources extragalactiques (quasars, QSO) sont positionnées avec une précision inégalée, connant la milliseconde de degré. Ces avancées ont conduit l'union Astronomique Internationale (UAI) a dénir le Système de Référence Céleste International ou International Celestial Reference System (ICRS) comme un un BCRS ne présentant pas de rotation par rapport aux radio-sources extragalactiques. Le repère de référence céleste international (ICRF, International Celestial Reference Frame) est alors spécié par quelques centaines de radio sources extragalactiques, couvrant l'ensemble du ciel dont les mouvements angulaires relatifs n'excèdent pas 10 6 "/an, et leur coordonnées cartésiennes estimées par l'analyse VLBI. L'erreur angulaire dont sont entachés les points de référence est de l'ordre de 0,0005". Tous ces systèmes ou repères ont ceci en commun, qu'ils sont fondés sur des objets célestes. Comme ils ne font intervenir aucune théorie physique, et sont entièrement déterminés par les positions, éventuellement les mouvements relatifs de ces objets, on les nomme systèmes ou repères cinématiques. Système de référence céleste dynamique. L'exposition des systèmes de référence céleste serait tout à fait incomplète si nous faisions l'impasse sur les développements de la mécanique à partir du XVII e siècle. Les philosophes scolastiques s'étaient longtemps interrogés sur la cause qui préside à la conservation du mouvement des corps. Suite aux travaux de Galilée et Descartes, la science physique devint expérimentale et opérative et prit ses distances avec la métaphysique et la théologie. En s'intéressant plus au comment qu'au pourquoi, à la mathématisation et à la quantication des phénomènes qu'ils observaient qu'à leur signication, les savants réussirent à dégager des lois descriptives du mouvement, dont la synthèse fut faite par Newton. La première de ces lois, c'est celle du principe de l'inertie, formulé par Galilée et Descartes : tout corps auquel on a imprimé un mouvement a tendance à le poursuivre de façon rectiligne et à vitesse uniforme. Newton va alors préciser : à la condition qu'il ne soit soumis à aucune force, et du même coup dénit la force comme étant la cause du changement de l'intensité du mouvement. L'expérience lui montrant qu'un corps X fois plus lourd est accéléré X fois moins par le même eort, il pose que la force est le produit de la masse par l'accélération. C'est la célèbre relation fondamentale de la dynamique. La question qui se pose alors est de savoir par rapport à quelle référence matérielle ces lois doivent être formulées. La réponse, empirique, est que ce système de référence n'est pas accessible, mais qu'il peut 10

11 être réalisé approximativement. Pour les mouvements à notre échelle, c'est le laboratoire. Mais l'étude des mouvements à plus grande échelle, en faisant intervenir des accélérations toujours plus faibles, nécessite de considérer des systèmes de plus en plus universels : système géocentrique non tournant, système héliocentrique, système galactocentrique, etc. Ce référentiel absolu newtonien, quelque peu mythique, semble s'inscrire en faux, car dans l'univers observable, tous les corps présentent des mouvements en accélération relative. Alors comment imaginer qu'il y ait un corps ou des corps en mouvement parfaitement uniforme ou au repos absolu? La découverte de la rotation galactique à 300 km/s a détrôné le barycentre des masses du système solaire en tant qu'origine possible du système inertiel. Alors devons-nous positionner l'origine au centre de la galaxie? Mais celle-ci n'accélère-t-elle pas vers l'amas galactique de Virgo? La matérielle référence absolue à la Newton semble donc se déler comme une vis sans n. La théorie de la Relativité Générale systématise cette constatation en postulant qu'il n'existe plus de système spatio-temporel privilégié ou absolu, dans lequel les lois de Newton soient rigoureusement suivies. Le caractère inertiel est local et s'applique à tout corps soumis à la gravitation seule, c'est-à-dire en chute libre : c'est l'état naturel, reétant les propriétés environnantes de l'espace-temps (sa courbure). Le référentiel inertiel global de Newton est abandonné au prot d'un référentiel d'inertie local. Malgré l'admirable synthèse mathématique de la mécanique newtonienne puis la relativité générale, l'une et l'autre se heurtent à un mur : si à l'instar d'un Aristote ou d'un Saint Thomas, on considère que tout mouvement procède d'une cause, c'est-à-dire nécessite l'action d'un moteur comme dans l'exemple prosaïque d'une voiture qui roule, il faut bien reconnaître que la force gravitationnelle à la Newton ou la courbure de l'espace-temps à la Einstein n'est pas la cause mais l'eet (à savoir l'accélération comme l'inverse du carré de la distance). Qu'il s'agisse de la mystérieuse force d'action à distance à laquelle Newton se gardait bien d'attribuer une réalité ou de la courbure de l'espace-temps, le moteur des mouvements orbitaux alias la gravitation reste occulte. Et dans ces conditions la théorie de la gravitation, qu'elle soit newtonienne ou relativiste, sauve les apparences au même titre que le modèle de Ptolémée. Le caractère inaccessible du système inertiel newtonien n'empêche pas ses réalisations approximatives, appelées systèmes de référence dynamiques caractérisant un référentiel inertiel local. La plus connue est le référentiel barycentrique dont l'origine coïncide avec le barycentre des masses du système solaire. En eet l'application de la loi de la gravitation universelle permet de décrire dèlement la trajectoire des planètes et du soleil dans ce référentiel, malgré quelques légères entorses résolues par la Relativité Générale. Ces trajectoires réalisent un repérage pour tout autre objet. Par exemple, si nous observons telle ou telle comète à proximité de Jupiter, nous sommes en mesure, via la connaissance de la trajectoire barycentrique de Jupiter, de la positionner dans le système barycentrique. Le deuxième type de repère dynamique est le référentiel géocentrique matérialisé par les orbites de satellites articiels, tels que les satellites GPS. Une autre manière de positionner un corps par rapport au repère inertiel local, sans le truchement de la mécanique newtonienne et de la loi de la gravitation universelle, est possible en mesurant l'accélération au moyen d'un gyroscope solidaire du corps; par 11

12 intégration de cette accélération, on peut reconstituer la position du corps considéré. Les gyroscopes optiques (gyro-laser à eet Sagnac), appliqués avec succès au guidage des aéronefs, sont sensibles à la rotation terrestre, mais seuls des gyro-laser de grande dimension (quelques mètres), tels ceux de Christchurch (Nouvelle-Zélande) et Wettzell (Allemagne), peuvent traquer ses irrégularités : permettant de mesurer les oscillations diurnes et semi-diurnes du pôle de rotation instantané (mixées avec les déplacements du sol de mêmes périodes), ils restent trop instables pour des irrégularités plus longues. Avec une stabilité plus grande les gyroscopes à ondes de matière constituent une alternative prometteuse aux gyroscopes optiques. Rotation diérentielle entre systèmes dynamique et cinématique. D'après la relativité générale, le système géocentrique dynamique dérive par rapport au référentiel cinématique des quasars, au rythme de 20 mas par an autour des pôles de l'écliptique. C'est la précession géodésique. Néanmoins la précession classique de la Terre ne pouvant être modélisée avec une précision de 20 mas - en raison de notre méconnaissance de la distribution des masses dans la Terre -, on ne peut isoler dans la précession observée cet eet relativiste. La précession géodésique s'accompagne d'une nutation éponyme à la période annuelle, de 30 µas par an, et d'autres termes d'une amplitude beaucoup plus faible. En principe, il est nécessaire de la considérer dans l'interprétation des mesures VLBI de la nutation annuelle. Pour autant on ne peut la séparer clairement des eets géophysiques. 1.4 Système de référence temporel Notre appréhension de l'espace, en nécessitant le mouvement, est indissociable de temps, puisque le temps, c'est le nombre du mouvement 6. La relativité a réarmé cette imbrication en dénonçant le caractère métaphysique, donc indémontrable du temps absolu à la Newton (comme Berkeley et Mach l'avaient fait pour l'espace absolu). L'objet des référentiels d'espace que nous avons décrits n'est de pas coordonner des objets immobiles, mais des objets qui s'y meuvent, c'est-à-dire de mesurer leur mouvement. Il s'agit d'ajouter la coordonnée de temps aux positions que nous déterminons, autrement dit de les dater. A cette n il faut réaliser une échelle de temps de référence. Jusqu'en 1972 l'écoulement du temps solaire moyen à Greenwich constituait l'échelle de temps de référence civile, le Temps Universel ou TU. En 1937 Nicolas Stoyko, ociant alors à l'observatoire de Paris, et de manière indépendante, Scheibe et Adelsberger découvrirent des variations saisonnières dans le TU par comparaison à la marche d'horloges à quartz qui venaient d'être mises au point. Les observations des planètes, de la Lune, et du Soleil avaient déjà mis en évidence que le TU n'avait pas une marche aussi uniforme que le temps de la mécanique céleste, ou Temps des Ephémérides, déduit de l'expression théorique de la longitude moyenne du Soleil. L'échelle de temps TE n'est ni plus ni moins que la réalisation pratique du temps newtonien absolu intervenant dans les équations diérentielles newtoniennes du mouvement des planètes. Il est impropre à décrire un certain nombre de phénomènes comme la 6Aristote, Physique 12

13 dérive des horloges atomiques avec l'altitude, avec la vitesse des satellites à bord desquelles elles sont embarquées, etc. La relativité générale, semble-t-il, fournit une description cohérente de ces anomalies, à condition que l'échelle de temps soit propre à un référentiel spatio-temporel où règne une courbure de l'espace-temps constante et uniforme. C'est le TCB (temps coordonnée barycentrique) pour le BCRS et le TCG (temps coordonnée géocentrique) pour le GCRS. Pour dater les observations à la surface de la Terre, à la précision des horloges actuelles (au mieux s au bout d'un an), le choix le plus naturel est celui du temps rapporté au géoïde terrestre, le temps terrestre T T (l'eet des marées sur la courbure est ignorée). Le temps terrestre est le temps propre d'une horloge atomique située sur le géoïde dont l'unité de temps est par dénition la seconde de temps atomique du SI. La réalisation pratique de T T, à l'aide d'un réseau d'horloges atomiques réparties sur tout le globe, est le Temps Atomique International (TAI). A une constante près, T T T AI = s qui provient de ce que T T assure la continuité du temps des éphémérides et T AI la continuité du temps universel. De sorte qu'à l'instant de leur création, le 1er janvier 1958, on a pris pour T T T AI la diérence qui existait alors entre TE et TU, soit s. Enn notons qu'on passe du T T au temps théorique du système géocentrique non tournant, T CG, par la relation T CG = T T + LG(MJD 43144) 86400s, où LG = 6, La seconde atomique est l'unité de toute grandeur temporelle. C'est la durée cumulée de périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyperns de l'état fondamental de l'atome de césium 33. En s'accumulant depuis le 1 janvier 1958, elle fournit le TAI. Elle correspond aussi à la e partie du jour solaire moyen des années Comme la durée du jour actuelle excède de 2 ms en moyenne celle d'il y a 190 ans, le TAI bat légèrement plus vite que le TU, et présente donc un excès croissant par rapport à ce dernier, croissance s'accélérant avec l'augmentation séculaire de la seconde de TU causée par le ralentissement de la rotation terrestre. D'après les anciens relevés des éclipses et des occultations lunaires, la durée du jour augmenterait environ de 1,6 ms par siècle, mais ce phénomène s'observe sur 150 ans d'observations au moins, car à l'échelle d'un siècle et moins les uctuations décennales, s'étalant sur plusieurs ms, l'emportent sur toutes les autres (Fig. 2.3). La référence temporelle a d'autant plus d'importance que l'exploitation des observations repose en grande partie sur la précision de leur datation. Alors que l'astrométrie optique mixait à la fois datations et mesures d'angles, les méthodes astro-géodésiques modernes se fondent essentiellement sur des mesures de temps ou de fréquence (datation, fréquence ou durée d'une impulsion radio ou laser). Moyennant un modèle physique reliant ces observations aux paramètres géodésiques, on détermine l'attitude du repère terrestre par rapport au repère céleste avec une incertitude de 0,1 milliseconde de degré, et ceci grâce à la précision de la datation des pulses électromagnétiques connant 10 picosecondes. Avec l'astrométrie optique traditionnelle l'incertitude ne descendait pas sous la barre des 10 millisecondes de degré. 13

14 Chapitre 2 Description de la rotation terrestre 2.1 La rotation terrestre est irrégulière. Aujourd'hui l'orientation du trièdre terrestre par rapport au trièdre céleste est déterminé à 0,2 milliseconde de degré près (nous préférerons par la suite le terme anglo-saxon milliarcseconde, abrégé par "mas"; une milliarcseconde est l'angle sous lequel on verrait un arc de 3 cm à la surface de la Terre au centre de celle-ci, à 6371 km de distance; noter qu'en 1 ms, un méridien terrestre balaie en moyenne 7, radians soit 15, 0415 mas). Cette précision surprenante de 0,2 mas est due aux techniques astro-géodésiques développées depuis une trentaine d'année : radio-interférométrie à très longue base (Very Long Baseline Interferometry, VLBI), laser satellite (Satellite Laser Ranging, SLR), et plus récemment les systèmes de positionnement global par satellite (le GPS américain, le GLONASS russe, et bientôt le GALILEO européen). A tire de comparison les techniques purement astrométriques, basées sur le relevé de la position des étoiles, donnent une précision de l'ordre de 50 mas tout au plus. En l'abscence de perturbation interne ou externe, la Terre tournerait uniformément en 23h 56min 4.10s autour d'un axe invariable dans l'espace, faisant un angle de 23 26' avec le pôle de l'écliptique. Le sujet serait vite balayé. En fait la rotation de la Terre présente des uctuations dont il s'agit de discerner les causes à la fois de nature astronomique et géophysique. Nous allons décrire sommairement ces irrégularités dans une perspective historique. La chronologie de leurs découvertes reète aussi les progrès des techniques de mesures astrométriques et géodésiques. Dans un deuxième temps nous allons voir comment ces variations sont mesurées, et quelle paramétrisation est utilisée à cette n. 2.2 Principales uctuations de la rotation terrestre. La précession. La première irrégularité fut mise en évidence dès l'antiquité par l'astronome Grec Hipparche vers -200 avant J.C : le point vernal ou la direction du soleil au printemps (le noeud descendant du plan équatorial dans le plan de l'écliptique) est animé d'un mouvement de rétrogradation dans le plan de l'écliptique, ou précession, par rapport aux étoiles (il tourne dans le sens indirect dans le repère écliptique orienté par le pôle écliptique nord). Autrement dit le plan équatorial tourne dans le sens des aiguilles d'une montre avec l'inclinaison constante 23 26' (obliquité) par rapport à l'écliptique (voir Fig.2.1). La vitesse angulaire est de l'ordre 50 par an, et le point vernal accomplit donc 14

15 un tour complet sur le zodiac en ans. A l'heure actuelle le point vernal se trouve dans la constellation des Poissons (Pisces), et s'approche de la constellation des Verseaux (Aquarius) (voir Fig.2.1). L'axe de rotation diurne est perpendiculaire au plan équatorial. A cause de la précession, l'axe décrit un cône autour de l'axe des pôles de l'écliptique en ans. A l'heure actuelle l'axe de rotation pointe vers l'étoile polaire, mais dans ans il pointera en direction de Vega (voir Fig.2.1). Fig. 2.1: A gauche : précession-nutation. A droite : précession de l'axe de rotation (P) autour du pôle de l'écliptique ou précession du point vernal sur le zodiac. Nutation. A la précession viennent se superposer des oscillations périodiques de l'axe de rotation, les nutations, prédites dans les Principia Mathematica de Newton. Ces oscillations périodiques sont de plus faibles amplitudes, en deçà de 1', c'est-à-dire en deçà du pouvoir de résolution de l'oeil humain. C'est pourquoi leur découverte nécessita l'avènement des télescopes et lunettes. En 1748, l'astronome anglais Bradley découvre la nutation principale, en 18,6 ans, de l'ordre de 10", et associée à la rotation du plan orbital lunaire avec cette période. Les autres termes, quelques milliers dans le modèle de référence actuel, sont au moins 10 fois plus petits. La cause de la précession-nutation est l'action des forces gravitationnelles luni-solaire sur le bourrelet équatorial de la Terre. A partir des années 1970, les observations astrométriques ont mis en évidence le fait que les nutations n'étaient pas tout à fait celles d'une Terre rigide. Avec la prise en compte de la structure interne de la Terre et de ses propriétés rhéologiques, les modèles actuels permettent une description très ne, à moins d'un mas près. Mouvement du pôle. Euler démontra théoriquement en 1765 que, dans un ellipsoïde de révolution homogène en rotation, l'axe de rotation, quand il n'est pas confondu avec l'un des axes principaux d'inertie, est animé d'une oscillation libre périodique dont la fréquence croît avec l'ellipticité. La Terre épousant la forme d'un tel ellipsoïde, on calcule que son axe de rotation peut osciller librement avec une période de 305 jours. L'astronome américain 15

16 Chandler accomplit un pas décisif en découvrant en 1891, sur la base des observations de la latitude géographique, une oscillation en 433 jours, le terme de Chandler, d'une amplitude de 0,3 (10 m à la surface), à laquelle s'ajoute un terme annuel de l'ordre de 0,1 (Fig.2.2). Nous verrons que l'oscillation de 433 jours s'explique par un allongement de la période d'euler en raison de la non rigidité de la Terre. D'autre part la précessionnutation s'accompagne d'un mouvement du pôle diurne, rétrograde (dans le sens indirect dans le RRT), à la hauteur de 20 mas au plus (Fig.2.2). Fig. 2.2: Mouvement du pôle de rotation sur la croûte terrestre sur le plan tangent au pôle Nord géographique de janvier 2003 à février On note un mouvement spiral dont la variation d'amplitude résulte du battement entre l'harmonique annuelle et l'oscillation libre de Chandler en 433 jours. Variations de la vitesse de rotation ou de la longueur du jour La rotation diurne assurait la fonction d'une horloge sans défaut, jusqu'à ce que Newcomb, Spencer Jones 16

17 (1926) 1, de Sitter (1927) 2 découvrent une décélération séculaire de la vitesse de rotation (+1, 6 ms par siècle sur la durée du jour, et des uctuations se déroulant sur 10 jusqu'à 70 ans (de l'ordre de 5 ms sur la durée du jour), et dont la cause, probablement interne, demeure mal cernée (voir Fig. 2.3). Quelques temps après, dans les années 1930, grâce à l'invention des horloges à quartz, l'astronome français d'origine russe N. Stoyko découvrait à l'observatoire de Paris des variations à l'échelle saisonnières, de l'ordre de 0.5 ms 3, que l'on explique très bien par l'eet des vents (chapitre 5). Les observations de géodésie spatiale (SLR, GPS) permettent de mesurer l'écart LOD de la longueur du jour LOD (abréviation de l'anglais Length Of Day ) par rapport à sa valeur nominale de s TAI. Les observations astrométriques, aujourd'hui les observations des radio-sources extragalactiques par radio-interférométrie à très longue base, donnent non pas accès à LOD, mais à l'angle de rotation de la Terre dans le plan équatorial, et dont les irrégularités résultent de l'intégration des variations de la vitesse de rotation. Posons celle-ci égale à Ω = Ω(1 + m 3 ) où Ω est la vitesse angulaire de rotation nominale, associée à la longueur du jour atomique LOD = s TAI (jour solaire moyen nominal) et où m 3 reète les variations de cette vitesse. D'après les conventions IERS 2003, la fréquence angulaire de rotation vaut k = cycle/jour atomique 4, d'où Ω = k 2π/LOD. Cela conduit à dénir la longueur du jour LOD par : LOD = k 2π ω = k 2π Ω(1 + m 3 ) (2.1) On reconnaît LOD = k 2π la durée du jour de référence; en négligeant les termes du Ω second ordre en LOD, l'écart de la durée du jour LOD LOD ou excès de la longueur du jour est : LOD = LOD m 3 (2.2) La variation de l'angle de rotation de la Terre entre la date initiale t 0 et la date t se déduit de ω par intégration : soit ou encore θ(t) θ(t 0 ) = t t 0 ωdt = t θ(t) θ(t 0 ) = Ω(t t 0 ) + θ(t) θ(t 0 ) = Ω(t t 0 ) t 0 Ω(1 + m 3 )dt (2.3) t t 0 t t 0 Ωm 3 dt (2.4) LOD LOD Ωdt (2.5) On distingue ainsi la partie variant uniformément avec le temps de celle-ci qui est irrégulière, expression intégrale des excès de la longueur du jour. 1The rotation of The Earth, Monthly Notice of The Royal Society, 87, On the secular accelerations and the uctuations of the longitudes of the Moon, the Sun, Mercure and Venus", Bul. Astronomical Institutes of the Netherlands, vol. IV, n 124, voir par exemple Stoyko, Variations périodiques et aléatoires de la rotation de la Terre", Astron. J., 64, n 1268, p , c'est aussi le facteur de conversion du jour stellaire au jour solaire moyen à distinguer de k = donnant la vitesse de rotation par rapport aux équinoxes ou vitesse sidérale, cf Aoki et al., 1982, The new denition of Universal time, Astron. Astrophys. 105, pp

18 Fig. 2.3: Variations de la longueur du jour de 1862 à La valeur de référence est s TAI (série produite par le Jet Propulsion Laboratory, disponible sur http ://hpiers.obspm.fr) 2.3 Principe de la paramétrisation de la rotation terrestre et de sa mesure A proprement parler le vecteur de rotation n'est pas déterminé directement par les observations brutes. Celles-ci, hauteur, azimut, heure, dans le cas de pointés astrométriques, mesure de temps pour les techniques géodésiques, sont fonction de l'orientation du réseau des stations d'observation par rapport au repère de référence céleste. Classiquement, l'orientation d'un repère mobile est représentée par le produit de trois rotations successives, telle que chacune d'elles s'eectue autour d'un axe du repère, transformé ou non, ne coïncidant pas avec celui de la rotation précédente, si elle existe. La succession de ces rotations est schématisée par la séquence : (X i ) R l(α l ) (x (1) i ) Rm(αm) (x (2) i ) Rn(αn) (x i ) où R l (α l ), par exemple, désigne une rotation d'angle α l autour de l'un des trois axe x i, et m l, n m. Cette séquence, notée (lmn) peut être réalisée de 12 façons diérentes. La plus utilisée est (313). Elle correspond aux angles d'euler classiques α 3 = ψ, α 1 = θ et α 3 = Φ. 18

19 L'angle ψ est appelé angle de précession 5, θ angle de nutation 6 et φ angle de rotation propre. L'angle θ (OX3, Ox 3 ) est orienté par le vecteur x (1) 1. Cette séquence part d'ordinaire d'un repère céleste écliptique (ayant pour plan fondamental l'écliptique d'une époque de référence et pour origine dans ce plan l'équinoxe moyen de cette époque). En principe ces trois angles susent pour déterminer l'orientation de l'itrf par rapport à l'icrf. Mais, au moins l'un d'eux, en l'occurrence Φ varie environ de 360 en 24 heures (15 mas par ms). Il faudrait les donner avec un pas temporel de 0,1 ms si l'on désirait une précision de 1 mas sur l'orientation spatiale de la Terre. Il est hors de question de procéder ainsi. Conformément à la paramétrisation standard adoptée par le Service International de la Rotation de la Terre et des Systèmes de Référence, l'idée est de séparer, dans les angles de rotation, les changements modélisés (rotation diurne, précession-nutation) de ceux qui sont inconnus. Les angles Ψ et θ qui donnent la direction de l'axe des pôles géographiques dans l'espace sont modélisés dans leur variation à long terme (termes de périodes supérieures à 2 jours dans l'espace de Fourier), avec une précision de l'ordre de 1 mas : c'est la précession-nutation. Le modèle de précession-nutation dénit un axe dont l'intersection avec l'hémisphère nord de la sphère céleste est appelée Pôle Céleste Intermédiaire (Celestial Intermediate Pole, CIP) 7. On peut montrer que le CIP s'écarte au plus de 20 mas de l'axe instantané de rotation. C'est pourquoi on compte l'eet de la rotation diurne autour de cet axe. La partie non-modélisée des angles Ψ et θ est scindée en deux parties : (i) une correction sur la précession-nutation, c'est-à-dire sur la position spatiale du CIP (ii) un terme évoluant avec des fréquences inférieures à deux jours, associée aux uctuations principalement d'origine géophysique de l'axe des pôles géographiques Gz. Ce dernier terme n'est pas coordonné dans le repère céleste, on le paramétrise dans le repère terrestre après avoir appliqué la matrice de rotation diurne. Dans ce repère, l'écart entre le CIP et l'axe Gz évolue lentement. Nous allons donc distinguer 3 types de paramètres d'orientation : (i) des écarts céleste pour la position céleste du CIP, (ii) une correction rendant compte des irrégularités de l'angle de rotation (iii) les coordonnées terrestres du CIP, ainsi que cela est décrit ci-après. Paramètres d'orientation n 1, n 2 : les écarts au pôle céleste. Tout d'abord deux petits angles, (dx, dy ) inférieurs à la milliseconde de degré, appelés écarts au pôle céleste, compensent les défauts du modèle de précession-nutation (à l'heure actuelle celui adopté par l'uai en 2000) de l'axe de gure de la Terre. Celui-ci a pour coordonnée équatoriale céleste X = X mod + dx, Y = Y mod + dy. Par convention, ils contiennent des oscillations dont les périodes sont supérieures à deux jours. Les coordonnées (X,Y) sont prises en compte dans la matrice de précession-nutation qui amène le repère céleste en coïncidence avec le repère équatorial vrai, dont l'origine est appelée origine céleste internationale (CIO, de l'anglais Celestial Intermediate Origin). 5à ne pas confondre avec les angles de précession astrométriques qui sont des angles variant linéairement dans le temps 6à ne pas confondre avec les angles de nutation astrométriques qui désignent des angles variant périodiquement dans le temps 7Avant l'assemblée générale de l'uai en 2000, la dénition de ce pôle, alors appelé Pôle Céleste des Ephémérides, ne stipulait pas s'il contenait les termes diurnes et sub-diurnes de la précession-nutation 19

20 Paramètres d'orientation n 3 : UT1-UTC. Le qualicatif intermédiaire prend tout son sens, puisque c'est autour de l'axe du CIP que l'on compte la rotation diurne et ses uctuations. Comme nous l'avons mentionné plus haut, le CIP n'est pas l'axe de rotation instantané mais on peut montrer qu'il en constitue un moyenne diurne qui ne s'en écarte pas plus de plus de 20 millisecondes de degré. Le troisième paramètre d'orientation est associé aux irrégularités de l'angle de rotation de la Terre θ autour du CIP. Celui-ci amène l'origine céleste intermédiaire (CIO) sur l'origine terrestre intermédiaire (TIO, de l'anglais Terrestrial Intermediate Origin); il est constitué d'une partie variant linéairement avec le temps atomique TAI à la vitesse de rotation nominale Ω, et d'une partie irrégulière, δθ : θ = θ(t AI 0 ) + Ω(T AI T AI 0 ) + δθ (2.6) où T AI 0 est un instant TAI xé conventionnellement, Ω est la vitesse angulaire de rotation associée au jour solaire atomique de s. On prend pour T AI 0 la date 1er janvier 2000 a 12h TAI. L'angle θ(t AI 0 ) à cette date est l'arc équatorial que présente conventionnellement la TIO par rapport à la CIO (θ(t AI 0 ) = 2π d'après les IERS Standards 2003 [4]). Nous dénissons alors le temps de la rotation terrestre ou Temps Universel 1 (Universal Time 1, UT1) comme le temps que mettrait la Terre à accomplir l'angle θ θ(t AI 0 ) depuis l'instant T AI 0 à la vitesse angulaire uniforme Ω, soit : L'équation (2.6) nous permet alors de tirer UT 1 T AI 0 = θ θ(t AI 0) Ω (2.7) δθ = Ω(UT 1 T AI) (2.8) expression faisant apparaître le paramètre correctif du temps atomique U T 1 T AI, considéré en tant que tel comme paramètre d'orientation de la Terre, puisque spéciant parfaitement l'angle de rotation. En fait, ce n'est pas la diérence UT 1 T AI qui est en usage, mais UT 1 UT C, où UTC est le temps atomique T AI décalé d'un nombre entier de seconde, de telle sorte que l'écart UT 1 UT C reste toujours inférieur à 0.9 s. Ce temps U T C ou Temps Universel Coordonné est l'échelle de temps légale, radiodiusée et assurant un synchronisation mondiale. Elle a été introduite en 1972, pour disposer d'une échelle de temps atomique qui reète le temps de la rotation terrestre à la seconde près en vue de la détermination des longitudes. Depuis le début de TAI, en 1958, alors égal à UT1, UT1 a pris un retard voisin de 33 s (en 2006), ce que l'on traduit par UT C T AI = 33 s. Pour maintenir la condition UT 1 UT C < 0.9s, on retarde UT C en introduisant, si nécessaire, une seconde atomique intercalaire à dates xes. Ainsi le 31 décembre 2005 a duré s TAI. Paramètres d'orientation n 4, n 5 : les coordonnées du pôle x et y. A l'issue de l'application de la rotation diurne, nous ne sommes pas tout à fait dans le repère terrestre. Il nous reste à faire basculer le plan équatorial du CIP sur le plan équatorial géographique, au moyen de deux angles x et y, n'excédant pas 1" et qui donnent aussi les coordonnées du CIP dans le repère terrestre x p = x, y p = y (z p 1). La trajectoire terrestre du CIP est dépeinte sur la gure 2.2 par la trajectoire moyenne de l'axe instantané de rotation, aranchie de ses oscillations diurnes. 20

21 Paramètrisation globale de l'orientation spatiale de la Terre et estimation An d'obtenir l'orientation globale du repère de référence terrestre, on applique successivement : - la rotation NP amenant le Système de Référence Céleste (SRC) sur le Système Equatorial Vrai (SEV), dont l'expression (inverse), donnée par : [SEV ] = NP (X + dx, Y + dy)[rrc] (2.9) - une rotation d'angle θ = ΩUT C + Ω(UT 1 UT C) + θ 0 autour du CIP pour amener la CIO ou le méridien céleste intermédiaire (demi-grand cercle joignant le pôle du CIP et l'origine céleste intermédiaire ) sur le méridien issu du CIP et passant par l'origine terrestre intermédiaire. A l'issue de cette rotation nous sommes dans le système équatorial vrai tournant SEVT : [SEV T ] = R 3 (ΩUT C + Ω(UT1 UTC))[SEV ] (2.10) - une rotation permettant de passer du repère équatorial vrai tournant au RRT lui-même; cette rotation est fonction de l'écart entre le CIP et l'axe Gz (réalisé par l'axe Gz du RRT, quantié par les coordonnées équatoriales du CIP (x, y) dans le RRT. On a : [SRT ] = W (x, y)[sev T ] (2.11) Finalement l'orientation de la Terre peut être décrite matriciellement par : [SRT ] = W (x, y)r 3 (ΩUT C + Ω(UT1 UTC))NP (X + dx, Y + dy)[src] = Q[SRC] (2.12) Les observations géodésiques dépendent de la matrice d'orientation ci-dessus et d'autres paramètres selon des relations d'observation" propre à la technique envisagée. Par linéarisation des relations d'observation autour de valeurs à priori des paramètres (issues d'un modèle ou d'une prédiction), on peut ajuster les paramètres d'orientation dx, dy, UT 1 UT C, x, y. 2.4 Evolution des techniques. Dès 1900 des services internationaux, successivement le Service International des Latitudes (ILS), le Service International du Mouvement du Pole (IPMS), le Bureau International de l'heure (BIH) ont été chargés de collecter et de combiner les mesures astrométriques en vue d'estimer régulièrement les coordonnées du pôle de rotation. Le BIH a donné le paramètre UT1 d'une façon routinière depuis Toutes les mesures étaient basées sur l'astrolabe de Danjon, la lunette méridienne, le tube zénithal ou les instruments circumzénithaux; elles étaient données tous les 5 jours, mais l'atmosphère limitait leur précision à 0,01". Depuis 1972, l'éclosion des techniques de géodésie spatiale, à commencer par le tracking Doppler et le tir laser sur la Lune (Lunar Laser Ranging, SLR), puis à partir de 1978, le tir laser sur satellite (Satellite Laser Ranging, SLR) et la radio-interférométrie à très longue base sur les radio sources extragalactiques (Very Long Baseline Interferometry, 21

22 VLBI) a permis un bond dans la précision des paramètres d'orientation de l'ordre d'un facteur 10. La gure 2.4 reète l'évolution du poids des techniques dans les détermination des EOP. Depuis 1986, l'astrométrie optique n'est plus utilisée dans la détermination courante des EOP. A partir de 1993, le GPS s'est imposé peu à peu comme la meilleure technique pour déterminer le mouvement du pôle et la longueur du jour. Cependant, le VLBI reste la seule technique à même de fournir UT1 et les écarts aux pôle céleste. Depuis 1988, le BIH a été remplacé par le Service International de la Rotation de la Terre et des Systèmes de Référence (International Earth Rotation and Reference System Service, IERS). Jusqu'en 1997 les activités de l'iers étaient principalement concentrés à l'observatoire de Paris (Bureau Central) et à l'us Naval Observatory (séries "rapide", en vue d'une utilisation temps réel). Les activités de l'iers s'étant étoées, une restructuration s'est imposée. La partie administrative et organisationnelle est partie à Frankfort, mais l'observatoire de Paris reste le centre névralgique où l'on fournit la série temporelle des EOP qui a le statut de référence international (série combinée C04). La maintenance du repère terrestre international a été conée à l'ign, tandis que l'observatoire de Paris et l'usno sont chargés de maintenir conjointement le repère céleste international. Les "uides géophysiques" (atmosphère, océans, noyau uide, eaux continentales, etc) jouant un rôle central dans les irrégularités de la rotation terrestre, un centre de l'iers leur est désormais consacré. Depuis 1997, les techniques géodésiques qui étaient jusqu'alors chapeautées par l'iers ont pris leur autonomie dans le cadre de nouveaux services internationaux, qui leur sont propres. La précision actuelle des EOP est de l'ordre de 0.2 mas pour leur détermination journalière. Techniques géodésiques modernes. Pour le VLBI la grandeur de base est la diérence de temps d'arrivée d'un front d'onde d'une source radio en deux radiotélescopes distants de quelques milliers de km. Dans le cas idéal ce délai est uniquement fonction de la projection orthogonale de la ligne de base entre les deux télescopes sur la direction de la radio-source. Le cas réel est plus complexe, car le délai intègre des eets non-géométriques, comme le défaut de synchronisation des horloges, la courbure du front d'onde lors de son passage dans l'atmosphère. En tout cas, les retards VLBI, peuvent être explicités en fonction des paramètres d'orientation du réseau de radiotélescopes par rapport aux radio-sources extragalactiques visées, et d'autres paramètres conditionnant les eets non-géométriques. Par inversion, on peut remonter aux paramètres d'orientation. Les observations s'articulent autour de quelques réseaux de radiotélescopes, qui observent communément sur 24 heures un certain nombre de radio-sources constituant le repère de référence céleste international. Les sessions d'observations sont espacées de 5 à 7 jours. On établit une distinction entre les paramètres d'arc comme les EOP, les coordonnées des radio-sources qui sont constant durant toute la session d'observation et les paramètres "locaux", tels que les sauts d'horloges, le retard atmosphérique, qui varient constamment. Les arrivées des fronts d'onde sont enregistrées de manière indépendante en chaque site sur des bandes magnétiques. Celles-ci sont ensuite envoyées à un centre, où un corrélateur permet de déterminer les diérences dans les temps d'arrivées. La technique du tir laser se fait sur des satellites articiels ou sur la lune. L'observation de base est le temps aller et retour d'un pulse laser, rééchi par un coin cube placé sur le satellite. Ce temps est associé à la distance qui sépare la station du satellite via la vitesse de la lumière. Comme cette distance est elle fonction de l'orientation de la Terre dans l'espace, on conçoit donc que l'on puisse remonter aux EOP par cette technique. A 22

23 Fig. 2.4: Evolution du poids des techniques dans la détermination des écarts au pôle céleste, des coordonnées du pôle et de UT1 de 1970 à nos jours. 23

24 l'heure actuelle la précision de la mesure atteint 50 ps, voire moins, c'est-à-dire 1 cm en distance. Le Système de Positionnement Global par satellite est fondé sur un ensemble de satellite qui émettent de manière permanente des signaux radio en direction du sol, dans lesquels sont codés leur temps d'émission. Les récepteurs terrestres, équipés d'horloges synchronisées avec celles des satellites, permettent de mesurer le temps aller des signaux, et d'en déduire la distance qui les sépare du satellite émetteur. Si un récepteur enregistre simultanément les signaux de 3 satellites, le récepteur est positionné à l'intersection des 3 sphères centrées sur les satellites, et de rayons les distances déduites des 3 temps aller. De cette façon, on obtient la position du récepteur dans le repère inertiel des satellites. A partir de la rotation entre le repère inertiel et le repère terrestre, on remonte à la position du récepteur dans le repère terrestre. C'est le principe du positionnement global. Inversement, si les positions d'un ensemble de récepteurs sont parfaitement connues, les mesures nous permettent d'aner notre connaissance de la rotation du repère terrestre par rapport au repère inertiel. A l'heure actuelle le Global Positionning System (GPS) de l'armée américaine prédomine. Ses concurrents sont le GLONASS russe, et le système européen GALILEO, en développement, dont le premier satellite a été envoyé le 28 décembre 2005 depuis la base de Baikonour et dont la phase opérationnelle et commerciale est prévue pour Comparaison des techniques. La technique VLBI est certainement la plus complète, mais aussi la plus lourde et la plus coûteuse à mettre en oeuvre. C'est la seule qui permettent de déterminer sur plusieurs jours les variations de l'orientation de la Terre dans l'espace, à savoir la précession-nutation et UT1. La raison en est que les mesures VLBI sont directement rattachées au repère céleste, parfaitement stable. Ce n'est plus le cas des techniques satellitaires, la stabilité du repère des satellites reétant la justesse du modèle orbitographique, lequel se détériore fortement au bout de quelques jours - principalement à cause du freinage atmosphérique - si l'orbite n'est pas réajustée. Il est hors de question que les satellites fournissent des "points d'encrage céleste" pour des durées dépassant la semaine. A un moment ou à un autre, l'orbite doit être réajustée en fonction des observations. A contrario, si les techniques satellitaires sont impropres à donner la précession-nutation et UT1 pour des durées supérieures à 7 jours, elles sont très ecaces pour déterminer les coordonnées du pôle et de la longueur du jour. En eet le mouvement du pôle, dans le repère inertiel, apparaît comme une oscillation diurne dans le sens trigonométrique de l'axe des pôle géographique. C'est pourquoi sa mesure ne requiert pas la stabilité du repère inertiel sur plusieurs jours. 2.5 Relations cinématiques Les composantes du vecteur instantané de rotation dans le repère céleste ou terrestre ne sont pas déterminées directement par l'observation, mais elles interviennent en premier dans la description dynamique de la rotation terrestre. Pour interpréter l'observation de la rotation terrestre, en l'occurrence les paramètres d'orientation de la Terre, il est nécessaire d'établir préalablement les relations entre l'orientation du RT par rapport au RC et le vecteur instantané de rotation. Le vecteur instantané de rotation ω du RT par rapport au RC s'exprime dans le RT 24

25 sous la forme usuelle ω = Ω(m 1 x 1 + m 2 x 2 + (1 + m 3 ) x 3 ), Ω étant la vitesse de rotation de référence de la Terre (voir ci-dessus pour la valeur de Ω) et l'on introduit alors la variable complexe m = m 1 + im 2. ω est la résultante des rotations instantanées autour de chacun des trois axes de la séquence (lmn), c'est à dire : ω = α lxl + α m x (1) m + α n x (2) n (2.13) En exprimant les composantes de ω dans le RT en fonction des angles α l, α m et α n, on obtient des relations cinématiques combinant les composantes du vecteur instantané de rotation dans le RT, les angles d'orientation du RT et leur dérivée temporelle. Pour la séquence eulérienne classique (313), nous obtenons les relations cinématiques dites d'euler : θ + i Ψ sin θ = Ωme iφ Φ Ψ cos θ = Ω(1 + m 3 ) (2.14) La partie basse fréquence de θ et Ψ, comprenant toute oscillation de période supérieure à deux jours - associée principalement à l'action gravitationnelle de la lune et du soleil - dénit la position céleste du pôle céleste intermédiaire dont le mouvement, décomposé en oscillations circulaires de fréquence xe (transformation de Fourier complexe), couvre la bande fréquentielle ] 0, 5 Ω, +0, 5 Ω[). Les oscillations complémentaires, de périodes inférieures à 1 jour (bande ], 0, 5 Ω[ ] + 0, 5 Ω, [) dénissent le vecteur joignant le pôle géographique au CIP. Ce vecteur est coordonné dans le repère terrestre (bande de fréquence ], 1, 5 Ω[ ] 0, 5 Ω, [) par ce que l'on appelle les coordonnées du pôle. Soit P = i(δθ + iδψ sin θ 0 ) le vecteur se trouvant dans le plan équatorial vrai et dénissant l'écart entre la position observée du CIP et celle de l'axe OZ du repère céleste (le pôle de l'équateur moyen de la date J2000) ou de l'axe donné par un modèle de précession-nutation tout à fait arbitraire, soit p = x iy le vecteur allant du pôle géographique au CIP, on démontre que les coordonnées géographiques du pôle de rotation sont : m = m 1 + im 2 = p i Ω ṗ + i P Ω e iφ 0 (2.15) où Φ 0 évolut presque comme l'angle de rotation de la Terre, soit Φ 0 = Ωt + δφ 0 (t) avec δφ 0 (t) dépendant légèrement du temps t. Pour des fréquences bien inférieures au cycle par jour m s'approche de p, et plus la fréquence est faible plus l'axe de rotation instantané (m)est proche du CIP (p). Cette confusion s'évanouit aux échelles du temps diurnes où les diérences atteignent 20 mas, en raison du terme rétrograde diurne provoqué par la précession-nutation P du CIP. Relation entre la variation relative de la longueur du jour LOD/LOD et UT 1. En remplaçant l'angle stellaire θ dans l'équation (2.5) par son équivalent U T 1 (équation 25

26 2.7), nous obtenons UT1 en fonction des variations relative de la longueur du jour : UT 1(t) UT 1(t 0 ) = t t 0 t t 0 LOD LOD soit compte tenu que le temps uniforme t est réalisé par TAI : dt (2.16) UT 1(t) T AI = UT 1(t 0 ) t 0 t t 0 LOD LOD En dérivant par rapport au temps il apparaît immédiatement la relation : d UT 1 T AI dt dt (2.17) = LOD LOD = m 3 (2.18) 26

27 Chapitre 3 Fondement théorique : équations de Liouville linéarisées 3.1 Cadre newtonien de la rotation terrestre Dans ce chapitre nous rappelons les fondements théoriques dont on use pour comprendre les caprices de la rotation terrestre. C'est le théorème du moment cinétique décliné dans le repère terrestre (RT) et rendu plus malléable par linéarisation. Aucun eet relativiste n'ayant jamais été observé sur la rotation terrestre, le cadre de la mécanique newtonienne est largement susant 1. Pour écrire les équations newtoniennes de la rotation terrestre, l'hypothèse sur l'origine du repère inertiel n'intervient pas. En eet les équations de Newton permettent d'opérer un découplage complet entre le mouvement orbital de la Terre et son mouvement de rotation autour de son centre de masse, comme nous allons le rappeler ci-après. Considérons la relation fondamentale de la dynamique, exprimée dans un repère inertiel dont l'origine n'est pas spéciée : dm d2 R dt 2 = d F (3.1) où R positionne une masse élémentaire dm de la Terre dans un repère inertiel, non spécié, et d F est la somme des forces appliquées sur dm. La force élémentaire d F est constituée d'une force externe d F ext au système et d'une force interne d F int résultant de l'interaction de dm avec les autre éléments de la Terre. Le temps en mécanique de Newton est supposé s'écouler de la même façon en tout lieu; il est donc possible de coordonner l'ensemble des mesures de durée par un seul paramètre t. Soit R 0 le rayon vecteur du géocentre (le centre des masses de la Terre) dans le repère inertiel considéré et r la position de dm, rapportée au géocentre. Nous avons : dm d2 R0 dt 2 + dm d2 r dt 2 = d F (3.2) 1La dérive du repère géocentrique inertiel par rapport aux quasars (la précession-nutation géodésique) reste fantomatique, la nutation relativiste post-newtonienne ( 1µas) encore plus 27

28 En intégrant cette relation sur l'ensemble de la matière terrestre, symbolisée par, on obtient : M d2 R0 = F dt ext + df int (3.3) 2 où M est la masse de la Terre, F ext est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur la Terre, réduites presque exclusivement à la gravitation luni-solaire. Si les forces internes obéissent au principe de l'action et de la réaction (force gravitationnelle, force électrique), il est aisé de voir que d F int = 0, auquel la relation précédente donne le théorème du centre de masse : M d2 R0 = F dt ext (3.4) 2 Au sein de la Terre circulent des charges qui développent entre elles des forces électromagnétiques, dont on sait qu'elles violent expressément le principe de l'action et de la réaction. Donc à priori d F int 0, et le centre de masse du système devrait accélérer en l'absence même de force extérieure. Mais, comme l'a démontré Poincaré en 1898 dans un cours professé à la Sorbonne 2, la radiation émise par les charges en interaction mutuelle est douée d'une quantité de mouvement venant compenser l'eet des forces internes, si bien que le théorème du centre de masse est encore vérié 3. L'équation (3.2) donne alors : dm d2 r dt 2 = d F dm M F ext (3.5) Cette équation caractérise le mouvement de l'élément de masse dm dans un repère géocentrique dont les axes gardent une orientation xe dans un repère inertiel à fortiori indéni (le repère barycentrique propre de la Mécanique du solide). Dans ce repère, appelé repère géocentrique dynamiquement non-tournant, le mouvement de l'élément de masse est conditionné par la force de marée F donnée par : F = d F dm M F ext (3.6) Le repère géocentrique dynamiquement non-tournant peut être assimilé formellement à un repère inertiel newtonien à condition de ne considérer que la force de marée, que nous obtenons en retirant à la force totale s'exerçant sur l'élément dm, df, le terme dm F M ext, c'est à dire, au coecient dm près, l'accélération du géocentre dans un repère inertiel. Ainsi tous les développements de la mécanique newtonienne peuvent être appliqués dans ce repère pourvu que l'on n'y considère que les forces de marée F. An de traiter le problème de la rotation de la Terre, on peut envisager deux démarches. Une première méthode découle de l'application directe de la relation fondamentale de la dynamique à l'ensemble des éléments de masse qui composent le corps, moyennant la connaissance des conditions aux limites et certaines hypothèses réductrices quand aux interactions mutuelles entre ces éléments. En faisant intervenir certaines symétries (radiale pour la 2Poincaré (1900), La théorie de Lorentz et le principe de réaction, Archives néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, 2ème série, t. 5 : plus exactement tout élément de volume contenant la quantité d'énergie électromagnétique de est doué de la masse ctive m = de/c 2 (première forme de l'équivalence masse-énergie) et charrie la quantité de mouvement p = de dans la direction locale de la radiation c 28

29 densité, etc...), le nombre d'équations peut être réduit considérablement, ce qui évite une approche purement numérique par éléments nis telle qu'elle est pratiquée dans l'industrie pour simuler les déformations des pièces mécaniques. Après intégration on obtient le champ des déplacements de ces éléments, dont on extrait alors la partie associée au mouvement de rotation. Comme cette méthode est extrêmement complexe à mettre en oeuvre pour les eets géophysiques, nous lui préférons la démarche plus simple et plus commune, consistant à appliquer le théorème du moment cinétique dans le repère barycentrique propre. En eet il se formule directement en fonction des paramètres recherchés, les composantes du vecteur instantané de rotation, et d'autres quantités globales, comme les moments d'inertie. 3.2 Equations de Liouville Equations dynamiques d'euler et Liouville Le système mécanique inclut au moins la partie solide de la Terre, à laquelle on peut joindre le noyau, l'atmosphère et les océans. Cependant nous sommes libres de rejeter les couches uides dans un système externe en interaction avec la Terre solide. Le théorème du moment cinétique nous dit que la variation du moment cinétique H de la Terre est égale au moment Γ des forces extérieures (au sens du paragraphe précédent) qui lui sont appliquées 4 : d H dt = Γ (3.7) Il est avantageux d'exprimer cette expression par rapport au SRT pour deux raisons. D'une part notre point de vue est celui du géophysicien, attaché à la terre, qui mesure des grandeurs au sol (marée gravimétrique, pression, vent, etc.). D'autre part nous faisons intervenir la matrice d'inertie et le vecteur instantané de rotation qui, dans le repère terrestre, sont séparables en une composante principale connue et des perturbations qu'il reste à déterminer. L'équation (3.7) transcrite dans le repère terrestre s'écrit : d[h] dt + [ω] [H] = [L] (3.8) où [H], [ω], [L] sont les matrices colonnes des composantes, exprimées dans le SRT, du moment cinétique, du vecteur instantané de rotation du repère terrestre par rapport au repère céleste, et du moment de force externe respectivement. Notre SRT théorique a pour origine le centre des masses de la Terre et dière à priori de l'itrf par une translation d d'au plus de un centimètre; la confusion commune et tacite des deux systèmes revient à négliger des écarts de moments d'inertie de l'ordre de d 2 M A (A est un moment d'inertie principal), ce qui est parfaitement justié eu égard à la précision avec laquelle on modélise les moments d'inertie de la Terre et leurs variations, comme nous l'exposerons plus loin. 4Ce théorème se démontre aisément lorsque les forces internes sont centrales et satisfont le principe de l'action et de la réaction. Quand interviennent des forces électromagnétiques de Lorentz, la démonstration doit faire intervenir l'impulsion de la radiation émise. 29

30 Le moment cinétique de la Terre résulte de la somme des moments cinétiques de chacun des éléments de masse dm, positionnés par le rayon vecteur r depuis le centre des masses de la Terre. Si v désigne la vitesse d'un élément de masse quelconque dans le système céleste géocentrique, nous obtenons l'expression intégrale : H = r vdm (3.9) C'est à ce stade que nous introduisons le vecteur instantané de rotation de la Terre (plus exactement du repère terrestre) par rapport au système céleste. En eet le vecteur vitesse v se décompose en : v = ω r + v r (3.10) où v r est la vitesse relative à la croûte. Cette partition n'est pas gratuite : elle reète le fait que la vitesse d'un élément de masse résulte essentiellement de la rotation de la Terre (460 m/s à l'équateur) et dans une bien moindre mesure des déplacements relatifs au repère terrestre. En eet, pour les échelles de temps que nous allons explorer, supérieures à quelques heures, les seuls déplacements signicatifs atteignent au plus 30 m/s (jetstream dans la stratosphère vers km d'altitude); les autres déplacements produisant des redistributions de masse à l'échelle planétaire, comme les marées luni-solaire dans le manteau et les océans, les marées thermiques de l'atmosphère activée par le chauage solaire, sont extrêmement lents, de l'ordre du mètre par jour. En reportant l'expression (3.10) dans (3.9), nous obtenons : H = [r 2 ω ( r ω) r]dm + r v r dm (3.11) La première intégrale, associée à la rotation globale du système, est le moment cinétique de rotation ou la composante matière; la seconde intégrale, associée au champ des vitesses v r en chaque point de la Terre, est le moment cinétique relatif ou la composante mouvement. L'équation précédente peut être formulée dans un système d'axes quelconque par la relation matricielle : [H] = I(t)[ω] + [h] (3.12) où I(t) est la matrice d'inertie du système mécanique s'exprimant par : où δ ij est le symbole de Kronecker. I ij = (r 2 δ ij x i x j )dm (3.13) Moments d'inertie moyen de la Terre et incréments des moments d'inertie. En moyenne, pour des durées supérieures à quelques années, la Terre présente trois moments d'inertie principaux A < B < C constants, admettant les valeurs : A = kg m 2, B = kg m 2, C = kg m 2 5. Notons que (B A)/A 2, tandis que (C A)/A (C B)/B Les axes des deux premiers moments A et B sont situés à moins de 10 du plan équatorial géographique 6. Autrement dit l'axe 5voir Annexe?? pour plus de détails. 6ordre de grandeur fondé sur des modèles récents du champ de gravité comme EGM

31 d'inertie principal I C est voisin de l'axe des pôles géographiques à moins de 10. Les axes I A et I B ne coïncident pas avec les axes Gx et Gy du SRT. En eet l'axe I A présente une longitude de λ A = 14, 9291±0, Cela nous amène à introduire le système terrestre intermédiaire Gx y z qui se déduit du SRT Gxyz par une rotation d'angle λ A autour de l'axe Gz. Dans Gx y z, voisin du système des axes principaux d'inertie (I A, I B, I C ) la matrice d'inertie instantanée - symétrique par dénition - prend la forme quasi-diagonale : I(t) = A + c 11 c 12 c 13 c 21 B + c 22 c 23 c 31 c 32 C + c 33 (3.14) où les c ij sont les incréments d'inertie supposés petits dûs aux déformations ou aux défauts d'alignement permanents du repère Gx y z par rapport aux axes principaux d'inertie moyen. Les redistributions globales de masses au sein de la Terre (marées solides et océaniques, processus thermiques dans les couches uides) produisent des variations des moments d'inertie tout au plus de l'ordre du cent millionième des moments d'inertie principaux (c ij 10 8 A), les défauts d'alignement causent des incréments constants d'au plus 10 7 A 8. Bien que leur ordre de grandeur soit au moins 1000 fois plus petit que l'incertitude des moments d'inertie moyens (10 4 A), on les modélise très nement, tout au moins pour certaines parties de la Terre. Cela illustre cette règle qu'il est toujours plus aisé de déterminer les variations d'une grandeur physique que sa valeur absolue. L'indétermination pesant sur A, B et C ne compromet pas l'étude des instabilités de la rotation terrestre, qui sont conditionnées par les diérences relatives entre ces moments (mesurables) et les variations c 13, c 23 et c 33. Habituellement les durées en jeu sont au moins de quelques heures, si bien que ċ ij 10 8 AΩ. Les plus forts tremblements de terre causent des redistributions de masse locales sur quelques minutes, s'accompagnant par des variations c ij de l'ordre de A (ċ ij 10 7 AΩ). Le système G y z étant assimilé à un système d'axe de Tisserand, l'apport de la lithosphère à [h] est nulle, et les composantes h i doivent être recherchées dans le manteau, le noyau, et les couches hydrique et atmosphérique si celles-ci sont incluses dans le système mécanique. Le moment cinétique relatif est surtout produit par les vents atmosphériques, et atteint une valeur de l'ordre de kg m 2 s 1 pour sa composante axiale, soit h i 10 8 AΩ (AΩ CΩ kg m 2 s 1 ), ou encore un cent millionième du moment cinétique propre de la Terre. Compte tenu que les changements de circulation globale se déroulent au moins sur un jour ḣi 10 8 AΩ 2. Par rapport au système céleste la Terre (à savoir Gx y z ) est animée d'une rotation autour d'un axe restant à proximité de l'axe Gz = Gz du repère terrestre (écart inférieur à 1"), avec une vitesse presque uniforme. En conséquence, le vecteur instantané de rotation ω s'exprime dans le repère Gx y z par : ω = Ω m 1 m m 3 (3.15) 7ibidem 8cet ordre de grandeur peut-être eectué facilement à partir des expressions de l'annexe B.2 31

32 où Ω = rad/s est la vitesse de rotation nominale de la Terre et les écarts m i (sans dimension) sont petits devant l'unité (l'observation montre que m 1 m et m et ṁ 1 ṁ Ω et ṁ Ω). Ici et dans la suite, les indices 1, 2 et 3 sont mis pour les composantes x, y et z respectivement. Dans les équations (3.8), en regroupant les composantes équatoriales en introduisant les quantités complexes H = H 1 + ih 2, L = L 1 + il 2 et m = m 1 + im 2, nous obtenons : Ḣ + iω [(1 + m 3 )H mh 3 ] = L Ḣ 3 + iω [m 1 H 2 m 2 H 1 ] = L 3 (3.16) Exprimons alors le moment cinétique (3.12) en fonction des moments d'inertie (Eq. 3.14) : H 1 = (A + c 11 )Ωm 1 + c 12 Ωm 2 + c 13 Ω(1 + m 3 ) + h 1 H 2 = (B + c 22 )Ωm 2 + c 12 Ωm 1 + c 23 Ω(1 + m 3 ) + h 2 (3.17) H 3 = (C + c 33 )Ω(1 + m 3 ) + c 13 Ωm 1 + c 23 Ωm 2 + h 3 Après avoir introduit la coordonnée équatoriale complexe du moment cinétique relatif h = h 1 + ih 2 et c = c 13 + ic 23 nous obtenons : H = (Am 1 + ibm 2 + c)ω + h + O(c ij m k )Ω H 3 = [C(1 + m 3 ) + c 33 ] Ω + h 3 + O(c ij m k )Ω (3.18) En reportant l'expression (3.18) du moment cinétique dans les équations dynamiques (3.16), nous obtenons alors les équations dynamiques de Liouville dont la démonstration originelle est due au mathématicien français Joseph Liouville (1858) 9. Elles constituent une extension des équations dynamiques d'euler à celles d'un corps non rigide (moments d'inertie c ij variables et moments cinétiques relatifs h i non nuls, voir la citation d'en-tête du chapitre) Linéarisation Le développement de (3.16) fait apparaître des couplages de l'ordre de AΩ 2 (10 6 AΩ 2 = kgm 2 s 2 ) : Ωċ ij, AΩṁ i, ḣi, AΩ 2 m i, Ωh i, et des termes d'ordre bien inférieur par rapport à ces quantités : ċ ij Ωm k AΩ 2, (C A)Ω 2 m 3 m 1/2, (B A)Ω 2 m 1 m AΩ 2, c ij m k Ω AΩ 2, c ij m k m l Ω AΩ 2, h i m j Ω AΩ 2, 9Liouville J. (1858), Développements sur un chapitre de la Mécanique de Poisson (1858), Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Deuxième série, Tome 3 :

33 tout au plus atteignant AΩ 2 (soit kgm 2 s 2, estimations eectuées d'après les bornes sur les quantités m i, c ij, h i et leurs dérivées temporelles, précisées plus haut). Nous ne retenons que les termes du premier ordre et nous obtenons alors les équations de Liouville linéarisées : i(am 1 + ibm 2 Cm)Ω 2 + (Aṁ 1 + ibṁ 2 )Ω + icω 2 + ihω + ċω + ḣ = L CΩṁ 3 + ċ 33 Ω + ḣ3 = L 3 (3.19) qui se déclinent selon les trois axes du repère Gx y z : m 1 m 2 + B (C A)Ω m 2 = Ωc 13 + h 1 Ω(C A) + Ωċ 23 + ḣ2 Ω 2 (C A) L 2 Ω 2 (C A) A (C B)Ω m 1 = Ωc 23 + h 2 Ω(C B) Ωċ 13 + ḣ1 Ω 2 (C B) + L 1 Ω 2 (C B) (3.20a) ṁ 3 = ċ33 C ḣ3 CΩ + L 3 CΩ (3.20b) Cette linéarisation fut introduite par Jereys (1916) 10 et les notations utilisées s'inspirent de celles du livre de Munk et Mac Donald (1960) 11. L'erreur introduite par la suppression des termes du second ordre équivaut à négliger dans m 1, m 2 et m 3 des variations d'au plus rad (6 µas), ce qui est justiable au regard de la précision des déterminations actuelles de l'orientation spatiale de la Terre (au mieux 100 µas, radians). Cependant, il n'est pas exclu que, dans l'avenir, la précision augmentant, nous ne soyons obligés de considérer ces termes de couplage. Les second termes de ces équations, appelées fonctions d'excitation et notées Ψ i, regroupent des termes a-dimensionnés, associés aux moments de force extérieurs (L i ), aux déplacements relatifs de masse surfacique ou interne (moment cinétique relatif h i ) et aux variations consécutives des moments d'inertie c ij. Nous avons : Ψ 1 = Ωc 13 + h 1 Ω(C A) + Ωċ 23 + ḣ2 Ω 2 (C A) L 2 Ω 2 (C A) Ψ 2 = Ωc 23 + h 2 Ω(C B) Ωċ 13 + ḣ1 Ω 2 (C B) + L 1 Ω 2 (C B) Ψ 3 = ċ33 C ḣ3 CΩ + L 3 CΩ (3.21a) (3.21b) Essence des équations de Liouville linéarisées. Tout en régissant l'évolution temporelle des composantes terrestres du vecteur instantané de rotation, le système d'équations linéaires (3.20) opère un découplage entre les diérents processus aectant la rotation terrestre. En conséquence on peut les analyser séparément. Il arrive souvent qu'un processus soit si caractéristique que sa signature s'imprime directement dans la rotation terrestre, de telle sorte qu'il n'est nul besoin de les combiner tous ensemble avant de les comparer aux PRT. Par exemple nous pouvons calculer à part l'eet atmosphérique, sans 10Jereys H. (1916), Causes contributory to the annual variation of latitude, M. N. Roy. As. Soc. 76(6) : Munk W. H. et Mac Donald G. (1960), The rotation of the Earth, Cambridge University Press. 33

34 considérer l'inuence des marées luni-solaires et réciproquement. A notre connaissance il n'existe pas d'éléments pour remettre en cause la linéarisation au regard de la précision des observations et des modèles géophysiques actuels. S'il est une limitation sans doute plus fondamentale, et découlant des principes mêmes de la mécanique newtonienne, c'est que les équations de Liouville masquent les relations de causes à eets en proposant une simple égalité entre excitation et irrégularités de la rotation terrestre. Si la circulation atmosphérique est en partie à l'origine du cycle saisonnier et du terme de Chandler, il serait hasardeux d'armer que le mouvement du pôle produit des variations climatiques. 3.3 Terre biaxiale Symétrisation équatoriale des équations de Liouville linéarisées Les deux moments d'inertie équatoriaux B et A présentent un écart relatif de 0.002%, presque 100 fois inférieur à celui qu'ils ont avec le moment d'inertie axial C. En première approximation cet écart peut être négligé pourvu que les eets considérés soient bien plus grands que les modications induites par la diérence B A. Si nous assimilons la Terre à un ellipsoïde de révolution homogène, l'axe I A peut présenter n'importe quelle direction dans le plan équatorial : on a A = B et le corps est dit biaxial. Les équations de Liouville (3.20a) reçoivent alors la même forme dans le repère terrestre Gxyz. En adoptant la notation Ψ = Ψ 1 + iψ 2, la partie équatoriale peuvent être condensée dans l'expression complexe : m + i σ e ṁ = Ψ = c C A + ( h (C A)Ω i Ω où σ e est la pulsation dite d'euler donnée par : ċ C A + σ e = C A A Ω = Ω ) ḣ + (C A)Ω il (C A)Ω 2 (3.22) (3.23) et correspondant à une période de 304,5 jours sidéraux ou 303,6 jours solaires. On introduit alors la Fonction de Moment Cinétique (FMC) 12 : L'équation (3.22) devient alors : χ = c C A + h (C A)Ω (3.24) m + i ṁ = χ i σ e Ω χ + il (3.25) (C A)Ω 2 12Cette dénomination tire son origine du fait que pour une sous-partie p de la Terre (comme l'atmosphère, les océans,...) représentant une faible proportion de la masse terrestre et possédant le moment cinétique équatorial H p H, la fonction χ est son moment cinétique adimensionné : p χ = (voir (C A)Ω chapitre 5) 34

35 Terme matière et mouvement de la fonction de moment cinétique. Dans la FMC le terme proportionnel à l'incrément de moment d'inertie c, résultant de la rotation en bloc de la distribution de matière considérée, est le terme de masse ou matière, indicé par ma. Le terme proportionnel proportionnel au moment cinétique relatif est terme de vitesse ou mouvement indicé par mo. Par la suite on note : χ ma = χ mo = c χ ma 3 = c 33 C A C h (C A)Ω χmo 3 = h 3 CΩ (3.26) Ellipticité dynamique. Ces expressions font apparaître le coecient e = (C A)/A appelé ellipticité dynamique et jouant un rôle fondamental dans les oscillations de l'axe de rotation. Sa valeur détermine en particulier le taux de précession, dont l'observation donne en retour la valeur e = (1) 1/ Solution générale du mouvement du pôle pour un modèle de Terre rigide Ce que l'on entend habituellement par modèle de Terre rigide, c'est la masse terrestre totale, y compris l'atmosphère, rigidiée. Dans un tel cadre, les fonctions d'excitation ne sont pas inuencées par les variations m i du vecteur instantané de rotation (sous l'action de l'eet centrifuge), de sorte que les équations de Liouville linéarisées orent un découplage parfait entre rotation instantanée et excitation. De plus, si nous admettons la biaxialité, l'équation diérentielle qui régit le déplacement de l'axe de rotation est (3.22). En l'absence d'excitation la solution se réduit au terme circulaire : m = m 0 e i(σ et+φ 0 ) (3.27) où m 0 et φ 0 représente l'amplitude et la phase, a-priori indénies. Cela signie que le pôle de rotation peut décrire librement sur la croûte terrestre un cercle en une période de 303,6 jours. C'est le mouvement libre d'euler déjà évoqué. La solution générale de (3.22) peut s'obtenir par transformation de Fourier 14 ou en 13Mathews P., Herring T., Buett B. (2002), Modeling of nutation and precession : New nutation series from non rigid Earth and insights into the Earth interior, J. Geophys. Res. 107 B4 14 En voici la démonstration : m(σ) = σ e Ψ(σ) σ e σ = σ eψ(σ)f σ [ih(t)e σ et ] où H(t) est la fonction d'heaviside (valant 0 pour t < 0 et 1 pour t 0 Par conséquent : m(t) = iσ e Ψ(t) H(t)e iσ et désignant le produit de convolution. En explicitant le produit de convolution ci-dessus, il vient : m(t) = iσ e Ψ(τ)H(t τ)e iσe(t τ) dτ 35

36 appliquant la méthode de la variation de la constante. On trouve aisément : t m(t) = iσ e e iσ et Ψ(τ)e iσeτ dτ = m(t 0 )e iσ e(t t 0 ) iσ e e iσ et Ψ(τ)e iσeτ dτ (3.28) t 0 C'est la convolution de l'oscillation libre de Chandler (à savoir la réponse impulsionnelle du système) avec la fonction d'excitation équatoriale. t Vitesse de rotation Les variations de la vitesse de rotation sont trouvées en intégrant (3.20b) : m 3 (t) m 3 (t 0 ) = Ψ 3 (t) Ψ 3 (t 0 ) (3.29) 3.4 Mouvements céleste et terrestre du CIP Comme nous l'avons vu dans le chapitre 2, ce n'est pas la position du pôle de rotation qui est observé mais celle du CIP sous la forme des écarts au pôle céleste (dx, dy ) et des coordonnées du pôle (x iy). Nous allons maintenant préciser comment ces paramètres sont reliés à la théorie dynamique qui vient d'être ébauchée. Précession-nutation. La rotation du repère terrestre par rapport au repère céleste peut être décrite à l'aide des trois angles d'euler, reliés aux composantes terrestres du vecteur instantané de rotation par les relations cinématiques d'euler (2.14). Dans la mesure où θ s'écarte peu d'une valeur moyenne θ 0, l'intégration de ces relations donne en première approximation : [θ] t t 0 + i [Ψ] t t 0 sin θ 0 = Ω t t 0 me iφ dτ Φ = Φ(t 0 ) + [Ψ] t t 0 cos θ 0 Ω t t 0 (1 + m 3 )dτ L'angle de rotation Φ reète essentiellement la rotation diurne moyenne : (3.30) Φ(t) = Ωt + Φ 0 (t) (3.31) avec Φ 0 (t) est une phase quasiment constante, légèrement aectée par les irrégularités de la vitesse de rotation et la précession-nutation. Les angles θ et Ψ déterminent la direction spatiale de l'axe des pôles géographiques. Le pôle céleste intermédiaire (CIP) déni dans le chapitre 2 est un pôle géographique tronqué, dont les oscillations spatiales supérieures à deux jours sont celles provoquées par un moment de force rétrograde diurne dans la La fonction H(t τ) n'étant non-nulle que pour t τ 0, soit τ t et valant alors 1, nous obtenons nalement : m(t) = iσ e e iσet t Ψ(τ)e iσeτ dτ = m(t 0 )e iσe(t t0) iσ e e iσet t t 0 Ψ(τ)e iσeτ dτ 36

37 Terre L, accompagnant le mouvement de la Lune et du Soleil. En nous restreignant au cas biaxial régi par (3.22), ce moment de force modie m selon : m + i σ e ṁ = que nous traduisons dans le domaine fréquentiel par L(σ) m(σ) = i CΩ(σ σ e ) il (C A)Ω 2 (3.32) (3.33) La nutation du CIP qui découle de la uctuation rétrograde diurne m(t) = m 0 e i(( Ω+σ )t+ζ 0 ) (σ Ω 2) est donnée par (3.30) : [θ] t t 0 + i [Ψ] t t 0 sin θ 0 = Ω m 0 e i(σ τ+φ 0 (τ)+ζ 0 ) dτ (3.34) t 0 et apparaît donc comme une variation avec une période au moins supérieure à deux jours, donc par dénition une nutation. En considérant l'ensemble des composantes spectrales du moment de force rétrograde diurne, tirant son origine du Soleil, de la Lune et des planètes, et en prenant en compte la non rigidité de la terre (les marées induisent des moment d'inertie hors diagonaux c variables aux mêmes fréquences que L), on construit un modèle de précession-nutation dénissant théoriquement la position du CIP dans le RC à tout instant. Les observations VLBI permettent d'ajuster les imperfections du modèle théorique conventionnel (UAI 2000) sous la forme des écarts au pôle céleste (dx, dy). Le traitement qui a été ici de la précession-nutation est limité à l'action du moment de force des marées. Mouvement du pôle. L'écart du CIP au pôle géographique est coordonné dans le RT sous la forme des coordonnées du pôle p = x iy, correspondant à toute variation m du pôle de rotation exceptée celle qui sont rétrogrades diurnes et reliée à p. D'après (2.15) cette variation hors nutation est précisée par : t m = p i Ω ṗ (3.35) Dans (3.22) le remplacement de m par son expression en fonction de p permet d'obtenir : p + i σ e ṗ i Ω d dt ( p + i σ e ) ṗ = c C A + h ( (C A)Ω i ċ Ω C A + ḣ (C A)Ω ) + (3.36) il (C A)Ω 2 Si l'on étudie une redistribution de masse au sein de la Terre, le problème revient à comparer la fonction de moment cinétique géophysique ou modélisée : χ geoph = c C A + h (C A)Ω à la FMC observée ou géodésique, déduite du mouvement du pôle observé : (3.37) χ = p + i σ e ṗ (3.38) 37

38 En eet (3.36) s'écrit alors : et se réduit donc à χ = χ geoph ou : p + i σ e ṗ = χ i Ω χ = χgeoph i Ω χgeoph (3.39) c C A + h (C A)Ω = χma + χ mo (3.40) C'est essentiellement cette équation dans sa forme adaptée au cas d'une Terre non rigide (voir chapitres suivants), dont on fait couramment usage pour étudier l'inuence des redistributions de masses dans la Terre ou à sa surface pour des fréquences hors nutation, c'est-à-dire en dehors de l'intervalle [-1.5,-0.5] cpj. Mais certaines pérégrinations de masse (dues au cycle thermique diurne et aux marées océaniques) se soldent par une composante rétrograde diurne dans la fonction d'excitation, qui vient concurrencer l'eet du moment de force luni-solaire. Dans ce cas là, l'équation (3.40) doit faire intervenir une résonance supplémentaire, celle associé à la nutation libre du noyau. 3.5 Insusance de la formulation présente A priori toutes les équations sont posées et le problème est totalement cerné. Il surait de caractériser les redistributions de masse atmosphériques, océaniques, hydrologiques, ou celles provoquées par les marées luni-solaires pour disposer des uctuations du vecteur instantané de rotation et en reconstituer l'eet sur la polhodie. En réalité, ce serait ignorer que, la Terre solide n'étant pas rigide, les uctuations de la rotation terrestre engendrent, par modication de l'eet centrifuge, des redistributions de masse et en conséquence des variations du tenseur d'inertie c ij. Ce serait aussi ignorer que l'atmosphère et les océans provoquent des déformations de la Terre solide, responsables de variations additives des c ij. Dans la fonction d'excitation ces termes sont aussi importants que ceux résultants directement des transports dans les couches uides supercielles. C'est pourquoi il importe de modéliser aussi précisément que possible le brouillage opéré par la rhéologie de la Terre et de sa structure interne, et d'en formuler l'impact sur les équations régissant le mouvement du pôle. C'est ce à quoi à nous nous attachons dans le chapitre suivant. 38

39 Chapitre 4 Eet de la non rigidité 4.1 Déformation centrifuge Comme la terre n'est pas un corps rigide, elle est déformée par (i) la charge variable de l'atmosphère et des océans (ii) le changement de la force centrifuge produit par les variations de la rotation (iii) les forces de marées luni-solaires. Les déformations occasionnées ont des répercussions sur le vecteur de rotation. Parmi toutes les déformations envisagées, il en est une qui dépend du vecteur instantané de rotation : la déformation centrifuge. Il faut distinguer la déformation invariable de la Terre due à la partie constante de l'eet centrifuge - à l'origine du bourrelet équatorial - de celle qui est causée par les perturbations m et m 3 sur le vecteur de rotation. Pour ce qui est de la partie constante, l'échelle de temps qui a présidé à la déformation est indénie, en tout cas séculaire. Une fois la déformation achevée, tout élément de masse de la Terre est en équilibre sous l'action conjugée des forces gravitationnelles internes, centrifuge, et des forces de pression. La Terre se comporte alors comme un uide en équilibre hydrostatique, dont il reste à déterminer la gure. La question de la forme de la Terre maintenit en haleine les savants du XVIIème et du XVIIIème siècle : il opposa les tenants de la mécanique newtonienne, d'après laquelle la Terre s'étire dans le plan équatorial, et l'école de Jean-Dominique Cassini qui voyait l'étirement dans la direction des pôles. Le renement équatorial fut enterrinné" par les savants de cette époque quand, à l'issue d'expéditions scientiques nancées par le Roi de France, on eut observé qu'un même arc de méridien, de l'ordre de 1 degré (diérence de latitude astronomique) est plus long à l'équateur qu'au septentrion (l'équateur est donc plus éloigné du centre de la Terre que ne le sont les pôles). Sous l'eet des perturbations de la rotation proprements dites, les échelles de temps sont trop courtes pour que la Terre adopte l'équilibre hydrostatique. Lorsque l'eet centrifuge tire vers une direction légèrement diérente, tout élément de masse est soumis à une force de rappel de la part des éléments environants, qui s'oppose au déplacement d'origine centrifuge. En première approximation, pour la partie solide de la Terre (manteau, croûte) cet eet est régi par une force élastique (force proportionnelle au déplacement) ou anélastique (déphasage entre la force appliquée et le déplacement). Les déplacements induits étant plus petits que ceux qui se produiraient pour une masse uide, les incréments d'inertie sont plus petits pour un corps élastique. L'élasticité ou tout au moins sa non-rigidité de Terre est attesté par l'observation du mouvement libre du pôle de rotation, non pas à la période de 303 jours (pulsation σ e ) 39

40 y I I σc t R(t+ t) x R(t) σ e t Fig. 4.1: Interprétation géométrique de l'allongement de la période de Chandler : le pôle de rotation tourne autour de l'axe d'inertie instantané I à la vitesse angulaire σ e et par rapport à la croûte terrestre (repère xy) à la vitesse angulaire σ c σ e. établie pour une Terre rigide dans le chapitre 3, mais à la période de 430 jours (pulsation σ c ) découverte par Chandler en En eet selon l'interprétation géométrique donnée peu après par l'astronome américain Newcomb 2, sous l'action des forces centrifuges, la gure de la Terre tend à s'équilibrer autour de l'axe de rotation : si la Terre est élastique ou partiellement uide, elle se déforme donc instantanément et le pôle d'inertie instantané I se rapproche du pôle de rotation R selon le segment IR, comme cela est illustré sur la gure 4.1. Ce réajustement s'accompagne de déformations de l'ordre du cm, appellée marée du pôle 3. Le mouvement eulérien plutôt que de s'eectuer autour du pôle d'inertie moyen Ī le fait autour du pôle d'inertie instantané avec un bras" plus court, soit IR au lieu de ĪR. Autrement dit, R tout en tournant à la pulsation de Chandler σ c autour de (par rapport à la croûte terrestre) tourne toujours à la pulsation eulérienne Ī σ e autour de I. Pendant la durée t, le pôle de rotation R parcourt donc l'arc : σ e IR t = σ c ĪR t. Le segment IR étant plus court que ĪR d'une quantité qui dépend de la non-rigidité de la Terre, σ c est donc plus petit que σ e dans le rapport IR/ĪR. Tout en considérant la contribution uide des océans, Newcomb arrive à la conclusion que la Terre solide présente une élasticité comparable à celle de l'acier. Nous subodorons que les incréments d'inertie résultant de la déformation centrifuge variable sont des fonctions des perturbations m et m 3 sur le vecteur instantané de rotation. Les équations d'euler-liouville seront modiées en conséquence. Leur calcul repose sur les 1Chandler, S. DC., 1891, On the Variation of Latitude",Astronomical Journal, 248, 249 2Newcomb, S., 1892, On the Dynamics of the Earth's Rotation with respect to the Periodic Variations of Latitude", MNRAS, 248, p c'est un phénomène dicilement mesurable car d'un ordre de grandeur inférieur à celui des marées luni-solaires, et mélangé aux eets de charge atmosphérique et océanique 40

41 relations linéaires qui existent entre les harmoniques sphériques de degré 2 du géopotentiel et les moments d'inertie de la Terre (Annexe A.3). Si nous pouvons calculer l'impact de l'eet centrifuge sur le géopotentiel, nous serons donc en mesure d'en déduire les variations correspondantes des moments d'inertie. Et c'est eectivement le cas, comme nous allons le voir dans les paragraphes suivants. 4.2 Potentiel centrifuge En un point de la Terre, de rayon vecteur r, le potentiel d'accélération centrifuge U c dérive de l'accélération centrifuge selon : U c = ω ( ω r) = ω 2 r ( ω. r) ω (4.1) soit, en introduisant les coordonnées ω 1, ω 2, ω 3 du vecteur de rotation et les coordonnées cartésiennes (x,y,z) de r : (ω2 2 + ω 3)x 2 ω 2 ω 1 y ω 3 ω 1 z U c = (ω1 2 + ω 2 3)y ω 1 ω 2 x ω 3 ω 2 z (ω1 2 + ω2)z 2 ω 1 ω 3 x ω 2 ω 3 y Nous voyons immédiatement que U c s'exprime sous la forme : (4.2) U c = ω1 2 y 2 + z 2 + ω 2 x 2 + z ω 2 x 2 + y 2 3 (ω 1 ω 2 xy + ω 1 ω 3 xz + ω 2 ω 3 yz) (4.3) soit après élimination des termes du second ordre et introduction des coordonnées sphériques : U c = Ω 2 (1 + 2m 3 ) r2 cos 2 φ 2 Ω 2 (m 1 cos λ + m 2 sin λ)r 2 cos φ sin φ (4.4) en φ est la latitude et λ la longitude. Ce potentiel centrifuge peut être développé en harmoniques sphériques de degré 2 : U c = Ω2 3 (1 + 2m 3)r 2 (P 20 (sin φ) 1) Ω2 3 (m 1 cos λ + m 2 sin λ)r 2 P 21 (sin φ) (4.5) avec les pôlynomes de Legendre : P 20 (sin φ) = 3 sin2 φ 1 2 et P 21 (sin φ) = 3 sin φ cos φ (voir Annexe A.1). La variation de potentiel centrifuge induit par les irrégularités de la rotation terrestre est : U c = Ω2 3 2m 3r 2 (P 20 (sin φ) 1) Ω2 3 (m 1 cos λ + m 2 sin λ)r 2 P 21 (sin φ) (4.6) Comme m et m 1, m , c'est l'harmonique sphérique (2,1) causée par la polhodie qui prédomine dans un rapport

42 4.3 Figure moyenne de la Terre En moyenne la Terre présente la rotation uniforme Ω. L'eet centrifuge étant constant, malgré l'élasticité de ses matériaux, la Terre se déforme continûment jusqu'à ce que s'établisse l'équilibre hydrostatique : en tout point la force totale résultat de la gravitation (celle générée par la Terre), de l'accélération centrifuge et de la pression P est nulle. Elle prend alors une forme ou gure invariable. L'équilibre hydrostatique se traduit par l'équation locale : P + ρ W = 0 (4.7) où ρ est la masse volumique, P la pression régnant au point considéré, et W le potentiel de pesanteur égal à la somme du géopotentiel U et du potentiel centrifuge U c. D'après cette équation toute surface équipotentielle de W est aussi une surface isobare. A la surface de la Terre, la pression est égale à P S = 10 5 Pa = 1 atm, avec des variations relatives de l'ordre de 10%. A un 1 km de profondeur la pression atteint déjà 245 fois la pression atmosphérique. Dans la dénition de la surface isobare moyenne, les variations de la pression atmosphérique en surface ne sont pas prises en compte, et l'on peut donc considérer que la gure moyenne de la Terre coïncide à la fois avec une surface isobare P = P S ou P = 0 si l'on englobe l'atmosphère dans le système Terre. Donc la gure de la Terre est aussi une équipotentielle de la pesanteur W 0. Ce dernier point est fondamental car il va nous permettre d'établir la forme de la Terre. D'après l'annexe A (voir en particulier la Table A.2), le géopotentiel U s'écarte de celui d'un corps sphérique homogène essentiellement par une harmonique sphérique de degré 2, proportionnelle à J 2 = C 20 = (C A)/(MRe) 2 où M est la masse de la Terre : Ū = GM r ( 1 + ( R e r )2 C 20 P 20 (sin(φ) ) (4.8) où R e est le rayon équatorial de la Terre. En prenant une rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω, le potentiel de pesanteur, somme du potentiel gravitationnel et du potentiel centrifuge, (voir Eq. 4.5 pour le potentiel centrifuge) s'écrit : ( 1 + ( R e r )2 C 20 P 20 (sin(φ) ) Ω2 W = GM r 3 r2 (P 20 (sin φ) 1) (4.9) Nous égalons ce potentiel à l'équateur (rayon R e ) et au pôle nord (rayon R p, potentiel centrifuge nul), puisque ces deux lieux appartiennent à la même surface équipotentielle : GM R e (1 C 20 2 ) + Ω2 2 R2 e = GM R p (1 + ( R e R p ) 2 C 20 ) (4.10) L'aplatissement géométrique α est déni par α = R e R p R e soit R p = R e (1 α). En négligeant les termes en α 2 ou αc 20 (de l'ordre de de (1/300) 2 ), il vient : α = 3 2 C 20 + q 2 où l'on a dénit la quantité q sans dimension : q = Ω2 R 3 e GM 42 (4.11) (4.12)

43 comme le rapport de l'accélération centrifuge à l'accélération gravitationnelle à l'équateur. Des valeurs des constantes Ω, R e, GM tirées de l'annexe B, nous avons q = 3, /289. Par ailleurs les termes constants de degré 2 du géopotentiel et du potentiel centrifuge sont donnés par : Etant donné que (Annexe A) : on a Ū 20 = GM r A la surface de la Terre, on pose : où k S donné par : (R e r )2 C 20 P 20 (sin(φ) (4.13) Ū c 20 = Ω2 3 r2 P 20 (sin φ) (4.14) C 20 = (C A)/(MR 2 e) (4.15) U 20 = k s = 3G(C A) Ω 2 r 5 U c 20 (4.16) U 20 = k s U c 20 (4.17) 3G(C A) Ω 2 R 5 e (4.18) est appelé nombre de Love séculaire. L'eet centrifuge séculaire sur le géopotentiel est k S fois le potentiel centrifuge constant de degré 2. En reportant l'expression (4.15) de C 20 dans (4.11), on obtient la relation de Clairaut : α = q 2 (1 + k s) 1 297, 5 (4.19) exprimant l'aplatissement géométrique en fonction du rapport d'accélération q = γ c /g et du rapport des potentiels : U20/U c 20. La forme géométrique de la Terre, donnée par le rayon vecteur r peut être déduite de l'équipotentielle de pesanteur W à la surface, égale à W (R e ) : GM r ( 1 + ( R e r )2 C 20 P 20 (sin(φ) ) Ω2 3 r2 (P 20 (sin φ 1) = GM R e (1 C 20 2 ) + Ω2 2 R2 e (4.20) Il apparaît que r ne dépend que de la latitude, et que la Terre prend la forme d'un sphéroïde de révolution autour de l'axe des pôles. En posant alors r = R e (1+δ r ), l'équation précédente peut-être résolue aisément par rapport à δ r en négligeant les termes du second ordre par rapport à l'aplatissement α ou δ r. Finalement nous obtenons : r = R e (1 α sin 2 φ) (4.21) 43

44 4.4 Eet de la non-rigidité sur les moments d'inertie Comme nous l'avons vu plus haut, la Terre solide, sous l'action de forces variables (uctuations se déroulant de quelques heures à plusieurs années), se déforme non comme un uide, mais en première approximation comme un solide élastique. Love a alors démontré que si la Terre est soumise à un potentiel de force externe W 2 variable, ayant la forme d'une fonction harmonique de degré 2 (le potentiel de marée luni-solaire ou le potentiel centrifuge), alors les déformations induites provoquent un incrément du potentiel gravitationnel de la Terre donné par U = (R e /r) 3 k 2 W 2 à l'extérieur ou à la surface de la Terre (r = R e ). Le coecient k 2, appelé nombre de Love, est constant à la surface de la Terre et vaut environ 0, 3 (voir Annexe B). Si la Terre était uide, on retombe sur l' Eq où k 2 devient le nombre de Love séculaire k s = Dans la réalité la Terre comporte deux couches uides, le noyau et les océans; sa réponse est donc plus complexe que dans le cas strictement élastique : k 2 est avant tout une constante, déterminée empiriquement par l'observation des marées gravimétriques. La perturbation du potentiel centrifuge est susceptible de provoquer des déformations. Celle de degré 0, proportionnelle à m 3 provoque une tension uniforme, radiale, et en conséquence ne peut jouer que sur le terme de degré 0 du géopotentiel. Or nous ne nous nous intéressons qu'au degré 2 du géopotentiel, car il est le seul qui soit proportionnel aux moments d'inertie de la Terre (Annexe A.3). La perturbation de degré 2 s'écrit : U c 20 = Ω2 3 r2 {2m 3 P 20 (sin φ) + (m 1 cos λ + m 2 sin λ)p 21 (sin φ)} (4.22) et cause donc la variation U = k 2 ( R e r )3 U20 c = k 2 ( R e r )3 Ω2 3 r2 {2m 3 P 20 (sin φ) + (m 1 cos λ + m 2 sin λ)p 21 (sin φ)} (4.23) du géopotentiel. Nous pouvons mettre cet incrément sous la forme usuelle du développement en harmoniques sphériques du géopotentiel : avec U = GM r (R e r )2 {C c 20P 20 (sin φ) + (C c 21 cos λ + S c 21 sin λ)p 21 (sin φ)} (4.24) C20 c 2R e = k 2 3GM r2 Ω 2 m 3 (4.25) C21 c R e = k 2 3GM r2 Ω 2 m 1 (4.26) S21 c R e = k 2 3GM r2 Ω 2 m 2 (4.27) Ces incréments du géopotentiel susent à estimer l'eet de la déformation. En eet dans l'annexe A.3, nous démontrons que les moments d'inertie de la Terre se déduisent inté- 44

45 gralement des termes de degré 2 du géopotentiel pris à la surface de la Terre selon : I 12 = 2MReS 2 22 I 13 = MReC 2 21 I 23 = MReS 2 21 I 11 = 1 3 T r(i) 1 3 MR2 ec 20 (4.28) I 22 = 1 3 T r(i) MR2 ec 20 I 33 = 1 3 T r(i) 2 3 MR2 ec 20 Si le système mécanique (Terre + atmosphère + océans par exemple) voit sa masse conservée, on démontre que la trace du tenseur d'inertie est invariable 4. C'est l'hypothèse que nous ferons par la suite. Les coecients du géopotentiel additif k 2 U c sont donc accompagnés par les variations I c ij des moments d'inertie, données par : I c 13 = k 2 R 5 e 3G Ω2 m 1 I c 23 = k 2 R 5 e 3G Ω2 m 2 I c 11 = k 2 2R 5 e 9G Ω2 m 3 I c 22 = k 2 2R 5 e 9G Ω2 m 3 I c 33 = k 2 4R 5 e 9G Ω2 m 3 (4.29) En introduisant le nombre de Love séculaire k s (expression 4.18), l'incrément d'inertie d'origine centrifuge I c = I c 13 + ii c 23 s'écrit I c = k 2 k s (C A)m (4.30) Dans les équations d'euler-liouville n'interviennent que les modications I c 13, I c 23 et I c Inuence de la non-rigidité sur le mouvement du pôle Nous considérons le cas d'une Terre bi-axiale. Dans l'équation d'euler-liouville (3.22) régissant le mouvement du pôle, la fonction d'excitation comporte le terme d'origine centrifuge I c /(C A) = k 2 k s m d'après l'eq. (4.30), fonction du mouvement du pôle m. On peut le factoriser avec m (et ṁ pour sa dérivée temporelle) dans le membre de gauche de l'équation (3.22) et obtenir alors : m(1 k 2 ) + i (1 + C A k s σ e A k 2 k s )ṁ = ψ pure (4.31) 4Rochester M.G., and Smylie, D.E., 1974, On changes in the trace of the Earth's inertia tensor", J. Geophys. Res., pp

46 où ψ pure est l'excitation puriée" du mouvement du pôle, c'est-à-dire aranchie du terme centrifuge proportionnel à m. Cette équation reète l'interprétation géométrique de Newcomb. En eet, bien qu'établie dans le repère terrestre conventionnel dont le pôle dière en général du pôle d'inertie moyen, elle garde une forme identique dans le repère d'inertie moyen à un terme constant près. Le mouvement libre du pôle de rotation R autour du pôle d'inertie moyen Ī, coordonné par m, se fait selon l'équation diérentielle approchée σ e ṁ = 0. En la durée t le pôle R parcourt l'arc m = iσ e m (1 k 2 /k s ) t à la fréquence angulaire eulérienne autour du pôle d'inertie instantané I, rapproché de R sur le segment ĪR du vecteur m k 2 /k s 0.3 m. m (1 k 2 )+ i k s L'équation précédente s'écrit encore : où σ c = σ e 1 k 2 k s 1 + C A A k 2 k s m + i σ c ṁ = ψpure 1 k 2 k s (4.32). La fréquence d'euler est multipliée par le facteur 1 k 2 k s 1 + C A A 1 k 2 k s 0.7, et la période augemente dans le rapport On s'attend donc à observer l'oscillation libre vers 440 jours plutôt que 303 jours, et c'est eectivement le cas puisque la composante principale du mouvement du pôle, le terme de Chandler, présente une période de 433 ± 2 jours. La non-rigidité de la Terre a aussi pour conséquence d'amplier l'eet de la fonction d'excitation, puisque celle-ci est mulipliée par 1/(1 k 2 k s ) = Mais comme nous le verrons par la suite, les redistributions de masses dans l'atmosphère ou les océans (associées aux variations de pression atmosphérique ou de hauteur d'eau) occasionnent une déformation de la croûte terrestre qui cause des incréments des moments d'inertie de la Terre solide venant en partie compenser ceux des couches uides. 4.6 Inuence de la non-rigidité sur la longueur du jour La vitesse de rotation de la terre Ω(1 + m 3 ) est régie par (3.20b), où l'incrément d'inertie axial c 33 contient une partie d'origine centrifuge I c 33 induite par la variation de vitesse de la rotation et donnée par l'équation (4.29). En reportant I c 33 dans (3.20b) nous obtenons : ṁ 3 = k 2 4R5 e 9G Ω2 ṁ 3 ċpure 33 C C ḣ3 CΩ + L 3 (4.33) CΩ où c pure 33 est l'incrément d'inertie de la Terre aranchi de l'eet centrifuge. Finalement l'équation précédente se réduit à : ṁ 3 (1 + 4k 2 Re 5 9G Ω2 C ċpure 33 ) = C ḣ3 CΩ + L 3 CΩ où le terme 4k 2ReΩ 5 2 peut être réécrit 4 k 2 9G 3 k s (C A) et l'on a : ṁ 3 = ψ pure (C A)k 2 46 k 2 k s = ψ pure 3 (4.34) 3Ck s (4.35)

47 y m(t) ε Ψ c (t) x Fig. 4.2: Déphasage ε entre la polhodie m(t) et la fonction d'excitation équatoriale associée à la déformation centrifuge pour une Terre dissipative. xy : plan équatorial géographique. Par intégration nous obtenons : ψ pure 3 m 3 = + C te (4.36) 1 + 4(C A)k 2 3Ck s La fonction d'excitation pure est divisée par et voit sa valeur diminuée de 0.15%, ce qui est négligeable au regard de la médiocre précision (supérieure à 1%) avec laquelle on détermine ou modélise les composantes de la fonction d'excitation axiale trouvant son origine dans les mouvements du noyau uide et les redistributions de masses dans les océans, l'atmosphère et les eaux et la "couche" hydrologique (eaux, glaces et neiges continentales). 4.7 Dissipation Dans le cas envisagé, le mouvement du pôle pourrait entrer en résonance avec la moindre excitation géophysique à la période de Chandler. Or le terme de Chandler garde une amplitude modérée inférieure à 0.5". En outre, on a observé une décroissance de 1900 à 1925 voire sa quasi-disparition vers , puis sa reprise à partir des années Cela signie que, bien qu'il apparaise comme un mode libre de rotation, c'est un mode amorti, mais entretenu par une excitation variable. De l'existence d'un amortissement nous concluons à une perte d'énergie. Les déformations centrifuges engendrées par le mode libre s' accompagnent d'une dissipation sous forme de chaleur dans les diérentes couches de la Terre. Dans partie solide, cela traduit un défaut d'élasticité ou anélasticité; dans la partie uide une viscosité, essentiellement aux périodes séculaires. Viscosité et anélasticité impliquent que les variations centrifuges des moments d'inertie c et c 33 se 47

48 produisent avec un déphasage ε, à priori négatif, par rapport à la polhodie, illustré par la gure 4.2 (ε et assez petit pour que sin ε = ε). La dissipation fait donc que la fonction d'excitation centrifuge se formule par : Ψ c (t) = k 2 k s e iε m(t) = k 2 k s (1 + ε)m(t) (4.37) Après avoir posé κ = k 2 ε, nous introduisons le nombre de Love complexe : k 2 = k 2 + iκ (4.38) Les développements du paragraphe 4.5 consacrés au cas non-dissipatif ou purement élastique restent identiques pourvu de remplacer le nombre de Love réel k 2 par le complexe k2. Nous en concluons que la polhodie, pour une Terre dissipative, suit l'équation diérentielle : ψpure (4.39) 1 k 2 k s où σc est la pulsation complexe : σc = σ c + iα (4.40) avec κ α σ e k s Comme le mouvement libre, s'exprimant dans le plan complexe par (4.41) m + i ṁ = σc m(t) = m 0 e iσ c (t t 0 ) = m 0 e iσ c(t t 0 ) e α(t t 0) (4.42) est amorti, α 0, ce qui implique κ 0 et ε 0 : l'excitation équatoriale centrifuge précède m(t). En supposant ε 1, on a κ et α = 10 4 rad/j : l'amplitude du mode libre est divisée par e au bout du temps (dit de relaxation) 1/α 30 ans en l'absence d'excitation. Par ailleurs la fonction d'excitation géophysique eective : Ψ geoph. = ψpure 1 k 2 k s κ (1 + i k s ) (4.43) se déduit de l'excitation équatoriale élastique" par rotation de l'angle négatif κ 1. k s L'observation du mouvement du pôle permet de déterminer le paramètre α pour la fréquence de Chandler, comme nous le montrons ci-après. La transformation de Fourier de l'équation (4.39) est : m(σ) = σ c σc σ Ψgeoph. (σ) (4.44) donnant la puissance spectrale : m(σ) 2 = σ 2 c + α 2 (σ σ c ) 2 + α 2 Ψgeoph. (σ) 2 (4.45) 48

49 La fonction de transfert en fréquence, dénie par T (σ) = m(σ)/χ(σ), a pour amplitude : T (σ) = σ 2 c + α 2 (σ σ c ) 2 + α 2 (4.46) On la représente sur la gure 4.3 avec les cas extrêmes d'une Terre quasi-élastique (Q très grand) et celui une terre rigide (où σc est remplacé par σ e ). Autour de la fréquence angulaire de résonance σ c, l'excitation géophysique ne présente pas de puissance particulière et peut être approchée par un bruit blanc, de puissance constante Ψ geoph. (σ) 2 = K. Le spectre de puissance est alors symétrique autour de σ c et présente à celle-ci la valeur maximale Kσc 2 /α 2. On peut s'intéresser aux deux pulsations σ = σ c σ et σ + = σ 2 c + σ pour lesquelles la puissance spectrale ne vaut plus que la 2 moitié de sa puissance centrale. En traduisant cette condition, on trouve que la "largeur à demi-hauteur" vaut σ = 2α et que le pic spectral est donc d'autant plus large que l'amortissement est élevé. On dénit usuellement le facteur de qualité Q du pic spectral par le rapport de la pulsation centrale à la largeur à mi-hauteur, soit Q = σ c = σ c σ 2α. 5 Lorsqu'on examine le spectre de puissance du mouvement du pôle, on voit que le pic à la fréquence de Chandler, largement prédominant, est élargi et symétrique (voir Fig. 4.4), ce qui valide l'approximation du forçage par un bruit blanc. Toutes les études s'accordent pour dire que le facteur de qualité du terme de Chandler s'échelonne de 40 à 180. De l'expression α = σ c = σ 2Q e κ k s nous tirons : σ c κ = k s k s 2Q σ e 2Q (1 k 2 ) k s k 2 k s 2Q soit κ 1, La déformation centrifuge précéde la polhodie de l'angle compris entre 0.3 et 0.8 degrés. ε = k s k 2 2Qk 2 1 Q (4.47) (4.48) 5La dénition originelle du facteur de qualité d'un signal pseudo-périodique est 1 Q = 1 E 2π E où E E est la dissipation relative d'énergie au cours d'un cycle. Dans où le cas le signal se comporte selon la loi (4.42), on montre aisément que Q = σ c 2α. Q est d'autant plus grand que la dissipation en énergie est faible, ou autrement dit que l'amortissement est léger. 49

50 Terre anelastique : Q=50 Terre quasi-elastique : Q= Terre rigide 100 T(σ) cycle/an 1.2 cycle/an cycle/an Fig. 4.3: Fonction de transfert en amplitude : T (σ) = m(σ) / Ψ geoph. (σ) autour de la bande de Chandler pour une Terre dissipative et une Terre rigide Fig. 4.4: Spectre de puissance du mouvement du pôle autour de la fréquence de Chandler (0.845 cycle par an). 50

51 Chapitre 5 Excitations géophysiques et leurs eets Donc toute la masse entière de la sphère de l'air qui est au monde pèse ce même poids de livres [ kg]. (...) La saison où le mercure est le plus haut pour l'ordinaire est l'hiver. Celle où d'ordinaire il est le plus bas est l'esté. Où il est moins variable est aux Solstices; Et où il est le plus variable est aux Equinoxes. Blaise Pascal, Traités de l'equilibre des Liqueurs et de la Pesanteur de la Masse de l'air (1648). 5.1 Introduction Dans la chapitre précédent nous avons vu comment la non-rigidité de la Terre détermine l'équation diérentielle linéaire de la polhodie et de la longueur du jour, et conditionne la fréquence du mode libre. Muni de ces équations, on peut estimer l'eet de l'excitation géophysique. Dans un premier temps, nous allons décrire le constituant majeur de cette excitation, à savoir le forçage hydro-atmosphérique, correspondant aux redistributions de masses au sein des couches uides supercielles qui regroupe i) l'atmosphère, ii) les océans et iii) les eaux douces continentales (y compris neige, glace, humidité des sols et végétation le cas échéant). Quoique ces dernières soient disséminées dans la croûte terrestre ou à sa surface, on peut les assimiler à une calotte hydrique d'épaisseur variable. Seule une redistribution de masse interne au système mécanique 1 ou un couplage externe sur ce système peut inéchir la course de la rotation diurne de la croûte terrestre. Même si un processus géophysique est très énergétique (comme un séisme ou une tempête géomagnétique), son rendement mécanique sur le mouvement du pôle n'est pas assuré. Pour les couches uides supercielles, il est toujours possible de faire correspondre à la variation de moment cinétique de ces couches le moment de force qu'elles produisent sur la partie solide de la Terre. D'après la table 5.1 le couplage entre la Terre solide et ses couches uides atteint kg m 2 s 2 dans sa partie équatoriale, kg m 2 s 2 pour sa partie axiale, avec une échelle de temps caractéristique de l'ordre d'un an 2. Il est environ 100 fois plus petit que le moment de force luni-solaire s'eectuant à l'échelle d'un jour. 1lequel, à ce stade de la discussion, peut aussi bien concerner la Terre dans son ensemble qu'une de ses partie comme la Terre solide et le système manteau+lithosphère+couches uides supercielles 2le couplage manifeste aussi des variations rapides et diurnes, mais estompées dans le mouvement du pôle à cause de l'éloignement de la fréquence de résonance. 51

52 moment équatorial moment axial échelle de temps kg m 2 s 2 kg m 2 s 2 caractéristique atmosphère an océans an eaux douces continentales an couple noyau-manteau très faible ans couple luni-solaire rétrograde diurne Tab. 5.1: Ordre de grandeur des moments de force principaux agissant sur la Terre solide Les déplacements de masses d'air ou d'eau ne pourraient avoir lieu sans l'action du soleil ou de la lune. Il faut distinguer : l'eet de la marée gravimétrique luni-solaire, responsable de la marée océanique (de l'ordre du mètre en pleine mer) et de la marée barométrique, soit environ 10% des uctuations de pression-atmosphérique; l'eet du chauage solaire : les contrastes thermiques, principalement diurne et saisonnier, engendrent des redistributions d'eau et d'air, se superposant aux marées. Nous n'abordons pas l'inuence des marées océaniques, laquelle peut être découplée des mouvements d'origine thermique et estimée à part. On sait que les marées océaniques se déploient avant tout à des fréquences diurnes et semi-diurnes en causant : des perturbations sur la nutation de l'ordre de 1 mas (partie rétrograde diurne de la fonction d'excitation); des oscillations diurnes et semi-diurnes sur le mouvement du pôle : 0.2 mas (10 µs sur la longueur du jour) Il est malaisé d'estimer à part l'eet de la marée barométrique, et les mesures de la pression atmosphérique au sol englobent la totalité des uctuations barométriques qu'elles soient thermiques ou gravimétriques. Dans la pratique les deux eets sont traités conjointement. 5.2 Excitation hydro-atmosphérique Perspective historique Dès la deuxième moitié du XIX e siècle Kelvin avait envisagé l'inuence de l'atmosphère sur l'oscillation du pôle, encore à l'état d'une hypothèse, et avait donné une fourchette étonnamment réaliste, de 0.05 à 0.5. Peu après la découverte du cycle saisonnier et du terme de Chandler, diérents auteurs s'attelleront à déterminer leurs causes et proposent que les variations saisonnières de la pression atmosphérique jouent le premier rôle. Bien que l'eet atmosphérique soit surestimé dans la fonction de moment cinétique équatoriale (presque 100 mas sur la fonction de moment cinétique au lieu de 10 mas), Jereys ( établit correctement le sens direct (prograde) du terme annuel de la fonction de moment cinétique. Dans le même opuscule la fonction de moment cinétique océanique (surestimée à la hauteur de quelques dizaines de mas) est donnée comme le second facteur, puis viennent les précipitations, la végétation et les glaces polaires (quelques mas) incluses dans ce que l'on appelle aujourd'hui la fonction de moment cinétique hydrologique. Cette hiérarchie 3Jereys H. (1916), Causes contributory to the annual variation of latitude, M. N. Roy. As. Soc. 76(6) :

53 des causes reste de mise à l'heure actuelle. La détermination de la circulation atmosphérique à l'échelle du globe s'est anée considérablement après la seconde guerre mondiale lorsque la couverture des observations météorologiques en surface comme en altitude est devenue susante (envoi de ballon sonde dans la haute atmosphère). Ainsi dans les années 1950 et 1960, on obtint une estimation plus réaliste de l'excitation atmosphérique, laquelle rendait compte en partie du cycle saisonnier du pôle. Les premières séries des moments cinétiques atmosphériques remontent aux décennies Si le terme axial dû aux vents zonaux expliquait la uctuation saisonnière de la durée du jour, le terme équatorial, à lui seul, ne susait pas pour caractériser l'oscillation saisonnière du pôle. Cependant il indiquait des uctuations rapides (sous 100 jours) de l'ordre du mas, qui furent observées une décennie plus tard. En raison de la diculté à mesurer les courants et le niveau des mers à l'échelle de la Terre, la fonction de moment cinétique océanique est restée indéterminée jusque dans les années A partir des années 1950, on évalue le forçage annuel des courants océanique à 1 mas. Avec les années 1990, les modèles de circulation des océans devenant plus performants, on put constituer des séries temporelles du moment cinétique, qui en complément de l'atmosphère, assurent un meilleur bilan du forçage observé. L'estimation globale des redistributions d'eau douce débute avec le XXI e siècle. Malgré les défauts des séries actuelles du moment cinétique hydrologique, il est déjà acquis que, superposé aux moments atmosphériques et océaniques, il donne une explication presque complète du terme saisonnier. Les transports hydrologiques sont aussi traqués dans les variations du champ de gravité terrestre observés par les méthodes satellitaires (LAGEOS, CHAMP, GRACE), en principe indépendamment de tout modèle Termes matière et mouvement des fonctions de moment cinétiques uides Ces processus uides aussi variés soient-il, leur impact sur le mouvement du pôle se traite de la même façon au moyen des équations de Liouville d'une Terre anélastique (chapitre 4). Dans ces équations la couche uide intervient sous la forme de son moment d'inertie complexe c F = c F 13 + ic F 23 et de son moment cinétique relatif h F 1 + ih F 2 par rapport au repère terrestre. A ces quantités sont associées les fonctions de moment cinétique matière χ ma = c et mouvement χ mo = h respectivement (Eq. 3.26). En s'inspirant C A (C A)Ω de l'expression (3.18) pour la Terre entière, le moment cinétique de la couche uide s'écrit : H F = (A F m 1 + ib F m 2 + c F )Ω + h F + O(c F ijm k )Ω H F 3 = [ C F (1 + m 3 ) + c F 33] Ω + h F 3 + O(c F ijm k )Ω (5.1) où A F B F C F représentent les moments d'inertie principaux moyens de cette partie, au plus 10 5 fois ceux de la Terre (cas des océans). En première approximation, nous avons : H F = c F Ω + h F H3 F = [ ] C F + c F 33 Ω + h F (5.2) 3 de sorte que c F et h F donnent directement le moment cinétique de la couche uide. 53

54 Exprimés en coordonnées sphériques r, λ (longitude) et θ (colatitude) c F et h F résultent des intégrales volumiques : h F = c F = rs+h π r=r s θ=0 rs+h π 2π r=r s θ=0 λ=0 2π λ=0 ρ F r 4 cos θ sin 2 θe iλ drdλdθ (5.3) ρ F r 3 sin θe iλ (u cos θ + iv)drdλdθ (5.4) où u est la vitesse horizontale le long d'un méridien dirigé vers le sud et v la vitesse horizontale le long d'un parallèle. L'intégration radiale se fait entre les surfaces de rayon vecteur r s (λ, θ) et r s (λ, θ) + h(λ, θ). Les quantités χ ma = c F et χ mo = h F sont globales et nécessitent la connaissance C A (C A)Ω de l'état de la couche uide en tout point d'un maillage susamment dense, à savoir pression en surface, champ des vitesses et densité. Comme les observations géophysiques sont partielles, il est nécessaire de mettre en oeuvre des modèles de circulation pour interpoler l'état de la couche là où on ne l'observe pas. Sans rentrer dans la complexité des modèles, nous allons caractériser la redistribution de masse globale s'opérant dans chaque couche, et tentons de donner l'ordre de grandeur des eets correspondants sur c et h. Même si leur moment cinétique peut être calculé à part, océans, atmosphère et couche hydrologique évoluent de manière couplée. D'une part la surface océanique est déformée sous l'action des variations de pression atmosphérique et des vents, ce qui rend le problème a priori complexe. D'autre part la couche hydrologique acquiert principalement sa masse par précipitation de la vapeur d'eau atmosphérique et la perd surtout par écoulement dans les océans. 5.3 Nature du couplage entre une couche uide et la Terre solide Le traitement fondé sur l'estimation du moment cinétique de la partie uide est avantageux en ce qu'il évite la modélisation des forces d'interaction entre la Terre solide (ou l'une de ses parties) et le uide la recouvrant, mais par la même ne permet pas de comprendre le couplage. Aussi, avant d'aller plus avant, croyons-nous bon d'envisager la physique de l'interaction qui nous occupe. Le moment de force luni-solaire sur le bourrelet équatorial de la Terre, environ N m dans sa partie moyenne, est réglé par les mouvements orbitaux, que l'on connaît, modélise et prévoit avec une précision d'horloger. C'est pourquoi la précession-nutation, bien qu'aectée par la structure interne de la Terre - plus spécialement son noyau uide - et sa rhéologie, est très bien connue, à une milliseconde de degré près par le modèle conventionnel de l'union Astronomique International (le modèle en vigueur adopté par l'uai en 2000 comprend deux mille termes périodiques ou pseudo-périodiques). Le couplage, de surcroît, est volumique, et sa cause est purement gravitationnelle. 54

55 Le couplage entre une couche uide supercielle et la Terre solide s'avère beaucoup plus délicat à déterminer. Du fait même que l'atmosphère ou les océans ne se comportent pas de manière prévisible au delà d'une semaine, il est impossible de dresser un modèle prédictif des forces que ces couches exercent sur la Terre solide. Le couplage est avant tout surfacique : en raison de l'ellipticité de la Terre les forces de pression ne passent pas en général par le centre de gravité de la Terre, elles créent en chaque point de la surface un moment de force, et comme le champ de pression n'est pas uniforme l'ensemble de ces moments élémentaires ont une résultante non nulle. L'augmentation de la pression en un point donné de la surface (du plancher océanique) correspond à une accumulation de masse d'air (d'eau), qui exerce en retour une force de gravitation accrue sur la Terre solide, s'opposant à l'incrément de force de pression. D'où un couplage gravitationnel entre la Terre solide et l'atmosphère (les océans) compensant les eets de la pression. A cause des mouvements uides la surface de la Terre est entraînée par une force de friction, beaucoup plus dicile à modéliser que le couplage pression-gravitation. En résumé le moment de force d'interaction des couches uides sur la Terre solide se décompose en trois termes (voir Fig.??) : un terme de pression qui provient du poids de la colonne verticale d'air ou d'eau sur la surface de la Terre solide; un terme de gravitation qui est dû à l'attraction exercée par les masses atmosphériques ou océaniques sur les masses solides de la Terre; un terme de friction qui est associé aux frottements produits par les vents en surface ou par les courants marins sur le plancher océanique. 5.4 Formalisation de l'eet des couches uides Eet sur le pôle Pour caractériser précisément l'impact des couches uides sur le mouvement du pôle, nous invoquons la partie équatoriale des équations d'euler-liouville pour une terre anélastique, à savoir l'équation (4.39) : Ψf (5.5) 1 k 2 k s avec σc = σ c [1 + i/(2q)] et Ψ f la fonction d'excitation donnée par : p + i ṗ = σc Ψ f = χ mat + χ mv i Ω ( χmat + χ mv ) (5.6) Les fonctions de moment cinétique matière ou les moments d'inertie correspondant ont une moyenne non-nulle, correspondant à la distribution moyenne du uide. Cette moyenne, dont on peut supposer qu'elle existe depuis des temps immémorables, ou tout au moins depuis plusieurs années, a en fait un impact dénitif sur le mouvement du pôle (décalage constant et contribution sur le terme de Chandler amortie à l'heure actuelle). Seule la partie variable, susceptible de provoquer un mouvement actuel est d'intérêt. Dans ce qui suit, les fonctions d'excitations ou de moment cinétiques sont considérées uniquement dans leur partie variable. 55

56 Lorsque la pression du uide en surface augmente (diminue) en une zonne donnée, celleci se creuse (bombe), ce qui donne lieu à une diminutation (augmentation) des moments d'inertie de la Terre solide. De manière générale, toute variation des moments d'inertie de la couche uide I f (par rapport à sa valeur moyenne) est accompagnée par une variation opposée I charge des moments d'inertie de la Terre solide selon la relation de proportionnalité : I charge = k 2 I f (5.7) où k est le nombre de Love dit de déformation. Nous admettons cette expression, qui est analogue à celle donnant l'incrément d'inertie sous l'action du potentiel centrifuge. L'eet de déformation compense partiellement l'incrément de moment d'inertie qui l'a fait naître. La fonction d'excitation (partie variable) se réécrit donc : Ψ f = (1 + k 2)χ mat + χ mv (5.8) et la partie équatoriale de l'équation d'euler-liouville devient : p + i ṗ = χ mat eff + χ mv eff (5.9) σc et se fonde alors sur les fonctions eectives de moment cinétique équatorial : χ mat eff = 1 + k 2 1 k 2 /k s χ mat χ mv eff = 1 1 k 2 /k s χ mv (5.10) D'après les valeurs des nombres de Love donnés en Annexe 2 (k 2 = 0.3, k s = , k 2 = ), on obtient : χ mat eff 1, 02 χ mat (5.11) χ mv eff 1, 47 χ mv (5.12) A cause de la déformation induite par la charge uide, le terme matière eectif est celui qui agirait sur une Terre rigide; cependant le terme mouvement est amplié de 150% Eet sur la vitesse de rotation ou la longeur du jour Comme en témoigne l'équation (4.36) l'eet de déformation rotationnelle sur la vitesse de rotation est négligeable : m 3 = ψ pure 3 = χ mat 3 + χ mv 3 + Cte (5.13) Cependant, comme pour l'excitation équatoriale la terre se déforme par eet de charge. Le terme matière axial eectif est : mat eff χ3 = (1 + k 2)χ mat 3 0.7χ mat 3 (5.14) 5.5 Excitation atmosphérique Les quantités [ΩI A 13, ΩI A 23, ΩI A 33] [H A ] et [h A ] font l'objet de déterminations journalières. Les observations météorologiques (pression-vent) ne rendent compte de la répartition des masses d'air et de leur mouvement que partiellement. Pour calculer une quantité globale comme un moment cinétique, il faut mettre en oeuvre un modèle numérique pour "interpoler" l'état de l'atmosphère là où ne l'observe pas. 56

57 5.5.1 Inuence des variations de pression atmosphérique. On explicite les moments d'inertie I A 13 et I A 23 dans le repère terrestre en coordonnées sphériques (r, λ, θ) (rayon, longitude, colatitude) en faisant deux approximations consécutives : tout élément de volume de l'atmosphère est en équilibre hydrostatique, ce qui permet, dans les intégrales volumiques, de substituer à l'élément diérentiel dr la diérentielle de pression, puisque dp = ρgdr (ρ est la masse volumique, g le champ de pesanteur); l'épaisseur de la couche uide étant très inférieure au rayon terrestre, elle est prise comme constante égale au rayon équatoriale. On aboutit aux expressions suivantes pour le terme de matière, rebaptisé alors terme de pression [H p ], dans le repère terrestre : π [H p ] = R4 e g Ω 2 2π π 0 2 P s sin 2 θ cos θ cos λ cos θ sin λ sin θ dθ dλ (5.15) où R e est le rayon équatorial de la Terre, Ω, la vitesse angulaire de la Terre, g, la pesanteur moyenne et P s, la pression de l'air au sol. Les moments d'inertie se retrouvent réduits à des intégrales surfaciques d'une fonction déterminée par la pression atmosphérique. L'atmosphère représente environ un millionième de la masse de la Terre (M A 5, kg), ordre de grandeur que l'on obtient facilement à partir de la pression moyenne atmosphérique au sol, 10 5 Pa donnant la masse d'une colonne d'air par mètre carré, soit dm = 10 5 /g 10 4 kg. Les moments d'inertie de l'atmosphère représente donc au plus 10 6 A. Dans l'atmosphère les variations de la pression atmosphérique moyenne en surface sont saisonnières. Sur la planisphère de la Fig. 5.1 sont reportées, en g/cm 2 (ou 10 kg/m 2, équivalant à 100 Pa), les variations des masses d'air de juillet à janvier. Ses valeurs extrémales sont atteintes sur les continents, soit 20 g/cm 2, ou 2% de la pression atmosphérique. A contrario la pression ne varie pratiquement pas sur les océans. On notera que l'accumulation de masse d'air sur l'hémisphère nord en hiver est accompagnée par des dépressions dans l'hémisphère sud. Le phénomène s'inverse en été. Les variations relatives des moments d'inertie atmosphérique sont donc au plus de l'ordre du pourcent : leur partie variable c A ij atteint donc au plus 0, A = 10 8 A kg m 2, soit 10 8 AΩ kg m 2 sur le moment cinétique. L'estimation précise du moment cinétique atmosphérique montre que c A ij A Dans l'équation d'euler-liouville intervient donc une fonction d'excitation équatoriale, saisonnière, de l'ordre de c A ija/(c A) = 10 7 rad. D'après la fonction de transfert géophysique, reportée en Fig. 5.2, le pôle présente à la fréquence prograde annuelle un rayon 5 fois plus grand, de l'ordre de rad, connant 0.1" (1 = rad). La fonction d'excitation axiale c 33 /C, tout au plus 10 8 A/C = 10 8 rad, inuence la longueur du jour à la hauteur de = s = 1 ms au plus d'après l'eq. (??). Ces ordres de grandeur sont conrmés par les calculs météorologiques de [H p ], qui 57

58 Fig. 5.1: Variations des masses d'air de juillet à janvier par unité de surface terrestre en g/cm 2 (ou 10 kg/m 2, équivalant à 100 Pa). Les valeurs extrémales sont atteintes sur les continents et correspondent à quelques % de la pression atmosphérique (Sidorenkov, 2002, p. 161[10]) Q=50 Q= T(σ) cycle/an cycle/an Fig. 5.2: Amplitude de la fonction de transfert ( T (σ) = m(σ)/χ(σ)) dans le cas de l'excitation eective d'une couche uide pour les périodes saisonnières). 58

59 s'appuient sur l'expression (5.15). A partir d'une réanalyse globale des données météorologiques de 1948 à 2005, le NCEP (National Center for Environmental Prospect, USA) et le NCAR (National Center for Atmospheric Research, USA) ont calculés le moment cinétique atmosphérique toutes les 6 heures (0hTU, 6hTU, 12hTU, 18hTU). Nous avons guré ces données sur la Figure 5.5 de 2002 à 2004 : notons dans les trois composantes du terme de pression (en kg m 2 s 1 ) la parfaite visibilité du cycle saisonnier pour chacune des composantes du terme de pression, de l'ordre de kg m 2 s 1, ainsi que pour la composante axiale du terme vent ( kg m 2 s 1 ) Inuence des vents. Pour le moment cinétique relatif causé par les vents, appelé alors terme vent (indice v), l'approximation de couche mince demeure, mais la réduction de l'intégrale volumique à une intégrale de surface n'est plus possible. En coordonnées sphériques il vient : [h A ] = R 3 e h=0 π 2 π 2 2π 0 sin θ v θ sin λ + v λ cos θ cos λ v θ cos λ + v λ cos θ sin λ v λ sin θ ρ dh dθ dλ (5.16) où v λ et v θ sont les vitesses relatives respectivement longitudinales et méridionales (du nord vers le sud), calculées pour chaque surface isobare P S. L'hypothèse de l'équilibre hydrostatique conduit à l'expression : [h A ] = R3 e g PS 0 π 2 π 2 2π 0 sin θ v θ sin λ + v λ cos θ cos λ v θ cos λ + v λ cos θ sin λ v λ sin θ dp dθ dλ (5.17) L'une des caractéristiques principales des vents, c'est la présence d'une circulation globale de l'ouest vers l'est, maximale dans les zones tempérées et pratiquement nulle dans les zones polaires et équatoriale. Ces vents zonaux", c'est-à-dire propre à une bande de latitude, sont quasi-inexistants à la surface, mais deviennent signicatifs dans les zones tempérées à partir de 10 km d'altitude et atteignent leur maximum, jusqu'à 30 m/s, vers 12 km d'altitude (voir Fig. 5.3). Les couloirs aériens empruntent ces zones de "jet-stream" pour les vols vers l'est (le gain de temps atteint quelques heures pour un vol long-courrier). En moyenne l'atmosphère présente un état de super rotation, et l'on peut calculer que le moment cinétique relatif de l'atmosphère possède une composante axiale moyenne, de l'ordre de h kg m 2 s 1 (d'après Sidorenkov, 2002,voir aussi Fig. 5.5). A titre de comparaison le moment cinétique de l'atmosphère, du à sa rotation en bloc est 10 6 CΩ kg m 2 s 1. La super-rotation moyenne en soi n'est que de peu d'importance pour le but que nous poursuivons : seules les variations de moments cinétiques sont susceptibles d'induire un eet sur la rotation. Or les vents zonaux présentent une variation annuelle très prononcée, jusqu'à 10 m/s, comme l'illustre la Fig. 5.4, et la composante axiale du moment cinétique relatif présente une uctuation annuelle de h saison kg m 2 s 1 (voir Fig. 5.5), soit 5% de sa moyenne. Il en résulte une fonction d'excitation axiale h saison. 3 /CΩ , à laquelle correspond une variation annuelle de la longueur du jour égale à s 0, 3ms (0, 6 ms pic à pic). 59

60 Fig. 5.3: Section méridienne de la moyenne annuelle des vitesses des vents zonaux (m/s). Altitude en km, surface isobarre en mbar. Valeurs positives vers l'est (Sidorenkov, 2002, p. 197 [10]). Fig. 5.4: Section méridienne de l'oscillation annuelle dans la vitesse des vents zonaux (m/s). Altitude en km, surface isobarre en mbar (Sidorenkov, 2002, p. 197 [10]). 60

61 Les vents induits par le cycle thermique diurne ne se compensent pas à l'échelle planétaire et donnent naissance à une oscillation diurne du moment cinétique relatif, aectant diéremment composantes axiale et équatoriale. Pour la partie équatoriale : h diurne kg m 2 s 1, et pour la composante axiale h diurne 3 0, kg m 2 s 1. x 1e24 x 1e24 x 1e H3 vents H2 vents H1 vents x 1e H3 pression x 1e24 x 1e H2 pression H1 pression Fig. 5.5: Termes de pression et de vent du moment cinétique atmosphérique de 2002 à 2004 en kg m 2 s 1 fourni à 0h, 6h, 12h, 18h par le NCEP/NCAR (USA). L'eet saisonnier prédomine sauf pour les composantes équatoriales du terme vent régulées essentiellement par le cycle thermique diurne. 5.6 Excitation océanique Modèle d'océan statique barométrique (IB) On ne peut pas considérer l'inuence de l'atmosphère sur la Terre solide sans tenir compte de la réaction des océans aux variations de pression atmosphérique et aux vents en surface. En eet, l'atmosphère induit des courants marins et des changements dans la hauteur d'eau. 61

62 Un océan statique est un océan dont les eaux n'ont aucun mouvement global relativement à la Terre solide. Le moment cinétique océanique induit par l'atmosphère ne comporte que le terme de pression (pression de l'eau sur le plancher océanique). On impose là une condition réductrice, mais fort intéressante par les simplications qu'elle apporte. On suppose alors que les océans ne peuvent présenter que deux réactions possibles face aux variations de pression atmosphérique. Une première hypothèse stipule que l'océan réagit comme un baromètre inversé (en anglais Inverted Barometer), c'est à dire que la pression totale (air + eau) sur le plancher océanique reste invariante. Si la pression atmosphérique à la surface augmente, c'est la hauteur d'eau qui diminue pour compenser cet incrément. On admet alors que l'eau déplacée se répartit sur toute la surface immergée du globe mais de façon si lente que le moment cinétique relatif associé à cette redistribution demeure négligeable. Autrement dit, pour que le modèle IB soit valide, la redistribution d'eau doit être lente. En eet l'observation a montré que la réaction IB constitue une approximation honorable pour des périodes supérieures à 10 jours. L'hypothèse IB équivaut à réduire l'intégrale de surface (5.15) donnant le terme de pression aux continents. Il se réécrit comme : π [H A ] = R4 e g Ω 2 2π π 0 2 f(λ, θ)p s sin 2 θ cos θ cos λ cos θ sin λ sin θ dθ dλ (5.18) où f(λ, θ) est la fonction océanique valant 1 sur les continents et 0 sur les océans. Pour des échelles de temps plus courtes, et notamment la bande diurne (dont la partie rétrograde jouera pour la nutation), la réaction de l'océan à l'excitation atmosphérique reste inconnue. On peut faire l'hypothèse radicalement opposée, à savoir que les océans et l'atmosphère sont découplés pour ces fréquences. En l'occurrence, l'océan ne réagit pas aux variations de pression atmosphérique et ces variations sont transmises intégralement au plancher océanique et donc à la Terre solide. C'est l'hypothèse dite du baromètre non-inversé (en anglais, Non-Inverted Barometer, NIB). Dans la pratique chaque série temporelle de moment cinétique atmosphérique est donnée dans une version IB et une version NIB Modèle d'océan dynamique Cependant on peut traiter l'inuence des océans de manière plus réaliste en considérant les équations locales qui le régissent (Navier-Stokes, conservation de la masse, etc..). On aboutit alors à un modèle de circulation océanique, contraint par les observations océanographiques, qui permet de calculer courants, variations de hauteur d'eau en chaque point d'une maille le couvrant. D'où l'on évalue des séries temporelles du moment cinétique océanique. Le terme matière est alors conditionné par la pression sur le plancher océanique P O. On a donc une expression strictement identique à (5.15), pourvu d'y remplacer la pression continentale par P O, P O s'annulant sur les continents. Si le uide est incompressible, sa densité ρ e (1000 kg/m 3 ) est uniforme. En un point du plancher océanique, de profondeur h P (λ, θ) (h P 0), la pression s'exprime par P O = ρ e gh, si bien que le terme matière du moment cinétique océanique s'écrit : 62

63 [H O ] = R 4 e π 2 π 2 2π 0 (1 f(λ, θ))ρ w h(λ, θ) sin 2 θ cos θ cos λ cos θ sin λ sin θ dθ dλ (5.19) Le terme des courants océaniques, de vitesses v, s'écrit de manière analogue au terme de vent (5.16) : [h O ] = R 3 eρ e hp h=0 π 2 π 2 2π 0 sin θ v θ sin λ + v λ cos θ cos λ v θ cos λ + v λ cos θ sin λ v λ sin θ dh dθ dλ (5.20) Ordre de grandeur du terme zonal du moment cinétique océanique Les océans représente l'équivalent d'une coquille de 2500 m d'épaisseur couvrant toute la surface terrestre. On en tire la masse océanique : M O 1, kg. C'est environ 250 fois la masse de l'atmosphère. A contrario la vitesse moyenne des courants est de l'ordre de v O = 1 cm/s, au lieu de v A = 10 m/s pour les vents. Les courants zonaux ne se développent pas sur toute la surface des océans, mais seulement dans l'hémisphère sud où les continents ne font pas obstacles à ces courants (dans la bande de latitude Sud, soit 20% de la surface terrestre au plus. Le moment cinétique relatif qui en résulte vaut au plus M O /M A v O /v A 0.2 = 5% de celui d'origine atmosphérique (soit environ kg m 2 s 1 ). De la part des océans, il n'y a donc pas lieu de s'attendre à un eet important dans la longueur du jour, mais un impact certain sur la position du pôle Séries d'excitation océanique Les séries de moment cinétique océanique sont peu nombreuses. Dans ce qui suit nous considérons celle de Ponte at al. (1998) qui couvre la période avec un pas de 5 jours et a été estimée au moyen d'un modèle de circulation océanique contraint par les données atmosphériques du projet de réanalyse globale du NCEP/NCAR. Les moments cinétiques (pression et courants) sont représentés sur la Fig. 5.6 de 1993 à La variation saisonnière dans le terme de pression comme dans le terme vent est de l'ordre de 0, kg m 2 s 1, soit 10 fois moins que dans le moment cinétique atmosphérique. 63

64 x1e h3 courants x1e h2 courants x1e24 x1e24 x1e h1 courants H3 pression H2 pression x1e H1 pression Fig. 5.6: Termes de pression et de courrant du moment cinétique océanique de 1993 à 1995 en kg m 2 s 1 fourni tous les 5 jours par Ponte et al.(1998) 64

65 Annexe A Décomposition du géopotentiel en harmonique sphérique - liens avec les moments d'inertie A.1 Formulaire L'accélération gravitationnelle terrestre g dérive du potentiel gravitationnel U : U = g (A.1) On démontre que ce dernier est décomposable en une somme d'harmoniques sphériques : + l ( ) l Re (C lm cos mλ + S lm sin mλ) P lm(sin φ) (A.2) U(r, φ, λ) = GM r n=0 m=0 r où r est la distance géocentrique, φ la latitude et λ la longitude du point auquel on détermine le potentiel; G est la constante gravitationnelle, R e le rayon équatorial moyen terrestre et M la masse de la Terre; C lm et S lm sont les coecients de Stokes dénis de la manière suivante : C lm = S lm = 1 l MR (2 δ (l m)! 0m) e (l + m)! 1 l MR (2 δ (l m)! 0m) e (l + m)! M M r l P lm (sin φ) cos(mλ) dm r l P lm (sin φ) sin(mλ) dm (A.3) où (r, φ, λ) sont les coordonnées de l'élément dm et les P lm (sin φ) sont les fonctions de Legendre de première espèce (voir Table A.1) : P lm (x) = (1 x 2 ) m/2 dm P l (x) dt m où les P l (x) sont les polynômes de Legendre : P l (x) = 1 d l (x 2 1) l 2 l l! dx l (A.4) (A.5) Notons que P l (x) = P l0 (x). On peut faire diérentes remarques quant aux particularités de ces coecients de Stokes : 65

66 Tab. A.1: Fonctions de Legendre P lm (sin φ) de degré n et d'ordre m. Degré m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 l = 0 1 l = 1 sin φ cos φ l = 2 l = 3 3 sin 2 φ sin 3 φ 3 sin φ 2 3 sin φ cos φ 3 cos 2 φ cos φ 15 sin2 φ cos 2 φ sin φ 15 cos 3 φ Tab. A.2: Principaux coecients de Stokes C lm et S lm considérés dans leur partie constante. D'après (Sidorenkov, 2002, p. 73, Table 2.4, [10]). Degré l Ordre m C lm S lm

67 Fig. A.1: Fonctions harmoniques sphériques (source GRGS). Si l'origine du repère considéré est prise au centre de masse de la Terre, on a : C 00 = 1 et C 10 = C 11 = S 11 = 0 (voir paragraphe suivant). Lorsque m = 0, les C n0 sont appelés coecients zonaux, aussi notés J l et par dénition : S l0 = 0. Lorsque l = m, les coecients de Stokes sont dits sectoriaux. Lorsque l > m et m 1, C lm et S lm sont appelés coecients tesséraux. Les principales harmoniques sphériques sont reportées dans la Table A.2. A.2 Démonstration abrégée Tout élément de masse terrestre dm, de rayon vecteur r, produit en un point S externe à la Terre - situé à la distance r du centre des masses et à la distance δ = r r de la masselote dm - la contribution : du = G m dm δ 67

68 sur le géopotentiel U (voir Fig. A.2). En notant V le volume occupé par la Terre, le potentiel gravitationnel total est : U( r) = G r V dm r r = G dm r V δ (A.6) z dm δ S (m) ρ r θ ϕ O β y χ x Fig. A.2: Le géopotentiel régnant au point S résulte de l'action combinée de tous les éléments de masse dm. λ On peut dévlopper 1 grâce aux polynômes de Legendre. Dans le triangle O dm) S, δ on a : δ 2 = r 2 + r 2 2 r r cos θ (A.7) 1 δ = 1 r ( La fonction f( r ) = 1 2 r r r est convergente pour r r) par : cos θ + r 2 (1 2 r r r 2 ( ) r f = ( r r r l 0 cos θ + r 2 r 2 ) 1/2 ) 1/2 est développable en série entière de r r (et ) l P l (cos θ) (A.8) où θ est l'angle entre les vecteurs r et r, et P l sont les polynômes de Legendre tels que : P l (x) = l ( 1) k 2k=0 (2l 2k)! 2 l (l k)! (l 2k)! k! xl 2k (A.9) 68

69 On peut montrer que ces derniers sont solution de l'équation de Legendre suivante (équation diérentielle du deuxième ordre) : (1 x 2 ) d2 P l dx 2 2x dp l dx + l(l 1)P l = 0 qui nous permet alors d'établir par récurrence, que : Par conséquent, on peut écrire : P l (x) = 1 2 l l! 1 δ = 1 r ( r l 0 d l dx l [ (x 2 1) l] r (A.10) (A.11) ) l P l (cos θ) (A.12) En substituant l'expression précédente de 1 δ dans l'équation (A.6), on a : On pose avec U( r) = G r U 0 = GM r + l=0 1 r l V r l P l (cos θ) dm (A.13) U( r) = U 0 + l 1 U l (A.14) U l = G r V ( r r ) l P l (cos θ) dm (A.15) En notant (r, λ, φ) les coordonnées sphériques de S, et (r, λ, φ ) celles, variables, de la masse dm, nous avons : cos θ = sin φ sin φ + cos φ cos φ cos(λ λ) (A.16) De cette formule, on déduit au moyen d'un calcul laborieux, l'expression suivante du polynôme de Legendre P l (cos θ) : l (l m)! (2 δ m0 ) P l (cos θ) = (l + m)! P lm(sin φ)p lm (sin φ ) cos(λ λ) (A.17) m=0 où les P lm sont les fonctions de Legendre dénies par l'équation (A.4). On en déduit que, pour l 1 : soit avec U l = G r V ( ) r l l r U l = GM r m=0 C lm = 1 MR l e (l m)! (2 δ m0 ) ( Re r ) l l (l + m)! P lm(sin φ)p lm (cos φ ) cos(λ λ) dm (A.18) m=0 (l m)! (2 δ m0 ) (l + m)! S lm = 1 (2 δ MRe l m0 ) [C lm cos(λ) + S lm sin(λ)] P lm (sin φ) (A.19) (l m)! (l + m)! 69 V V r l P lm (sin φ ) cos(λ ) dm r l P lm (sin φ ) sin(λ ) dm (A.20) (A.21)

70 A.3 Liens avec les moments d'inertie de la Terre Dans le repère terrestre (Oxyz) la matrice d'inertie terrestre admet une expression quasi-diagonale : I = I 11 I 12 I 13 I 12 I 22 I 23 I 13 I 23 I 33 = A + c 11 c 12 c 13 c 12 B + c 22 c 23 c 13 c 23 C + c 33 (A.22) où (A, B, C) sont les moments principaux d'inertie moyens, constants dans le temps. Les incréments d'inertie c ij pour i, j = 1, 2, 3 proviennent à la fois des redistributions de masses (partie variable) et du désalignement des axes du repère terrestre avec les axes principaux d'inertie. Pour un corps assimilé à un ellipsoïde de révolution, on considère que : A = B. Chacun des coecients d'inertie est déni de la manière suivante : I 11 = (y 2 + z 2 ) dm I 12 = xy dm I 22 = I 33 = (x 2 + y 2 ) dm I 13 = xz dm (x 2 + z 2 ) dm I 23 = yz dm (A.23) Par ailleurs les coecients de Stokes de degré deux du géopotentiel, qui se déduisent des expressions (A.20) et (A.21), sont : C 20 = = = = = = 1 2 r 2 (3 sin 2 φ 1) dm 2 MR e 1 (3(r 2 sin φ) 2 r 2) dm 2 MR e 1 (3z 2 2 r 2) dm 2 MR e 1 (2z 2 2 x 2 y 2) dm 2 MR e MR [ I 33 + (I 11 + I 22 I 33 )] e [ 1 2 I 33 + I ] 11 + I 22 MR e 2 = C A MR 2 e pour une Terre biaxiale (A.24) (A.25) C 21 = = = 1 MR 2 e 1 MR 2 e 1 MR 2 e = I 13 MR 2 e r 2 sin φ cos φ cos λ dm (A.26) (r cos φ cos λ)(r sin φ) dm (A.27) xz dm 70 (A.28) (A.29)

71 S 21 = = = 1 MR e 2 1 MR e 2 1 MR e 2 = I 23 MR e 2 r 2 sin φ cos φ sin λ dm (A.30) (r cos φ sin λ)(r sin φ) dm (A.31) yz dm (A.32) (A.33) C 22 = = = = 1 2 r 2 cos 2 φ cos(2λ) dm 4 MR e 1 2 (r cos φ) 2 (cos 2 λ sin 2 λ) dm 4 MR e 1 [(r 2 cos φ cos λ) 2 (r cos φ sin λ) 2] 4 MR e 1 2 (x 2 y 2 ) dm 4 MR e = I 22 I 11 4 MR e 2 (A.34) 1 S 22 = 2 r 2 cos 2 φ sin(2λ) dm 4 MR e 1 = 2 (r cos φ) 2 (2 sin λ cos λ) dm 4 MR e 1 = 2 (r cos φ cos λ)(r cos φ sin λ) dm 2 MR e 1 = 2 xy dm 2 MR e = I 12 2 MR e 2 (A.35) Nous pouvons donc exprimer les coecients de la matrice d'inertie en fonction des coecients harmoniques sphériques de degré 2 du géopotentiel : I 12 = 2 M R e 2 S 22 voir (A.35) (A.36a) I 13 = M R e 2 C 21 voir (A.29) (A.36b) I 23 = M R e 2 S 21 voir (A.33) (A.36c) 71

72 z S r O φ y λ x Fig. A.3: Coordonnées sphériques du point S dans le repère (x,y,z). Ses coordonnées polaires sont alors : x = r cos φ cos λ, y = r cos φ sin λ, z = r sin φ, et donc r 2 = x 2 +y 2 +z 2. De plus, on a : I 22 I 11 = 4 M R e 2 C 22 (1) voir Eq.(A.34) I 33 I 11 + I 22 2 = M R e 2 C 20 (2) voir Eq.(A.24) I 11 + I 22 + I 33 = T r(i) (3) Ce système d'équations équivaut à : Ainsi, on obtient : I 11 = I 22 4 M R e 2 C 22 (1) I 33 = I 22 2 M R e 2 C 22 M R e 2 C 20 (2) 2 I 22 4 M R e 2 C 22 + I 22 2 M R e 2 C 22 M R e 2 C 20 = T r(i) (3) I 11 = 1 3 T r(i) 2 M R e 2 C M R e 2 C 20 (1) I 22 = 1 3 T r(i) + 2 M R e 2 C M R e 2 C 20 (2) I 33 = 1 3 T r(i) 2 3 M R e 2 C 20 (3) 72

73 Annexe B Forme de la Terre B.1 Développement en harmonique sphérique du rayon de la Terre Sous l'action de l'eet centrifuge constant, la terre prend la gure d'un sphéroïde de révolution dont le rayon est déni en tout point de colatitude θ (par rapport à l'axe de gure) par : r = R e (1 f cos 2 θ) (B.1) conformément à l'expression (??), f désignant la diérence relative des rayons équatoriaux et polaire (R e R p )/R e. Le rayon r se met sous la forme du développement en harmonique sphérique de degré 2 : r = R e (1 f 3 ) 2 3 R efp 20 (cos θ) (B.2) La moyenne de P 20 (cos θ) sur un méridien étant nul, on dénit le rayon moyen de la Terre r 0 par : r 0 = R e (1 f 3 ) = (3) km (B.3) En négligeant le terme en f 2, la gure du sphéroïde terrestre est réexprimée en fonction de r 0 et f : r = r 0 [1 2 ] 3 fp 20(cos θ) (B.4) B.2 Eet d'une rotation innitésimale sur le développement en harmonique sphérique d'un sphéroïde de révolution Considérons un sphéroïde de révolution dont les axes de symétrie dénissent le repère cartésien Gx y z. Dans ce repère le rayon vecteur admet une expression analogue à (B.4) : r = r 0 [1 + d 20 P 20 (cos θ )] d 20 = 2 3 f (B.5) 73

74 Par exemple, c'est l'ellipsoïde terrestre de référence ou l'interface noyau-manteau. Cependant, cette expression n'est valide que si la colatitude est rapportée à l'axe de symétrie de la gure. Dans la pratique, le cadre de travail est le repère terrestre Gxyz (coordonnées sphérique λ, θ) qui n'est pas tout à fait confondu avec les axes de Gx y z (coordonnées sphériques λ, θ ) (gure B.1). Celui-ci se déduit de Gxyz par une rotation innitésimale R = R(α 1 )R(α 2 )R(α 3 ). La question est donc : quel est le développement en harmonique sphérique de la surface dans le repère terrestre? Avec le changement de coordonnées : x y z Fig. B.1: Le repère des axes de symétrie du sphéroïde Gx y z est à proximité du repère terrestre Gxyz 1 α 3 α 2 x = α 3 1 α 1 y α 2 α 1 1 z le polynôme de Legendre P 20 (cos θ ) = 3 cos2 θ 1 2 Gxyz avec z = α 2 x α 1 y + z : = 3 2 (z r )2 1 2 P 20 (cos θ ) = P 20 (cos θ) + P 21 (cos θ) [α 2 cos λ α 1 sin λ] (B.6) est exprimé dans (B.7) Finalement le rayon du sphéroïde de révolution admet dans le repère terrestre l'expression : r = r 0 [1 + d 20 P 20 (cos θ) + (d 21 cos λ + e 21 sin λ)p 21 (cos θ)] d 21 = α 2 d 20 (B.8) e 21 = α 1 d 20 Notons qu'en appliquant la transformation opposée à (B.6), soit t R, au vecteur unitaire ẑ = (0, 0, 1) de l'axe de gure, on trouve que ses coordonnées dans le repère terrestre sont (α 2, α 1, 1). 74

75 B.3 Expression de la matrice d'inertie, diagonale dans Gx y z, dans Gxyz A présent considérons que le sphéroïde est homogène, auquel cas sa matrice d'inertie est diagonale dans le repère de ses axes de symétrie Gx y z et y prend la forme A 0 0 I = 0 B C (B.9) Dans le repère terrestre Gxyz cette matrice d'inertie devient I = P 1 I P où P est la matrice de passage de Gx y z à Gxyz, soit P = R. Il vient A (B A)α 3 (C A)α 2 I = (B A)α 3 B (C B)α 1 (C A)α 2 (C B)α 1 C Dans le repère terrestre apparaissent donc les incréments de moment d'inertie : c 13 + ic 23 = (C A)α 2 i(c B)α 1 (B.10) (B.11) Par conséquent les coordonnées du pôle de gure dans le repère terrestre (α 2, α 1, 1) c s'écrivent aussi ( 13 C A, c 23, 1). En vertue de (B.8) et en négligeant la triaxialité, C B nous obtenons : c 13 + ic 23 = (C A) d 21 + ie 21 3(C A) = d 20 2f (d 21 + ie 21 ) (B.12) Si on assimile l'aplatissement géométrique f à l'aplatisement dynamique (C A)/A, on obtient c 13 + ic 23 = 3 2 A(d 21 + ie 21 ) (B.13) 75

76 Annexe C Constantes usuelles 76

77 Tab. C.1: Constantes utilisées dans cette étude. notation Valeur Unit inc. rel. Source 10 6 Constante univ. gravitation G (67) m 3 kg 1 s CODATA Constante géocentrique GM (8) m 3 s GRO de la gravitation Accélération de gravité g m s GRO équatoriale moyenne Moment principal d'inertie C kg m 2 20 GRO axial de la Terre Moment principal d'inertie A kg m 2 20 GRO équatorial de la Terre Moment principal d'inertie B kg m 2 20 GRO équatorial de la Terre Ellipticité dynamique e = (C A)/A (1) 0.03 MHB / Longitude de l'axe d'inertie λ A ± 0, GRO principal A Harmonique sphérique de J 2 = A+B 2C 2M (1) GRO Re degré 2 du géopotentiel 2 Rayon équatorial de la Terre R e (1) m GRO Aplatissement géométrique f 1/ (1) 0.03 GRO Vitesse de rotation Ω rad s 1 GRO moyenne de la Terre Période de Chandler T (1.7) jours 4000 [?] Fréquence de Chandler f C (30) cycle/an 4000 id Nombre de Love de degré 2 restreint à leur partie réelle Terre globale k IERS 2003 [?] charge manteau k IERS 2003 [?] Nombre de Love séculaire k s G(C A) Ω 2 R 2 e Nombre de Love de degré 2 de déformation Terre globale h

78 Bibliographie [1] Chandler S. DC., 1891, Astronomical Journal, 14, 1758, [2] Euler, 1758, Mém. Acad. Sci. Berlin, 14, [3] Hough S. S., 1895, The oscillations of a rotating ellipsoïdal shell containing uid", Phil. Trans. Roy. Soc. London, 186, pp [4] IERS Conventions Dennis D. McCarthy and Gérard Petit. (IERS Technical Note 32) Frankfurt am Main : Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie, pp., paperback, ISBN Disponible sur internet : http ://tai.bipm.org/iers/conv2003/conv2003.html [5] Poincaré H., 1910, Sur la précession des corps déformables", Bulletin Astronomique XXVII, pp [6] Newcomb, S., 1892, On the Dynamics of the Earth's Rotation with respect to the Periodic Variations of Latitude", MNRAS, 248, p [7] Newcomb, S., 1896, The Inuence of Atmospheric and Oceanic Currrents upon Terrestrial Latitudes", Astronomical Journal, 371, pp [8] Vicente, R.O., Wilson 1997, C.R., J. Geophys. Res., Vol. 102, B9, pp [9] de Viron O., Bizouard Ch., Salstein D. and Dehant V. : 1999, `Atmospheric torque on the Earth and comparison with atmospheric angular momentum variations', J. Geophys. Res., 104, No. B3, [10] Sidorenkov N.S., 2002, Fizika nestabil'nostey vrashenia Zemli (Physique des instabilités de la rotation terrrestre), Ed. Fizmatlit, Moscou. [11] Sloudsky, Th., De la rotation de la Terre supposée uide en son inérieur. Bul. Soc. Impériale des Naturalistes, Moscou, vol. IX, n. 2, pp , suite : vol X, pp ,