Comment intégrer les logiciels de géométrie dynamique dans les problèmes de modélisation ou d optimisation?

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1 I.U.F.M. de l Académie de Montpellier Site de Montpellier Comment intégrer les logiciels de géométrie dynamique dans les problèmes de modélisation ou d optimisation? Cas de GeoGebra Mémoire professionnel présenté par : Kvasnikova (Babenko) Inna, Professeur stagiaire de mathématiques au Lycée Pierre Rouge (Montpellier), Responsable d une classe de seconde. Tuteur de mémoire : Bronner Alain Assesseur : Larguier Mirène Année universitaire :

2 Résumé Ce mémoire décrit la conception et la mise en œuvre d activités menées avec les élèves d une classe de seconde sur des logiciels de géométrie dynamique, en particulier sur GeoGebra. Les activités reposent sur l idée de changement des points de vue: numérique, algébrique, géométrique, informatique. Ce passage d un cadre à un autre, notamment dans les problèmes de modélisation et d optimisation permet d accéder à de nouveaux outils et techniques qui facilitent la démarche mathématique et conduisent finalement à la solution des problèmes. Дипломная работа описывает концепцию и проведение практических занятий во втором классе лицея с использованием программных пакетoв динамической геометрии, в частности, GeoGebra. Во время этих занятий ученики вынуждены рассматривать задачу с разных точек зрения: c аналитической, алгебраической, геометрической, вычислительной. Переход от одного кадра к другому, в особенности в задачах моделирования и оптимизации, обогащается возможностью использования новых методов и техник, которые облегчают решение проблем и в итоге приводят к решению. Mots-clés : géométrie dynamique, GeoGebra, modélisation, optimisation, cadre. 2

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4 Sommaire Introduction 5 Partie I. Première expérience 7 I.1. Analyse a priori...9 I.2. Analyse a posteriori...11 Partie II. Réflexions, apports théoriques 13 II.1.Analyse institutionnelle.13 II.2 Analyse théorique...16 II.2.1. Objectifs généraux de l enseignement de géométrie au lycée II.2.2. Analyse didactique : jeux de cadres II.3. Choix du scénario intégrant un logiciel de géométrie dynamique...19 Partie III. Expérimentation. III.1. Analyse a priori 22 III.2. Analyse a posteriori Conclusion..30 Bibliographie...32 Annexes 4

5 Introduction Le développement ultra rapide de nouvelles technologies dans les années a transformé notre vie dans tous les domaines. Les moyens de calcul et de simulation plus que modestes dont disposaient les scientifiques il y a encore quarante ans ont cédé la place aux ordinateurs capables d effectuer des calculs complexes à une vitesse incroyable. Ce progrès énorme dans le domaine de l informatique a provoqué une vraie révolution dans les sciences telles que la physique, la chimie, la biologie, les mathématiques etc. L enseignement de ces matières ne pouvait pas rester insensible à tous ces changements. Désormais les Technologies de l Information et de la Communication pour l Enseignement (TICE) occupent une place importante dans l enseignement de toutes les matières scientifiques au collège et au lycée et, en particulier, dans l enseignement des mathématiques. Les ressources logicielles en mathématiques mises à la disposition des professeurs de mathématiques sont constituées de tableurs, de logiciels de géométrie, de logiciels de calcul formel, de traceurs de courbes et de graphes et de «exerciseurs». Ce mémoire est consacré principalement aux activités conçues pour les logiciels de géométrie dynamique, plus particulièrement, pour GeoGebra. Ces logiciels permettent une approche dynamique de la construction de figures et facilitent la résolution de problèmes. Ils permettent aussi de varier et d associer facilement des points de vue différents : numériques, fonctionnels, graphiques, géométriques. Même si j ai toujours suivis l actualité dans le domaine de l informatique, j ai été impressionnée par les possibilités offertes par les logiciels de géométrie dynamique. La question que je me suis posée au début a été la suivante : Comment les logiciels de géométrie (GeoGebra) peuvent-ils aider à résoudre les problèmes de modélisation et dans un deuxième temps : comment peut-on intégrer GeoGebra dans la résolution des problèmes de modélisation et d optimisation? Dans mon mémoire j essayerai de répondre à cette question. Je décrirai d abord la première activité sur GeoGebra que j ai proposée à mes élèves, ensuite je présenterai quelques auteurs dont les recherches ont fait avancé la propension des TICE dans le 5

6 milieu scolaire. La partie suivante du mémoire sera consacrée à l expérimentation que j ai faite avec ma classe en tenant compte de toutes les nouvelles connaissances théoriques et de l analyse de cette expérimentation. Les expérimentations ont été effectuées pendant mon année de stage au LEGT Pierre Rouge à Montpellier avec la classe seconde 4. La classe est composée de 26 élèves (21 garçons et 5 filles) qui suivent l option SES ou ISING. Les élèves sont agréables, participatifs mais de niveau plutôt faible. Il est vrai aussi que les outils informatiques intéressent beaucoup les élèves qui ont choisi la filière STI ou SCI : ils sont toujours très enthousiastes à l idée de réaliser une activité sur calculatrice ou sur ordinateur. 6

7 Partie I. Premières expériences. Pendant le cours introductif au chapitre de géométrie plane, j ai pu constater un vif intérêt de mes élèves pour la démonstration des figures mobiles sur Cabri à l aide d un vidéo projecteur. Ensuite à l IUFM, nous avons eu une formation spécifique consacrée aux logiciels de géométrie dynamique où j ai découvert différents éducatifs et notamment GeoGebra. La possibilité de construire des figures géométriques et de faire des calculs algébriques simultanément m a fascinée et j ai décidé de partager mon intérêt avec mes les élèves et de les emmener à la salle informatique pour une prise en main de GeoGebra. La séquence «Triangles isométriques et triangles semblables» y a été propice. GeoGebra a été installée sur les ordinateurs de mon établissement, j ai préparé une fiche d activité avec des consignes très détaillées car je ne connaissais pas du tout les aptitudes en informatique de mes élèves. La prise en main du groupe n 1 s est très bien passée, car même les élèves faibles ont réussit à construire toutes les figures demandées. J ai rajouté des questions supplémentaires pour le groupe n 2 et les élèves ont tout de même, tous réussi. J ai remarqué que leur niveau en mathématiques n influençait pas forcement leurs capacités de manipulation du logiciel et même, souvent les élèves moyens trouvaient plus vite de bonnes icônes et étaient plus habiles pour manipuler la souris. En plus la réussite les encourageait à continuer de faire des efforts pendant les cours habituels. Depuis cette séance, j ai décidé d utiliser GeoGebra régulièrement. Au mois de décembre, nous avons étudié la résolution algébrique des équations et des inéquations. La mise en équation ou en inéquation d un problème réel méritait une activité. J ai décidé d en faire une pendant ma visite formative du 14 décembre Objectifs de l activité. Les objectifs de cette séance étaient les suivants : - modéliser une situation concrète; - mettre en équation un problème géométrique; 7

8 - montrer un lien entre les problèmes géométriques et les problèmes algébriques ; - utiliser un logiciel de géométrie dynamique («Geogebra») pour conjecturer, calculer et observer les résultats. Matériaux. - élèves : les élèves étaient en possession d une fiche d activité (Annexe 1). - professeur : vidéo projecteur branché à un ordinateur, logiciel «GeoGebra». Scénario. 1. Installation des élèves, explications du professeur, distribution des fiches avec les consignes de travail, 5 minutes. 2. Travail individuel pendant 5 minutes sur le premier exercice. 3. Construction par un élève d une figure mobile 1 sur «GeoGebra», recherche des solutions, résolution par un autre élève du premier exercice au tableau, 15 min. Fig.1. Construction d un carre de coté BC. 4. Travail individuel pendant 5 minutes sur l exercice n 2. 8

9 5. Observation des étapes de la construction de la figure 2 préparée par le professeur, recherche des solutions, 5 minutes. Fig. 2. Parallélépipède avec le périmètre de base fixe. 6. Résolution de l exercice n 2 au tableau, 10 minutes. 7. Bilan. I.1. Analyse a priori de la séance. 1. Organisation mathématique Place dans la progression : Cette séance se situait dans le chapitre intitulé «Equations et inéquations». Nous avions travaillé sur la résolution d équations du premier et du second degré depuis 10 jours. Les élèves ont été déjà allés en salle d informatique pour faire une activité sur les transformations, les triangles isométriques et les triangles semblables à l aide de «GeoGebra» Références au programme : 9

10 Ce cours est adjacent aux différentes parties du programme, en particulier : géométrie, calcul et fonctions, utilisation des TICE. Dans les textes officiels nous pouvons lire : «Lors de la résolution de problèmes, on dégagera, pour certains exemples étudiés, les différentes phases du traitement : mathématisation et mise en équation, résolution On exploitera les possibilités offertes par les tableurs, par les grapheurs et par les logiciels de géométrie» Pré requis : Géométrie de collège, équations et inéquations du premier et du second degré Type de tâche : Mettre en équation ou en inéquation des problèmes géométriques et les résoudre Technique : Construire des figures mobiles sur «GeoGebra» et les utiliser pour conjecturer et trouver les solutions à l aide du logiciel. Ensuite retrouver les solutions algébriquement Savoirs. Théorème de Pythagore, identités remarquables, formules d aire et de volume. 2. Organisation didactique Analyse des différentes phases de la séance. 1. Travail individuel pendant 5 minutes sur le premier exercice. (Le professeur circule entre les rangs pour répondre aux questions éventuelles et surtout pour suivre l avancement des élèves). Remarque: cet exercice dans sa partie géométrique est une application directe du théorème de Pythagore. Difficultés éventuelles : Résolution d une double inégalité. 2. Construction par un élève d une figure mobile sur «Geogebra», recherche des solutions. (Le professeur assiste à la construction). Difficultés éventuelles : On ne peut pas prévoir le temps nécessaire pour la construction de la figure. 10

11 3. Résolution par un autre élève du premier exercice au tableau. 4. Travail individuel pendant 5 minutes sur l exercice n 2. Difficultés éventuelles : Il faudra peut-être rappeler la formule du volume du parallélépipède. 5. Utilisation du fichier «GeoGebra» préparé d avance par le professeur. Recherche de la solution. 6. Résolution de cet exercice au tableau. Remarque: c est un grand classique, il faudra revenir à cet exercice dans le chapitre «Fonctions». 7. Bilan. Remarque: je proposerai de faire le bilan du cours à (aux) élève(s). I.2. Analyse a posteriori. C était la première fois que je concevais et réalisais une activité de modélisation sur un logiciel de géométrie dynamique. Les élèves ont observé la construction de la figure de l exercice n 2 et nous avons pu remettre ce problème en équation. Finalement les phases prévues a priori ont été effectuées à temps. Mes élèves ont été enchantés à la vue du triangle et du carré dont les tailles variaient en fonction de l emplacement du point mobile : le caractère «dynamique» de GeoGebra a été beaucoup apprécié. Ils ont réussi à conjecturer les résultats et à résoudre algébriquement l exercice n 1. Il me semblait important que mes élèves prennent conscience que l ordinateur ne peut remplacer la résolution classique des problèmes. J ai souligné plusieurs fois qu il s agissait d hypothèses et pas d une solution mathématique. J ai remarqué que l utilisation du logiciel avait permis une meilleure compréhension des élèves faibles, qui avaient conjecturé très facilement. Même si l activité a abouti aux résultats attendus je n étais pas totalement satisfaite du déroulement et du contenu de cette séance. 11

12 Premièrement, j ai très bien vu que les élèves étaient déçus de ne pas pouvoir manipuler eux mêmes le logiciel. Ils sont déjà allés dans la salle informatique et ils s attendaient à jouer un rôle plus actif que celui de simples observateurs. Ensuite, nous avons rédigé la solution algébrique dans leur cahier d exercices. Pour la plupart des élèves c était une suite logique de leurs conjectures à l aide du logiciel mais il y avait des élèves pour qui le fait de rédiger un exercice dans le cahier représentait un changement d activité. J ai lu le programme officiel et je savais que dans tous les cas l adaptation des exercices aux TICE devait être justifiée. Après avoir analysé la séance, le choix d exercices ne me paraissait plus irréprochable. J ai réalisé que j aurais pu rendre l activité encore plus profitable aux élèves si, par exemple, j avais modifié l exercice n 1 de telle sorte que les valeurs de x trouvées à l aide de Geogebra ne soient pas entières. J ai compris aussi qu il était difficile pour les élèves de construire ou d observer deux figures sur GeoGebra en une heure : ils ont mis du temps pour s approprier la situation et pouvoir conjecturer. Nous n avons pas eu assez de temps pour revenir au problème initial. Après avoir testé cette activité et avant d en faire une autre, j ai décidé d effectuer des recherches sur l utilisation des logiciels éducatifs dans l enseignement des mathématiques pour bien choisir le sujet, mieux cibler les objectifs et réfléchir sur l organisation didactique de cette nouvelle activité. 12

13 Partie II. Réflexions, apports théoriques. II.1.Analyse institutionnelle. «Les technologies de l'information et de la communication dans l enseignement des mathématiques au collège et au lycée». Le point de départ pour moi était la lecture des textes officiels : ceux du programme et du document d accompagnement du programme de mathématique de la classe de seconde et ensuite une consultation du site Educnet qui propose des documents généraux des séquences et des fichiers issus des serveurs académiques sur les différents chapitres de ce programme de seconde. Tout d abord, tous les textes parlent de la place des TICE en mathématiques. L objectif de l enseignement des mathématiques est de développer progressivement les capacités d expérimentation et de raisonnement, d imagination et d analyse critique des élèves. «À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l apprentissage progressif de la démonstration, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu est une véritable activité mathématique, identifier un problème, expérimenter sur des exemples, conjecturer un résultat, bâtir une argumentation, mettre en forme une solution, contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en fonction du problème étudié». Le progrès technique a mis à la disposition des professeurs des logiciels adaptés à de nombreux domaines d enseignement de mathématiques qui permettent de réaliser des travaux très variés : - «obtenir rapidement une représentation d un problème, d un concept afin de lui donner du sens et de favoriser son appropriation par l élève ; - relier différents aspects (algébrique, géométrique, ) d un même concept ou d une même situation ; - explorer des situations en faisant apparaître de façon dynamique différentes configurations ; 13

14 - émettre des conjectures à partir d une expérimentation interactive lors de l étude d un problème comportant des questions ouvertes ou d une certaine complexité, et de procéder à des premières vérifications ; - se consacrer à la résolution de problèmes issus de situations courantes, alors que les calculs sont longs ou complexes ; - procéder rapidement à la vérification de certains résultats obtenus». Il s agit dans tous les cas de l enrichissement de l apprentissage des mathématiques en exploitant au maximum les possibilités offertes par les TICE. Ensuite, le document d accompagnement évoque les différents types de ressources logicielles en mathématiques : les tableurs ; les logiciels de géométrie (Cabri, Geoplan, Geospace, Geonext, Geogebra, Tracenpoche); les logiciels de calcul formel (Derive) ; les traceurs de courbes et de graphes (Geonext) ; les «exerciseurs». Les logiciels de géométrie occupent une place très importante parmi tous les autres outils informatiques : ils «permettent une approche dynamique de la construction de figures et par la mise en valeur d invariants facilitent la résolution de problèmes» ; aident à «varier et associer facilement les points de vue (numériques, fonctionnels, graphiques, géométriques) et contribuent à l unité de la formation donnée aux élèves» ; facilitent la modélisation des problèmes réels et permettent de conjecturer les propriétés à démontrer : «la route vers la démonstration est alors ouverte Toute attention peut se porter alors sur la démonstration : plutôt qu'une preuve de l'évidence, celle-ci se présente comme l'explicitation d'un processus permettant de passer des caractéristiques de la figure fixées par l'énoncé (utilisées en particulier pour la construire) à cette propriété observable» [document d accompagnement des programmes de seconde]. Une partie du document d accompagnement du programme est consacrée à l organisation didactique et à la mise en œuvre des séances TICE en classe de seconde. Le professeur détermine pour chaque situation la stratégie d utilisation la plus adaptée. Une activité sur les TICE peut être organisée en classe, elle est alors courte et sert à illustrer une définition ou une propriété au moment où elles sont introduites. La 14

15 présence d un dispositif de vision collective (vidéo projecteur, ordinateur portable, tablette rétro projetable, ) est donc indispensable. Les activités peuvent être organisées en salle d informatique. Dans ce cas il est préférable que la séance se déroule sous forme de TP sur ordinateur. Les élèves, en groupe restreint, peuvent être seuls ou à deux par poste. «Pour une telle séance, il convient que les trois conditions suivantes soient remplies : la séquence informatique est simple et progressive de sorte que tous les élèves puissent effectivement travailler pendant la totalité de la séance et arriver à un résultat, même modeste ; la manipulation sur l ordinateur est complétée par un travail mathématique écrit ; une conjecture est validée par une démonstration, un contre-exemple s intègre dans la restitution, etc. ; un compte rendu de TP est demandé et corrigé par le professeur». La troisième possibilité se présente si la salle informatique permet à la fois le travail d une partie des élèves au clavier et de l autre partie sur des tables ordinaires, il faut prévoir «une alternance des élèves derrière les ordinateurs de façon à marquer de manière plus nette la complémentarité du travail mathématique» au travail à l aide d un logiciel. En conclusion je voudrais souligner que tous les textes officiels sont unanimes: «On ne perdra pas de vue, lors des séances utilisant les TICE, le travail mathématique à réaliser : mise en perspective durant l'activité et synthèse finale sont fondamentales pour ne pas se laisser entraîner par les seuls aspects techniques». 15

16 II.2 Analyse théorique. II.2.1. Objectifs généraux de l enseignement de la géométrie dans les lycées. Après avoir retrouvé les sources institutionnelles qui imposent l utilisation des TICE dans l enseignement des mathématiques et surtout après avoir réellement apprécié les logiciels de géométrie, je me suis intéressée aux objectifs principaux de l enseignement de la géométrie dans les lycées. Ces objectifs sont les suivants (MARION J. et le GREG de l IREM d Aix-Marseille,1988): Les objectifs culturels : souvent les objets d étude géométrique sont issus des problèmes de modélisation, de divers modes de représentation de ces objets se sont développés de manière spécifique. «Le langage géométrique est devenu un langage universel des sciences, débordant largement le cadre de la géométrie». Il faut que les élèves comprennent aussi que la réussite de la résolution de problème est définie par le choix de la «bonne méthode» qui résulte à son tour d une analyse approfondie du problème initial. Les objectifs de développement de la démarche scientifique chez les élèves : l'enseignement de la géométrie est propice à l apprentissage par les élèves de la démarche «analyse - synthèse» : ils doivent s approprier la situation, analyser la configuration géométrique, faire «l'analyse - synthèse» et finalement résoudre le problème initial. On peut ajouter aussi les objectifs d'acquisition de connaissances purement «géométriques» et leur investissement éventuel dans la résolution des problèmes issus de différents secteurs scientifiques : mathématiques, physique, etc. La stratégie et les perspectives de l enseignement de la géométrie sont fondées sur toutes sortes d analyse : scientifique, épistémologique et didactique. Par exemple, parmi les apports d analyse épistémologique je voudrais en évoquer quelques-uns qui me paraissent très importants : «a) l'élaboration de théories [géométriques] n'est pas une fin en soi, mais une démarche mise au service d'une efficacité accrue dans la résolution de problèmes ; b) l objectif des activités de géométrie est de faire fonctionner de manière cohérente et efficace les différents concepts en vue de résoudre des problèmes issus des champs 16

17 d'investigation ou du champs d'intervention de la géométrie. Le fonctionnement des concepts recouvre à la fois des modes d'organisation des concepts de la géométrie, leurs modes d'interventions dans la résolution des problèmes, et leurs modes d'interaction avec les concepts d'autres secteurs. c) Le statut théorique des concepts recouvre les diverses méthodes d'intégration de ces concepts au savoir déjà constitué». Une place très particulière est attribuée aux problèmes de recherche des valeurs extrémales de mesures : l aire ou le volume maximaux ou minimaux. Souvent ces problèmes sont exclus de l'enseignement de la géométrie: «on considère que ce sont des problèmes qui sont du ressort de l'analyse qui dispose d'un certain nombre de moyens». Et c est une erreur car ces problèmes, très variés, jouent un rôle important: «ils mettent en jeu des connaissances de géométrie et nécessitent de plus une analyse fine des problèmes d'optimisation». II.2.2. Analyse didactique : jeux de cadres. Grâce au tuteur de mon mémoire, j ai pu faire la connaissance de quelques chercheurs en didactique dont Régine Douady (DOUADY R., 1986). Son article «Jeux de cadres et dialectique outil - objet» est le résultat de quatre ans de recherches et d expérimentations dans une classe de l école primaire. Elle considère deux aspects d un concept mathématique : l aspect outil et l aspect objet. «Un concept est outil lorsque nous focalisons notre intérêt sur l usage qui en est fait pour résoudre un problème. Les concepts ainsi crées s intègrent dés lors au corps des connaissances déjà constituées, pour les étendre ou se substituer à certaines d entre elles. Ils acquièrent le statut d objet». Ensuite Régine Douady définit les notions de cadre (algébrique, arithmétique, géométrique, ) et de changement de cadres. «Un cadre est constitué des objets d une branche des mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuelles diverses et des images mentales associées à ces objets et ces relations». «Le changement de cadres est un moyen d obtenir des formulations différentes d un problème qui sans être nécessairement tout à fait équivalents, permettent un nouvel 17

18 accès aux difficultés rencontrées et la mise en œuvre d outils et techniques qui ne s imposaient pas dans la première formulation». Elle propose de construire «des connaissances mathématiques en faisant jouer la dialectique outil objet au sein de jeux de cadres appropriés». La construction d un nouveau type d enseignement est possible à condition qu il soit fondé sur les quatre points suivants : la dialectique outil objet, la dialectique ancien nouveau, les jeux de cadres et le choix des problèmes répondant aux conditions suivantes : - «l énoncé a un sens pour les élèves ; - les élèves peuvent engager une procédure de résolution, mais ils ne peuvent pas résoudre complètement le problème ; - les connaissances visées par l apprentissage sont des outils adaptés au problème ; - le problème peut se formuler dans au moins deux cadres différents». «On peut construire effectivement des connaissances en mathématiques en faisant jouer la dialectique outil objet au sein de jeux de cadres appropriés». La partie centrale de l article est consacrée à la description de la dialectique outil objet (DOO) qui représente un cycle d apprentissage constitué de plusieurs phases différentes. L objectif principal de ce processus est de donner un statut d objet aux concepts initialement utilisés comme outils. Pour faire avancer les phases de recherche, Régine Douady propose des «jeux de cadres» - changements de cadres provoqués à l initiative du professeur à l occasion de la résolution d un problème. Les règles de ces «jeux de cadres» sont les suivantes : premièrement, les élèves sont conduits pour trouver la solution d un problème à traduire tout ou une partie de ce problème dans un autre cadre. Cette phase s appelle «transfert et interprétation». Les correspondances entre les cadres choisis «sont imparfaits soit pour des raisons mathématiques, soit à cause des connaissances insuffisantes des élèves. La situation est source de déséquilibre». Les élèves cherchent à améliorer les correspondances, à rééquilibrer la situation. Cette recherche joue le rôle principal dans le progrès de la connaissance. 18

19 II.3. Choix du scénario intégrant un logiciel de géométrie dynamique. Depuis une vingtaine d année les travaux des créateurs de Cabri géométrie Colette Laborde et Bernard Capponi servent de référence dans le domaine des logiciels de géométrie. Leurs recherches montrent comment les logiciels de géométrie dynamique et notamment de Cabri géométrie peuvent être insérés dans l enseignement classique des mathématiques : «tout en présentant une rupture par rapport à des pratiques antérieures de constructions de figures», ils «se placent dans une continuité au niveau de la réflexion et de l apprentissage de l enseignement de la géométrie» (CAPONI, 2000, CLAIROU PH., LABORDE C., CAPPONI B., 2001). Les programmes actuels insistent sur l importance de l expérimentation et des conjectures en géométrie. La possibilité offerte par les logiciels de géométrie dynamique de déplacer une figure et d observer des invariants ou des propriétés constitue un moyen puissant pour la production des conjectures et la validation: les élèves encouragés par cette possibilité d exploration font preuve de persévérance dans leurs recherches et se lancent alors dans un processus de validation pour satisfaire leur curiosité. Tous les logiciels de géométrie dynamique dont Cabri, Geonext, Geogebra, Geoplan permettent aussi de varier et d associer les cadres différents, contribuant ainsi au processus d acquisition de nouvelles connaissances. Sans aucun doute celui qui a le plus grand spectre de possibilités de passer d un cadre à l autre est GeoGebra. C est un logiciel dynamique de mathématiques qui regroupe la géométrie, l algèbre et le calcul différentiel. Ce logiciel relativement récent a été créé dans un but éducatif pour l enseignement secondaire par Markus Hohenwarter de l'université de Salzburg. D'une part, GeoGebra est un logiciel de géométrique dynamique. Il permet d élaborer «des constructions comprenant des points, des vecteurs, des segments, des droites, des coniques et même des courbes représentatives de fonctions et de les modifier interactivement». D autre part, les formules, les équations et les coordonnées peuvent être saisies directement. «GeoGebra est capable de travailler avec des 19

20 variables numériques ou vectorielles ainsi qu'avec des points, il peut trouver les dérivées et intégrales de fonctions». Ces deux approches sont caractéristiques du fonctionnement de GeoGebra : une expression dans la fenêtre "algèbre" correspond à un objet dans la fenêtre "géométrie" et vice versa. Cela distingue GeoGebra de tous les autres logiciels éducatifs. Une fois le logiciel choisi comment déterminer si une activité mérite d être faite à l aide de ce logiciel ou non? Voici les critères, «qui peuvent aider à effectuer un choix et témoignent de la variété des situations qu'il est intéressant de proposer aux élèves : Problèmes issus de situations courantes, pour lesquels les calculs sont longs ou complexes : les élèves vont se concentrer sur la modélisation du problème, le pilotage de la démarche de calcul et sur la vérification de la pertinence des résultats obtenus. Problèmes pour lesquels il faut effectuer un pilotage "intelligent" de l'expérimentation (choix des paramètres pertinents, réflexion sur la rapidité de la méthode choisie...). Problèmes de construction, pour lesquels la mise en oeuvre de la construction nécessite une réflexion mathématique. Situations pour lesquelles la réalisation avec les TICE peut servir de support à la démonstration». Ayant résolu les problèmes pratiques liés à l organisation de la séance TICE l enseignant de mathématiques est confronté aux questions suivantes : Quels documents sont à distribuer aux élèves? «Quel équilibre réaliser entre activités sur ordinateur et papier - crayon? Quels exercices d applications proposer ensuite? Quelles synthèses prévoir? Faut-il mettre en place de nouvelles modalités d évaluation?». Le développement de véritables «scénarios d usage» prenant en 20

21 compte les problèmes de gestion de classe et les interactions entre élèves et enseignants est donc une question cruciale pour l intégration des TICE». Le «scénario» est la «présentation de la séquence et de ses objectifs, les documents utilisés par les élèves, mais aussi des documents d accompagnement devant faciliter la mise en œuvre de la séquence en classe par un enseignant n ayant pas participé à son élaboration» (CLAIROU PH., LABORDE C., CAPPONI B., 2001). Il faut aussi préciser les pré- requis des élèves, le temps estimé et faire des commentaires sur le déroulement de la séance, les difficultés et les dépassements éventuels. «Les nouvelles technologies sont des outils au service de l enseignement et de l apprentissage et sont utilisées pour améliorer la compréhension des élèves. Les consignes données aux élèves doivent être rédigées avec nombreuses précisions sur le maniement technique du logiciel pour que l élève puisse se concentrer sur la partie mathématique de façon rapide et autonome» (CLAIROU PH., LABORDE C., CAPPONI B., 2001). 21

22 Partie III. Expérimentation. III.1. Analyse a priori de la séance. Description de la séance : Après la lecture analytique des ouvrages consacrés à l enseignement des mathématiques intégrant des TICE et en tenant compte de mon propre expérience après les premières séances dans la salle informatique, j ai décidé de concevoir et de mettre en œuvre une activité qui pourrait satisfaire toutes les exigences que j aurais jugé nécessaires d imposer. Si le choix de logiciel GeoGebra me paraissait évident il fallait que je trouve un problème qui était assez riche d une part et propice pour l utilisation du logiciel de géométrie dynamique de l autre. Je voulais proposer aux élèves de modéliser une situation réelle qui devait se transformer en problème géométrique. En janvier et en février nous avons étudié les généralités sur les fonctions, en particulier les notions de minimum et de maximum. Donc mes élèves étaient capables de réfléchir sur des problèmes d optimisation. Petit à petit le contenu de l activité a pris des formes concrètes. La préparation des séances (j ai décidé d en faire deux) a demandé beaucoup de réflexion car j ai essayé de profiter de tous les apports théoriques dont j ai pu faire la connaissance. Pendant les vacances de février j ai proposé aux élèves de trouver sur Internet une image qui avait un rapport avec l Egypte ancien : une peinture égyptienne, une fresque, une photo des pyramides, un paysage etc. Je voulais qu ils personnalisent leurs fichiers GeoGebra. Au final l activité s est présentée de la façon suivante : L énoncé : Le pharaon Ramsès II voudrait construire une pyramide. Selon les coutumes la pyramide doit avoir pour base un carré de coté 4 khèts (ancienne mesure de longueur en Egypte), sa hauteur doit atteindre 2 khèts et la pyramide doit contenir une salle principale en forme d un parallélépipède avec une base carrée. 22

23 Ramsès II souhaite que cette salle soit la plus spacieuse possible et que le mur du fond ait la surface maximale pour qu il puisse y mettre sa fresque préférée. Donc le pharaon pose trois questions à son architecte : 1. Pour quelle longueur de la salle la surface du mur du fond est maximale? 2. Pour quelle longueur le volume de la salle est maximal? 3. Est-ce que les deux vœux du pharaon peuvent être exaucés en même temps ou doit-t-il choisir entre les deux? L architecte Numérobis ne peut pas donner de réponse claire, donc c est à vous de résoudre ce problème. Objectifs de l activité: - modéliser une situation concrète; - résoudre deux problèmes d optimisation ; - utiliser un logiciel de géométrie dynamique («Geogebra») pour conjecturer, calculer et comparer les résultats. - réviser proportionnalité, grandeurs et mesures ; - étudier les variations d une fonction. Dans cette activité les élèves sont confrontés à un problème imaginé mais issu de la situation classique de recherche de la surface et du volume maximaux. Pour mieux comprendre l énoncé ils sont obligés de transformer le cadre réel en cadre géométrique. En cours de résolution ils s aperçoivent que cela ne suffit pas. Les élèves savent faire le recours à l algèbre : mettre en équations et en inéquations certains problèmes géométriques. Cette fois ils disposent deux autres outils très puissants - les fonctions et le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra. En utilisant la terminologie de Régine Douady on peut présenter cette activité comme le cycle des changements de cadres ayant pour but la résolution du problème initial : 23

24 Cadre réel cadre de la représentation géométrique cadre de la représentation informatique cadre des fonctions cadre algébrique de nouveau cadre informatique résolution du problème retour dans le cadre réel. Matériaux. Les élèves sont en possession d une fiche d activité (Annexe 2), ils sont deux par poste équipé du logiciel «GeoGebra». Scénario. Séance 1 (1h en salle informatique et 20 min de recentrage pendant le cours en classe) : 1. Installation des élèves, explications du professeur, distribution des fiches avec les consignes de travail. 5 min. 2. Travail individuel des élèves pendant 25 min: analyse du premier fichier GeoGebra, création d un autre fichier avec une figure mobile (Etape 1 et Etape 2 de la fiche d activité). Fig 3. Fichier «Pyramide». 24

25 3. Contrôle intermédiaire du professeur (vérification de la validité de la construction). 4. Travail individuel des élèves pendant 25 min (Etape 3) sur la suite de l activité. 5. Correction en classe de la première partie de l activité. Séance 2 (1h en salle informatique une semaine plus tard et 15 min de recentrage pendant le cours en classe qui suivit le travail en salle d informatique). 1. Installation des élèves, distribution des fiches avec la partie II, 5 min. 2. Travail individuel des élèves pendant 25 min (Etape 1). 3. Contrôle intermédiaire du professeur (vérification de la saisie des formules). 4. Travail individuel des élèves pendant 20 min (Etape 2) sur la suite de l activité. 5. Relevé des fiches des élèves. 6. Bilan : Fig 4. Représentation graphique des fonctions «aire» et «volume». 25

26 Organisation mathématique Place dans la progression : Ces deux séances dans la salle informatique suivent le chapitre «Les généralités sur les fonctions». Avant les élèves ont étudié les chapitres suivants : «Nombres», «Ordre. Valeur absolue», «Configurations du plan», «Transformations et triangles», «Equations et inéquations, tableau de signes», «Vecteurs et repérage dans le plan» Références au programme : Ce cours est adjacent aux différentes parties du programme, en particulier : géométrie, calcul et fonctions, utilisation des TICE. Dans la deuxième partie de mon mémoire j ai déjà analysé des textes officiels dont l idée principale est suivante : «Lors de la résolution de problèmes, on dégagera, pour certains exemples étudiés, les différentes phases du traitement : mathématisation et mise en équation, résolution On exploitera les possibilités offertes par les tableurs, par les grapheurs et par les logiciels de géométrie» Pré requis : Géométrie de collège, notions de fonction, sens de variation, extremum Type de tâche : Analyser la situation réelle, modéliser un problème, construire des figures mobiles sur «GeoGebra» et les utiliser pour conjecturer et trouver les solutions à l aide du logiciel. Ensuite retrouver les solutions à l aide du tableau de variation d une fonction Savoirs. Formules d aire et de volume, définitions de la fonction, de l extremum, variations d une fonction, forme canonique, proportionnalité, grandeurs et mesures. 26

27 III.2. Analyse a posteriori de la séance. Séance 1. Lorsque j ai dit à mes élèves de trouver des images «égyptiennes» sur Internet j ai eu beaucoup de questions dont : «Pourquoi?», «Et si on ne retrouve rien?», «Qu est ce que je fais, je n ai pas de clé USB?» etc. Donc j étais assez sceptique et pour que les élèves puissent faire l activité dans sa totalité j avais sur ma clé quelques photos avec des pyramides et des masques de pharaons. Le 6 mars j ai accueilli ma classe dans la salle informatique et à ma surprise presque tous les élèves avaient des images sur les clés et ils en ont même téléchargé quelques unes pour les donner à ceux qui n en avaient pas. J ai distribué des fiches d activité et les élèves se sont mis au travail. La première partie n a pas posé trop de problèmes : ils ont pu analyser le fichier «Pyramide», remarquer que le volume et l aire variaient lorsque le point mobile se déplaçait et ensuite ils ont construit la coupe. J ai vérifié la validité des constructions et quelques élèves ont été obligés de recommencer car leurs figures n ont pas été correctement construites. A partir de ce moment deux groupes se sont formés naturellement : ceux qui avaient réussit de dessiner la coupe travaillaient sur la suite de l activité, les autres rectifiaient leurs constructions. Sans aucun doute l insertion de la fresque a été le moment le plus intéressant pour les élèves. Même si cette étape n a pas de rapport directe avec la résolution du problème posé je ne regrette pas du tout de l avoir rajouté à l activité : à la vue de l image qu ils ont trouvée la veille sur Internet qui était en train de prendre des formes différentes les élèves ont été émerveillés. Je pense que d un point de vue pédagogique le fait de créer quelque chose de personnel a joué un rôle important dans la suite de l activité car une semaine plus tard en revenant dans la salle informatique les élèves voulaient à tout prix être devant le même ordinateur que la semaine précédente pour retrouver «leur» fichier. C était notre premier cours après les vacances, et les élèves ont eu un peu de mal à se souvenir de la forme canonique et de trouver le maximum de la fonction «Aire» 27

28 algébriquement. Le recentrage a été indispensable : les élèves avaient besoin d être rassurés qu ils se trouvaient sur la bonne voie. Le lendemain nous avons fait la correction de la partie théorique de l activité. Il est vrai que travailler en classe sur les variations d une fonction a été beaucoup moins passionnant que le travail dans la salle informatique. Mais les élèves ont bien compris que c était dans la logique de l activité. Séance 2. Une semaine plus tard nous nous sommes retrouvés dans la salle informatique pour poursuivre l activité : étudier les variations des fonctions «Volume» et «Aire» et finalement répondre aux questions du problème initial. A cause d un problème technique nous avons perdu 5-10 minutes de cours. Mais, heureusement, pendant la deuxième séance les élèves ont été beaucoup plus rapides et autonomes. De plus ils s entraidaient : ceux qui avaient déjà affiché les fonctions «Aire» et «Volume» assistaient aux constructions de leurs voisins. Ils ont tous réussit à conjecturer, mais par contre les questions bonus ont été faites seulement par deux élèves. Les deux aspects techniques de GeoGebra qui ont joué le rôle principal dans la partie 2 (la fenêtre d algèbre et la fonction «Trace») ont été réellement appréciés par les élèves : la possibilité de voir la figure géométrique et les courbes représentative des fonctions «Aire» et «Volume» simultanément les a amené à la solution. J ai pu observer un vif intérêt que mes élèves ont montré pour les problèmes de modélisation. Malgré le niveau qui est assez hétérogène ils se sont tous engagés dans la démarche de résolution à l aide du logiciel, et cet enthousiasme ne s est pas estompé lorsque nous sommes retournés dans la salle de classe. Au final nous étions fatigués, mais très contents ; les élèves ont pu résoudre un problème difficile et ils étaient donc assez fiers d eux. Après avoir étudié les fiches d activité complétées par les élèves j ai pu constater que les élèves se sont très vite approprié des changements de cadres que j avais imposés : certaines de leurs explications ou hypothèses précédaient les questions de la fiche. Il s agissait de la première partie des «jeux de cadres» : passage 28

29 du cadre réel au cadre de la représentation géométrique et ensuite au cadre de la représentation informatique. L étape suivante, notamment l étude de la fonction «aire» et le transfert dans le cadre algébrique, était difficile pour les élèves. Je pense qu il fallait rajouter une phrase dans la Fiche d activité pour rappeler que les conjectures faites à l aide du logiciel ne valent pas une démonstration et que cette partie théorique est indispensable pour que le problème soit résolu rigoureusement. Le retour dans le cadre informatique a permis aux élèves de faire un autocontrôle : confirmer leurs conclusions concernant le maximum de la fonction «aire». Le point culminant de l activité (l affichage simultané de la construction géométrique, des courbes des fonctions «aire» et «volume» et de leurs valeurs numériques) a été un moment exceptionnel. Grâce à Geogebra les élèves ont eu la possibilité de travailler dans quatre cadres «emboîtés» : la représentation informatique, la représentation géométrique, le cadre des fonctions et le cadre numérique. A cette étape, le logiciel n a pas simplement facilité la résolution du problème mais il s est avéré être un vrai outil mathématique. 29

30 Conclusion. Dans mon mémoire, j ai essayé de décrire la mise en œuvre des activités créées pour les logiciels de géométrie dynamique, en particulier pour GeoGebra. Ce logiciel permet de faire varier des points de vue différents : numérique, algébrique, géométrique. Le changement des points de vue («jeux de cadres», Régine Douady, 1986) est un moyen de formuler différemment le même problème. Ce passage d un cadre à l autre permet un accès à de nouveaux outils et techniques dont la manipulation aboutit à la résolution du problème. En conclusion je voudrais faire la synthèse des conditions nécessaires selon moi pour réussir l intégration de GeoGebra (ou un autre logiciel de géométrie dynamique) dans les problèmes de modélisation ou d optimisation : - commencer la préparation de cette activité par l étude des programmes et des documents d accompagnement; - penser à faire une prise en main du logiciel, vérifier le bon fonctionnement des ordinateurs de lycée, installer le logiciel sur les ordinateurs, réserver la salle informatique; - intégrer l activité dans la logique de la séquence étudiée; - choisir un énoncé qui peut être intéressant pour les élèves; - proposer un problème qui peut être formulé dans au moins deux cadres différents, les élèves doivent pouvoir s approprier du problème mais ils ne doivent pas être capables de le résoudre dans le cadre initial ; - bien réfléchir sur le scénario de l activité (les pré requis, les difficultés éventuelles, le temps nécessaire, les moments de recentrage, l alternance des manipulations du logiciel et du travail «papier - crayon»); - essayer de personnaliser les travaux des élèves ; - mettre en valeur la partie théorique de l activité pour que les élèves ne soient pas entraînés uniquement par les aspects techniques ; - prévoir une trace écrite de cette activité ; - faire un bilan. 30

31 Si mes premières expériences ont été conçues plutôt intuitivement, les activités sur GeoGebra que j ai préparées en tenant compte de toutes ces exigences ont montré que mêmes les élèves moyens étaient capables d effectuer une vraie recherche et de résoudre progressivement un problème difficile. Le choix des activités a été fait conformément au programme qui préconise d exploiter les possibilités offertes par les logiciels de géométrie dynamique lorsqu ils permettent d enrichir l apprentissage. Je suis désormais persuadée que l utilisation de ces logiciels représente un énorme avantage pour l enseignement des mathématiques au lycée : les élèves peuvent s'engager plus personnellement dans la résolution d'un problème et ils ont presque toujours la possibilité d étudier une même question sous plusieurs aspects («jeux de cadres»). Cette approche contribue à la démarche d abstraction propre aux mathématiques et par conséquent facilite le processus d apprentissage. 31

32 Bibliographie BROUSSAUD G. Education et Didactique des mathématiques. Communication au Congrès d Aguas Calientes, Mexico. Educacion matematica. Vol. 12, n 1, abril 2000, pp CAPPONI B. De la géométrie de traitement aux constructions dans Cabri-Géomètre II au collège. Repères-IREM n , pp CHEVALLARD Yv. Pour une nouvelle épistémologie scolaire. Cahiers pédagogiques, n 427, 2004, pp CLAIROU PH., LABORDE C., CAPPONI B. Géométrie avec CABRI, scénarios pour le lycée. CRDP de l Académie de Grenoble, DAHAN J.-J. La démarche de découverte expérimentalement médiée par Cabri Géométrie en mathématiques. Thèse présentée à l Université Joseph Fourier Grenoble 1, Novembre DOUADY R. Jeux de cadres et dialectique outil - objet. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 7, n 2, 1986, pp DUVAL R. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences cognitives, IREM de Strasbourg, 5(1993), pp MARION J. et le GREG de l IREM d Aix-Marseille. Géométrie 1. Publications de l'irem d'aix Marseille, MOLLERA C. Comment faire d un logiciel un instrument de travail mathématique? IUFM, Académie de Montpellier, SOUK-ALOUN J. Le problème des TICE. Comment intégrer le logiciel Cabri - géomètre avec un système de rétro - projection dans la classe de mathématiques? IUFM, Académie de Montpellier, Tangente Spéciale Education 112, Les Editions POLE. Tangente Education n 2 septembre 2007, Les Editions POLE. 32

33 Textes officiels : Programmes de mathématiques classe de seconde, lycée voie générale et technologique. Document d accompagnement du programme de mathématiques de la classe de seconde. Texte de cadrage de l inspection générale (groupe mathématiques). Les technologies de l'information et de la communication dans l enseignement des mathématiques au collège et au lycée. 33

34 Annexes 1. Fiche d activité du 14 décembre Résoudre les problèmes suivants : 1. Un permis de construire permet de bâtir un pavillon en forme d un carré BCDE d une surface comprise entre 50 m² et 130 m². Le permis exige de plus que les sommets B et C du pavillon soient à la limite de la zone constructible comme c est indiqué sur le dessin, avec la distance AB égale 7 m. Définir les valeurs possibles de x. 2. Une cuve à fioul d un volume de 80 dm 3 a la forme d un parallélépipède rectangle de hauteur 5 dm. Sachant que l on va renforcer le périmètre de sa base par un câble métallique de 16 dm de long, déterminer la longueur et la largeur de cette cuve. 34

35 2. Fiche d activité du 6 mars Le pharaon Ramsès II voudrait construire une pyramide. Selon les coutumes la pyramide doit avoir pour base un carré de coté 4 khèts (ancienne mesure de longueur en Egypte), sa hauteur doit atteindre 2 khèts et la pyramide doit contenir une salle principale en forme d un parallélépipède avec une base carrée. Ramsès II souhaite que cette salle soit la plus spacieuse possible et que le mur du fond ait la surface maximale pour qu il puisse y mettre sa fresque préférée. Donc le pharaon pose trois questions à son architecte : 1. Pour quelle longueur de la salle la surface du mur du fond est maximale? 2. Pour quelle longueur le volume de la salle est maximal? 3. Est-ce que les deux vœux du pharaon peuvent être exaucés en même temps ou doit-t-il choisir entre les deux? L architecte Numérobis ne peut pas donner de réponse claire, donc c est à vous de résoudre ce problème. Partie I. Vous avez en votre disposition un fichier GeoGebra avec la figure de la pyramide déjà construite. L objectif de cette séance est de calculer la surface du mur du fond en fonction de la largeur de la chambre principale. Etape 1. Prise en main de la situation. 1. Ouvrir le fichier «Pyramide». 2. Déplacer le point mobile F sur le segment AC (cliquer sur l onglet de l icône n.1, ensuite sur «déplacer le point»). Que constatez-vous?... 35

36 Observer les variations du volume de la chambre principale et de la surface du mur de fond, faire les premières conjectures concernant les questions de Ramsès. Etape 2. Construction de la «section» verticale de la pyramide. 0. Créer un nouveau fichier GeoGebra «Section». 1. Dans un repère orthonormal (O, i, j) placer les points A ( 0 ; 0 ), B( 4 ; 0 ), C (2 ; 2 ). Rappel : d abord aller dans «Affichage» pour afficher grille. Ensuite cliquer sur l onglet de l icône n 2 et trouver «nouveau point». Attention! Les lettres qui apparaissent ne sont pas forcement A, B et C. Il faudrait les renommer si c est nécessaire. 2. Tracer le triangle ABC en reliant les sommets A, B, C : cliquer sur l onglet de l icône n 5, ensuite trouver «polygone». 3. Placer un point D sur le segment [A,C]. Ensuite tracer la droite parallèle à l axe des abscisses passant par D : cliquer sur l onglet de l icône n 4 et trouver «droite parallèle». Noter E le point d intersection de [BC] et de cette droite : cliquer sur l onglet de l icône 2 et ensuite sur «intersection entre deux objets». 4. Tracer deux droites perpendiculaires à l axe Ox et passantes par les points D et E (cliquer sur l onglet de l icône n 4 et trouver «droite perpendiculaire»). Noter F et G les points d intersection respectifs de ces droites et de l axe Ox : cliquer sur l onglet de l icône 2 et ensuite sur «intersection entre deux objets». 5. Avant de continuer montrer votre travail au professeur. Visa du professeur : Etape 3. Insertion de l image. Lire attentivement toutes les consignes en haut à droite! Insérer la fresque «égyptienne» dans le rectangle DEGF qui représente le mur du fond : 1. Trouver l icône n 9 et cliquer sur «insérer une image» ; 36