Introduction à la programmation en variables entières Cours 2

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1 Introduction à la programmation en variables entières Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265

2 Sommaire Relaxation Linéaire et dualité 1 Relaxation Linéaire et dualité 2

3 Relaxation Relaxation Linéaire et dualité Pour un problème entier (PLE) du type Z PLE = min{cx : Ax b,x 0,x Z}, tout problème de minimisation Z R = min{f R (x) : x X R } tel que 1 X X R, 2 f R (x) cx pour tout x X définit une relaxation du problème initial.

4 Relaxation Relaxation Linéaire et dualité Pour un problème entier (PLE) du type Z PLE = min{cx : Ax b,x 0,x Z}, tout problème de minimisation Z R = min{f R (x) : x X R } tel que 1 X X R, 2 f R (x) cx pour tout x X définit une relaxation du problème initial. Relaxer : relâcher des contraintes.

5 Relaxation Relaxation Linéaire et dualité Théorème La solution optimale d un relaxation donne une borne inférieure (pour un problème de minimisation) sur la solution du problème initial. Preuve : Si x X est optimale pour le problème initial, alors Z R f R (x ) cx = Z PLE.

6 Relaxation linéaire La relaxation linéaire consiste au relâchement des contraintes d intégrité sur les variables entières. x Z x R, x N x R,x 0, x {0,1} x R,0 x 1. La relaxation linéaire d un programme linéaire en nombres entiers est un programme linéaire.

7 Dualité et PLNE Quelques rappels : Les programmes linéaires vont toujours par paire : min j c jx j max s.c. j a i b iy i i,jx j b i i = 1,...,m s.c. i a i,jy i c j j = 1,...,n x j 0 j = 1,...,n y i 0 i = 1,...,m Dualité faible : Pour toute solution réalisable x du problème primal et toute solution réalisable y du problème dual, on a c j x j b i y i. j i Dualité forte : Si P a une solution optimale x, alors D a une solution optimale y telle que b i yi. j c j x j = i

8 Dualité et PLNE Pour un problème de minimisation entier Z PLE = min{cx : Ax b,x N} = min{cx : x X}, un problème dual faible est un problème de maximisation du type tel que Z D = max{f D (u) : u X D } f D (u) cx pour tout u X D et x X. Toute solution u X D définit une borne inférieure du problème initial.

9 Bornes Relaxation Linéaire et dualité Z = min{cx : Ax b,x N} Borne primale : Toute solution réalisable ˆx X définit une borne primale cˆx. Borne supérieure (inférieure) pour un problème de minimisation (maximisation). Borne duale : Toute solution réalisable d un problème dual au problème initial. Une solution optimale d une relaxation du problème. Borne inférieure (supérieure) pour un problème de minimisation (maximisation).

10 Dualité et PLNE Pour un problème de minimisation entier Z PLE = min{cx : Ax b,x N} = min{cx : x X}, un problème dual fort est un problème de maximisation du type tel que Z D = max{f D (u) : u X D } f D (u) cx pour tout u X D et x X. il existe u X D et x X tel que f D (u ) = cx.

11 Ecart de dualité L écart de dualité est défini comme l écart entre les coûts des solutions optimales du primal et du dual : Si on a un dual fort, alors = 0. = Z PLE Z D. Min Min Ecart de dualité Max Max

12 Ecart de dualité / Relaxation Min Ecart de dualité Relax Max

13 Sommaire Relaxation Linéaire et dualité 1 Relaxation Linéaire et dualité 2

14 Définitions Un algorithme exact est une méthode qui trouve la solution optimale pour un problème donné. Une heuristique est un algorithme qui trouve une bonne solution à un problème donné. algorithmes gloutons (ou constructives) : construisent une solution sans jamais revenir sur ses précédentes décisions. amélioration itérative : améliore, par itérations successives, une solution donnée. heuristiques basés sur la programation linéaire : heuristiques d arrondi. algorithmes d approximation : heuristiques pour lesquelles on peut garantir un écart maximal entre la solution trouvée et la solution optimale

15 Utilité des heuristiques Quand un problème d optimisation est si difficile qu on renonce à le résoudre de manière exacte, on se contente d une bonne solution ou d une solution approchée. Pour obtenir une borne primale dans une méthode de résolution exacte. Pour un problème théoriquement facile (pour lequel il existe un algorithme polynomial) mais pour lequel on a besoin d une solution en un temps très limité (problème en temps réel).

16 Problème du sac-à-dos Soit I = {1,...,n} un ensemble d objets ayant chacun une utilité u i et un poids w i. Le problème du sac-à-dos consiste à choisir un sous-ensemble d objets à mettre dans un sac-à-dos de manière à maximiser l utilité du sac-à-dos tout en respectant son poids maximum donné par W. Modélisation : x i = 1 si on prend l objet i I, 0 sinon. max s.c. i u ix i i w ix i W x i {0,1} i.

17 Problème du sac-à-dos Heuristique gloutonne : Classer les éléments par ordre croissant d utilité par untité de poids (u i /w i ) : u 1 u 2 u n. w 1 w 2 w n Pour k allant de 1 à n faire : Si (w k W) alors x k = 1 et W = W w k sinon x k = 0. Données : n = 5, W = 6 i u i w i u i /w i Solution heuristique : (1,1,0,0,1) BI = 65

18 Localisation de dépôts Soit N = {1,...,n} un ensemble de sites potentiels où construire des dépôts pour un coût f j, j N. Soit I = {1,...,m} un ensemble de clients à réapprovisionner par ces dépôts pour un coût d i,j, i I, j N. Le problème de localisation de dépôts consiste à définir quels dépôts construire et à affecter chaque client à un de ces dépôts tout en minimisant le coût total. Modélisation : y j = 1 si on construit j N, 0 sinon. min j N f jy j + i I j J d i,jx i,j s.c. j N x i,j = 1 i I x i,j y j i I,j N x i,j 0 i I,j N y j {0,1} j N. x i,j = 1 si i I affecté à j N, 0 sinon.

19 Localisation de dépôts Heuristique gloutonne : On note : S = ensemble des dépôts choisis, c(s) = j S f j + i I min j S(d i,j ). S = Tant S est non réalisable ou que le coût diminue, ajouter à S le site j qui minimise l augmentation du coût de la solution. S est réalisable si S 1.

20 Voyageur de commerce Heuristiques gloutonnes : Tant qu on n a pas un cicuit Hamiltonien, ajouter l arc de coût minimum qui ne créer ni sous-tour, ni sommets de degré 3. Partir d un sommet et tant qu on n a pas visité tout les sommets, aller vers le plus proche voisin non visité. Partir du sous-tour formé par les sommets 1 et 2 et ajouter successivement tous les sommets dans le circuit à la position qui minimise l augmentation du coût du circuit.... Exemple : 5 villes D =

21 Heuristiques gloutonnes Le principal inconvénient des heuristiques gloutonnes est qu elles sont souvent myopes : les décisions sont prises sans prendre en comptes les décsions qui seront prises plus tard. Il ne reste souvent que des mauvais choix à la fin. Ce n est pas toujours le cas. Parfois, on peut montrer qu un algorithme glouton donne la solution optimale au problème. C est notamment le cas pour le problème de l arbre couvrant de poids minimum.

22 Arbre couvrant de poids minimum Soit G = (V,E) un graphe et c ij un coût sur les arêtes {i,j} du graphe. Le problème consiste à trouver un arbre couvrant de G qui minimise le poids total. Algorithme de Kruskal (glouton) Trier les arêtes dans l ordre croissant de leur coût. Considérer les arêtes dans cet ordre et les ajouter à l arbre en construction si elles ne créent pas de cycle. Arrêter quand tous les nœuds sont connectés. Algorithme de Prim (glouton) Initialiser l arbre en construction en choisissant un nœud. Ajouter itérativement à l arbre en construction l arête de coût minimum incidente à l arbre. Arrêter quand tous les nœuds sont connectés.

23 Méthode d amélioration itérative Lorsqu on a obtenu une solution à partir d une heuristique gloutonne, on peut essayer de l améliorer en lui apportant des modifications mineures. Notion de voisinnage : Etant donnée une solution x X, un voisinnage de x est un ensemble de solutions N(x) dont la structure est proche de celle de x. Méthode d amélioration itérative : 1 Soit x une solution et N un système de voisinnage. 2 Soit y la meilleure solution de N(x) 3 Si f(y) f(x) alors x y et retourner en 2. Sinon STOP, on a atteint un miminum local.

24 Système de voisinnage Généralement, un voisinnage N(.) est définit par une opération simple permettant d obtenir de nouvelles solutions à partir d une solution donnée. Critères concernant les systèmes de voisinnage : taille : faire un compromis entre temps d exploration et chances de trouver une bonne solution. connexité : un voisinnage est dit connexe si on peut atteindre toute solution a partir de n importe qu elle autre solution.

25 Système de voisinnage Exemple de voisinnages pour le voyageur de commerce : Une solution du voyageur de commerce peut être vue comme l ordre dans lequel on va visiter les villes : Soit x une telle séquence. x =< 1,π 2,π 3,...,π n >. Voisinnage par échange : N(x) est définit comme étant l ensemble des solutions obtenues en échangeant la place de deux villes dans la séquence x. Voisinnage par sélection / insertion : N(x) est définit comme étant l ensemble des solutions obtenues en choisissant une ville dans x et en l insérant à une autre place. Voisinnage 2-opt : ensemble des solutions obtenues à partir de x en inversant l ordre de passage d une sous-séquence....

26 Heuristique / métaheuristiques Une heuristiques est généralement dédiée à un problème donné. Les méthodes d amélioration itérative conduisent généralement à un minimum local. Métaheuristiques : algorithme basé sur un principe générique, indépendent du problème traité. souvent insipré d analogie dans d autres domaines (physique, génétique,...) met en œuvre des systèmes permettant de sortir des minima locaux.

27 Recuit simulé Algorithme de recherche locale basé sur un système de voisinnage. A chaque itération, un voisin de la solution courante est tiré au hasard. si ce voisin améliore la solution courante, alors il devient la solution courante et on passe à l itération suivante. si ce voisin est plus mauvais que la solution courante, il devient la solution courante avec une probabilité p. La probabilité p diminue à chaque itération. l algorithme s arrête quand on a atteint un certain nombre d itérations.

28 Recherche tabou Algorithme de recherche locale basé sur un système de voisinnage. A chaque itération, on cherche le meilleur voisin de la solution courante. Ce meilleur voisin devient la solution courante, même s il déteriore la solution. on gère une liste de solutions tabous pour éviter de cycler. l algorithme s arrête quand on a atteint un certain nombre d itérations.

29 Algorithme génétique Algorithme basé sur le principe de l évolution d une population. On part d une population initiale (ensemble de solutions) de taille n. A chaque itération : mécanisme de reproduction par le biais de croisements (selection de paires de solutions engendrant de nouvelles solutions). mécanisme de mutation (choix d une solution qui sera modifiée). mécanisme de sélection (on garde les n meilleurs?). l algorithme s arrête quand on a atteint un certain nombre d itérations.