Recherche du plus grand sous tableau vide

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1 INPG-Ensimag, 1 re année Algo2 : TP1, février-mars Modalités Recherche du plus grand sous tableau vide Le TP est à commencer la semaine du 5 février. Les trois quarts du sujet portent sur des manipulations de tableaux et les cours et Tds sur les tableaux seront traités au plus tard le 5 février. Le dernier quart comporte la manipulation d objets dont la classe est donnée : il ne pourra être programmé que la deuxième semaine (celle du 12 février), mais l algorithme peut être travaillé et compris avant. Le TP est à réaliser en binôme, durant le temps libre. La date de rendu est le vendredi 2 mars. Les modalités de rendu sont les mêmes qu au premier semestre pour les TP1 et TP2 : l application TEIDE vous enverra comme d habitude des mails pour inscrire votre binôme, déposer, valider... on ne rend qu un compte rendu par binôme (même si le binôme est composé d étudiants de groupes différents) ; on dépose le compte rendu du tp dans les casiers dédiés (sas de la scolarité) avant la date de rendu ; on dépose une archive du tp (sources toutes les sources, histoire que ça compile tel que, les tests, et tout ce que vous jugerez utile...) avant la date de rendu. 2 Sujet Il s agit de rechercher dans un rectangle pavé de dalles blanches et de dalles noires, le plus grand (en nombre de dalles) sous rectangle blanc, c est-à-dire ne contenant aucune dalle noire. Le tp étudie plusieurs algorithmes de complexités différentes : d une solution naïve, par recherche exhaustive, on arrive en s aidant de structures de données intermédiaires à une complexité optimale. Le rectangle pavé est représenté par un tableau contenant des booléens. Par convention, on prendra : la valeur vrai pour une dalle blanche la valeur faux pour une dalle noire On s attachera pour chaque solution à étudier sommairement sa complexité. Ici, pour exprimer la complexité, on regardera dans le code le nombre de boucles imbriquées, leurs tailles et le nombre d accès aux cases du tableau qui représente le dallage. Par exemple, void f (boolean [][] t) { for (int i=0 ; i<t.length ; i++) for (int j=0 ; j<t[0].length ; j++) if (t[i][j]) System.out.print ("dalle blanche") ; else System.out.print ("dalle noire") ; } pour cette fonction, il y a deux boucles imbriquées (celle d indice i et celle d indice j). Les accès aux cases du tableau sont réalisés par le code if (t[i][j]). Si le tableau t est un carré de côté n, la fontion f fait n 2 accès. 2.1 Solution 1 : recherche naïve La solution naïve de ce problème consiste à tester tous les rectangles possibles en vérifiant pour chacun s il est vide. Pour énumérer tous les rectangles possibles, on pourra énumérer, par exemple, tous les coins supérieurs gauche, puis tous les coins inférieurs droits. Finalement, pour un rectangle donné, on teste toutes ses cases pour vérifier qu il est vide ou non.

2 Question 1. Combien de boucles imbriquées l algorithme comporte-t-il? On compte le nombre d accès à une case du rectangle : combien l algorithme en fait il, au maximum? Exprimer le résultat en fonction de la taille du rectangle : on peut simplifier en supposant qu on manipule un carré de côté n. 2.2 Solution 2 : amélioration de la solution naïve On peut réduire le nombre de boucles imbriquées, de la manière suivante. L idée est qu on part d un rectangle d une ligne, le plus large possible, et qu on augmente sa hauteur petit à petit, tout en réduisant sa largeur lorsque c est nécessaire. On évite ainsi d avoir à revérifier pour chaque rectangle, l ensemble de ses cases. On énumère toujours tous les coins supérieurs gauches possibles du rectangle. Pour un coin supérieur gauche donné, on parcourt toutes les possibilités pour la dernière ligne du rectangle. Puis on itère sur les colonnes, mais on n avance que tant qu on sait qu un rectangle allant jusqu à la colonne et la ligne courante est effectivement possible. Pour la première ligne, on avance tant qu on ne rencontre que des cases blanches sur la ligne. Pour la deuxième ligne, on recommence en partant de la gauche, et on s arrête dès qu on a rencontré une case noire, ou que l on a atteint la colonne à laquelle on s était arrêté à la ligne précédente. On continue ainsi pour chaque ligne, en réduisant petit à petit le nombre de colonnes. Sur la figure suivante, on peut voir les limites de tous les rectangles testés par cette solution, lorsque le point de départ est la case marquée d un point noir. Question 2. Cette deuxième solution est plus efficace. Combien comporte-t-elle de boucles imbriquées? Combien cela fait-il d accès au maximum aux cases du tableau, si l on prend l hypothèse du carré de côté n? 2.3 Solution 3 : utilisation d un tableau intermédiaire Il est possible de faire encore beaucoup mieux. Pour cela, on parcourt le rectangle ligne par ligne et on maintient un tableau supplémentaire dans lequel on stocke pour chaque colonne, de combien de cases on peut remonter depuis la ligne courante sans rencontrer de case noire : on parle de la hauteur de la colonne et on appelle ce tableau HauteurColonne. On obtient facilement les valeurs de HauteurColonne pour une ligne à partir de celles de la ligne précédente. Par exemple, sur le rectangle précédent, on commence avec un tableau HauteurColonne rempli de 0 : Pour la première ligne, HauteurColonne devient : puis : pour la deuxième ligne pour la troisième ligne pour la quatrième ligne

3 etc. Une fois ce tableau rempli pour une ligne, il devient possible de calculer l aire du plus grand rectangle dont le bord du bas se trouve sur cette ligne. Pour chaque ligne, on utilise deux boucles imbriquées, qui itèrent sur les colonnes de début et de fin des sous rectangles qu on examine. Pendant qu on incrémente la colonne de fin, on maintient la hauteur la plus petite des colonnes rencontrées depuis celle de début. Cette hauteur est celle du plus grand rectangle valide ayant ce début et cette fin. On peut alors calculer sa surface et éventuellement le sélectionner comme plus grand sous rectangle blanc. Question 3. Cette troisième solution est encore plus efficace. Combien comporte-t-elle de boucles imbriquées (au maximum)? Combien cela fait-il d accès au maximum aux cases du tableau, si l on prend l hypothèse du carré de côté n? 2.4 Solution 4 : utilisation d une pile intermédiaire On peut encore faire mieux, en traitant chaque ligne en une seule boucle. On peut en effet remarquer que les différents rectangles qui peuvent être intéressants pour notre recherche sont imbriqués les uns dans les autres. On considère comme intéressants les rectangles qui sont maximaux, c est-à-dire qu on ne peut pas les agrandir en augmentant l une des dimensions, que ce soit en largeur ou en hauteur, sans tomber sur une case noire. Sur la figure suivante, les limites des rectangles intéressants (maximaux) se terminant sur la dernière ligne sont représentées. Ces rectangles sont imbriqués, dans le sens où un rectangle A dont le bord gauche est situé avant le bord gauche d un rectangle B, a son bord droit qui est situé soit avant même le bord gauche du rectangle B, soit après le bord droit du rectangle B. On ne peux pas avoir le bord gauche d un rectangle A, puis le bord gauche d un rectangle B, puis le bord droit du rectangle A, puis le bord droit du rectangle B. La situation suivante est par exemple impossible, car le rectangle le plus bas peut être agrandi vers la gauche (comme le montrent les pointillés), et n est donc pas maximal. On peut remarquer qu à une colonne donnée, les rectangles intéressants qui utilisent cette colonne sont toujours plus hauts quand ils ont été commencés le plus à droite possible. Comme dans la solution précédente, on parcourt le rectangle ligne par ligne et on maintient le tableau HauteurColonne qui stocke pour chaque colonne, de combien de cases on peut remonter depuis la ligne courante sans rencontrer de case noire. En même temps, pour chaque ligne, on avance colonne par colonne et on ouvre des rectangles potentiellement maximaux.

4 rectangle ouvert (sur la pile) ligne courante Pour stocker, les rectangles ouverts, on utilise une pile : quand on ouvre un rectangle, on empile sa colonne de début et sa hauteur. Les rectangles précédemment empilés n ont pas à être touchés, tant qu on n aura pas fermé le rectangle que l on vient d empiler car tant qu il est possible de lui ajouter des colonnes, il est forcément possible d en ajouter également aux rectangles empilés précédemment, puisqu ils sont moins hauts. Quand on avance d une colonne, si la hauteur de la nouvelle colonne est plus grande que la précédente, on ouvre un nouveau rectangle : les rectangles ouverts précédemment sont toujours valides, puisqu ils sont moins hauts. Si la hauteur de la nouvelle colonne est plus petite que la précédente, on est obligé de fermer le rectangle se situant en haut de la pile : il n est plus possible d ajouter des colonnes en restant à sa hauteur et de continuer à l agrandir. On ferme et on dépile alors tous les rectangles qui sont plus hauts que la, sauf le dernier (s il existe). Le dernier subit un traitement spécial : on le laisse sur la pile en réduisant sa hauteur à la hauteur de la. rectangle ouvert (sur la pile) rectangle ferme rectangle reduit A chaque fois que l on réduit ou que l on ferme un rectangle du sommet de la pile, il faut calculer son aire et vérfifier si c est la plus grande qu on ait rencontrée. Une fois arrivé à la dernière colonne, on ferme bien sûr tous les rectangles ouverts. Avec cette technique on a calculé l aire de tous les rectangles maximaux dont le bord du bas peut se

5 trouver sur la ligne courante. Le rectangle le plus grand étant un rectangle maximal, faire cette opération sur toutes les lignes donne effectivement l aire du plus grand rectangle vide. Comptage du nombre d opérations effectuées avec cette méthode : On remarque qu à chaque colonne, on empile au plus un rectangle. Comme on ne dépile pas plus de rectangles qu on en empile, le nombre d opérations sur la pile est au maximum de 2 fois le nombre de colonnes. Le traitement de chaque ligne demande donc un nombre d opérations de l ordre du nombre de colonnes. Cet algorithme nécessite donc un nombre d opérations de n 2 avec l hypothèse du carré de côté n. Il est évident qu il n est pas possible de faire d algorithme plus rapide pour ce problème, car la lecture elle-même du rectangle requiert déjà n 2 opérations. 3 Mise en œuvre Programmation. Il est demandé de programmer les algorithmes expliqués dans les solutions 1, 2, 3 et 4 : pour chaque solution, votre programme affichera les coordonnées du plus grand sous rectangle vide et sa taille. Pour spécifier les coordonnées d un rectangle, on pourra donner, par exemple, le coin haut-gauche et le coin bas-droite. Pour la solution 4, on pourra utiliser les classes Rect et PileRect : la première représente un rectangle par sa première colonne et sa hauteur (la mention de la ligne étant stockée ailleurs), la seconde permet de manipuler une pile de Rect. Tests. Les tests doivent impérativement essayer tous les petits cas (petits rectangles) et les cas limites comme par exemple le pavage tout noir ou tout blanc. Selon les algorithmes, il existe d autres cas limites intéressants à tester. On pourra observer aussi sur des rectangles de grande taille les différences de complexité entre les solutions. Pour remplir aléatoirement des tableaux de booléens, est fourni un petit utilitaire GenAlTab ainsi qu un exemple d utilisation de l utilitaire UtiliseGenAlTab. Compte rendu. Le compte rendu doit contenir l ensemble des programmes commentés. Fournir l ensemble des programmes qui a permis l élaboration du tp, y compris les programmes de tests, etc. Essayer d attacher une grande importance à la lisibilité du code : il est indispensable de bien le présenter (indentation, saut de ligne, etc) ; les identificateurs (nom de classes, variables, fonctions, etc) doivent avoir des noms cohérents avec leur rôle ; enfin, un commentaire se doit d être sobre et aussi précis que possible. l ensemble des tests réalisés. Pour chaque test, on attend une explication du test en lui même (qu estce qui est testé?), une justification de l intérêt du test (pourquoi ce test est-il intéressant?), et un commentaire sur le résultat du test (résultat produit? pourquoi est-ce cohérent ou non avec ce qui était attendu? commentaire). un compte rendu textuel (qui peut être manuscrit ou non) comprenant 1) une explication de chacun des algorithmes codés, avec explications et justifications des choix effectués, s il en est ; 2) les réponses aux questions 1 et 2 et 3. Notation. Ceci est un travail noté. Comme au premier semestre, toute l évaluation se fait sur le travail présenté dans le compte rendu. Le dépôt de votre archive sur teide est un point obligatoire et utile aux correcteurs à des fins techniques, mais ne constitue en aucun cas la matière à évaluer. La note sur 20 points se répartit ainsi : 10 points pour les algorithmes, 4 points pour le code produit et 6 points pour les tests. Par ailleurs, la solution 1 compte pour 1/10 de la note, la solution 2 pour 1/10, la solution 3 pour 3/10 et la solution 4 compte pour la moitié de la note.