Introduction à la turbulence

Transcription

1 Introduction à la turbulence F. Ravelet Laboratoire DynFluid, Arts et Métiers-ParisTech 31 octobre 2015

2 Notions importantes sur la turbulence Expérience de Reynolds : écoulement de Poiseuille cylindrique. Toutes les photos sont prises au même Re = Spot turbulent dans un écoulement de Couette plan Un écoulement peut être instable. Solutions multiples. Le monde n est pas linéaire. Etymologie de la turbulence : une foule de tourbillons, i.e. structures à toutes les échelles, fluctuantes. Visualisation de la vorticité dans un jet turbulent

3 Exemple d équation linéaire Equation de la chaleur dans un solide homogène : ρc T Perturbation T sur champ moyen T : T = T + T = (λ T ) ρc T + T = (λ ( T + T )) Opérateur de moyenne linéaire, commutant avec dérivées équation pour la moyenne : Equation pour la perturbation : ρc T = (λ T ) ρc T = (λ T ) Séparation, pas d influence de la perturbation sur la moyenne.

4 Exemple d équation non-linéaire Equation de la quantité de mouvement : (ρu) + (ρu u) = p + = τ Composante i en notation indicielle (coordonnées cartésiennes) : (ρu i ) Pour un fluide newtonien, = τ est linéaire en vitesse : + x j (ρu i u j ) = p x i + τ ji x j = τ = 2µ ( u + T u ) + µ ( u) = I Introduction d une perturbation, opérateur de moyenne linéaire, commutant avec dérivées équation pour la moyenne : (ρu i ) Nouveau terme, les perturbations affectent la moyenne. + (ρu i u j ) = p + τ ji ( ) ρu i x j x i x j x u j j

5 Modes de transport de la quantité de mouvement Autre forme équation de la quantité de mouvement, fluide newtonien, écoulement incompressible : u + u u = 1 p + ν u ρ (bilan de force par unité de masse, interprétable comme équation de transport de la vitesse). Viscosité cinématique ν = µ ρ ( m 2.s 1 pour de l eau, m 2.s 1 pour de l air). Homogène à un coefficient de diffusion. Transport de quantité de mouvement (par unité de masse) par diffusion moléculaire. Terme u u. Non linéaire. Transport convectif.

6 Transport diffusif Processus général (diffusion de la matière, de la chaleur,... ) par lequel un système macroscopique va s homogénéiser sous l effet de l agitation à l échelle moléculaire. Equation de diffusion (coefficient D constant) : φ = D φ Temps diffusif sur une distance δ : τ D = δ2 D. Au cours du temps, un pic va s aplatir avec une taille caractéristique qui croît comme : δ Dt. Autre exemple : mise en rotation d un cylindre. c(x,t) x Illustration de la diffusion

7 Transport convectif de quantité de mouvement La vitesse transporte de la quantité de mouvement. Temps de transport sur une distance δ : τ C = δ U. Observation : au cours du temps, l épaisseur d une couche de mélange croît comme : δ ( U)t. Tourbillon superposé à l écoulement nécessaire pour assurer du transport perpendiculaire à l écoulement parallèle de base. Illustration du transport convectif par un tourbillon sur une couche de cisaillement Equation de Burgers : u + u u = 0 Déferlement, formation possible de chocs. Solution de l équation de Burgers

8 Adimensionnement de l équation de Navier-Stokes. Choix d échelles caractéristiques L de longueur et U de vitesse. Les désignent les grandeurs adimensionnelles : Le nombre de Reynolds Re est : u + u u = p + 1 Re u Re = UL ν = ρu2 flux convectif qdm = µu flux diffusif qdm L 2 ν Re = UL L ν = L U temps diffusif = temps convectif Si Re << 1, les effets diffusifs dominent. Ecoulements rampants. Solutions uniques, très stables.

9 Solutions laminaires en écoulements parallèles Pour un écoulement parallèle, stationnaire, terme non-linéaire convectif u u = 0. Solution analytique simple possible. Ecoulement de Couette plan. Ecoulement de Poiseuille. Ecoulement de Taylor-Couette. Forces V coefficients Re 1. Coefficients de perte de charge et de friction vs Re. Poiseuille cylindrique et Taylor-Couette.

10 θ Origines de la turbulence Instabilités hydrodynamiques Un modèle simple de bifurcation Ω g R Solution. Bille dans un cerceau en rotation.

11 Mécanismes possibles d instabilité Instabilité de cisaillement (point d inflexion dans le profil). Instabilité centrifuge ( d dr (ru(r))2 < 0). Instabilité de Kelvin-Helmholtz d une couche de mélange. Instabilité de Görtler d une couche limite sur paroi concave.

12 Scénarios de transition Supercritique. Sillages Ecoulements courbes (instabilités centrifuges). Sous-critique. Ecoulements de Poiseuille, de Couette plan. Couches limites. Sillage derrière un cylindre.

13 Origines de la turbulence es gen eriques Propriet et modelisation Friction Decollement de couche limite es statistiques Propriet Modelisations Friction en ecoulement turbulent Coefficients adimensionnels independants de Re. Vrai pour forc age inertiel, ou ecoulement rugueux (parois perpendiculaires a` ecoulement). ρu 3 S, independante Puissance dissipee de la viscosite! d un cylindre. Coeff. de trainee Coeff. de perte de charge en Poiseuille cylindrique. Coeff. de couple, ecoulement an. de von Karm F. Ravelet Introduction a` la turbulence

14 Friction Décollement de couche limite Propriétés statistiques Modélisations Couches limites laminaires et turbulentes Couche limite avec gradient de pression adverse décollement. Décollement retardé pour couche limite turbulente. Profils de couche limite sans gradient de pression. Visualisation du décollement pour une couche limite laminaire (à gauche) et turbulente (à droite).

15 Friction Décollement de couche limite Propriétés statistiques Modélisations Echelles spatiales Cascade d énergie (Richardson). Multitude d échelles spatiales en écoulement turbulent. Théorie de Kolmogorov (1941). Hypothèse : la statistique des mouvements turbulents à petite échelle est universelle. Structures cohérentes de taille l, de vitesse u l, de temps de vie u l l Se déstabilisent en structures plus petites, jusqu à dissiper l énergie cinétique par viscosité. On retrouve pour la puissance dissipée par unité de masse : ε U 3 /L, indépendante de la viscosité! ε est indépendant de ν. Argument dimensionnel, à partir de ε et ν, on forme : η = ν 3/4 ε 1/4 Uη = (νε) 1/4

16 Friction Décollement de couche limite Propriétés statistiques Modélisations Echelles spatiales Echelle d injection L, vitesse caractéristique U. U 3 /L ε η = Re 3/4 L. Séparation d échelles. A Re = 10 6, η = L. Simulation numérique directe très vite prohibitive. Mais, propriétés statistiques robustes pistes de modélisation Spectre spatial d énergie cinétique.

17 Friction Décollement de couche limite Propriétés statistiques Modélisations Mélange et corrélation des fluctuations de vitesse Ecoulement parallèle (2D) simple. Equation sur la vitesse moyenne dans la direction x : ( ρu x ) + ( ) p ρuy U x = y x + τ xy y ( ) ρu y y u x Prenons un écoulement de cisaillement simple. On montre que u y u x < 0. On montre qu un pic va avoir tendance à s étaler. Vitesses u et v, produit u v, Couche limite turbulente. Equation pour les fluctuations (fluctuations de pression et termes visqueux négligés) : u x + u ( ) y Ux = 0 y Modélisation, avec τ est un temps turbulent, k l énergie cinétique turbulente et τ = k/ε : u x = τu ( ) y Ux y u x u y k 2 ( ) Ux ε y Terme similaire à une diffusion : les fluctuations transportent et mélangent la qdm moyenne.

18 Friction Décollement de couche limite Propriétés statistiques Modélisations Modèles de turbulence Reynolds-Average Navier-Stokes. Très largement utilisé dans l industrie. Jet turbulent : champ de vitesse instantané Simulation par méthode RANS d un jet turbulent : champ et profil de vitesse moyen. Decomposition en partie moyenne et partie fluctuante : u(t,x) = U + u. Moyenne d ensemble (ou moyenne temporelle?) Equation pour U : fait apparaître un terme en div u u, le tenseur de Reynolds. Problème de fermeture et hypothèse de Boussinesq :viscosité turbulente ν t. Multiples modèles pour ν t (longueur de mélange, modèles k ε, RSM... ) Modèles semi-empiriques, constantes ajustées par expériences de référence. Large Eddy Simulation. Lourd dans un contexte industriel, peu de recul. Filtrage des équations et résolution des échelles jusqu à la taille de la maille. Termes liés aux échelles sous-mailles de la turbulence modélisés.