FEUILLE N 3 - CINÉTIQUE - ÉNERGIE CINÉTIQUE - DYNAMIQUE

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1 FEUILLE N 3 - CINÉTIQUE - ÉNERGIE CINÉTIQUE - DYNAMIQUE Exercice 1- Système Automatique de TRAnquillisation et de Pilotage - Extrait cinétique - énergie cinétique adapté du concours Mines-Ponts 2002 Corrigé page?? Description Afin de stabiliser la plate forme du Porte-Avions 1 Nucléaire (PAN) Charles de Gaulle, la Direction des Constructions Navales (DCN) de la Délégation Générale pour l Armement (DGA) a développé le SATRAP : (Système Automatique de TRAnquillisation et de Pilotage) Ce système permet de réduire les mouvements non désirés du navire : le roulis 1, le lacet 1 et l embardée 1. Ainsi, le PAN, malgré ses dimensions modérées ( tonnes), dispose d une capacité de mise en œuvre de l aviation embarquée sur mer forte équivalente à celle de porte-avions jaugeant tonnes. Cette mise en œuvre nécessite de maintenir le roulis à moins de 2 en route rectiligne ou en giration 1 et la gîte 1 à moins de 1,5 en route rectiligne. La figure 0.1 présente la position des principaux éléments constitutifs. La partie opérative du SATRAP est composée entre autres éléments : des 12 trains de masses mobiles du système COmpensation de GITE (COGITE). de 4 ailerons 1 stabilisateurs. de l appareil à gouverner (safrans 1 ). La partie commande du SATRAP : SCC (Système de Commande et de Calcul) est répartie dans différents locaux. A. Étude du comportement du navire Cette étude a pour but d analyser le système de tranquillisation et de pilotage du navire afin de comprendre son comportement en giration. A.1. Analyse fonctionnelle du dispositif de compensation de gite Le schéma A0 du document réponse précise les trois principales exigences du SATRAP : id1 : TRANQUILLISER LES MOUVEMENTS DU PLAN HORIZONTAL : la plate-forme est stabilisée des mouvements à haute fréquence (houle 1 ) par les quatre ailerons latéraux lorsque le PAN navigue à une vitesse suffisante. 1. voir annexe en page?? 1

2 2 Figure 0.1: Éléments constitutifs id2 : PILOTER EN CAP LE NAVIRE : le PAN maintient son cap 1, notamment durant les manœuvres d appontage, en évitant lacet et embardée, à l aide de l appareil à gouverner. id3 : COMPENSER LA GITE DUE AU VENT ET AUX GIRATIONS : la plate-forme est redressée, après inclinaison due aux girations du PAN et aux mouvements de faible fréquence, par un appareil de compensation de gîte. Afin de permettre les travaux de préparation de l aviation embarquée durant le temps de mise en position du navire face au vent, ce système de compensation de gîte annule l angle de gîte durant la manœuvre de giration. De plus, il participe à la stabilisation du roulis pour les mouvements de basses fréquences. Il est constitué : d un ensemble d acquisition et de traitement SCC connecté à un système de navigation intégré (qui transmet les informations issues des centrales inertielles du bord) et aux capteurs fournissant les mesures de vitesse et de direction du vent. de 12 trains indépendants, d une masse de 22 tonnes chacun, qui se déplacent sur des rails par l intermédiaire de câbles et de treuils. B. Étude de la partie mécanique du COGITE Cette étude a pour but le pré-dimensionnement et le choix des actionneurs et capteurs utilisés dans un train de masses. La partie opérative (Figure 0.2) du cogite est constituée de 12 trains de 12 chariots à quatre roues (masse d un train : M t = kg, inertie des roues négligeable) pouvant se déplacer sur la largeur du navire (±16m). Chaque train est entraîné par un moteur électrique (moment d inertie négligeable) relié à un réducteur (rapport de réduction ω p ω m = n), lui même accouplé à une poulie (rayon r, moment d inertie J p ), tournant à une vitesse ω p, entraînant le câble. Deux freins permettent l arrêt des masses. Le navire est supposé immobile et horizontal par rapport au repère 0.

3 3 Figure 0.2: Partie opérative du COGITE B.1. Constituants de la partie opérative Q1. Identification des constituants. Q1a. En utilisant le schéma Figure 0.2, identifiez les différents constituants de la partie opérative : actionneurs, capteurs et effecteurs, présentez une liste séparée pour chaque type de constituant et précisez leur fonction dans le système. B.2. Recherche du moment d inertie équivalent Q2. Énergie cinétique galiléenne. Q2a. En prenant une vitesse de déplacement des masses égale à V 0, déterminez l énergie cinétique galiléenne de l ensemble d un train {poulie + masses} (la masse du câble est négligée ainsi que les inerties des petites poulies) en fonction de ω m, n, M t, J p, r. Q2b. En déduire le moment d inertie équivalent J eq du point de vue du moteur. B.3. Forme des masses déplacées Dans un article publié à la DCN, MM KUMMER (DGA/DCN), HARDIER et LAMBERT (ONERA) analysent la solution actuelle par rapport aux systèmes classique adoptés antérieurement sur d autres bâtiments (ballastage*). «Le choix du système à masse solide a permis de gagner 20% en masse, 30% en coût d acquisition, 40% en encombrement et 50% en énergie électrique par rapport à un système à transfert de liquide. Il est également beaucoup plus précis et plus simple à concevoir transparent à la première panne...» Q3. Justification du choix retenu. La première solution proposée par l industriel faisait appel à 12 trains formés de 12 rouleaux cylindriques monoblocs roulant sans glisser sur des rails, le reste du mécanisme étant identique (Figure 0.3). Un prototype a été construit et testé. La valeur de la masse totale déplacée dans cette première solution et dans la solution retenue est la même. Q3a. Justifiez le choix effectué en calculant l énergie cinétique de la première solution.

4 4 Figure 0.3: Première solution B.4. Calcul de la puissance La loi de vitesse du déplacement des trains est donnée par la figure 0.4. Q4. Déterminez la puissance galiléenne maximale fournie par le moteur pendant la phase de démarrage (les résistances aux roulements et aux frottements sont négligées). Figure 0.4: Loi de vitesse

5 5 Exercice 2- Gyrometre adaté du gyrometre de la plateforme Steward Corrigé page?? A. Présentation générale et objectif du travail Les capteurs de vitesse angulaire, également appelés gyromètres, sont utilisés sur des systèmes mobiles et en particulier en aéronautique. Le gyromètre étudié dans ce sujet est utilisé en aéromodélisme sur les hélicoptères, depuis 1975, ils sont maintenant remplacés par des gyromètres à semi-conducteurs. Il s agit d un gyromètre dit «1 axe», capable de mesurer la vitesse angulaire autour d un axe seulement, généralement l axe de lacet de l hélicoptère. Le fonctionnement de ce capteur est basé sur les règles fondamentales de la mécanique d une toupie, animée d une vitesse de rotation élevée, et en particulier le phénomène de «couple gyroscopique» dû aux forces de Coriolis. Les gyromètres sont installés sur les modèles réduits d hélicoptères pour faciliter essentiellement les figures de vol stationnaire, pendant lesquelles la machine doit conserver son cap sans être perturbée par le vent de travers. Le rôle du gyromètre est alors de détecter les variations de cap de l appareil, provoquées par le vent ou toute autre perturbation et de les contrer par l intermédiaire du rotor anti-couple situé dans la queue de l hélicoptère. Pour régler correctement la boucle de stabilisation de l hélicoptère, il est nécessaire de connaître la sensibilité du gyromètre (son gain statique) et sa fonction de transfert. Le but de ce sujet est de déterminer analytiquement le gain du gyromètre tournant. A.1. Présentation détaillée du gyromètre FUTABA FP-G 153 BB Le schéma - bloc donné figure 1 distingue les parties mécaniques et électroniques du gyromètre et présente les grandeurs physiques d entrée et de sortie ;. ψ(t) mécanique φ(t) Capteur à effet+ du gyroscope Amplificateur u(t). ψ(t): vitesse de rotation à mesurer; φ(t): grandeur intermédiaire; u(t): tension de sortie, image de la vitesse A.2. Description de la partie mécanique du gyromètre : (voir la figure 0.5) La toupie ou rotor (3) est entraînée en rotation autour de l axe (O, x #» 2 ) par rapport au support (2), par un moteur à courant continu, à une vitesse angulaire ω(t) élevée (entre 6000 et tr/mn). Le moteur est alimenté par une tension de 3,5 V. Cette toupie (3) est constituée d un arbre de diamètre 2 mm, aux extrémités duquel sont montés 2 disques de laiton, donnant au rotor un moment d inertie important autour de cet axe. La pièce intermédiaire (2) dans laquelle est installé le stator du moteur, est en liaison pivot d axe (O, z #» 1 ) avec le solide (1) par l intermédiaire d un roulement à billes. La pièce (2) est rappelée dans sa position d équilibre par deux ressorts identiques. Le châssis (1) est solidaire du mobile dont il faut mesurer la vitesse de rotation (l hélicoptère). Le solide (0) modélise le référentiel galiléen. Lorsque le gyromètre (avec la toupie en rotation) est animé d un mouvement de rotation autour de son axe d entrée (O, y #» 0 ), la toupie et la pièce intermédiaire (2) s inclinent autour de l axe (O, z #» 1 ) perpendiculaire à l axe d entrée. Ce phénomène de «couple gyroscopique» peut être facilement visualisé lorsque le moteur de la toupie est alimenté, en faisant pivoter le capteur autour d un axe perpendiculaire à sa base. C est l angle d inclinaison (φ(t)) de la pièce (2) autour de l axe (O, z #» 1 ) qui constitue la grandeur de sortie de la partie mécanique du gyromètre.

6 6 Figure 0.5: structure mécanique du gyromètre et paramètres L angle d inclinaison (φ(t)) de la pièce (2) est limité par une butée mécanique à ±9. capteur à effet Hall : La mesure de l angle (φ(t)) est réalisée par un capteur à effet Hall qui est situé sur l embase du support du gyromètre et qui mesure les variations de flux magnétique provoqué par un aimant fixé sur la pièce mobile (2). Le capteur à effet Hall est alimenté par une tension de 3,5 V, et il délivre en sortie une tension u(t) qui dépend de l angle (φ(t)). réponse du capteur à effet Hall tension U en Volt angle phi en Série1 Figure 0.6: caractéristique du capteur à effet hall Données Le schéma de la partie mécanique du gyromètre (Voir figure 0.5 ) fait apparaître 4 solides :

7 7 0 : Solide de référence, immobile par rapport à la terre, le repère Lié à 0 est supposé galiléen 1 : Support du gyromètre 2 : Pièce intermédiaire (masse négligeable) 3 : Toupie avec les liaisons suivantes : Liaison Toupie 3 / Pièce 2 : Pivot d axe (O, x #» 2 ) Liaison Pièce 2 / Support 1 : Pivot d axe (O, z #» 2 ) Le châssis (1) est libre par rapport au référentiel galiléen (0) mais nous supposerons dans toute la suite que seule la rotation autour de l axe (O, y #» 0 ) est possible, de même nous supposerons que #» y 1 = #» y 0. Nous imposons en fait entre le support du gyromètre et le référentiel galiléen un mouvement du type liaison pivot d axe (O, y #» 0 ). et les paramètres ψ(t). est la vitesse angulaire d entrée du capteur : ψ = ( z #» 0, z #» 1 ) ; φ(t) est l angle mesuré par le capteur à effet Hall, dont la tension de sortie u(t) est l image : φ = ( x #» 1, x #» 2 ) ; θ(t) est la position de la toupie dθ(t) = ω(t) et θ = ( y #» dt 2, y #» 3 ). Données : h = 11,5 mm : distance AB ; k = 17N m 1 : raideur de chaque ressort ; La matrice d inertie de la toupie (3) est diagonale dans la base R2 : I x = 1, kgm 2 : moment d inertie de la toupie (3) autour de l axe (O, x #» 2 ), I z : moment d inertie de la toupie (3) autour des axes (O, y #» 2 ) et (O, z #» 2 ) ; l inertie de la pièce (2) est négligeable devant celle de la toupie. B. Questions B.1. Justification du phénomène de «couple gyroscopique» On rappelle l expression de la force de Coriolis qui s exerce en un point P de masse d m de la toupie (3), animé d une vitesse V #» P 3/R1 avec V #» P 3/R1 = r ω par rapport au repère R 1, repère mobile par rapport au repère galiléen R 0. #» df coriolis = 2 dm Ω #» R1 /R 0 V #» P 3/R1 Q1. Justifier graphiquement le basculement de l ensemble (2)+(3), par rapport à sa position d équilibre autour de l axe z, lors du pivotement du gyromètre autour de l axe y : Pour cela représenter graphiquement sur la figure 0.7(a) sur le rotor aux points P1, P2, P3, P4 les différentes composantes de la force de Coriolis, et en déduire le phénomène de couple. B.2. Équation différentielle du mouvement Q2. Écrire les torseurs cinématique de (3) par rapport à (2) et de (2) par rapport à (1). En déduire le torseur cinématique du mouvement de (3) par rapport au référentiel galiléen (0). Le mouvement de (1) par rapport à (0) est représenté par le torseur : { { } #» Ω V 1/0 = 1/0 = ψ(t). #» } y 0 #» 0 Q3. Écrire le torseur cinétique du mouvement de (3) par rapport au référentiel galiléen. Q4. Écrire la projection du moment dynamique de (3) par rapport au référentiel galiléen (0) suivant z #» 2. Q5. En vous aidant de la figure 0.7(b), déterminer le torseur d action des ressorts sur (2). l action du ressort 1 sur la pièce (2) s écrit : F #» res1 2 = k (l l 0 ) x #» 1 l action du ressort 2 sur la pièce (2) s écrit : F #» res2 2 = 3k (l l 0 ) x #» 1 Q6. Isoler l ensemble E=(2)+(3), et écrire la projection du théorème du moment dynamique en O suivant z #» 2, en déduire l équation différentielle du mouvement. O

8 8 (a) justification graphique (b) ressorts de rappel Figure 0.7: B.3. Modèle simplifié On suppose pour la suite : la vitesse de rotation de la toupie est constante θ. = ω = cste ; la vitesse de rotation ψ(t). est toujours petite devant la vitesse de rotation de la toupie ψ(t). << ω ; l angle φ(t) est suffisamment petit pour que cosφ(t) = 1 et sinφ(t) = 0. Q7. Montrer que le comportement du gyromètre peut être décrit par une équation différentielle du second ordre en φ(t), à coefficient constant. Q8. Écrire la fonction de transfert du capteur Φ(p) avec Ψ (p) la transformée de la place de ψ(t) et Ψ (p) Φ(p) la transformée de phi(t). Q9. Pouvez-vous donner l allure de la réponse du gyromètre à une entrée en échelon. Q10. Pensez-vous que le modèle simplifié ci-dessus est un modèle pertinent