ÉVALUATION DES INCERTITUDES EN T.P.

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1 ÉVALUATION DES INCERTITUDES EN TP I Erreur absolue, erreur relative Soit une grandeur X (une tension, une intensité,) de valeur exacte dite valeur vraie X v, dont la valeur mesurée est X m L ERREUR ABSOLUE sur X est (X m X v ) C est une grandeur algébrique L ERREUR RELATIVE sur X est X m X v C est une grandeur algébrique X m II Incertitude absolue, incertitude relative En physique, nous ne possédons jamais la valeur vraie X v d une grandeur Les valeurs sont obtenues expérimentalement donc sont approchées et l objectif est de déterminer l intervalle dans lequel la vraie valeur se situe c est-à-dire : X v [X m X ; X m + X ], où X > 0 est l INCERTITUDE ABSOLUE Pour estimer le niveau de précision d une mesure, il faut utiliser l INCERTITUDE RELATIVE X CISION 100 X X exprimée en % X ou la PRÉ- III Expression numérique d un résultat, chiffres significatifs Les chiffres utiles, qui ont un sens, sont dits significatifs Exemples : v = 0,333m s 1 3 chiffres significatifs, les zéros «avant» ne comptent pas v = 33,30cm s 1 : 4 chiffres significatifs, les zéros ««après» sont significatifs avec une précision d un chiffre significatif, 0,10 s écrira 0,1, 0,38 s écrira 0,4 et 38 s écrira 3 10 Il est indispensable que la mesure et l incertitude absolue aient le même nombre de chiffres après la virgule Par exemple : L = 43,7cm avec une incertitude absolue L= 0,3 cm s écrira L = 43,7 ± 0,3 cm et L = 0,015 ± 0,0007 m s écrira L = (15, ± 0,7) mm IV Présentation d un résultat de mesure X = X m unité ± X unité X : Grandeur mesurée ; X m : Valeur lue ; X : Incertitude absolue L incertitude X est le produit de l erreur ɛ due à l instrument et à la lecture, par le facteur d élargissement k : X = kɛ On prendra k = Dans ce cas, il y a 95 % de chance que la valeur vraie soit comprise dans l intervalle [X m ɛ, X m + ɛ] 1

2 Lycée Kléber Affichage graphique Graphiquement, on utilisera des barres d erreur en ordonnée (et éventuellement en abscisse) Avec le logiciel LibreOffice Calc : remplir une colonne avec les incertitudes de chaque mesure ; double cliquer sur le graphe ou clic droit; dans l onglet «Insertion», choisir «Barres d erreurs Y» ; cocher «Plage de cellules» ; entrer les coordonnées de la colonne des incertitudes Pour afficher l équation de la droite de régression éventuelle : double cliquer sur le graphe ; dans l onglet «Insertion», choisir «Courbe de tendance» ; cocher «Afficher l équation» V Erreurs sur une seule mesure (erreur de type B) Chaque expérience comporte ses propres difficultés, il serait illusoire de donner une recette applicable à chaque cas ; disons que d une manière générale, l incertitude sur la mesure dépend de l appareil de mesure et de beaucoup d autres facteurs! C est le bon sens et l honnêteté scientifique qui permettent de quantifier cette incertitude Si on peut estimer entre quelles valeurs extrêmes se situe la valeur cherchée, on peut alors estimer l incertitude sur la mesure (mesure) = (valeur maximale valeur minimale)/ Des exemples : erreur de parallaxe lors de la mesure d une longueur avec une règle verticale, temps de réflexe pour la mesure d une durée avec un chronomètre, lecture de la position d un ménisque 1 Appareil numérique (multimètre, ) Dans ce cas, on utilise les données du constructeur, de la forme x % Valeur lue + a UR où UR (unité de représentation) est l unité du dernier chiffre affiché

3 Multimètre Metrix MX 579 B Tensions continues 0,05 % + 3 UR Tensions alternatives efficaces 0,6 % + 10 UR Tensions en db 0,9 db + UR Résistances 0, % + 3 UR Remarque : les erreurs dépendent du calibre On pourra se contenter d une évaluation avec les valeurs du tableau ci-dessus Exemple : sur un multimètre numérique, on lit une tension alternative efficace U = 13,6 V On calcule l erreur ɛ = 13,6 0, ,01 V = 0,18 V Avec un facteur d élargissement de, on présentera le résultat de la façon suivante : U = 13,6V ± 0,36V Appareil analogique (Vis micrométrique, burette, ) a) Il est nécessaire de connaître la classe de l instrument et donc de posséder des informations du constructeur Exemple : pipettes de chimie, ci-contre L erreur est alors l erreur «constructeur» ɛ c b) L erreur de lecture On estime l erreur de lecture ɛ l, évaluée à la demi-graduation : ɛ l = 1 valeur de la plus petite graduation L erreur de mesure s obtient alors par ɛ = ɛ c + ɛ l Remarque : si l on ne dispose pas de la classe de l instrument, on se contente de l erreur de lecture ɛ = ɛ l VI Erreurs statistiques (erreur de type A) Dans le cas où l on dispose d un ensemble de mesures (valeur mesurées plusieurs fois ou ensemble des valeurs obtenues par l ensemble des groupes de TP), on peut évaluer la valeur de mesure et son erreur de la façon suivante : Soit un ensemble de n valeurs expérimentales X i,i 1,, N La valeur de la grandeur X m sera la moyenne des X i : On évalue l écart-type de l ensemble : X m = X = N X i i=1 N N ( ) X i X i=1 σ N 1 = N 1 Remarque : le facteur N 1, au lieu de N, s explique par le fait que l écart-type est calculé à partir d une évaluation de la moyenne sur les N valeurs, et non sur une infinité de valeurs σ N 1 L incertitude X sera alors calculée par X = t % où t% est appelé coefficient de Student Les N valeurs seront prises dans le tableau ci-dessous, selon l intervalle de confiance que l on aura choisi (95% ou 99%) 3

4 Lycée Kléber N t 95% 1,7 4,3 3,18,78,57,45,37,31,6 t 99% 63,7 9,93 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,5 Le résultat sera donc présenté par : X = X unité ± t 95% σ N 1 N unité Exemple : on a mesuré huit valeurs de la conductivité thermique λ du cuivre, en W K 1 m 1 : On calcule λ = 394,8W K 1 m 1 puis σ 7 = 19,7W K 1 m 1 et,37 σ 7 8 = 16,5W K 1 m 1 Le résultat est présenté sous la forme : λ = 395W K 1 m 1 ± 16W K 1 m 1 (95%) VII Propagation des incertitudes 1) La grandeur X est une fonction de la grandeur A À la grandeur A est associée la valeur mesurée A m, d incertitude A : A = A m ± A et X = f (A) Dans ce cas, la valeur X m associée à X est X m = f (A m ), l incertitude X = f (A m ) A soit : X = f (A m ) ± f (A m ) A ) La grandeur X est une fonction de N grandeurs A i,i 1,, N Les valeurs et incertitudes (supposées indépendantes) respectives sont A m i ± A i et X = f (A 1,, A N ) La valeur X m associée à X est X = f (A m1,, A mn ) ; la différentielle de X est : L incertitude X est alors donnée par : dx = f A 1 da f A n da n X = N ( f A i i=1 ) A i Exemple : soit R = R 1 +R, ces deux dernières grandeurs étant mesurées avec les incertitudes R 1 et R L incertitude R sur R est donnée par : 3) Cas de produits, quotients et puissances On utilise la dérivée logarithmique Exemple : X = A 1 /A3 X m = A 1m /A3 m R = R1 + R Alors, ln X = ln A 1 3ln A dx X = da 1 3 da A 1 A On en déduit : X X = ( A 1 A 1 ) ( + 3 A ) A 4

5 VIII Exercices Exercice 1 Quel est le but du calcul d erreurs? Quelle est la différence entre l erreur et l incertitude? Qu est-ce qu une incertitude absolue? une incertitude relative? Exercice Les mesures des dimensions d une salle de classe ont donné pour la longueur L, la largeur l et la hauteur H : L = 10,5m ± 0,1m;l = 7,35m ± 0,08m; H =,6m ± 0,05m En déduire le périmètre P, l aire du sol S et le volume V de la pièce avec leur incertitude Exercice 3 Calculer la valeur de u = x y x + y et u pour x = 00 ± 3 et y = 100 ± 1 Réponse : u = 66,7 ± 0,6 Exercice 4 Un prisme de verre d angle A est utilisé pour dévier les rayons lumineux L angle de déviation dépend de l orientation du dispositif; il prend une valeur minimum D pour la disposition symétrique L indice de réfraction du verre constituant le prisme peut s exprimer en fonction l angle A et de l angle de déviation minimum D des rayons lumineux : ( ) A + D sin n = ( ) A sin À l aide d un goniomètre, on a mesuré séparément : D = 40 ± 1 et A = 60 ± 1 Calculer n et n (avec le nombre de chiffres significatifs convenable) Réponse : n = 1,531 ± 0,0003 Exercice 5 On veut mesurer la pesanteur g = 4π L T à l aide d un pendule pesant dont on a mesuré la longueur L = 1,000 m ± 0,005 m et la période T =,00 s ± 0,01 s En déduire la valeur de g et son incertitude 5