Mécanique des fluides Rappels

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1 Mécanique des fluides Rappels Jean-Martial Coard Plan du cours I- GENERLITE II- RPPEL DE STTIUE 1- Principe fondamentale de la statique 2- efforts sur les parois immergées III- RPPEL D HYDRODYNMIUE 1- notion de flux conservation de la masse 2- équations intrinsèques 3- Relation de ernoulli 4- Téorème des quantités de mouvement 5- Cas des fluides réelles 6- Notion d nalse dimensionnelle IV- ECOULEMENT SURFCE LIRE REGIME PERMNENT 1- Introduction 2- Géométrie 3- Formule de Ce, V- ECOULEMENT GRDUELLEMENT VRIE 1- Carge spécifique 2- Ligne d eau 3- Le ressaut draulique 4- Passage d obstacle VI- INTRODUCTION UX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX 1- Loi de Darc les ga : Molécules libres (mouvement brownien) u est ce qu un fluide les fluides : État intermédiaire les solides : gencement cristalin des molécules Introduction Particule fluide Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules Suffisamment petit pour qu on ne puisse distinguer des étérogénéités.

2 Effort sur une particule fluide S : domaine matériel de masse m S : surface qui délimite S F = m f; avec f : densité massique d effort T = S t ; avec t : densité surfacique d effort T S S F P = m. g f = g Force de pesanteur L énergie potentielle massique associée e p est tel que : de p = -g dl = -g d e = g d Soit : e p = g. + cte Réciproquement : g = -grad e p = -grad(g.) S e P Vecteur contrainte Torseur des actions exercées sur : {df; dm} On défini le vecteur contrainte : t (M, e n ) = df/d Contrainte normale : σ n = t. e n Contrainte tangentielle : σ t e t = t - σ n e n df df e n dm d M σ n.e n e n d σ t.e t M Comportement des solides u est ce qu un fluide pplication d une force de cisaillement Comportement des liquides Déformation + état d équilibre Déformation

3 τ x τ 0 u est ce qu un fluide Comportement des fluides et autres. pente = μ Plastique de ingam Plastique Fluide solidifiant stable Fluide newtonien Fluide épaississant du/d Variables : ρ, P, T Compressibilité Pour un ga : Loi des ga parfaits : p/ ρ = R.T/M ; avec R = 8,32 J.K -1.kg 1 Ou équation de Van der Waals : p.m/(ρ.r.t) = 1+ ρ.c(t) + ρ 2.D(T) + L air est en général considéré comme un ga parfait incompressible si U 100 m.s -1 ρ = cte Compressibilité Pour un liquide : (ρ - ρ 0 )/ ρ 0 = - β.(t-t 0 ) + χ.(p - p 0 ) vec β est le coefficient de dilatation et χ, le coefficient de compressibilité - χ dp = dρ/ ρ 0 0 Pour l eau : β = 1/5000 K -1 ; χ = 1/22400 bar 1 ( Pa -1 ) Pourtant les ondes se propagent (coup de bélier, cant des baleines ) à la vitesse c tel que : c 2 = ( p/ ρ) T=cte Compressibilité Coef. De compressibilité Célérité du son c (m/s) ir 1,00E eau 5E Nombre de Mac : Ma = U/c Fluide incompressible pour Ma << 1 Dans le cadre de ce cours on supposera l eau et l air comme des fluides incompressibles : ρ air = 1,3 kg/m 3 ρ eau = 10 3 kg/m 3

4 Notion de Pression Contrainte normale résultant des cocs des molécules sur les parois. L intensité de cette contrainte est caractérisée par un scalaire : la pression - Défini en caque point du fluide - C est une grandeur locale - Fluide en mouvement ou pas - esoin d une surface pour être révélée df = - p e n d σ n = - p e n est la normale sortante La pression s exprime en N. m -2 = kg.s -2.m 1 Force de Pression P e n dm d M df F = -p e n d Conversion des unités de Pression Pa bar mm CE mm Hg atm Pascal 1,00E+00 1,00E-05 1,02E-01 7,50E-03 9,87E-06 bar 1,00E+05 1,00E+00 1,02E+04 7,50E+02 9,87E-01 mm C.E. 9,81E+00 9,81E-05 1,00E+00 7,35E-02 9,68E-05 mmhg = torr 1,33E+02 1,33E-03 1,36E+01 1,00E+00 1,32E-03 tmospère 1,01E+05 1,01E+00 1, ,60E+02 1,00E+00 P abs est la pression absolue P eff est la pression effective mesurée par rapport à la pression atmospérique (P atm ) Fluide parfait u() de ga parfait Viscosité Fluide réel u() Pour un fluide réel en mouvement, il a glissement et frottement entre le fluide et les parois solides mais également glissement et frottement entre les couces de fluide

5 Paroi mobile u 0 Paroi fixe Viscosité F Pour maintenir la vitesse u 0, il faut exercer sur la paroi mobile une force F tel que F = μ u 0 / μ est la viscosité dnamique Elle s exprime kg.m -1. s -1, l unité SI est le poiseuille (Pl) ou le Pa.s Le travail F*Δl fourni est dissipé en caleur Le fluide est soumis à une contrainte de cisaillement σ t e t = df / d σ t = μ u/ Viscosité; fluide Newtonien Les fluides qui vérifient cette relation linéaire entre la contrainte et le gradient de vitesse sont des fluides newtonien x df u + du u d df Viscosité On définit également la viscosité cinématique ν = μ / ρ [poise] Masse volumique (kg/m 3 ) Ordre de grandeur Viscosité dnamique (kg/(m.s)) Viscosité dnamique (m 2 /s) ir 1,29E+00 1,85E-05 1,43E-05 eau 1,00E+03 1,00E-03 1,00E-06 Statique des fluides Equation fondamentale de la statique Etude des fluides au repos; pas de mouvement relatif entre les particules fluide σ t = 0 p.dx.d - (p + dp).dx.d + ρ.f.dx.d.d = 0 dp/d - ρ.f = 0 p/ - ρ.f = 0 De même dans les autres directions, il vient grad p - ρ.f = 0 (p+dp).dx.d d x dx ρf.dv d p.dx.d

6 Si il a équilibre alors : Statique des fluides Propriété du PFS rot grad p - rot ρ.f = 0 = rot f lors il existe une fonction e p tel que : -grad e p = f e p est l énergie potentielle grad p + ρ.grad e p = 0 Les équipotentielles et les isobares sont confondues Les isobares sont des surfaces d égale masse volumique Les isobares sont aussi des surfaces isotermes Statique des fluides Cas de la pesanteur : loi de l drostatique Le fluide a une masse volumique uniforme Le seul camp de force est le camp de pesanteur f = g = - grad(g.) Léquation de la statique devient grad(p + ρ.g.) = 0 L équation de l drostatique s écrit p + ρ.g. = cte = p g p g est la pression motrice p + ρ.g. = cte = p g Statique des fluides loi de l drostatique * La différence de pression Δp entre 2 points et ne dépend que de la différence d altitude Δ = Δp = - ρ.g. Δ * Principe de Pascal : les fluides transmettent la pression = p = p F S f s F/S = f/s p + ρ.g. = cte = p g Statique des fluides loi de l drostatique * La pression augmente linéairement avec l altitude P atm P() * Pour une surface libre p = p atm. C est une surface isobare àg et plus généralement à l accélération locale P atm g Fluide au repos P atm a g U Fluide en écoulement : U = cte

7 df = - p e n d avec p( ) + ρ.g. = p atm +ρ.g. Statique des fluides p( ) = p atm +ρ.g.( ) = cte F = -p e n d = - p ( ) d = - p ( ) Force de pression df = - p e n d avec p() + ρ.g. = p atm ; vrai pour <0 p() = p atm - ρ.g. F = -p e n d = - x p () d = - (.p atm 0,5.ρ.g.l.( 2-2 )).x =0 =0 P() x P() F P atm F P atm Statique des fluides Pression effective On défini la pression effective : p eff = p p atm Elle est plus simple à mesurer On peut quasiment toujours travailler avec la pression effective plutôt qu avec la pression réelle p car la pression atmospérique est quasiment toujours présente =0 x P atm df due à p atm df due à p eff M c = CM ^ df = 0 M c = CM ^ - p e n d = 0 Statique des fluides Centre de poussée Le centre de poussé est le point C tel que le moment des forces de pression en C est nul CM ^ df = (- C ) ^ -p.x.d = -p.(- C )..d p eff () = - ρ.g. M c = -(-ρ.g. ).(- C )..d = 0 ( 2 -. C ).d = 0 [ 3 /3 c. 2 /2] = 0 C = +2.( - )/3 =0 C x P() P atm F C Hdrodnamique Notion de flux La quantité convectée pendant dt par l écoulement à travers la surface d est contenue dans un clindre dv de base d et de auteur : u.dt.cos(u.e n ) = u.e n dt Soit dv = u.e n dt.d La quantité transportée par unité de temps est appelée flux de à travers d dφ = ρ.b. u.e n dt.d u d M e n où b est la densité massique de

8 Débit masse : b = 1 dq m = ρ. u.e n.d Si u = cte sur et à alors q m = ρ. U. Flux de quantité de mouvement b = u dφ qdm Hdrodnamique = ρ.u. u.e n.d = u.dq m Notion de flux u d M e n dφ qdm s exprime en N/m 2 Ecoulement permanent non-uniforme : accélération convective ds = u.dt u u+du t M N u u+du t+dt Hdrodnamique Vitesse particulaire Ecoulement uniforme non-permanent : accélération locale u t M u+du t+dt du = u/ t. dt + u/ s. ds ds = u.dt a s = du/dt = u/ t + u/ s.ds/dt = u/ t + u. u/ s N u u+du dq m (x) = ρ. u(x).d.d dq m (x+dx) = ρ. u(x+dx).d.d Dans la direction x la variation de masse pendant le temps dt est : m/ t Hdrodnamique Conservation de la masse = (ρ.dv)/ t =dv. ρ/ t = - (ρ.u )/ x.dx.d.d = - (ρ.u)/ x.dv De même dans les autres directions u(x) d x dx ρ.dv d u(x+dx) ρ/ t = - div (ρ.u) Pour un écoulement permanent : ρ/ t = 0 = div (ρ.u) Pour un fluide incompressible : ρ = cte div u = 0 Cas d un tube de courant Hdrodnamique Conservation de la masse 1 ρ.u 1.e 1 d = 2 ρ.u 2.e 2 d = cte u 2 e 2 2 u 1 e 1 x 1

9 Hdrodnamique Dnamique des fluides parfaits Fluide parfait u() Pas de viscosité ν = μ = 0 Fluide réel u() C est une bonne approximation tant que l on ne s intéresse pas à ce qui se passe à proximité d une paroi, d un sillage, d une one de mélange Hdrodnamique Équation d Euler Le principe fondamentale de la dnamique pour un fluide parfait s écrit : ρ du/dt= -gradp + ρ.f ρ ( u/ t + u.grad u) = - grad p + ρ.f Pour f = - grad (g) ρ du/dt = - grad p g (p+dp).dx.d d x u x (t) L équation d'euler est une équation différentielle du premier ordre une seule condition à la limite est nécessaire : la condition d imperméabilité aux frontières de l écoulement. dx ρf.dv d p.dx.d Hdrodnamique Equations dnamiques intrinsèques R : raon de courbure C : centre de courbure u = u e t et du/dt = du/dt e t + u 2 /R e n = -ρ -1 grad p g = u/ t + u.grad u Il vient u/ t + u. u/ s = -ρ -1 p g / s trajectoire s 0 e n e b s e t u(s) équation tangentielle u 2 /R = -ρ -1 p g / r équation normale p g rivière u(s) R Hdrodnamique Conséquence de l équation normale p g --- ρ.u 2 /R = - p g / r arracement, creusement R = p g / r = 0 pas de variation de pression p atm p atm

10 Hdrodnamique Relation de ernoulli u u/ x + v u/ + w u/ u.grad u = u v/ x + v v/ + w v/ = grad(u 2 /2) (rot u)^u u w/ x + v w/ + w w/ ρ ( u/ t + grad(u 2 /2) (rot u)^u) + grad (p + ρ.g.) = 0 Pour un écoulement irrotationnel : rot u = 0 Sur une ligne de courant : (rot u)^u).ds = (u^ds).rot u = 0 Il vient alors : ρ. u/ t + grad(ρ u 2 /2 + p + ρ.g.) = 0 Hdrodnamique Relation de ernoulli Pour un écoulement permanent : u/ t = 0 En intégrant l équation précédente : ρ u 2 /2 + p + ρ.g. = Cte Ec Ep Ec + Ep = Et = Cte M 2 M 1 ρ u 12 /2 + p 1 + ρ.g. 1 = ρ u 22 /2 + p 2 + ρ.g. 2 Conservation de l énergie totale Hdrodnamique Hpotèse de la relation de ernoulli ρ u 2 /2 + p + ρ.g. = Cte Fluide parfait Fluide incompressible écoulement permanent Écoulement irrotationnel ou sur une ligne de courant Écoulement dans le camps de pesanteur f = ρ.g H Hdrodnamique Ligne de carge, ligne pieométrique Plan de carge U 2 /2.g Ligne piéométrique p/ρ.g

11 Hdrodnamique Cas des écoulements en conduite de fluides réelles Ecoulement laminaire r - Les lignes de courant sont rectilignes - Vitesse relative nulle à la paroi - u ne dépend que de r - u(r) = 2.U d.(1-(r/r) 2 ) - = S u.e n.ds - U d = /S = /πr 2 -U d est la vitesse débitante -U max = 2.U d 4U d 2U d u(r) U d D=2R Hdrodnamique Cas des écoulements en conduite de fluides réelles Ecoulement turbulent r - Les lignes de courant se mélangent - Vitesse relative nulle à la paroi - U d = /S = /πr 2 -U d est la vitesse débitante -U max = α.u d ; avec α 1,05 - En pratique, les écoulements en conduite sont turbulents, on prendra α = 1 U d u mo (r) D=2R Hdrodnamique ue devient la relation de ernoulli ρ grad(u 2 /2) = - grad p + ρ.f + force de frottement Profil de vitesse non uniforme dans la section viscosité ρ.α.u 2 /2 + p + ρ.g. + Δp perte = Cte S 2 S 1 Pour un écoulement turbulent : ρ u 12 /2 + p 1 + ρ.g. 1 = ρ u 22 /2 + p 2 + ρ.g. 2 + Δp perte Re = ρ V D μ Convection Termique Nombre de REYNOLDS Rapport entre les force d inertie et les force de frottement : Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante ρ : masse volumique du fluide [kg/m 3 ], v : vitesse moenne du fluide [m/s], D : plus petite dimension géométrique du problème [m], μ : viscosité dnamique du fluide [Pa.s]. laminaire critique turbulent laminaire

12 D Hdrodnamique Conservation de la quantité de mouvement D e n Pour un écoulement permanent : d(m.u)/dt = d ( D ρ.u.dv) /dt = ( D (ρ.u)/ t dv + D ρ.u.grad u.dv = ( D (ρ.u)/ t dv+ D ρ.u.u.e n.ds = Σ F ext D D ρ.u.u.e n.ds = Σ F ext D D ρ.u.u.e n.ds est le flux de quantité de mouvement à travers dd Hdrodnamique Conservation de la quantité de mouvement Ex : écoulement à débit constant dans un tuau oriontal u d = u d.s e 1 P 1 S e 3 D P 2 D ρ.u.u.e n.ds = Σ F ext D e 2 u d Hdrodnamique nalse dimensionnelle Soit un sstème psique Φ décrit par n paramètres psique g i dimensionnels (grandeurs psiques) Φ(g 1,g 2,...,g n ) = 0 Soit p le nombre de grandeurs fondamentales (m, t, T, L) lors le problème peut s exprimer en fonction de n-p variables sans dimension G j de la forme : F(G 1,G 2,...,G n-p ) avec Gj = g 1 α1. g 2 α2... g n αn U Hdrodnamique nalse dimensionnelle Ex : traînée d une pile de pont D F = g( 0 = Φ (F, n = p = F

13 Hdrodnamique Cf = f(re) U = 1m/s; D = 2m; μ = 10-3 Pl Re = Cf = F= P Écoulement en carge La section de l écoulement est celle de la conduite Définition P atm Écoulement à surface libre Il existe une surface de séparation entre le liquide et l air La section de passage dépend du débit exemples doc.p.ois Distribution des vitesses u() Frottement au fond du canal Frottement à la surface u() u() Frottement sur les parois

14 χ Raon draulique : S Géométrie R H = section mouillée / périmètre mouillé = S/χ Section mouillée S : section de l écoulement moen limitée par les parois et la surface libre Périmètre mouillé χ : Contour mouillé (sans la surface libre) ; one de frottement solide D H = 4 * R H S = Χ = R H = D H = Géométrie cas du canal rectangulaire ue devient R i << b b Géométrie u() Pente de fond : i = sinθ θ θ Nombre de Froude Paramètre adimensionnel caractéristique des écoulement à surface libre Fr = U/ (g) Rapport entre énergie cinétique et énergie potentielle Ec / Ep = 0,5*m*U 2 / ρg dv = 0,5.ρ.V.U 2 /0,5.ρ.g. 2.S = Fr 2 Si Fr > 1 Ec > Ep Régime torentiel Si Fr < 1 Ec < Ep Régime fluvial Si Fr = 1 Régime critique

15 Les ronds dans l eau Propagation des ondes V = 0 V< g point d impact V V=0 + C =+ g point d impact X 0 - C =- g V> g V Les ondes peuvent remonter le courant Les ondes ne peuvent pas remonter le courant Ecoulement Uniforme et permanent Ecoulement uniforme : la section mouillée reste constante le long de l écoulement. Ecoulement permanent :./ t = 0. Exemple : pour un canal prismatique de grande longueur. S(x) = Cte = Cte Ligne de carge u() La surface libre est alors un plan parallèle au fond de pente i, U = Cte la ligne de carge // au fond θ l U g.sinθ g Formule de CHEZY (1775) θ τ paroi b S Force motrice : ρ.v.g.sinθ = ρ.l.s.g.sinθ Force résistante : - τ paroi.χ.l = 0,5.ρ.C f.u 2.χ.l (frottement) - τ air.b.l = 0,5.ρ.C f.u 2.b.l τ air Formule de CHEZY U = Cte ΣF = 0 ρ.l.s.g.sinθ = 0,5.ρ.C f.u 2.χ.l + 0,5.ρ.C f.u 2.b.l U 2 = 2.g/(C f +C f.b/χ).s/χ.i On appelle C, coefficient de Ce : 2g C= [C] = m 1/2.T -1 C +C' b χ f f lors : U=C RHi

16 Formule de CHEZY U=C RHi En général C f.b/χ << C f 30 < C < 100 (MKS) C f grand frottement grand C petit 2g C= C f C f grand frottement petit C grand Débitance d un canal U=C RHi =U.S=S.C R i H = ( S.C R ) i Par définition la débitance K d un canal est : K = S.C. R H lors : = K. i K dépend de la géométrie par S et RH et par la nature des parois par Cf K ne dépend pas de la profondeur d eau!!! H u() Coefficient de frottement En général Re est grand régime turbulent rugueux C f = Cte Profil externe : U = α Profil logartmique : U = a.ln + b a 1/κ 2,5; b 5 Sous couce visqueuse, Profil linéaire : U =.τ paroi /μ ain, Manning, Dans la littérature les formules empiriques abondent 87 Formule de ain C= γ caractérise la nature des 1+ γ R parois (cf table) Formule de Manning (Strickler) η ou K s caractérise la nature des parois (cf table) H 1 C= R =K R η 1/6 1/6 H

17 l = 4m erge revétu de béton Pente de fond : i = 0,3m/km = 1,6 m Exemple : canal trapéoïdal Calculer la débitance du canal, la vitesse et le débit pour un écoulement uniforme S = χ = R H = ain : γ = 0,16 C = K = = U = l 45 Tracer la courbe de tarage () de ce canal m3/s Exemple : canal trapéoïdal 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 (m) Ecoulement graduellement varié Hpotèses : les lignes de courant sont rectilignes (localement) la auteur d eau n est pas constante répartition drostatique de la pression dans une section les profils de vitesse sont identique à ceux de l écoulement uniforme U P() θ x U Ligne de carge Ligne de carge, ligne d eau, U 2 /2g (x) (x) j P atm = 0 d/dx =? θ = i En x la carge est définie par : H = p/ρg + + U 2 /2g = (x) + (x) + U 2 /2g

18 Carge Spécifique La cote du fond étant donnée, il est plus simple d étudier la carge comptée à partir du fond, c est ce qu on appelle la carge spécifique : H = + = (x) + U 2 /2g = (x) + 2 /(2gS 2 ) Ep d /d = 1 + d( 2 /(2gS 2 ) )/d = 1-2 /(gs 3 ) ds/d = 1 - Fr 2 Ec Carge Spécifique d /d = 0 = /(gs 3 )ds/d L =[ 2 /(gl 2 )] 1/3 = m S ( ) = 3. /2 m = S/L ds = L.d 2 L/(gS 3 ) = U 2 /g = Fr 2 = 1 () atteint un minimum pour = est appelée auteur critique Fonction du débit, de la section = (x) + 2 /(2gS 2 ) L n n Exemple : Passage d un seuil n + f = H 0 = Cte f C Régime fluvial : diminue Régime torrentiel : augmente D C D

19 = 3 /2 Fonction du débit, de la section = (x) + 2 /(2gS 2 ) = S.[2.g.( - (x))] 1/2 Régime fluvial Régime torrentiel Pour une section donnée, le débit est maximum pour = max Ligne de carge U 2 /2g U (x) (x) Pente de fond : i = - d/dx Perte de carge : j = - dh/dx ligne d eau j i H = + p/ρg + U 2 /2g = (x) + (x) + U 2 /2g On à donc entre 2 sections : dh/dx = d/dx + d/dx + d(u 2 /2g)/dx -j = -i + dhs/dx Or d /dx = d /d. d/dx = (1 - Fr 2 ).d/dx d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) ligne d eau d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) Profil de vitesse identique à ceux de l écoulement uniforme j = 2 /(S 2.C 2.R H ) = 2 /(S 2.K s2.r 4/3 H ) S d/dx = (i - 2 /(S 2.K s2.r H 4/3 ))/(1 - Fr 2 ) Pour la section rectangulaire : d/dx = (i - 2 /(L 2. 2.K s2. 4/3 ))/(1 - Fr 2 ) Équation différentielle en L S Profondeur normale, pente critique, d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) Si =cte = n d/dx = 0 i = j ( n est la profondeur normale) Pente critique i c : i tel que = i c = 2 /(S 2.K s2.r 4/3 H ) Fr 2 = 1 = 2 L/(gS 3 ) i < ic ( n > ) : canal de pente faible Ligne de carge U (x) i on retrouve le cas de l écoulement uniforme i = 2 /(S 2.K s2.r H 4/3 ) i > ic ( n < ) : canal de pente forte i c = gs/(l.k s2.r H 4/3 ) Ligne de carge U (x) i

20 Cas fluvial Ligne de carge U U (x) (x) Ligne de carge (x) j j i ligne d eau d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) Il faut traiter les cas Fr < 1 et Fr > 1 Cas fluvial et torrentiel Mais aussi i < j et i > j Cas torrentiel Ligne de carge j U (x) i (x) Ligne de carge U (x) j (x) i (x) i ligne d eau : canal de faible pente d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) 0 n i - j i 1 - F d/dx i n > M 3 M 2 M 1 n θ = i ligne d eau : canal de faible pente Exemples θ = i M 2 n M 1 n M 3 S 2 n θ = i ligne d eau : canal de forte pente d/dx = (i - j)/(1 - Fr 2 ) 0 n n < i - j i 1 - F d/dx i S 2 S 1 S 3 n θ = i

21 ligne d eau : canal de forte pente Exemples S 3 n S 2 θ = i S 1 n θ = i Le ressaut Le régime fluvial ou torrentiel ne dépend que d une seule condition à la limite (éq. diff. Du 1er ordre). Si au 2 extrémités d un canal les conditions sont incompatibles alors il aura un cangement de régime. Le ressaut : passage fluvial torrentiel Exemple : cas d un cangement de pente c n M 2 S 2 n La profondeur (x) diminue. L écoulement étant convergent, il n à pas de perte de carge. Le ressaut : passage torrentiel fluvial ΔH n La profondeur (x) augmente. L écoulement diverge, apparition d une très grande de perte de carge. Le ressaut est un écoulement très fortement varié M 3 n

22 Equation du ressaut n M 3 n S 1 S 2 pplication de la conservation de la quantité de mouvement entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeables potèse de fluide parfait (frottements au fond négligés) Equation du ressaut n n M 3 S 1 S 2 ρ../s 2 - ρ../s 1 = ρ.g. 1.S 1 /2 - ρ.g. 2.S 2 /2 pour une section rectangulaire S = L. 2 /g.l 2 ( ) = 0,5.( 1 2 ) près calcul, en notant que 3 = 2 /g.l 2 : Perte de carge du ressaut n M 3 n S 1 S 2 pplication de la conservation de l énergie (relation de bernoulli) entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeables prise en compte d une perte de carge singulière pas de perte de carge régulière pente de fond négligeable entre S 1 et S 2 Perte de carge du ressaut n n M 3 S 1 S 2 ρ.g ,5.ρ.(/S 1 ) 2 = ρ.g ,5.ρ.(/S 2 ) 2 + ΔH pour une section rectangulaire S = L. ΔH = ( 1 2 ).[1 ( 2 /2.g.L 2 ).( ).( 1. 2 ) -2 ] près calcul, en notant que 2.3 = 1. 2.( ):

23 Conjuguée de la torrentielle Localisation du ressaut Le ressaut se fixe de telle sorte que 1 (amont) et 2 (aval) soient conjuguées, c.a.d. qu ils vérifient tous les deux l équation du ressaut. Si on suppose que le ressaut a une longueur nulle (idéal), alors il se place à l intersection de : - la courbe fluviale et de la conjuguée torrentielle - la courbe torrentielle et de la conjuguée fluviale n M 3 n Conjuguée de la fluviale S 1 S 2 Le ressaut le jet du robinet dans l'évier divergent: le débit par u. de largeur diminue Transition réservoir canal S 2 n = 3 /2 n Régime fluvial Régime torrentiel max Régime permanent C Transition réservoir canal n M 1 M 2 n

24 Francissement d un ouvrage : section contractée En régime fluvial - abaissement de la ligne d eau entre et - accélération - érosion! En régime torentiel - élèvation de la ligne d eau entre et Section contractée Section naturelle Francissement d un ouvrage : section contractée C Il faut prendre en carge les pertes de carge singulières D u niveau du convergent : (en C) u niveau du divergent : (en D) ( Vcon Vam ) Δ Hconvergent = Kcon Kcon 0 2g ( Vcon Vav ) Section contractée Δ Hdivergent = Kdiv Kdiv 1 2g 2 Section naturelle 2 Francissement d un ouvrage : section contractée, endiguement Tracer les position relative de n et c c Placer les points,, C, D sur le grape Hs, et tracer les lignes de remous C C n Section naturelle Francissement d un ouvrage : section contractée, étranglement C c C M 3 D D n Section naturelle

25 H Les seuils ou déversoir Les seuils servent à mesurer ou à réguler le débit ou encore à contrôler les niveaux d eau Canal = = 2/3 H Le débit dépend de l excès de auteur par rapport au niveau du seuil H assin En régime dénoé : Les seuils ou déversoir = gc α c 2 c = H 3 H = = 2/3 H En régime noé : ΔH 2 V ( ) = K amont aval 2 g noé 1 = K 2 g α ( ) amont aval ( noé amont ) seuil 2 H En régime dénoé : En régime noé : Les seuils ou déversoir ( ) ( amont seuil ) = K L 2 g dénoé s s amont seuil Ks = 0, 4 + 0,05 L = L 0, 2 s seuil ( ) amont seuil Pour un déversoir triangulaire à 90 : = 2,50( ) 2,5 dénoé amont seuil 3 2 ( )( ) 1 2 = K L 2g s s noé amont seuil amont aval Les seuils ou déversoir n 1 - Calculer la auteur de seuil maximal Z fmax en dessous de laquelle on retrouvera un écoulement fluvial à la sortie du seuil. 2 - ue se passe t il si Z fmax est supérieur à H 0 - Hs(c)? montrer que l écoulement passe d un régime fluvial à un régime torrentiel en dérivant 2 fois H 0 par rapport à x. 3 - Le canal précédent rencontre un seuil de auteur 0,5 m. Calculer la auteur 0 nécessaire à l amont pour que l écoulement francissent le seuil ainsi que la auteur 1 à la sortie du seuil. 4 - La pente du canal étant identique à l amont et à l aval l écoulement va donc retrouver la auteur n = 2 m. Pour cela un ressaut draulique va apparaître en aval du ressaut. Faire un scéma représentant la ligne d eau de cet écoulement au passage du seuil et du ressaut. 5 - Calculer la perte de carge au passage du ressaut.

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